Hàm lượng giác 12345

Hàm lượng giác


Mục lục
1

2

Hàm lượng giác

1

1.1

Các hàm lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Định nghĩa bằng tam giác vuông

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4.1

Dùng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4.2

Dùng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Định nghĩa bằng chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.6

Trên trường số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.7

Định nghĩa bằng phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.8

Các định nghĩa khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.9

Miền xác định và miền giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.10 Phương pháp tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.11 Hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.12 Một số đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.13 Tính chất và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.13.1 Định lý sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.13.2 Định lý cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.13.3 Định lý tang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.14 am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.15 Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.16 Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Hàm số

8

2.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.2

Ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.3

Cách cho hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Các dạng của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.1

Đơn ánh, song ánh, toàn ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.2

Hàm hợp và hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4

Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

i

ii

MỤC LỤC
2.5

am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.6

Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.7

Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.7.1

Văn bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.7.2

Hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.7.3

Giấy phép nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11


Chương 1

Hàm lượng giác
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8

Đồ thị hàm sin
−2π

−3π/2

−π

−π/2

0

π/2

π

3π/2

2π

Đồ thị hàm tang

Đồ thị hàm cos
Đồ thị hàm cotang

Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng,
các hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được
dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có
tính chất tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc
thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của
tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa
các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn
đơn vị. Những định nghĩa hiện đại hơn thường coi các
hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của
một số phương trình vi phân, điều này cho phép hàm
lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số
phức bất kì.

1.1 Các hàm lượng giác cơ bản
Ngày nay, chúng ta thường làm việc với sáu hàm lượng
giác cơ bản, được liệt kê trong bảng dưới, kèm theo liên
hệ toán học giữa các hàm.
Trong lịch sử, một số hàm lượng giác khác đã được nhắc
đến, nhưng nay ít dùng là:
• versin (versin = 1 − cos)

Các hàm lượng giác không phải là các hàm số đại số và
có thể xếp vào loại hàm số siêu việt.

• exsecant (exsec = sec − 1).
1


2

CHƯƠNG 1. HÀM LƯỢNG GIÁC
dùng cả sáu hàm lượng giác cơ bản (trong tác phẩm
Abu'l-Wefa), với các bảng tính hàm sin cho các góc cách
nhau 0.25 độ, với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân
sau dấu phẩy, và bảng tính hàm tan.

Đồ thị hàm sec

Từ sin mà ngày nay ta dùng xuất phát từ chữ La tinh
sinus (“vịnh” hay “gập”), dịch nhầm từ chữ Phạn jiva
(hay jya). Jiva (vốn được đọc đầy đủ là ardha-jiva, “nửadây cung”, trong quyển Aryabhatiya thế kỷ 6) được
chuyển tự sang tiếng Ả Rập là jiba ( ), nhưng bị nhầm
thành từ khác, jaib ( ) (“vịnh”), bởi các dịch giả ở châu

Âu như Robert ở Chester và Gherardo ở Cremona trong
quyển Toledo (thế kỷ 12). Sự nhầm lẫn này có thể là do
jiba ( ) và jaib ( ) được viết giống nhau trong tiếng
Ả Rập (nhiều nguyên âm bị thiếu trong bảng chữ cái Ả
Rập).
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác
đều được phát triển trong nghiên cứu thiên văn. Có
lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung nghiên cứu về
lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae
directionum của Regiomontanus (1436–1476). yển
Tabulae directionum nói về hàm tang.

Đồ thị hàm cosec

Xem thêm bài đẳng thức lượng giác để biết thêm rất
nhiều liên hệ khác nữa giữa các hàm lượng giác.

yển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một
học trò của Copernicus, là quyển sách đầu tiên định
nghĩa các hàm lượng giác bằng tam giác vuông thay
vì dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính 6 hàm
lượng giác cơ bản. Công trình này được hoàn thiện bởi
học trò của Rheticus là Valentin Otho năm 1596.
yển Introductio in analysin infinitorum (1748) của
Euler tập trung miêu tả cách tiếp cận giải tích đến các
hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo các chuỗi vô tận
và giới thiệu "Công thức Euler" eix = cos(x) + i sin(x).
Euler đã dùng các ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot.,
sec., và cosec. giống ngày nay.

1.2 Lịch sử
Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng 1.3 Định nghĩa bằng tam giác
tính các hàm lượng giác được cho là thực hiện lần đầu
vuông
bởi Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN), người đã lập
bảng tính độ dài của các cung tròn (có giá trị bằng góc,
A, nhân với bán kính, r) và chiều dài của dây cung Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc A, bằng
tương ứng (2r sin(A/2)). Sau đó, Ptolemy (thế kỷ 2) tiếp việc dựng nên một tam giác vuông chứa góc A. Trong
tục phát triển công trình trên trong quyển Almagest, tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:
tìm ra công thức cộng và trừ cho sin(A + B) và cos(A +
B). Ptolemy cũng đã suy diễn ra được công thức nửa• Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là
góc sin(A/2)2 = (1 − cos(A))/2, cho phép ông lập bảng
cạnh dài nhất của tam giác vuông, h trên hình vẽ.
tính với bất cứ độ chính xác cần thiết nào. Những bảng
tính của Hipparchus và Ptolemy nay đã bị thất truyền.
• Cạnh đối là cạnh đối diện với góc A, a trên hình
Các phát triển về lượng giác tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ,
vẽ.
trong công trình Siddhantas (khoảng thế kỷ 4–5), định
nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. yển
• Cạnh kề là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, b
Siddhantas cũng chứa bảng tính hàm sin cổ nhất còn
trên hình vẽ.
tồn tại đến nay (cùng với các giá trị 1 − cos), cho các
góc có giá trị từ 0 đến 90 độ cách nhau 3.75 độ.
Công trình Ấn giáo này sau đó được dịch và phát triển
thêm bởi người Ả Rập. Đến thế kỷ 10, người Ả Rập đã

Dùng hình học Ơclit, tổng các góc trong tam giác là pi
radian (hay 180⁰). Khi đó:

1.4. ĐỊNH NGHĨA BẰNG VÒNG TRÒN ĐƠN VỊ

3

Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc
biệt.
Một tam giác vuông luôn chứa một góc 90° (π/2 radian), được
ký hiệu là C trong hình này. Góc A và B có thể thay đổi. Các
hàm lượng giác thể hiện mối liên hệ chiều dài các cạnh và độ
lớn các góc của tam giác vuông.

1.4 Định nghĩa bằng vòng tròn đơn
vị

Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên
bất kỳ.
Tang và Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180
độ.

1.4.2 Dùng hình học
Fc
excsc H ot
cvs
csc

G

1

θ

A
d
cr

Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng
vòng tròn đơn vị, một vòng tròn có bán kính bằng 1
và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định nghĩa dùng
vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông,
nhưng chúng có thể định nghĩa cho các mọi góc là số
thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian. Các
góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường
tròn.

cos θ = cos (θ + 2πk)

sin

tan

arc

C

O cos versin D

1.4.1

exsec

E

Dùng đại số
sec

Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trên mặt phẳng của
hình học phẳng thỏa mãn:
x 2 + y2 = 1

B
Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương
pháp hình học trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O.

Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ
và điểm (x,y) trên vòng tròn và chiều dương của trục x
của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có thể được định Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các
hàm lượng giác cho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị
nghĩa là:
tâm O. Với θ là nửa cung AB:
Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và
cosec trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay eo hình vẽ, dễ thấy sec và tang sẽ phân kỳ khi θ tiến
tới π/2 (90 độ), cosec và cotang phân kỳ khi θ tiến tới
360 độ:
0. Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện
trên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm
sin θ = sin (θ + 2πk)
lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học.

4

CHƯƠNG 1. HÀM LƯỢNG GIÁC

1.5 Định nghĩa bằng chuỗi

Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác
ra cho biến phức z:

sin(x)
f(x)

sin z =

∞
∑
(−1)n 2n+1
eız − e−ız
z
=
= −ı sinh (ız)
(2n + 1)!
2ı
n=0

∞
∑
(−1)n 2n
eız + e−ız
cos z =

z =
= cosh (ız)
(2n)!
2
n=0

-2π

-π

π

2π

Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực

cos x = Re (eıx )
sin x = Im (eıx )
Hàm sin (xanh lam) được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7 (màu
hồng).

1.7 Định nghĩa bằng phương trình
vi phân

Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số,
có thể chứng minh rằng đạo hàm của hàm sin là hàm Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân
cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có
thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra
chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai y ′′ = −y
hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng

còn lại.
Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai
Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của của chúng.
các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa
cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng
dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn
có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc
lập với hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục
có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.

Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các
nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy
nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn
cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1
và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong
V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.

Trong bảng dưới, quy ước:

ực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng
công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể
được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể được
dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các
hàm này.

E là số Euler thứ n
U  là số lên/xuống thứ n

1.6 Trên trường số phức

Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân
phi tuyến sau:

Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các
′
2
hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm mũ y = 1 + y
của số ảo:
với điều kiện biên y(0) = 0. Xem cho một chứng minh
của công thức này.
eiθ = cos θ + i sin θ .
Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của −1.

Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các
hàm lượng giác là radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác,
biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k. Ví dụ, nếu x
được tính bằng độ, k sẽ là:

Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công
thức này đã được gọi là công thức Euler. Trong giải tích
phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức,
π
gồm các điểm z = eix , các mối liên hệ giữa số phức và k =
.
180
lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ như các quá trình
miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.
Lúc đó:

1.10. PHƯƠNG PHÁP TÍNH

f (x) = sin(kx); k ̸= 0, k ̸= 1
và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này:

f ′ (x) = k cos(kx)

5
Trước khi có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm
lượng giác bằng cách nội suy từ một bảng tính sẵn, có
độ chính xác tới nhiều chữ số thập phân. Các bảng tính
này thường được xây dựng bằng cách sử dụng các công
thức lượng giác, như công thức chia đôi góc, hay công
thức cộng góc, bắt đầu từ một vài giá trị chính xác (như
sin(π/2)=1).

Các máy tính hiện đại dùng nhiều kỹ thuật khác nhau
(Kantabutra, 1996). Một phương pháp phổ biến, đặc biệt
Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn:
cho các máy tính có các bộ tính số thập phân, là kết
hợp xấp xỉ đa thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc
hàm hữu tỉ) với các bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính
y ′′ = −k 2 y
tìm đến giá trị tính sẵn trong bảng nhỏ cho góc nằm
gần góc cần tính nhất, rồi dùng đa thức để sửa giá trị
Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho
trong bảng về giá trị chính xác hơn. Trên các phần cứng
hàm lượng giác khác.
không có bộ số học và lô gíc, có thể dùng thuật toán
CORDIC (hoặc các kỹ thuật tương tự) để tính hiệu quả

hơn, vì thuật toán này chỉ dùng toán tử chuyển vị và
1.8 Các định nghĩa khác
phép cộng. Các phương pháp này đều thường được lắp
sẵn trong các phần cứng máy tính để tăng tốc độ xử lý.
Hàm sin và cos, và các hàm lượng giác khác suy ra từ
Đối với các góc đặc biệt, giá trị các hàm lượng giác có
hai hàm này, có thể được định nghĩa là hàm s và c trong
thể được tính bằng giấy và bút dựa vào định lý Pytago.
định lý sau:
Ví dụ như sin, cos và tang của các góc là bội của π/60
Tồn tại duy nhất cặp hàm s và c trên trường số thực radian (3 độ) có thể tính được chính xác bằng giấy bút.
thỏa mãn:
Một ví dụ đơn giản là tam giác vuông cân với các góc
nhọn bằng π/4 radian (45 độ). Cạnh kề b bằng cạnh đối
1. s(x)2 + c(x)2 = 1
a và có thể đặt a = b = 1. Sin, cos và tang của π/4 radian
(45 độ) có thể tính bằng định lý Pytago như sau:
2. s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y)
3. c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)
4. 0 < xc(x) < s(x) < x cho mọi 0 < x < 1
Ở đây x, y ∈ R .

1.9 Miền xác định và miền giá trị
Các hàm số lượng giác trên trường số thực có miền xác
định và miền giá trị được tổng kết trong bảng sau:

c=

√

a2 + b2 =

√
2

Nên:
1
sin (π/4) = sin (45◦ ) = cos (π/4) = cos (45◦ ) = √
2
√
2
tan (π/4) = tan (45◦ ) = √ = 1
2

Một ví dụ khác là tìm giá trị hàm lượng giác của π/3
radian (60 độ) và π/6 radian (30 độ), có thể bắt đầu với
tam giác đều có các cạnh bằng 1. Cả ba góc của tam giác
1.10 Phương pháp tính
bằng π/3 radian (60 độ). Chia đôi tam giác này thành
hai tam giác vuông có góc nhọn π/6 radian (30 độ) và
Việc tính giá trị số cho các hàm lượng giác là bài toán
π/3 radian (60 độ). Mỗi tam giác vuông có cạnh ngắn
phức tạp. Ngày nay, đa số mọi người có thể dùng máy
nhất là 1/2, cạnh huyền bằng 1 và cạnh còn lại bằng
tính hay máy tính bỏ túi khoa học để tính giá trị các
(√3)/2. Như vậy:
hàm này. Dưới đây trình bày việc dùng bảng tính trong
lịch sử để tra giá trị các hàm lượng giác, kỹ thuật tính
ngày nay trong máy tính, và một số giá trị chính xác
1

dễ nhớ.
sin (π/6) = sin (30◦ ) = cos (π/3) = cos (60◦ ) =
2
Trước hết, việc tính giá trị các hàm lượng giác chỉ cần
√
tập trung vào các góc nằm, ví dụ, từ 0 đến π/2, vì giá cos (π/6) = cos (30◦ ) = sin (π/3) = sin (60◦ ) = 3
2
trị của các hàm lượng giác ở các góc khác đều có thể
được suy ra bằng tính chất tuần hoàn và đối xứng của
1
tan (π/6) = tan (30◦ ) = cot (π/3) = cot (60◦ ) = √
các hàm.
3


6

CHƯƠNG 1. HÀM LƯỢNG GIÁC

1.11 Hàm lượng giác ngược

( (
))
√
arcsin(z) = −i log i z + 1 − z 2

Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm
ngược, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định
(
)

√
arccos(z) = −i log z + z 2 − 1
nghĩa các hàm lượng giác ngược:
(
)
Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos
i
1 − iz
arctan(z) = log
Các hàm lượng giác ngược cũng có thể được định nghĩa
2
1 + iz
bằng chuỗi vô hạn:

arcsin z

= z+

( 1 ) z3
2

=
arccos z

n=0

=
=

− (z

π
2

=
arctan z

( 1·3 ) z5 ( 1·3·5 ) z7
3 + (
5 +) 2·4·6
7 + ···
∑∞ 2·4 (2n)!
z 2n+1
22n (n!)2

π
− arcsin z
( 1 ) z3 2 ( 1·3 ) z5 ( 1·3·5 ) z7
+ 2 3 + (2·4 5 +) 2·4·6 7
∑∞
(2n)!
z 2n+1
π
n=0 22n (n!)2
2 −
(2n+1)

3
5
7

− z3 + z5 − z7 +
n
2n+1
∑∞ (−1) z
n=0
2n+1

= z
=

(2n+1)

···

|z| < 1

1.12 Một số đẳng thức
|z| Xem
< 1 thêm Đẳng thức lượng giác
Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng
giác, Danh sách tích phân với hàm lượng giác
ngược
+ · · · ) |z| < 1
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y

cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y
( −1 )
arccsc z =
arcsin z

( ) −3 ( ) z−5 ( 1·3·5 ) z−7 cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y
(
)
(
)
= z −1 + 12 z 3 +( 1·3
|z| > 1
2·4
5 )+ 2·4·6
7 + ···
x+y
x−y
∑∞
(2n)!
z −(2n+1)
sin
x
+
sin
y
=
2
sin
cos
=
n=0 22n (n!)2
2n+1
2
2
(

) (
)
( −1 )
x+y
x−y
arcsec z =
arccos z
x − sin y = 2 cos
sin
( ) −3 ( 1·3 ) z−5 ( 1·3·5 )sinz−7
2
= π2 − (z −1 + 21 z 3 + ( 2·4
|z| > 1 2
5 )+ 2·4·6
7 + ···)
∑∞
)
(
)
(
(2n)!
π
z −(2n+1)
=
x−y
n=0 22n (n!)2
2 −
(2n+1) cos x + cos y = 2 cos x + y
cos
2

2
π
−
arctan
z
arccot z =
(
)
(
)
23
5
7
x+y
x−y
= π2 − (z − z3 + z5 − z7 + · · · ) |z| < 1 cos x − cos y = −2 sin
sin
∑∞ (−1)n z2n+1
2
2
π
=
n=0
2 −
2n+1
sin (x + y)
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu tan x + tan y = cos x cos y
thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các
sin (x − y)
hàm khác.

tan x − tan y =
cos x cos y
∫

x

arcsin (x) =
0

∫

1
√
dz,
1 − z2

1

1
√
dz,
1 − z2

arccos (x) =
x

∫

x

arctan (x) =
0

∫

1
dz,
1 + z2

∞

arccot (x) =

z2

x

∫

1

arcsec (x) =
∫

x

x

1
dz,

+1

|x| < 1
∀x ∈ R
z>0

1
√
dz,
|z| z 2 − 1

∞

arccsc (x) =

|x| < 1

−1
√
dz,
|z| z 2 − 1

x>1
x>1

cot x + cot y =

sin (x + y)
sin x sin y

cot x − cot y =

− sin (x − y)
sin x sin y

1.13 Tính chất và ứng dụng
Các hàm lượng giác có vị trí quan trọng trong lượng
giác học. Bên ngoài lượng giác học, tính tuần hoàn của
chúng có ích cho việc mô phỏng các chuyển động sóng
như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể
được phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và
cos ứng với nhiều tần số; đây là ý tưởng chủ đạo của
phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điều
kiện biên và phương trình đạo hàm riêng.

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác Các tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác
trong lượng giác học được thể hiện ở ba định lý:
ngược ra cho các biến phức:


1.14. THAM KHẢO

7

1.14 Tham khảo

C
b

γ

h

α
A

(bằng tiếng Anh)

a

• Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed.
(Wiley, New York, 1991).

β
Dc

B

Định luật sin và định luật cos có thể được chứng minh bằng việc
chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông.

1.13.1

Định lý sin

Định lý sin phát biểu cho bất kỳ một tam giác nào:
b
c
a
=
=

= 2R
sin A
sin B
sin C
Có thể chứng minh định lý này bằng cách chia đôi tam
giác thành hai tam giác vuông, rồi dùng định nghĩa của
hàm sin. (sinA)/a là nghịch đảo của đường kính đường
tròn đi qua ba điểm A, B và C. Định lý sin có thể dùng
để tính độ dài của một cạnh khi đã biết độ dài hai cạnh
còn lại của tam giác. Đây là bài toán hay gặp trong kỹ
thuật tam giác, một kỹ thuật dùng để đo khoảng cách
dựa vào việc đo các góc và các khoảng cách dễ đo khác.

1.13.2

Định lý cosin

• Eli Maor, Trigonometric Delights (Princeton Univ.
Press, 1998).
• "Trigonometric functions", MacTutor History of
Mathematics Archive.
• Tristan Needham, Visual Complex Analysis,
(Oxford University Press, 2000), ISBN 0198534469
Book website
• Vitit Kantabutra, “On hardware for computing
exponential and trigonometric functions,” IEEE
Trans. Computers 45 (3), 328-339 (1996).

1.15 Xem thêm
• Hàm hypebolic

• Định lý Pytago
• Đẳng thức lượng giác

1.16 Liên kết ngoài
(bằng tiếng Anh)

Định lý cos là một kết quả mở rộng của định lý Pytago:

• Khóa học lượng giác của Dave dùng các ứng dụng
Java để mô tả các tính chất của hàm lượng giác.

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

• Vẽ đồ thị hàm số hoàn toàn bằng Javascript. Chạy
trên hầu hết các trình duyệt hiện đại.

Định lý này cũng có thể được chứng minh bằng việc
chia tam giác thành hai tam giác vuông. Định lý này
có thể được dùng để tìm các dữ liệu chưa biết về một
tam giác nếu đã biết độ lớn hai cạnh và một góc.
Nếu góc trong biểu thức không được quy ước rõ ràng,
ví dụ nhỏ hơn 90°, thì sẽ có hai tam giác thỏa mãn định
lý cos, ứng với hai góc C nằm trong khoảng từ 0 đến
180℃ùng cho một giá trị cos C

1.13.3

Định lý tang

Định lý tang phát biểu là:

[1
]
tan (A + B)
a+b
2
=
[1
]
a−b
tan (A − B)
2

• Công thức tính liên quan đến cos.


Chương 2

Hàm số
phụ thuộc vào x√một lượng là căn bậc 2 của x, khi đó ta
kí hiệu f (x) = x .

2.1 Khái niệm
2.1.1 Định nghĩa
Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ tập số thực R, hàm số
f xác định trên X, nhận giá trị trong Y là một quy tắc
cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y duy nhất
thuộc Y.

2.1.2 Ký hiệu
Mỗi số thuộc tập X tương ứng với một số duy nhất thuộc tập Y

qua hàm f

f : X → Y hoặc f : x → f (x) hoặc
y = f (x)

Trong toán học, khái niệm hàm số (hay hàm) được hiểu
tương tự như khái niệm ánh xạ. ực chất hàm số chỉ là Với:
trường hợp đặc biệt của ánh xạ. Nếu như ánh xạ được
• Tập X gọi là miền xác định.
định nghĩa là một quy tắc tương ứng áp dụng lên hai tập
hợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồn và tập đích), mà
• Tập Y gọi là miền giá trị.
trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn)
tương ứng với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp
• x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.
kia (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi hàm số là
một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn và
• y gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm
tập đích đều là tập hợp số.
số.
Ví dụ một hàm số f xác định trên tập hợp số thực R
• f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x.
bằng biểu thức: y = x 2 - 5 sẽ cho tương ứng mỗi số thực
x với một số thực y duy nhất nhận giá trị là x 2 - 5, như
vậy 3 sẽ tương ứng với 4. Khi hàm f được xác định, ta 2.1.3 Cách cho hàm số
có thể viết f (3) = 4.
Đôi khi chữ hàm được dùng như cách gọi tắt thay cho Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng biểu đồ
hàm số. Tuy nhiên trong các trường hợp sử dụng khác, hoặc bằng biểu thức.
hàm mang ý nghĩa tổng quát là ánh xạ, như trong lý Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.
thuyết hàm. Các hàm hay ánh xạ tổng quát có thể là

liên hệ giữa các tập hợp không phải là tập số. Ví dụ có Hàm f : X → Y được cho bảng sau:
thể định nghĩa một hàm là quy tắc cho tương ứng mỗi Các hàm cho bằng biểu thức như y = 2x + 3 , y = x2
hãng xe với tên quốc gia xuất xứ của nó, chẳng hạn có , y = sin x …
thể viết Xuất_xứ(Honda) = Nhật.
Lưu ý: Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học
Kí hiệu hàm số bắt nguồn từ tiếng Anh của từ function, phổ thông của Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến
có nghĩa là phụ thuộc, chẳng hạn nghĩa là đại lượng y số thực) quy ước rằng:
8


2.2. CÁC DẠNG CỦA HÀM SỐ

9

• Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác
định) của hàm số cho bằng biểu thức y = f(x) là tập
hợp tất cả các giá trị của x làm cho f(x) có nghĩa.
Ví dụ: Hàm số y = log2 x có miền xác định là
{x ∈ R|x > 0}
Hàm số y
√
(x − 1)(3 − x)
[1; 3]

=
là

Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu như với mọi số y
thuộc Y ta luôn tìm được ít nhất một số x thuộc X sao
cho f (x) = y. eo cách gọi của ánh xạ thì điều kiện này

có nghĩa là mỗi phần tử y thuộc Y đều là tạo ảnh của ít
nhất một mẫu x thuộc X qua ánh xạ f.
Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi:

• Miền giá trị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả
các giá trị có thể có của f (x) , nghĩa là f (X) .
Ví
√ dụ: Miền giá trị của hàm số y
x(5 − x) là [0; 5] .

Toàn ánh

=

• Nếu X,Y ⊂ R thì hàm số được gọi là hàm số thực.

∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f (x) = y cũng tức là
f(X) = Y
Đồ thị hàm y = f (x) cắt đường thẳng y = y0 ∀y0
Song ánh

Trong toán học, song ánh, hoặc hàm song ánh, là một
hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn tính chất, đối
với mỗi y thuộc Y, có duy nhất một x thuộc X sao cho
• Nếu X,Y ⊂ C thì hàm số được gọi là hàm số biến f (x) = y.
số phức.
Nói cách khác, f là một song ánh nếu và chỉ nếu nó là
tương ứng một-một giữa hai tập hợp; tức là nó vừa là
y = cos φ + i sin φ
đơn ánh và vừa là toàn ánh.

Ví dụ: Hàm lượng giác y = sin x ,hàm mũ
y = 2x ,…

• Nếu X ⊂ N thì hàm số được gọi là hàm số số học.
Ví dụ: Hàm Euler ϕ(n) biểu diễn số các số tự
nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng
nhau với n, hàm Sigma σ(n) biểu diễn tổng
tất cả các ước của số tự nhiên n…

2.2 Các dạng của hàm số

Ví dụ, xét hàm f xác định trên tập hợp số nguyên vào,
được định nghĩa f (x) = x + 1. Ví dụ khác, đối với mỗi
cặp số thực (x,y) hàm f xác định bởi f (x,y) = (x + y, x
− y) là một song ánh
Hàm song ánh đôi khi còn gọi là hoán vị.
Tập hợp tất cả các song ánh từ tập X vào tập Y được ký
hiệu là X ↔ Y. ông thường tập các hoán vị của tập
X được ký hiệu làX !.

Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học,
như nó dùng để định nghĩa đẳng cấu (và những khái
niệm liên quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm
Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác
nên người ta cũng miêu tả hàm số dưới 3 dạng là đơn
ánh, toàn ánh và song ánh.
Minh hoạ

2.2.1

Đơn ánh, song ánh, toàn ánh

Đơn ánh

2.2.2 Hàm hợp và hàm ngược

Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác Hàm hợp
nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau.
Một cách chặt chẽ, hàm f, xác định trên X và nhận giá Cho các hàm số:
trị trong Y, là đơn ánh nếu như nó thỏa mãn điều kiện
với mọi x 1 và x 2 thuộc X và nếu x 1 ≠ x 2 thì f (x 1 ) ≠
f (x 2 ).
Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi:
∀x1 , x2 ∈ X; x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2 )

f1 : X → Y
f2 : Y → Z
trong đó X, Y, Z là các tập hợp số nói chung. Hàm hợp
của f 1 và f 2 là hàm số:

Với đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ tọa độ Đề các, mọi
đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox sẽ chỉ cắt
f: X →Z
đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm


10
được định nghĩa bởi:

f(x) = f2 (f1 (x)); x ∈ X

Có thể ký hiệu hàm hợp là:

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ
Đồ thị của hàm số y = f (x) là tập hợp các điểm
trên mặt phẳng R2 có tọa độ [x, f (x)].
Ký hiệu đồ thị hàm số theo định nghĩa trên là:
{
}
graphf ≡ (x, y) ∈ R2 | y = f (x)

f = f2 ◦ f1
Ví dụ, hàm số f (x) = sin (x 2 +1) là hàm số hợp f 2 (f 1 (x)),
trong đó f 2 (y) = sin(y), f 1 (x) = (x 2 +1).
Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm
khác, trong nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán
giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản
hơn.

2.4 Xem thêm
• Vi phân
• Giới hạn
• Tích phân
• Đạo hàm

Hàm ngược

• Ánh xạ

Cho hàm số song ánh:

• Hàm số đơn điệu

f: X →Y
trong đó X, Y là tập hợp số nói chung. Khi đó mỗi phần
tử y = f (x) với y nằm trong Y đều là ảnh của một và
chỉ một phần tử x trong X. Như vậy, có thể đặt tương
ứng mỗi phần tử y trong Y với một phần tử x trong X.
Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ
Y sang X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của
hàm số f và được ký hiệu là:

f −1 : y → x = f −1 (y)
Nếu f −1 (x) tồn tại ta nói hàm số f (x) là khả nghị. Có
thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để
hàm f (x) khả nghịch, tức là nếu f (x) là song ánh thì ta
luôn tìm được hàm ngược f −1 (x) và ngược lại.

2.3 Đồ thị của hàm số

ông thường thì hàm số được xác định bằng một biểu
thức tổng quát y = f (x) nào đó, ví dụ như y = x 2 - 5.
Tuy nhiên cũng có những hàm đặc biệt mà quy tắc cho
tương ứng x với y của nó không theo bất kỳ một quy
luật nào để có thể diễn đạt bằng một biểu thức toán
học. Trong trường hợp này ta có thể lập bảng cho các
giá trị đối số x và các giá trị hàm số y tương ứng với
chúng. Ngoài ra hàm số còn có thể được xác định một
cách triệt để bằng đồ thị của nó.
Đối với hàm số một biến số thực (có miền xác định
thực), đồ thị hàm số được định nghĩa như sau:

2.5 Tham khảo
2.6 Liên kết ngoài
• e Wolfram Functions Site
• eory of Functions and related areas
• Notes on functions


2.7. NGUỒN, NGƯỜI ĐÓNG GÓP, VÀ GIẤY PHÉP CHO VĂN BẢN VÀ HÌNH ẢNH

11

2.7 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh
2.7.1

Văn bản

• Hàm lượng giác Nguồn: Người đóng
góp: Mxn, DHN, MuDavid, Mekong Bluesman, Trung, Nhanvo, Newone, DHN-bot, Mkill, JAnDbot, ijs!bot, ALE!, Doãn Hiệu,
VolkovBot, TXiKiBoT, SieBot, TVT-bot, Qbot, MelancholieBot, Meotrangden, Muro Bot, Nallimbot, Luckas-bot, Amirobot, SilvonenBot,
Hieu nguyentrung12, Ptbotgourou, ArthurBot, Xqbot, D'ohBot, MastiBot, Tnt1984, TuHan-Bot, EmausBot, Yanajin33, WikitanvirBot,
Cheers!-bot, CocuBot, AlphamaBot, AlphamaBot2, Earthshaker, Addbot, OctraBot, itxongkhoiAWB, Tuanminh01, TuanminhBot và
29 người vô danh
• Hàm số Nguồn: Người đóng góp: Robbot, Mekong Bluesman,
Trung, Chobot, Newone, DHN-bot, Ctmt, Executor03, Nad 9x, Nguyenthephuc, ijs!bot, Soulbot, Nguyễn Hữu Dung, Hoàng Cầm,
VolkovBot, TXiKiBoT, YonaBot, BotMultichill, AlleborgoBot, SieBot, TVT-bot, Idioma-bot, Qbot, OKBot, Ditimchanly, BodhisavaBot,
MelancholieBot, SpBot, WikiDreamer Bot, AlleinStein, Luckas-bot, SilvonenBot, ArthurBot, Xqbot, Almabot, Volga, Banhtrung1,
Tnt1984, Namnguyenvn, TuHan-Bot, EmausBot, ZéroBot, Chienthang victory hut, FoxBot, Cheers!, ChuispastonBot, WikitanvirBot,
Cheers!-bot, MerlIwBot, Huynl, AlphamaBot, Addbot, OctraBot, Gaconnhanhnhen, Nvhieu07031999, Tuanminh01, AlphamaBot4,
TuanminhBot, P.T.Đ, Hungv8a5 và 33 người vô danh

2.7.2

Hình ảnh

• Tập_tin:1000_bài_cơ_bản.svg Nguồn: />BA%A3n.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: File:Wikipedia-logo-v2.svg Nghệ sĩ đầu tiên: is file: Prenn
• Tập_tin:Circle-trig6.svg Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA-3.0
Người đóng góp: Circle-trig6.png Nghệ sĩ đầu tiên: Original: Steven G. Johnson tại Wikipedia Tiếng Anh
Derivative work: Limaner
• Tập_tin:Commons-logo.svg Nguồn: Giấy phép: Public
domain Người đóng góp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions
used to be slightly warped.) Nghệ sĩ đầu tiên: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier
PNG version, created by Reidab.
• Tập_tin:Cos.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng góp:
self-made; graphed in GNUPlot edited in Illustrator Nghệ sĩ đầu tiên: Self: Commons user Keytotime
• Tập_tin:Cot.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng góp: No
machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Nghệ sĩ đầu tiên: No machine-readable author
provided. Keytotime assumed (based on copyright claims).
• Tập_tin:Csc.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng góp: ?
Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Don_anh.png Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng
góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Exec_funkce2.png Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA 3.0
Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Question_book-new.svg Nguồn: Giấy phép:
CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Chuyển từ en.wikipedia sang Commons. Created from scratch in Adobe Illustrator. Based on Image:
Question book.png created by User:Equazcion Nghệ sĩ đầu tiên: Tkgd2007
• Tập_tin:Sec.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng góp: ?
Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Sin.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng góp:

self-made; graphed in GNUPlot edited in Illustrator Nghệ sĩ đầu tiên: Self: Commons user Keytotime
• Tập_tin:Song_anh.png Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng
góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Tam_giác_vuông.PNG Nguồn: Giấy
phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Tan.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng góp:
Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: Original: Trung (ảo luận · đóng góp)
• Tập_tin:Taylorsine.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain
Người đóng góp: No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Nghệ sĩ đầu tiên: No machinereadable author provided. Riojajar~commonswiki assumed (based on copyright claims).
• Tập_tin:Theorem_of_cosin.svg Nguồn: Giấy phép:
CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Ygrek Nghệ sĩ đầu tiên: Original author: Ygrek. Vectorized by Nethac DIU.
• Tập_tin:Toan_anh.png Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng
góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Unit_circle_angles.svg Nguồn: Giấy phép:
CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra, made with Eukleides. Nghệ sĩ đầu tiên: Gustavb

2.7.3

Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0