Khai thác, phát triển một vài bài tập hình học nhằm góp phần phát huy tư duy tính cực, chủ động và sáng tạo của học sinh lớp 9b trường THTHCS đông anh

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÔNG SƠN

TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT VÀI BÀI TẬP HÌNH HỌC NHẰM
GÓP PHẦN PHÁT HUY TƯ DUY TÍNH CỰC, CHỦ ĐỘNG VÀ SÁNG
TẠO CỦA HỌC SINH LỚP 9B TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH

Người thực hiện: Nguyễn Thu Hương
Chức vụ: P. Hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường TH&THCS Đông Anh
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

ĐÔNG SƠN, NĂM 2017

1


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT VÀI BÀI TẬP HÌNH HỌC
NHẰM GÓP PHẦN PHÁT HUY TƯ DUY TÍNH CỰC, CHỦ ĐỘNG VÀ
SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH LỚP 9B TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH
MỤC LỤC
TT
1.
2.
3.
4.

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

Nội dung
1. Mở dầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận
2. 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận

Trang
2
2
3
3
3
4
4
5

5
16
17

2


KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT VÀI BÀI TẬP HÌNH HỌC NHẰM
GÓP PHẦN PHÁT HUY TƯ DUY TÍNH CỰC, CHỦ ĐỘNG VÀ SÁNG
TẠO CỦA HỌC SINH LỚP 9B TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Đổi mới phương pháp dạy học là một trong những yếu tố quan trọng để
thực hiện mục tiêu của đổi mới giáo dục phổ thông. Nói đến đổi mới người ta cứ
tưởng rằng là có một cái gì đó cao siêu quá, điều đó không phải hoàn toàn như
vậy. Theo tôi, đổi mới là kết quả tất yếu, nó sẽ xảy ra, phải xảy ra và luôn xảy ra
theo đúng quy luật phát triển của nó. Ở mỗi thời đại, mỗi giai đoạn lịch sử có
một cách nhìn, một cách đánh giá khác nhau và ở các thời điểm khác nhau đó tất
nhiên yêu cầu, mức độ đặt ra cũng rất khác nhau.
Theo bản thân tôi nhận thức: mục tiêu đào tạo là cái đích mà giáo dục
phải đạt đến. Xuất phát từ mục tiêu đào tạo mà định ra chương trình, nội dung
giáo dục và điều quan trọng là định ra phương pháp giáo dục. Một phương pháp
giáo dục có một sản phẩm giáo dục tương ứng. Nhiệm vụ của mỗi thầy giáo, cô
giáo hôm nay là phải làm thế nào để giúp cho HS nắm được kiến thức cơ bản
của bộ môn trên cơ sở hoạt động học tập của chính các em dưới sự hướng dẫn
của thầy để từ đó hình thành cho các em tính độc lập suy nghĩ, tính sáng tạo, có
đủ bản lĩnh để đi vào các lĩnh vực của cuộc sống.
Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh là phù
hợp với quy luật của tâm lí học, bởi tính tích cực sẽ dẫn đến tự giác. Dạy học
phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh cũng phù hợp với đặc

điểm của lứa tuổi học sinh THCS, bởi lứa tuổi đó là lứa tuổi hoạt động thích
khám phá. Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh
cũng đáp ứng yêu cầu của đất nước trong thời kì đổi mới.
Ở lứa tuổi học sinh THCS ta cần hình thành cho các em những tư duy cơ bản
sau: khả năng phán đoán, phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát
hoá và rút ra kết luận nhanh. Vì vậy ở giai đoạn này các em có được sự giúp đỡ của
người lớn đặc biệt là thầy, cô giáo thì tư duy của các em sẽ phát triển tốt hơn. Do
tính trừu tượng cao của toán học, môn Toán có thể giúp học sinh rèn luyện tư duy
trừu tượng. Cũng do tính chính xác cao, suy luận chặt chẽ, nó là môn "thể thao của
trí tuệ". Toán học có khả năng phong phú trong việc luyện cho học sinh tư duy
chính xác, lôgíc và tăng độ thông minh. Việc dạy môn Toán ở trường THCS là giáo
viên phải có nhiệm vụ hình thành cho học sinh những hoạt động học tập một cách
hợp lí. Học sinh phải chủ động nắm kiến thức cơ bản trong chương trình và biết
vận dụng được các định nghĩa, định lí, hệ quả một cách thích hợp cho từng bài toán
ở các tình huống khác nhau. Việc vận dụng phải khoa học và chính xác. Điều quan
trọng là khi dạy Toán người thầy phải giúp người học tự lực tìm hiểu, phân tích, tập
xử lí tình huống, giải quyết vấn đề, tự mình khám phá ra cái chưa biết, tự mình tìm
ra chân lí. Đặc biệt học sinh phải được xây dựng thói quen đặt ra câu hỏi " tại sao",
" làm gì ", " làm như thế nào " và “những vấn đề suy nghĩ tiếp theo là gì ".
3


Chính những điều trên đây là nhận thức sâu sắc làm cho tôi thấy cần phải
coi trọng đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là trong các giờ luyện tập Toán,
qua đó giúp học sinh phát huy tư duy tích cực, chủ động và sáng tạo. Vì vậy tôi
mạnh dạn lựa chọn đề tài viết sáng kiến kinh nghiệm: " Khai thác, phát triển
một vài bài tập hình học nhằm góp phần phát huy tư duy tính cực, chủ
động và sáng tạo của học sinh lớp 9B trường TH&THCS Đông Anh" .
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao, mở rộng vốn hiểu biết cho các em học sinh có học lực

khá, giỏi. Giúp các em hiểu sâu sắc hơn các bài toán Hình học trong chương
trình toán 9 cũng như việc nghiên cứu bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Từ
đó giúp học sinh phát triển năng lực tư duy tích cực, chủ động và quan trọng là
hướng cho các em nhìn nhận nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản, từ đó hình
thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán. Đây cũng là động lực giúp các em tự tin
trong quá trình học tập, hình thành cho các em sự yêu thích và đam mê bộ môn
toán hơn.
- Nhằm nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ cho bản thân, thông qua
đó giới thiệu cho bạn bè, đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng
dạy bộ môn toán ở trường THCS đạt hiệu quả cao hơn.
1.3. Phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu.
Phát huy tư duy tích cực, chủ động, sáng tạo là cả một đề tài rất rộng và
phong phú, bản thân tôi cũng chưa đủ độ chín để viết chung cho môn Toán, vì
vậy trong khuôn khổ của SKKN này tôi chỉ nêu ra một số kinh nghiệm của bản
thân nhằm góp phần phát huy tư duy tính cực, chủ động và sáng tạo của học sinh
thông qua khai thác, phát triển một số bài tập theo trình tự từ đơn giản đến phức
tạp trong SGK Hình học lớp 9 mà theo tôi cách làm như thế là có hiệu quả.
Phạm vi nghiên cứu: Chương II " Đường tròn " - Hình học 9.
Đối tượng nghiên cứu: Khai thác, phát triển một vài bài tập hình học ở
chương II – Hình học 9 nhằm góp phần phát huy tư duy tính cực, chủ động và
sáng tạo của học sinh lớp 9B trường TH&THCS Đông Anh năm học 2015 –
2016.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Điều tra, khảo sát, theo dõi, thực hành, vận dụng .
- Nghiên cứu tài liệu, sách báo.

4


2. NỘI DUNG

1

2.1. Cơ sở lí luận
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị
quyết Trung ương 4 khóa VII (tháng 1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa
VIII (12 - 1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục ( tháng 6 - 2005), được
cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15
(tháng 4 - 1999) và Nghị quyết số 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo ( tháng 11 – 2013 ).
Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm
việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” [4].
Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập
chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động.
Tính tích cực học tập - về thực chất là tính tích cực nhận thức, đặc trưng ở
khát vọng hiểu biết, cố gắng trí lực và có nghị lực cao trong qúa trình chiếm lĩnh
tri thức. Tính tích cực nhận thức trong hoạt động học tập liên quan trước hết với
động cơ học tập. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tự giác.
Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tạo nên tính tích cực. Tính tích cực sản sinh
nếp tư duy độc lập. Suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo. Ngược lại,
phong cách học tập tích cực độc lập sáng tạo sẽ phát triển tự giác, hứng thú, bồi
dưỡng động cơ học tập. Tính tích cực học tập biểu hiện ở những dấu hiệu như:
hăng hái trả lời các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích
phát biểu ý kiến của mình trước vấn đề nêu ra; hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải
thích cặn kẽ những vấn đề chưa đủ rõ; chủ động vận dụng kiến thức, kĩ năng đã
học để nhận thức vấn đề mới; tập trung chú ý vào vấn đề đang học; kiên trì hoàn
thành các bài tập, không nản trước những tình huống khó khăn…
Tính tích cực học tập thể hiện qua các cấp độ từ thấp lên cao như:

- Bắt chước: gắng sức làm theo mẫu hành động của thầy, của bạn…
- Tìm tòi: độc lập giải quyết vấn đề nêu ra, tìm kiếm cách giải quyết khác
nhau về một số vấn đề…
- Sáng tạo: tìm ra cách giải quyết mới, độc đáo, hữu hiệu.
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy chỉ đạo cách học,
nhưng ngược lại thói quen học tập của trò cũng ảnh hưởng tới cách dạy của thầy.
Chẳng hạn, có trường hợp học sinh đòi hỏi cách dạy tích cực hoạt động nhưng
giáo viên chưa đáp ứng được, hoặc có trường hợp giáo viên hăng hái áp dụng
PPDH tích cực nhưng không thành công vì học sinh chưa thích ứng, vẫn quen
với lối học tập thụ động. Vì vậy, giáo viên phải kiên trì dùng cách dạy hoạt động
để dần dần xây dựng cho học sinh phương pháp học tập chủ động một cách vừa
sức, từ thấp lên cao. Trong đổi mới phương pháp dạy học phải có sự hợp tác cả
1

Ở mục 2.1: tác giả tham khảo từ TLTK số 3 và số 4.

5


của thầy và trò, sự phối hợp nhịp nhàng hoạt động dạy với hoạt động học thì mới
thành công.
Trên thực tế, trong qúa trình dạy học người học vừa là đối tượng của hoạt
động dạy, lại vừa là chủ thể của hoạt động học. Thông qua hoạt động học, dưới
sự chỉ đạo của thầy, người học phải tích cực chủ động cải biến chính mình về
kiến thức, kĩ năng, thái độ, hoàn thiện nhân cách, không ai làm thay cho mình
được. Vì vậy, nếu người học không tự giác chủ động, không chịu học, không có
phương pháp học tốt thì hiệu quả của việc dạy sẽ rất hạn chế.
Như vậy, khi đã coi trọng vị trí hoạt động và vai trò của người học thì
đương nhiên phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học [3].
2. 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

2. 2. 1. Đối với giáo viên
Quán triệt quan điểm dạy học theo hướng “ Phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh ” nhiều giáo viên đã miệt mài suy nghĩ
tích cực khai thác đào sâu bài giảng, tổ chức cho học sinh tham gia tích cực vào
các hoạt động học tập khác nhau trong giờ học. Không khí của các giờ học toán
nói chung và các tiết luyện tập nói riêng không bị khô cứng, buồn chán, học sinh
chủ động tìm tòi lời giải và tiếp thu kiến thức. Bên cạnh đó vẫn còn một số ít
giáo viên trong tiết luyện tập Toán mới chỉ quan tâm đến nhiệm vụ là giải quyết
yêu cầu của một bài tập, hoặc chữa được hết bài tập trong SGK. Bằng lòng với
lời giải đã thảo mãn các yêu cầu của đề bài mà chưa chú ý hướng dẫn học sinh
suy nghĩ tìm tòi các nội dung khác mà yêu cầu của đề bài không có. Tóm lại là
tình trạng coi trọng số lượng hơn chất lượng.
2. 2. 2. Đối với học sinh
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở THCS tôi nhận thấy phần đa học sinh
sợ phân môn Hình học. Nhiều học sinh chưa biết chứng minh hình học, chưa
biết trình bày bài, chưa biết vận dụng giả thiết và định lí, vẽ hình không chính
xác, ngôn ngữ, kí hiệu tuỳ tiện, lập luận thiếu khoa học. Đa số học sinh ít có khả
năng đặt ra câu hỏi, nêu ra kết luận mới từ bài toán đã cho, nêu ra một bài toán
mới bằng cách thêm bớt các dữ kiện ban đầu. Suy luận hình học kém, không
nắm được phương pháp tư duy lôgíc và giải toán hình . . . Đó là thực tế đặt ra
cho người thầy phải giúp học sinh phát huy tư duy tích cực, chủ động và sáng
tạo trong khi luyện tập Hình học.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1. Điều tra cơ bản:
Trước khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy, thực tế tìm hiểu về hứng
thú của học sinh đối với phân môn Hình học tại lớp 9A, 9B trường TH&THCS
Đông Anh đầu năm học 2015 – 2016 qua phiếu thăm dò được ghi lại như sau:
Rất thích học
Thích học
Ngại học

Bình thường
Tổng số học
Hình học
Hình học
Hình học
Lớp
sinh
SL TL% SL TL% SL TL% SL TL%
9A
20
0
0
2
10,0
5
25,0
13
65,0
9B
25
1
4,0
4
16,0
7
28,0
13
52,0
6

Khảo sát kết quả học tập của học sinh tại thời điểm đó:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Tổng số học
Lớp
sinh
SL
TL% SL
TL% SL
TL% SL
TL%
9A
20
0
0
1
5,0
9
45,0 10
50,0
9B
25
1
4,0
4
16,0 12
48,0 8

32,0
Từ kết quả khảo sát trên cho thấy số học sinh thực sự có hứng thú học
Hình học ( có tư duy sáng tạo ) và số học sinh gọi là có thích học Hình học một
chút ( chưa có tính độc lập, tư duy sáng tạo ) là rất khiêm tốn. Qua gần gũi tìm
hiểu thì các em cho biết, cũng rất muốn học nhưng chưa có điều kiện để mua các
tài liệu tham khảo vì thế các em chưa biết cách tư duy trong cách giải một bài
tập nào đó và do điều kiện khách quan học sinh chỉ được bồi dưỡng ở trường
một thời gian nhất định. Vì vậy học sinh chưa có hứng thú học Toán nói chung
và học phân môn Hình học nói riêng.
2. 3. 2. Quá trình thực hiện:
Xuất phát từ mong muốn là học sinh được rèn luyện khả năng tư duy, tính
tích cực, chủ động, sáng tạo, vì vậy từ kết quả điều tra, trong qúa trình giảng dạy
tôi luôn suy nghĩ, nghiên cứu để làm thế nào học sinh không cảm thấy chán học
Toán. Trong các tiết luyện tập, ôn tập buổi chiều tôi nhận thấy nội dung mà tôi
nghiên cứu bước đầu đã định hướng cho học sinh về mặt tư duy và hình thành
cho học sinh thói quen luôn đặt câu hỏi cho mình và tìm cách giải quyết vấn đề
khi giải toán. Từ đó hình thành cho các em nghiên cứu kỹ bài trước khi làm.
Sau đây tôi tự thuật việc đã làm: thông qua giới thiệu một số bài tập trong
SGK hình học lớp 9 ở chương II " Đường tròn ", từ đó tôi khai thác, phát triển
các bài đã luyện bằng cách thêm bớt dữ kiện, thay tình huống mới, yêu cầu học
sinh phát hiện các kết luận mới . . . Trình bày lời giải trên các nội dung mới, rút
ra kết luận mới và củng cố thêm cách chứng minh các dạng toán hình. Từ đó
hình thành cho HS thói quen " suy nghĩ tiếp theo " và không bao giờ bằng lòng
dừng lại ở bất kì bài toán nào.
Với các bài toán trong nội dung khai thác thêm có bài tôi yêu cầu học sinh
thực hiện ngay trong tiết luyện tập hoặc tiết ôn tập trên lớp, nhưng cũng có bài
chỉ hướng dẫn và yêu cầu HS về nhà làm tiếp.
Bài toán 12: ( Bài tập 11-trang 104 SGK Toán 9- Tập I )
Cho đường tròn (O), đường kính AB,
C

dây CD không cắt đường kính AB.
H
Gọi H và K theo thứ tự là chân các
đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD.
A
Chứng minh rằng: CH = DK [1].
( xem H1 )

D K
M

O

B

H1
2

Trong trang này: Bài toán 1 được tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1.

7


Trên đây là một bài toán dễ, việc giải bài toán này không khó.
Nhưng điều mà tôi muốn trao đổi là: sau khi hoàn thành xong lời giải, ta
có thể khai thác phát triển bài toán theo hướng sau ( thông qua hai bài tập )
NỘI DUNG KHAI THÁC THÊM3
Bài toán 1.1:
Kết luận của bài toán trên có còn đúng không nếu dây CD cắt đường kính AB [2].
Giải: ( xem H2 )

Kẻ OM ⊥ CD, OM cắt AK tại N.
C
Ta có: MC = MD (1)
H
( Định lí đường kính và dây cung )
O
I
B
A
∆ AKB có: AO = OB,
M
ON // BK ( cùng vuông góc với CD )
N
=> AN = NK
K
∆ AHK có: AN = NK ( chứng minh trên )
D
MN // AH (cùng vuông góc với CD )
H2
=> HM = MK ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra: CH = DK.
Kết luận: Khi dây CD cắt đường kính AB thì vẫn có CH = DK ( nhưng H và K
nằm bên trong đường tròn )
* Qua bài toán 1.1 giúp học sinh củng cố thêm về quan hệ vuông góc
giữa đường kính và dây cung; đường trung bình của tam giác.
Điều quan trọng là ta đã phát triển bài toán bằng cách thay đổi giả
thiết "dây CD không cắt đường kính AB" bằng "dây CD cắt đường kính AB" tạo
nên tình huống khác để học sinh tư duy cao hơn. Từ đó rút ra được kết luận bổ
ích và lí thú hơn.
Ta tiếp tục khai thác bài toán 1 bằng bài toán 1.2 sau:

Bài toán 1. 2:
Xác định vị trí điểm C và D để:
a) khoảng cách giữa hai điểm H và C ( hoặc D và K ) có giá trị nhỏ nhất? giá trị
đó bằng bao nhiêu?
b) khoảng cách giữa hai điểm H và C ( hoặc D và K ) có giá trị lớn nhất? giá trị
đó bằng bao nhiêu?
Giải:
D
a) Do AH ⊥ CD => ∆ AHC vuông tại H.
Ta có: HC = AC 2 − AH 2 ( Định lí Pitago)
Do đó HC nhỏ nhất  AC 2 − AH 2 có GTNN.
A
B
O
2
2
Mà AC − AH ≥ 0
Dấu " = " chỉ xảy ra khi H , C và A trùng nhau ( H3.a ).
Khi đó khoảng cách giữa H và C có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
3

H3.a

Ở mục Nội dung khai thác thêm: Bài toán 1.1 được tham khảo từ TLTK số 2; Bài toán 1.2 là của tác giả.

8


- Tương tự khoảng cách giữa hai điểm D và K có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi D,
K và B trùng nhau.

b) Vì AH ⊥ CD, BK ⊥ CD nên tứ giác AHKB là hình thang vuông có AB, HK
là cạnh bên và AH ⊥ HK
=> AB ≥ HK
C=M=D
H
⇔
⇔
K
Vậy HK có GTLN
HK = AB
HK // AB
Mặt khác: HK = HC + CD + DK = 2HC + CD
( do HC = DK ( chứng minh trên ) )
Suy ra: 2 HC ≤ HK.
A
B
Dấu " =" xảy ra  C, D và M trùng nhau
O
⇔ CD ⊥ OM tại M ∈ ( O ) và song song với AB.
( H3.b).
Và khi đó GTLN của HC =

HK AB
=
2
2

H3.b

* Khai thác bài toán bằng các câu hỏi ở bài toán 1.2 ta đã hình thành cho

học sinh cách giải một loại toán cực trị trong hình học.
Bài toán 24: ( Bài tập 30 -trang 116 SGK Toán 9- Tập I )
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi Ax và By là các tia vuông góc
với AB ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ).
Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( N khác A và B ), kẻ tiếp tuyến với nửa
y
đường tròn, cắt Ax và By lần lượt ở C và D.
x
D
Chứng minh rằng:
0
a) COD = 90
M
b) CD = AC + BD
C
c) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển
trên nửa đường tròn ( xem H4 ) [1].
A

O

B

H4

* Hoàn thành xong lời giải ta khai thác phát triển bài toán theo hướng sau:
NỘI DUNG KHAI THÁC THÊM
Bài toán 2.15: Với giả thiết của bài toán đã giải:
a) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
b) Các điểm A, B, D , C cùng nằm trên một đường tròn khi nào?

c) Tìm vị trí của điểm M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất? tứ giác ABDC có
diện tích nhỏ nhất?
d) Tìm vị trí của điểm C, D để tứ giác ABDC có chu vi bằng 14 cm, biết AB = 4 cm [2].
4
5

Bài toán 2 được tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1.
Bài toán 2.1 được đề xuất dựa trên tham khảo từ TLTK số 2 và kinh nghiệm giảng dạy của tác giả.

9


Giải: ( xem H4.a )
x
a) Gọi I là trung điểm của CD.
0
Mà COD = 90 ( đã chứng minh ở bài toán 2 )
nên IC = ID = IO
=> I là tâm, IO là bán kính của đường tròn đường C
kính CD.
Dễ dàng chứng minh được ABDClà hình thang vuông,
có OI là đường trung bình của hình thang => OI // AC A
Mà AC ⊥ AB
=> AB ⊥ IO tại O
=> AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

y
D
I
M

O

B

H4.a

* Qua đây củng cố cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của
đường tròn.
M
b) Gọi K là trung điểm của AD.
C
D
∆ ABD vuông tại B => KA = KD = KB
K
Để A, B, D, C cùng nằm trên một đường tròn
thì KA = KD = KB = KC
Mà KA = KD = KC thì ∆ ACD vuông tại C.
O
B
A
Mà AB ⊥ CA ( tính chất của tiếp tuyến )
H4.b
=> CD // AB
Vậy để 4 điểm A, B, D, C cùng nằm ở trên một đường tròn thì tiếp tuyến tại M
phải song song với AB. ( xem H4.b )

* Qua đây củng cố cách nhận biết các điểm thuộc đường tròn dựa vào định
nghĩa.
c) Ta có CD = CA + BD ( theo chứng minh ở bài toán 2b )

và tứ giác ABDC là hình thang.
+ Chu vi của hình thang ABDC bằng: AC + CD + DB + AB = AB + 2CD
Ta có AB không đổi nên chu vi của hình thang ABDC nhỏ nhất  CD nhỏ nhất.
+ ABDC là hình thang vuông ( AC // BD ) nên: SABDC =
AB không đổi nên SABDC nhỏ nhất ⇔ CD nhỏ nhất.

( AC + BD ). AB =
2

AB.CD
2

Mà CD ≥ AB.
Nên CD nhỏ nhất ⇔ CD = AB  CD // AB ⇔ OM ⊥ AB ⇔ M là điểm chính
giữa cung AB.
Vậy khi OM ⊥ AB thì: + chu vi tứ giác ABDC nhỏ nhất và bằng 3AB.
+ diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất và bằng

AB 2
2

* Qua đây củng cố cho học sinh cách giải toán cực trị trong hình học.
10


d) Đặt AC = b => CD = AC + BD = a + b
Chu vi hình thang ABDC bằng AB + 2CD = 4 + 2 ( a + b )
Do chu vi tứ giác ABDC bằng 14 nên 4 + 2 ( a + b ) = 14 => a + b = 5 (1)
Lại có a.b = AC.BD = CM. MD = OM 2 (hệ thức lượng trong tam ∆ vuông
COD)

nên a.b = 22 = 4
(2)
Từ (2) => b =
a+

4
a

thay vào (1) ta có:

4
= 5  a2 - 5a + 4 = 0  ( a - 1 )( a - 4 ) = 0 ⇔ a = 1 hoặc a = 4
a

Như vậy nếu điểm C ( thuộc tia Ax ) cách điểm A là 1cm hoặc 4 cm thì chu vi
hình thang ABDC bằng 14cm.
Bài toán 2.26: Với giả thiết của bài toán đã giải và cho thêm giả thiết sau:
Gọi N là giao điểm của AD và B, H là giao điểm của MN và AB.
Chứng minh:
a) MN ⊥ AB
b) MN.CD = CM.BD
x
c) N là trung điểm của MH [2].
Giải: ( xem H5 )
M
a) Vì AC // BD =>

ND DB
=
NA AC

( Định lí Talet )
Lại có: DB = MD, AC = MC
Từ (1) và (2) suy ra:

ND DM
=
NA MC

(1)

y
D

C
N

(2)
A

H

O

B

H5

=> MN // AC
(3) ( định lí Talet đảo )

Mặt khác AC ⊥ AB
(4) ( tính chất tiếp tuyến )
Từ (3) và (4) suy ra: MN ⊥ AB.
b) Vì MN // AC ( chứng minh trên ) và AC // BD ( cùng vuông góc với AB )
MN CM
=
=> MN.CD = CM.BD
BD CD
MN CN AN NH
=
=
=
c)
=> MN = NH => N là trung điểm của MH.
BD CB AD BD

nên MN // BD =>

* Qua bài tập này giúp học sinh củng cố:
+ Một phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
+ Phương pháp chứng minh đẳng thức tích dựa vào định lí Talet.
+ Một phương pháp để chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn
thẳng.

6

Bài toán 2.2 được đề xuất dựa trên tham khảo từ TLTK số 2 và kinh nghiệm giảng dạy của tác giả.

11

Bài toán 37: ( Bài tập 31 -trang 116 SGK Toán 9- Tập I )
Trên H6, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: 2AD = AB + AC - BC.
b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a) [1].

A

F

D

H7

O
B

C

E

H6

* Sau khi hoàn thành xong lời giải ta khai thác phát triển bài toán theo
hướng sau:
NỘI DUNG KHAI THÁC THÊM:
Bài toán 3.1:
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi các tiếp điểm trên các cạnh
AB, BC, AC lần lượt là D, E, F.
Chứng minh rằng: Tam giác ABC vuông ⇔ AB.AC = 2 BE.EC

Từ đó suy ra tứ giác ADOF có gì đặc biệt?
A

Giải: ( xem H7 )
Theo kết quả của bài toán 31
(trang 116 SGK), ta có:
2BE = BA + BC - AC
và 2CE = CB + CA - AB
BC + AB − AC
suy ra: BE =
;
2
BC + AC − AB
EC =
2

Từ đẳng thức:
AB.AC = 2 BE.EC ⇔ AB. AC = 2

F

D

O

B

E

C

H7
BC + AB − AC BC + AC − AB
.
2
2

⇔ 2AB.AC=BC2+BC.AC-BC.AB+AB.BC+AB.AC-AB2-AC.BC-AC2+AC.AB
⇔ BC2 - AB2 - AC2 = 0 ⇔ AB2 +AC2 = BC2 ⇔ tam giác ABC vuông tại A.

Khi tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác ADOF là hình vuông ( dễ thấy tứ giác
ADOF có 3 góc vuông )
* Ta khái quát bài toán 3.1 như sau: " Tam giác ABC ngoại tiếp đường
(O); D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn với các cạnh AB, BC, AC
thì: điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A và tứ giác ADOF là hình
vuông là AB.AC = 2BE.EC”
7

Bài toán 3 được tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1; Bài toán 3 .1 do tác giả đề xuất dựa trên kinh nghiệm
giảng dạy của bản thân và góp ý của đồng nghiệp.

12


Học sinh suy nghĩ tiếp điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại B
hoặc vuông tại C.
Khai thác bài toán 3.1 ta đã cung cấp cho học sinh phương pháp chứng
minh bài toán "cần và đủ" bằng các phép biến đổi tương đương " ⇔ " .
Bài toán 48: ( Bài tập 33 -trang 119 SGK Toán 9- Tập I )
Trên H8, hai đường tròn (O) và (O')

C
tiếp xúc nhau tại A.
Chứng minh rằng: OC // O'D [1].

O'

A
O

D

H8H9

Việc giải bài toán này không khó. Sau khi hoàn thành xong lời giải ta tiếp tục
khai thác phát triển bài toán bằng hai bài toán sau, tạo nên tình huống để
học sinh tư duy cao hơn.
NỘI DUNG KHAI THÁC THÊM:
C
Bài toán 4.1:
D
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc nhau tại A
( như Hình 9 ). Chứng minh rằng: các bán kính OC
và O'D song song với nhau [2].
A
Giải:
O O'
O, A, O' thẳng hàng; E,A,Cthẳng hàng.
∆ O'AD cân tại O' => O'DA = A.
∆ OAC cân tại O => C = A
H9

H10
=> O'DA = C => OC // O'D.
Bài toán 4.2:
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc nhau tại A, cát tuyến qua A cắt đường
tròn (O) tại C, cắt đường tròn (O') tại D. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại C
và D song song với nhau [2].
x
Giải: Xét hai trường hợp:
C
TH1: (O) và (O') tiếp xúc ngoài ( xem H10.a )
A, C, D thẳng hàng; O, A, O' thẳng hàng
O'
A
nên OAC = O'AD ( đối đỉnh )
O
Mà OAC = OCA; O'AD = O'DA
D
=> OCA = O'DA
Mặt khác: ACx + OCA = 900
H11.a
H10.a
0
x
ADy + O'DA = 90
C
=> ACx = ADy ( cùng phụ với hai góc bằng nhau )
y
D
=> Cx // Dy

8

Bài toán 4 được tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1; Bài toán 4.1, Bài toán 4.2 được tham khảo từ TLTK số 2A

O

O'

13
H11b

y


TH2: (O) và (O') tiếp xúc trong ( xem H10.b )
Dễ dàng chứng minh được tiếp tuyến tại C và D
cũng song song với nhau.

H10.b

* Việc giải quyết các bài toán trên không khó khăn gì. Qua các bài toán
đó củng cố cho học sinh phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song.
Khái quát cả ba bài toán trên ta rút ra kết luận: "Hai đường tròn (O) và
(O') tiếp xúc nhau tại A, cát tuyến qua A cắt (O) tại C và cắt (O') tại D khi đó
các bán kính OC, O'D song song với nhau và các tiếp tuyến tại C, D cũng song
song với nhau".
Bài toán 59: ( Bài tập 39 - trang 123 SGK Toán 9- Tập I )
Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài tai A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈ (O),
C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tuyến chung ngoài BC ở I.
a) Chứng minh rằng BAC = 900

B
b) Tính số đo góc OIO'
I
C
c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm [1].
( xem H11 )
O

A

O'

H11

Sau khi hoàn thành xong lời giải ta tiếp tục khai thác phát triển bài toán
bằng hai bài toán sau, tạo nên tình huống để học sinh tư duy cao hơn.
NỘI DUNG KHAI THÁC THÊM:
Bài toán 5.110: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp
tuyến chung ngoài BC của hai đường tròn, B ∈ (O), C ∈ (O'). Kẻ các đường kính
AOD, AO'E. Gọi F là giao điểm của DB và EC.
a) Tính số đo góc BAC.
b) Tứ giác ABFC là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
d) Chứng minh rằng: OO' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO' [2].

9
10

Bài toán 5 được tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1.

Bài toán 5.1 được đề xuất dựa trên tham khảo từ TLTK số 2 và kinh nghiệm giảng dạy của tác giả.

14


Giải: ( xem H12 )
a) Vì BC là tiếp tuyến của (O) và (O') nên:
OB ⊥ BC ; O'C ⊥ BC
=> OB // O'C
=> BOA + CO'A = 1800
Tam giác AOB cân tại O, tam giác AO'C
cân tại O' nên:

F

B
I

180 0 − BOA
D
BAO =
;
2
180 0 − CO ' A
CAO' =
2
180 0 − BOA
180 0 − CO ' A
=> BAO + CAO' =
+

2
2

O

M A

C

E

O'

H12
0

180
360 0 − ( BOA + CO ' A)
=
=
= 90 0
2
2

suy ra: BAC = 900
b) Tam giác ABD có trung tuyến BO = OD = OD =

1
AD
2

=> tam giác ABD vuông tại B => ABD = 900
Tương tự ACE = 900
Tứ giác ABFC có BAC = ABF = ACF = 900
=> tứ giác ABFC là hình chữ nhật.
c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABFC
Ta có:
IAB = IBA
(1)
Tam giác AOB cân tại O nên: BAO = ABO
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: IAB + BAO = IBA + ABO = 900
hay DAF = 900 => FA ⊥ AO tại A => FA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Vì O, A, O' thẳng hàng nên FA ⊥ AO tại A thì FA ⊥ AO’ tại A
=> FA cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O')
Vậy FA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O').
d) +) Ta có : IB = IA = IC ( tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau )
nên I là tâm và IA là bán kính của đường tròn đường kính BC.
Theo chứng minh câu c) OO' ⊥ IA tại A
suy ra: OO' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
+) Gọi M là trung điểm của OO' .
Ta có OIO' = 900 ( theo chứng minh bài toán 5b )
=> IM = MO = MO' (IM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của ∆ vuông IOO' )
=> M là tâm, MI là bán kính của đường tròn đường kính OO'.
Tứ giác BOO'C là hình thang ( vì OB // O'C ) có MI là đường trung bình
nên: MI // OB // OC
Mà OB ⊥ BC => MI ⊥ BC tại I
Do đó BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO' .

15

* Qua bài tập này giúp học sinh:
+ Củng cố dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật.
+ Củng cố một phương pháp chứng minh một góc là vuông ( hay 2 đường thẳng
vuông góc ).
+ Khắc sâu cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài toán 5.211:
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC với B ∈ (O), C ∈ (O'). Gọi D là điểm đối xứng với B qua OO, E là điểm đối
xứng với C qua OO' . Chứng minh:
a) Tứ giác BCED là hình thang cân.
b) DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O' )
c) BC + DE = BD + CE [2].
B

Giải ( xem H13 )
a) Vì D và B đối xứng nhau qua OO'
E và C đối xứng nhau OO'
nên dễ dàng chứng minh được tứ giác
O
BCED có:
BD // CE và BCE = DEC
=> tứ giác BCED là hình thang cân.
b) OO' là trung trực của BD nên OD = OB,
do đó D thuộc đường tròn (O) .
D
Ta có: DBO = BDO
(1)
Vì BCED là hình thang cân nên CBD = EDB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OBC = ODE.
Do OBC = 900 ( tính chất tiếp tuyến ) nên ODE = 900
=> DE ⊥ OD tại D
=> DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tương tự DE cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O') .
c) Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt BC và DE lần lượt tại M và N.
Ta có MB = MA = MC ; ND = NA = NE
Do đó BC + DE = 2 MN
(3)
MN là đường trung bình của hình thang BCED nên:
BD + CE = 2 MN
(4)
Từ (3) và (4) suy ra: BC + DE = BD + CE .

11

M

C

A

O'

E
N

H13

Bài toán 5.2 được đề xuất dựa trên tham khảo từ TLTK số 2.

16


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Kết quả khảo sát thu được tại lớp 9B ( lớp được thử nghiệm ), 9A ( lớp
không được thử nghiệm ) năm học 2015 -2016 tại thời điểm đầu học kì II qua
phiếu thăm dò được ghi lại như sau:
Thời
điểm

Rất thích
học Hình
học

Lớp/ hs

SL
Đầu HK
II

Thích học
Hình học

Ngại học
Hình học

Bình thường

TL% SL

TL% SL

TL% SL

TL%

9A/20 0

0

2

10,0

5

25,0

13

65,0

9B/24 4

16,7

8

33,3

9

37,5

3

12,5

Khảo sát kết quả học tập của học sinh tại thời điểm đó :
Thời
điểm
Đầu
HK
II

Lớp/ hs

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu, kém

SL

TL% SL

TL% SL

TL% SL

TL%

9A/20

0

0

1

5

10

50,0

9

45,0

9B/24

4

16,7

9

37,5

10

41,7

1

4,1

Kết quả khảo sát về hứng thú học tập môn toán qua phiếu thăm dò và kết
quả làm bài kiểm tra của học sinh tại thời điểm đầu học kì II cho thấy:
- Yêu cầu về phát huy tính tự giác, rèn luyện khả năng tư duy tích cực, độc
lập và sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán đã đạt được.
- Hiệu suất dạy học được nâng cao nhờ sử dụng phối hợp các bài toán trong
SGK với một số bài toán khai thác nhằm củng cố kiến thức. Bằng sự gợi mở
khéo léo của người thầy, học sinh tự tìm ra lời giải, và với mỗi bài toán đã cho
có thể biến đổi, đề xuất một bài toán mới, một bài toán tổng quát. Rút ra được
kết luận gì đó bổ ích và lí thú hơn. Thông qua đó giúp học sinh củng cố được
nhiều đơn vị kiến thức cơ bản, rèn luyện tư duy và óc sáng tạo. Cảm nhận được
cái hay, cái đẹp của Toán học, từ đó có hứng thú hơn, say mê hơn khi học toán.

17


3. KẾT LUẬN
Theo tôi việc áp dụng cách làm trên đây trong các giờ luyện tập Hình học

nói riêng và trong môn Toán nói chung trong điều kiện hiện nay là viêc có thể làm
được và nên làm. Để làm được điều đó thầy, cô giáo phải thực sự tâm huyết và say
sưa với nghề; đầu tư thoả đáng về thời gian để đào sâu bài dạy mới có phương
pháp dạy học thích hợp với từng đối tượng học sinh.
Kiên trì hướng dẫn học sinh tư duy lôgíc và đặc biệt là tạo cho học sinh
một số thói quen cơ bản khi học Toán:
- Định hướng khi giải Toán.
- Khai thác giả thiết, vận dụng định lí.
- Tìm sự liên hệ với các bài toán tương tự.
- Phán đoán, xử lí tình huống mới và kết quả mới.
- Phải hình thành suy nghĩ tiếp theo.
- Khái quát các phương pháp để giải một loại toán cùng loại.
Trên đây tôi mạnh dạn viết lên những điều mà bản thân tôi đã áp dụng và có
hiệu suất giảng dạy trong việc tìm tòi, sắp đặt hệ thống kiến thức để giải quyết các
tình huống học tập, giúp học sinh phát huy cao nhất tính tích cực, tự giác trong học
tập.
Quan trọng hơn là làm cho các em hứng thú học tập, chủ động tiếp thu
kiến thức. Không khí trong các tiết luyện tập không bị khô cứng, buồn chán, học
sinh không chỉ thụ động chữa bài của thầy mà góp phần tạo ra phương pháp học
tập mới, chủ động tìm ra lời giải và tiếp thu kiến thức. Đồng thời thông qua đó ta
cũng phát hiện ra học sinh khá giỏi để bồi dưỡng học sinh năng khiếu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian không nhiều; do trình độ, năng
lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn hạn chế. Lại chưa có kinh nghiệm trong
lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên trong cách trình bày không tránh khỏi những sơ
xuất, thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Đông Sơn, ngày 05 tháng 3 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Nguyễn Thu Hương

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. SGK Toán 9 – Tập 1 – Phan Đức Chính ( Tổng chủ biên ) - NXB GD,
năm 2008.
[2]. Sách Bài tập Toán 9 - Tập 1 - Tôn Thân ( Chủ biên ) – NXB GD, năm
2010.
[3]. Tham khảo trên mạng Internet: Cơ sở lí luận về dạy học tích cực
- Nguồn: />- Nguồn: />[4]. Luật Giáo dục số 38/2005/QH11 ( ngày 14/6/2005 )

19


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thu Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: PHT - Trường TH&THCS Đông Anh – Đông Sơn –
Thanh Hóa

TT

1.
2.
3.

4.

5.

Tên đề tài SKKN
Phát huy trí lực của học sinh
thông qua khai thác một vài
tập hình học lớp 8
Giúp HS lớp 8, 9 giải quyết
tốt các bài toán giải bằng
cách lập PT.
Hướng dẫn học sinh THCS
giải các bài toán cực trị trong
đại số
Phát triển năng lực Toán học
của HS khá giỏi lớp 8,9 thông
qua chuyên đề về phương
trình bậc cao
Nâng cao hoạt động tổ
chuyên môn thông qua chỉ
đạo đổi mới sinh hoạt chuyên
đề ở bậc THCS - trường
TH&THCS Đông Anh Đông Sơn.

Kết quả
Cấp đánh

đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

Sở GD- ĐT
Thanh Hóa

C

2000-2001

Sở GD- ĐT
Thanh Hóa

C

2004-2005

Phòng GDĐT huyện
Đông Sơn.

A

2008-2009

Sở GD- ĐT
Thanh Hóa

B

2011-2012

Phòng GDĐT huyện
Đông Sơn.

B

2014-2015

----------------------------------------------------

20


21