TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN KINH TẾ TRONG VẬN TẢI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM
KHOA: KINH TẾ
BỘ MÔN: KINH TẾ ĐƯỜNG THỦY

TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN KINH TẾ TRONG VẬN TẢI

TÊN HỌC PHẦN
MÃ HỌC PHẦN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH

: TOÁN KINH TẾ TRONG VẬN TẢI
: 15205
: ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
: KINH TẾ VẬN TẢI

HẢI PHÒNG, NĂM 2016

i


Đề cương chi tiết học phần Toán kinh tế trong vận tải
a. Số tín chỉ:

3 TC

Mã HP: 15205
ĐAMH

BTL

b. Đơn vị giảng dạy: Bộ môn Kinh tế đường thủy
c. Phân bổ thời gian:
- Tổng số (TS):

45 tiết.

- Lý thuyết (LT):

25 tiết.

- Thực hành (TH): 0 tiết.

- Bài tập (BT):

19 tiết.

- Hướng dẫn BTL/ĐAMH (HD): 0 tiết.

- Kiểm tra (KT):

01 tiết.

d. Điều kiện đăng ký học phần:
Đã học các học phần: Toán cao cấp, Kinh tế vi mô, Kinh tế vĩ mô
e. Mục đích, yêu cầu của học phần:
Kiến thức:
Trang bị cho sinh viên kinh tế những kiến thức để phân tích xây dựng những mô hình
toán học được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán thực tế, chẳng hạn như bài toán phân phối
luồng hàng và quy hoạch tuyến đường vận chuyển tối ưu, bài toán về lập kế hoạch tác nghiệp

xếp dỡ ở cảng, lập kế hoạch phân bổ tàu trên các tuyến tàu chợ, điều tàu thực hiện các chuyến
đi của tàu chuyến, phân công lao động theo các vị trí công tác khác nhau...
Kỹ năng:
Nghiên cứu sâu môn học này sẽ giúp sinh viên trở thành các nhà khai thác và quản lý
tốt các lĩnh vực trong vận tải biển. Ngoài ra sinh viên còn có khả năng xây dựng, lập kế hoạch
và tổ chức sản xuất dựa trên các mô hình toán tối ưu một cách hiệu quả.
f. Mô tả nội dung học phần:
Học phần này gồm 05 chương, cung cấp những kiến thức cơ bản về ứng dụng của các
phương pháp toán vào vận tải biển. Thứ nhất, giới thiệu về ý nghĩa và khái niệm của mô hình
toán kinh tế trong nghiên cứu và phân tích kinh tế, cấu trúc và phân loại mô hình toán kinh tế,
nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế. Thứ hai, nghiên
cứu bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán vận tải, sơ đồ mạng và lý thuyết phục vụ công
cộng . Thứ ba, ứng dụng của các bài toán trong ngành kinh tế vận tải biển.
g. Người biên soạn: Th.s Phạm Thị Bạch Hường, Th.s Lê Văn Thanh – Bộ môn
Kinh tế đường thủy - Khoa Kinh tế
h. Nội dung chi tiết học phần:
PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

TÊN CHƯƠNG MỤC
TS

LT

Chương I: Giới thiệu về mô hình toán kinh tế

3

3

1.1. Ý nghĩa và khái niệm của mô hình toán kinh tế

trong nghiên cứu, phân tích kinh tế

1

1

0,5

0,5

1.1.1 Ý nghĩa của phương pháp mô hình
1.1.2. Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh
tế
1.2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế
2

BT

TH

HD

KT


PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

TÊN CHƯƠNG MỤC
TS

LT

0,5

0,5

1

1

Chương II. Quy hoạch tuyến tính

8

5

2.1. Đặt vấn đề

1

1

2.2. Trình tự lập kế hoạch sản xuất bằng quy hoạch
tuyến tính

1

1

2.3. Các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính

2

2

2.4. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương
pháp bảng đơn hình

4

1

BT

1.2.1. Các biến số của mô hình.
1.2.2. Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình
của mô hình
1.3. Phân loại mô hình toán kinh tế
1.3.1. Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và
công cụ toán học sử dụng.
1.3.2. Phân loại mô hình theo quy mô, phạm vi, thời
hạn.
1.4. Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên
cứu và phân tích kinh tế
1.4.1.Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình.
Nội dung tự học: (06 tiết)
Nghiên cứu, phân tích mô hình cân bằng ngân sách, mô
hình đường IS-LM: phân tích sự biến động tức thời của
biến nội sinh trong mô hình với sự thay đổi của 1 biến
ngoại sinh

2.4.1. Phương pháp đồ thị
2.4.2. Phương pháp bảng đơn hình.
Nội dung tự học: (16 tiết)
-

Mô hình hóa các bài toán cụ thể trong quản lý
trong hệ thống bài tập

-

Giải các bài toán quy hoạch tuyến tính trong hệ
thống bài tập

3

3

3

TH

HD

KT


PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

TÊN CHƯƠNG MỤC

TS

LT

BT

Chương III. Bài toán vận tải

22

12

10

3.1. Bài toán và các khái niệm

1

1

3.2. Giải bài toán vận tải

3

1

2

3.3. Các trường hợp khác của bài toán vận tải

4

2

2

3.4. Một số bài toán ứng dụng trong ngành vận tải
biển

14

8

6

3.4.1. Các mô hình toán ứng dựng đối với doanh nghiệp
vận chuyển

7

4

3

7

4

3

-

Quy hoạch đối ngẫu

3.1.1. Bài toán vận tải cổ điển
3.1.2. Các tính chất của bài toán vận tải
3.1.3. Các khái niệm của bài toán vận tải.

3.3.1. Bài toán có hàm mục tiêu cực đại
3.3.2. Bài toán vận tải có ô cấm
3.3.3. Bài toán phân công công việc

3.4.1.1. Bài toán hạn chế về khả năng thông qua.
3.4.1.2. Bài toán hạn chế về số lượng phương tiện
3.4.1.3. Bài toán vận dụng tối đa sức chở của tàu
3.4.1.4. Bài toán phân phối
3.4.2. Các mô hình toán ứng dụng đối với doanh nghiệp
xếp dỡ
3.4.2.1. Bài toán phân phối thiết bị xếp dỡ vào vị trí làm
việc
3.4.2.2. Bài toán phân phối tàu vào vị trí xếp dỡ
3.4.2.3. Bài toán phân phối hàng hóa từ cầu tàu vào kho
Nội dung tự học: (44 tiết)
-

Phát biểu bài toán và lập mô hình các bài toán
trong ngành vận tải biển
4

TH

HD

KT


PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

TÊN CHƯƠNG MỤC
TS

LT

BT

Chương IV: Sơ đồ mạng

9

3

4

1

4.1. Các khái niệm của sơ đồ mạng

1

1

4.2. Các nguyên tắc lập sơ đồ mạng

1

1

4.3. Tính toán các chỉ tiêu của sơ đồ mạng

7

1

4

1

3

1

2

3

2

1

1

1

-

Lập mô hình và giải các bài toán ứng dụng cho
doanh nghiệp vận chuyển trên máy tính

-

Lập mô hình và giải các bài toán ứng dụng cho
doanh nghiệp cảng biển trên máy tính

4.3.1. Đối với các các sự kiện
4.3.2. Đối với công việc
4.4. Điều chỉnh sơ đồ mạng theo thời gian
Nội dung tự học: (18 tiết)
- Viết tiểu luận: lập biểu đồ bằng phương pháp sơ đồ
mạng phục vụ tàu tới cảng.
Chương V. Lý thuyết phục vụ đám đông
5.1. Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng
5.2. Trạng thái hệ thống và quá trình chuyển trạng
thái
5.3. Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái

0,5

5.4. Một số hệ thống phục vụ công cộng

1,5

1
1

Nội dung tự học: (6 tiết)
-

Tính toán các đặc tính chủ yếu của mô hình sắp
hàng 1 kênh của tàu tại cầu tàu

-

Tính toán các đặc tính chủ yếu của mô hình sắp
hàng nhiều kênh 1 của tàu tại cầu tàu

i. Mô tả cách đánh giá học phần:
- Sinh viên phải tham dự học tập trên lớp ≥75% tổng số tiết của học phần.
- Thi viết thang điểm 10
- Các điểm thành phần Z, bao gồm:
- Điểm đánh giá học phần: Z = 0.5X + 0.5Y

5

TH

HD

KT

k. Giáo trình:
- Giáo trình mô hình toán kinh tế - Trường ĐH Kinh tế quốc dân, NXB Thống kê 2006
- Giáo trình Ứng dụng các phương pháp toán trong quản lý vận tải biển, PGS.TS Phạm
Văn Cương, Trường Đại học Hàng Hải Việt Nam.
l. Tài liệu tham khảo:
1. Bộ môn Điều khiển học kinh tế trường KTQD, Mô hình toán kinh tế.
2. Lý Bách Chấn, Vũ Ngọc Cừ, Các phương pháp toán ứng dụng trong GTVT.
3. Tô Cẩm Tú, Một số phương pháp tối ưu hoá trong kinh tế.
4. Bùi Thế Tâm, Tối ưu hoá.
5. TS Nguyễn Văn Sơn, ThS. Lê Thị Nguyên, Tổ chức và Khai thác cảng.
6. TS Phạm Văn Cương, Tổ chức và Khai thác đội tàu.
7. Trần Túc. “Bài tập quy hoạch tuyến tính”. Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật. Hà Nội
2001.
m. Ngày phê duyệt: 4/5/2016
n. Cấp phê duyệt:
Trưởng Khoa/Viện/Trung tâm

Trưởng Bộ môn

Người biên soạn

o. Tiến trình cập nhật Đề cương:
Cập nhật lần 1: ngày......../....../.....
Nội dung: Rà soát theo kế hoạch Nhà trường (từ T4/2014) gồm:
- Chỉnh sửa, làm rõ các Mục e, i theo các mục tiêu đổi mới căn bản.
- Mục h: bổ sung Nội dung tự học cuối mỗi chương mục, chuyển
một số nội dung giảng dạy sang phần tự học.
- Bổ sung các mục m, n, o.
...
Cập nhật lần 2: ngày....../....../......

Nội dung:

Người cập nhật

Trưởng Bộ môn

Người cập nhật

Trưởng Bộ môn

6


MỤC LỤC
NỘI DUNG
Chương I: Giới thiệu về mô hình toán kinh tế
1.1. Ý nghĩa và khái niệm của mô hình toán kinh tế trong nghiên cứu, phân tích
kinh tế

Trang
9
9

1.1.1 Ý nghĩa của phương pháp mô hình

9

1.1.2. Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế

10

1.2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế

11

1.2.1. Các biến số của mô hình.

11

1.2.2. Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình của mô hình

12

1.3. Phân loại mô hình toán kinh tế

12

1.3.1. Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng.

12

1.3.2. Phân loại mô hình theo quy mô, phạm vi, thời hạn.

12

1.4. Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế

13

1.4.1.Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình.

13

Chương II. Quy hoạch tuyến tính

14

2.1. Đặt vấn đề

14

2.2. Trình tự lập kế hoạch sản xuất bằng quy hoạch tuyến tính

14

2.3. Các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính

16

2.4. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp bảng đơn hình

18

2.4.1. Phương pháp đồ thị

18

2.4.2. Phương pháp bảng đơn hình.

19

Chương III. Bài toán vận tải

27

3.1. Bài toán và các khái niệm

27

3.1.1. Bài toán vận tải cổ điển

27

3.1.2. Các tính chất của bài toán vận tải

28

3.1.3. Các khái niệm của bài toán vận tải.

29

3.2. Giải bài toán vận tải

29

3.3. Các trường hợp khác của bài toán vận tải

31

7

3.3.1. Bài toán có hàm mục tiêu cực đại

31

3.3.2. Bài toán vận tải có ô cấm

34

3.3.3. Bài toán phân công công việc

35

3.4. Một số bài toán ứng dụng trong ngành vận tải biển

37

3.4.1. Các mô hình toán ứng dựng đối với doanh nghiệp vận chuyển

37

3.4.2. Các mô hình toán ứng dụng đối với doanh nghiệp xếp dỡ

39

Chương IV: Sơ đồ mạng

43

4.1. Các khái niệm của sơ đồ mạng

43

4.2. Các nguyên tắc lập sơ đồ mạng

44

4.2. Tính toán các chỉ tiêu của sơ đồ mạng

48

4.2.1. Đối với các các sự kiện

48

4.2.2. Đối với công việc

48

4.3. Điều chỉnh sơ đồ mạng theo thời gian

50

Chương V. Lý thuyết phục vụ đám đông

55

5.1. Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng

55

5.2. Trạng thái hệ thống và quá trình chuyển trạng thái

57

5.3. Một số hệ thống phục vụ công cộng

59

8


LỜI MỞ ĐẦU

Quản lý kinh tế đồng nghĩa với vấn đề hiệu quả và việc ra quyết định. Để quản lý kinh tế
thành công, con người phải lựa chọn các phương án, các quyết định tối ưu nhất trong khả
năng có thể. Vì thế việc nghiên cứu sử dụng các phương pháp toán toán trong quản lý kinh tế
là một đòi hỏi khách quan. Nhiều chuyên gia kinh tế rất giỏi phân tích định tính các vấn đề
kinh tế, nhưng do khả năng lượng hóa có hạn nên cũng khó có thể thiết kế được chuẩn xác các
tổ chức hoạt động có hiệu quả bảo đảm tính hiện thực của các đề án
Tài liệu môn "Toán kinh kế trong vận tải " không những tăng cường về mặt cơ sở lý luận
cho sinh viên ngành kinh tế nói chung và ngành kinh tế vận tải biển nói riêng mà còn nâng
cao khả năng vận dụng kiến thức toán kinh tế vào công tác quản lý kinh tế của người học. Tài
liệu được sử dụng làm tài liệu học tập cho sinh viên thuộc các chuyên ngành đào tạo kinh tế
vận tải biển theo hình thức đào tạo tín chỉ
Tài liệu môn " Toán kinh tế trong vận tải " do Ths. Phạm Bạch Hường, Th.s Lê Văn
Thanh cùng toàn thể giảng viên bộ môn Kinh tế đường thủy biên soạn với 5 chương và 62
trang với các mô hình bài toán áp dụng riêng cho ngành kinh tế vận tải.

9


CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
1.1.

Ý NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CỦA MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ TRONG
NGHIÊN CỨU, PHÂN TÍCH KINH TẾ.

1.1.1. Ý nghĩa của phương pháp mô hình.
Đã từ lâu, khi con người muốn tìm hiểu, khám phá những hiện tượng trong tự nhiên họ
đã biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này. Kết quả theo dõi được đúc kết thành
kinh nghiệm và được lưu truyền qua các thế hệ và được gọi là phương pháp trực tiếp quan sát.
Đối với những sự việc phức tạp hơn hoặc khi chúng ta chẳng những muốn tìm hiểu mà
cọn muốn lợi dụng chúng phục vụ c ho hoạt động của mình thì phương pháp trực tiếp quan sát
là chưa đủ. Trong trường hợp này, khi nghiên cứu các đối tượng các nhà khoa học hoặc là
trực tiếp tác động và đối tượng hoặc sử dụng các mô hình tương tự đó là phương pháp thí
nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và đó là phương pháp nghiên cứu phổ biến trong khoa học
tự nhiên và kỹ thuật.
Tuy nhiên khi nghiên cứu các hiện tượng vấn đề kinh tế - xã hội, các phương pháp trên
thường không đem lại kết quả vì:
-

Những vấn đề kinh tế là những vấn đề hết sức phức tạp – đặc biệt là những vấn đề
kinh tế đương đại – trong đó có những mối liên hệ đan xen, tiền ẩn mà không chỉ bẳng
quan sát là có thể giải thích được.

-

Quy mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế - xã hội nhiều khi rất rộng và đa

dạng, vì vậy khi dùng phương pháp thử nghiệm sẽ đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian,
tiền bạc và nhiều khi có những sai sót trong quá trình thử nghiệm.

-

Ngay cả khi có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong nghiên cứu kinh tế thì kết
quả thu được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn với hoạt
động của con người.
Vì vậy để khắc phục các nhược điểm của các phương pháp trên trong nghiên cứu các

hiện tượng, vấn đề kinh tế chúng ta phải sử dụng phương pháp suy luận gián tiếp, trong đó
các đối tượng trong hiện thực có liên quan tới hiện tượng, vấn đề ta quan tâm nghiên cứu sẽ
được thay thế bởi hình ảnh của chúng: các mô hình của đối tượng và ta sử dụng mô hình làm
công cụ phân tích và suy luận. Phương pháp này có tên gọi là phương pháp mô hình.
Nội dung của phương pháp mô hình bao gồm:
-

Xây dựng, xác định mô hình của đối tượng. Quá trình này gọi là mô hình hóa đối
tượng.

10


-

Dùng mô hình làm công cự suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu. Quá trình này gọi là
phân tích mô hình.

1.1.2.

Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế.

a. Mô hình kinh tế.
Theo quan điểm giản đơn: mô hình của 1 đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách
quan của đối tượng, sự hình dung, tưởng tượng đối tượng đó bằng ý nghĩ của người nghiên
cứu và việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ …
hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành.
Như vậy mỗi mô hình bao gồm nội dung của mô hình và hình thức thể hiện nội dung.
Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hình kinh tế.
b. Mô hình toán kinh tế.
Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học.
Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta
nghiên cứu, phân tích chẳng những về mặt định tính mà còn về mặt định lượng thì phương
pháp suy luận thông thường, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải quyết. Khi đó
chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học. Đây chính là điểm mạnh của các mô hình
toán kinh tế.
Ví dụ:
Giả sử chúng ta muốn nghiên cứu , phân tích quá trình hình thành giá cả của một loại
hàng háo A trên thị trường với giả định là các yếu tố khác như điều kiện sản xuât hàng hóa A,
thu nhập, sở thích … đã cho trước và không đổi.
Khi đó đối tượng liên quan tới vấn đề nghiên cứu của chúng ta là thị trường hàng hóa A
và sự vận hành của nó.
Chúng ta cần mô hình hóa đối tượng này bằng lời, bằng hình vẽ và mô hình toán kinh tế.
- Mô hình bằng lời: xét thị trường hàng hóa A, nơi đó người bán và người mua gặp nhau
và xuất hiên mức giá ban đầu. Với mức giá đó, lượng hàng hóa người bán muốn bán gọi là
mức cung và lượng hàng hóa người mua muốn mua gọi là mức cầu. Nếu cung lớn hơn cầu do
người bán muốn bán nhiều hàng hóa hơn nên phải giảm giá và hình thành mức giá mới thấp
hơn mức giá ban đầu. Nếu người mua muốn mua nhiều hàng hóa hơn thì cầu lớn hơn cung và
xuất hiện mức giá mới cao hơn mức giá ban đầu.
Quá trình đó cứ tiếp diễn cho tới khi hình thành mức giá cân bằng tại điểm cung bằng

cầu.
- Mô hình bằng hình vẽ:
11


Vẽ đường cung S và đường cầu D trên cùng 1 hệ trục tọa độ. Khi đó quá trình hình
thành giá cả cân bằng được thể hiện qua sơ đồ minh họa.
Nếu ở thời điểm ban đầu xem xét thị trường, giá hàng hóa là p 1 và giả sử S1 = S(p1) >
D1=D(p1) khi đó dưới tác động của quy luật cung – cầu, giá p sẽ phải hạ xuống mức giá p2
ở mức giá p2 do S2 = S(p2) < D2=D(p2) nên giá sẽ tăng lên mức giá p3
Quá trình đó cứ thế tiếp diễn c ho đến khi p  p , tại mức giá này có cân bằng cung cầu.
- Mô hình toán kinh tế:
Giả sử gọi S và D là đường cung và đường cầu tương ứng. Như vậy ứng với từng mức
giá p ta có: S = S(p), do người bán sẵn sàng bán với mức giá cao hơn nên S là hàng tăng theo
p, tức là S ( p ) 
,

dS
 0; D  d ( p ) , do người mua sẽ mua ít hơn nếu giá cao hơn nên D
dp

là hàm giảm theo p tức là D ( p ) 
,

dD
0
dp

Khi đó cân bằng thị trường sẽ có nếu S = D.
Như vậy với mô hình diễn đạt bằng lời hay bằng hình vẽ ta không thể biết chắc rằng

liệu quá trình hình thành giá trên thị trường có kết thúc hay không, tức là liệu có cân bằng thị
trường hay không. Đối với mô hình toán kinh tế về cân bằng thị trường, ta sẽ có câu trả lời
thông qua việc giải phương trình S = D và phân tích đặc điểm của nghiệm.
Ngoài ra khi muốn đề cập tới tác động của thuế (T), thu nhập (M) ... ta có thể mở rộng
mô hình và đưa các yếu tố này tham gia vào các mối liên hệ với các yếu tố sẵn có trong mô
hình phù hợp với các quy luật trong lý thuyết.
1.2. CẤU TRÚC CỦA MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ.
1.2.1. Các biến số của mô hình.
- Biến nội sinh (biến được giải thích): là các biến mà về bản chất chúng phản ánh, thể
hiện trực tiếp sự kiện, hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc vào giá trị của các
biến khác có trong mô hình.
- Biến ngoại sinh (biến giải thích): là các biến độc lập với các biến khác trong mô hình,
giá trị của chúng được xem là tồn tại bên ngoài mô hình.
Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học, một mô hình có tất cả các biến là biến nội sinh gọi
là mô hình đóng; mô hình có biến nội sinh và biến ngoại sinh gọi là mô hình mở.

12


- Tham số (thông số): là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể
hiện các đặc trưng tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể giả thiết là như vậy của đối
tượng.
1.2.2. Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình của mô hình.
Các quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể kinh tế,
giữa chủ thể với nhà nước, giữa các khu vực ... tạo ra mối quan hệ giữa các biến số liên quan.
Các mối quan hệ này là sự phản ánh, thể hiện tác động của các quy luật trong hoạt động kinh
tế. Chúng ta có thể dùng các biểu thức, các hệ thức toán học một cách thích hợp từ đơn giản
tới phức tạp để thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong mô hình. Hệ thức thường được sử
dụng phổ biến là phương trình.
Tùy thuộc và ý nghĩa thực tiễn của mối quan hệ giữa các biến có trong phương trình,

chúng ta có thể phân loại các phương trình trong mô hình như sau:
- Phương trình định nghĩa (đồng nhất thức): phương trình thể hiên mối quan hệ định
nghĩa giữa các biến số hoặc giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình.
- Phương trình hành vi: phương trình mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của quy
luật hoặc do giả định.
- Phương trình điều kiện: phương trình mô tả quan hệ giữa các biến số trong các tình
huống có điều kiện mà mô hình đề cập.
1.3. PHÂN LOẠI MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ.
1.3.1. Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng.
- Mô hình tối ưu: mô hình phản ánh sự lựa chọn cách thức hoạt động nhằm tối ưu hóa
một hoặc một số chỉ tiêu định trước.
- Mô hình cân bằng: là lớp mô hình xác định sự tồn tại của trạng thái cân bằng nếu có và
phân tích sự biến động của trạng thái này khi các biến ngoại sinh hay các tham số thay đổi.
- Mô hình tất định, mô hình ngẫu nhiên: mô hình với các biến là tất định (phi ngẫu
nhiên) gọi là mô hình tất định, nếu có chứa biến ngẫu nhiên gọi là mô hình ngẫu nhiên.
- Mô hình toán kinh tế và mô hình kinh tế lượng:
- Mô hình tĩnh (theo thời gian) và mô hình động.
1.3.2. Phân loại mô hình theo quy mô, phạm vi, thời hạn.
- Mô hình vĩ mô: mô hình mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh tế,
một khu vực kinh tế gồm một số nước.

13


- Mô hình vi mô: mô hình mô tả một thực thể kinh tế nhỏ, hoặc những hiện tượng kinh
tế với các yếu tố ảnh hưởng trọng phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết.
Theo thời hạn mà mô hình đề cập ta có mô hình ngắn hạn và mô hình dài hạn.
1.4. NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH TRONG NGHIÊN CỨU VÀ PHÂN
TÍCH KINH TẾ.
1.4.1. Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình.

Để áp dụng phương pháp mô hình, trong đó sử dụng mô hình toán kinh tế làm công cụ
nghiên cứu, phân tích các vấn đề, các sự kiện kinh tế chúng ta cần thiết tiến hành các bước
sau:
1.4.1.1. Đặt vấn đề.
Chúng ta cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào trong hoạt động kinh tế cần quan tâm,
mục đích là gì, các nguồn lực có thể huy động tham gia vào nghiên cứu.
1.4.1.2. Mô hình hóa.
Sau khi đã xác định được mục đích yêu cầu cần nghiên cứu, chúng ta sẽ tiến hành mô
hình hóa đối tượng liên quan tới vấn đề. Quá trình mô hình hóa đối tượng gồm các công việc:
-

Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp giữa chúng mà
ta có thể cảm nhận bằng trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lý luận đã lựa chọn.

-

Lượng hóa các yếu tố này, coi chúng là các biến của mô hình.

-

Xem xét vai trò của các biến số và thiết lập các hệ thức toán học – chủ yếu là các
phương trình – mô tả quan hệ giữa các biến.

1.4.1.3. Phân tích mô hình.
Sử dụng phương pháp phân tích mô hình để phân tích. Kết quả phân tích có thể được sử
dụng để hiệu chỉnh mô hình cho phù hợp với thực tiễn.
1.4.1.4. Giải thích kết quả.
Dựa vào kết quả phân tích mô hình ta sẽ đưa ra giải đáp cho vấn đề cần nghiên cứu.
Ví dụ: ta đi xem xét mô hình cân bằng vĩ mô – mô hình cân bằng ngân sách và mô hình
đường IS-LM phân tích sự biến động(tức thời) của biến nội sinh trong mô hình với sự thay

đổi của 1 biến ngoại sinh
.

14


CHƯƠNG 2: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
2.1.

ĐẶT VẤN ĐỀ
Quy hoạch toán học là một ngành khoa học mới, là cơ sở lý luận cho việc giải các bài

toán – bài toán tìm cực trị của hàm mục tiêu F=f(x1, x2, …., xn), khi các biến số x1, x2,….,xn
của hàm mục tiêu này bị ràng buộc bởi các phương trình hay bất phương trình. Quy hoạch
toán học nghiên cứu các phương pháp tìm ra những tham số điều khiển của hệ thống sản xuất
để đạt được những tiêu chuẩn tối ưu đặt ra cho toàn bộ hệ thống sản xuất đó. Tập hợp các giá
trị của tham số điều khiển này tạo nên phương án tối ưu. Quy hoạch toán học là lĩnh vực toán
học nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp số để giải các bài toán cực trị nhiều thứ nguyên,
có ràng buộc, tức là bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến số với các ràng buộc trên miền
biến thiên của các biến số này. Tùy theo kiều hàm mục tiêu, kiểu các các ràng buộc mà quy
hoạch toán học chia thành: Quy hoạch tuyến tính, quy hoạch phân số tuyến tính, quy hoạch
động, quy hoạch khối, quy hoạch tham số, quy hoạch ngẫu nhiên, quy hoạch phi tuyến, quy
hoạch rời rạc…..
Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là lĩnh vực toán học nghiên cứu lý thuyết và các phương
pháp số để giải các bài toán tìm cực trị của hàm số tuyến tính nhiều biến số với các ràng buộc
tuyến tính, tức là các đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính liên hệ các biến số này với nhau.
Một số lớn các vấn đề lập kế hoạch quý trình kinh tế, kỹ thuật có thể đưa về dạng QHTT.
Trong kinh tế, bài toán QHTT này sinh là do có rất nhiều phương án hoạt động có thể đối với
một đối tượng kinh tế nào đó. Cụ thể là, có rất nhiều khả năng sử dụng các nguyên liệu, vật
liệu khác nhau, các quá trình công nghệ, các cách bố trí phương tiện khác nhau để thu được

cùng 1 lượng sản phẩm, khiến cho chúng ta phải lựu chọn một phương án tốt nhất theo một
tiêu chuẩn tối ưu nào đó.
Khi xây dựng các kế hoạch sản xuất do bị hạn chế về nguồn lực nên người lập kế hoạch
buộc phải giải quyết các vấn đề có tính chất phân phối.
Khi lập kế hoạch đòi hỏi người lập kế hoạch phải cân nhắc sao cho với một năng lực
nhất định phải thực hiện nhiệm vụ một cách hiệu quả nhất. Khi cụ thể khả năng hiệu quả
thành mục tiêu thì có thể sử dụng một công cụ toán học để giải quyết, đó chính là quy hoạch
tuyến tính.
2.2. TRÌNH TỰ LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN QUY
HOẠCH
Bước 1:
-

Phân tích thực tế sản xuất, mô hình hoá vấn đề: Vấn đề cần giải quyết là lựa chọn các
tham số quản lý (điều khiển), rồi các biến số, trên cơ sở đó xây dựng hàm mục tiêu, rồi
xây dựng các ràng buộc bằng các biểu thức toán học.

-

Ý nghĩa: bước 1 sẽ quyết định sự thành công hay thất bại trong việc lập kế hoạch sản
xuất 1 cách tốt nhất.
15


Bước 2: Thu thập dữ liệu về: Hệ thống các thông tin về kinh tế kỹ thuật, hệ thống các
thông tin về nhiệm vụ được giao. Chuyển dần và lắp ráp vào mô hình đầu.
Bước 3: Tiến hành giải bài toán ( phương pháp đúng và gần đúng). Nói chung, thuật toán
để giải bài toán tối ưu như mô hình sau:

Lập phương án ban đầu

Kiểm tra dấu hiệu
tối ưu và xem có tồn
tại hay không

Không

Có

Hoàn thiện phương án
ban đầu

Phương án chọn là phương án tối ưu

STOP
Bước 4:
Phân tích hiệu quả của bài toán và lập kế hoạch sản xuất cụ thể.
Kết luận:
Quản lý và điểu khiển sản xuất thực tế nhiều khi là 1 nghệ thuật , trong khi đó chính lời
giải của bài toán là phương án tối ưu. Nhưng đôi khi, có những đòi hỏi rất khắt khe mà thực tế
không thể thoả mãn được. Do đó, cần phải tiến hành phân tích lời giải tối ưu để từ đó xây
dựng lời giải tổng quát. Mặt khác, nhiều khi lời giải tối ưu còn chưa là 1 phương án sản xuất
cụ thể, vì vậy cần phải gia công thêm mới có phương án thực tiễn.
16


Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất
Có một doanh nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm S 1, S2, S3 từ 4 loại nguyên liệu N1, N2,
N3, N4 với trữ lượng trong kho tương ứng là 25, 30, 20, 40 đơn vị nguyên liệu.
Định mức nguyên liệu và doanh thu khi bán một sản phẩm cho ở bảng sau.

Hãy lập kế hoạch sản xuất cho doanh nghiệp trong điều kiện nguồn lực hiện có sao cho
hiệu quả nhất.
Sản phẩm
S1

S2

S3

N1

7

8

9

N2

6

-

7

N3

4

8

5

N4

10

7

6

Khi bán 1 sản phẩm (103đ/SF)

17

20

28

Nguyên liệu

Giải:
Gọi sản lượng sản phẩm mỗi loại cần sản xuất là x1, x2, x3.

f (x)  17x 1  20x 2  28x 3  max
(hạn chế N1)

7 x1  8 x 2  9 x 3  25
 7 x 3  30
6 x1

4 x1  8 x 2  5 x 3  20
10 x1  7 x 2  6 x 3  40
 x1 , x 2 , x 3  0

§K

(hạn chế N2)
(hạn chế N3)
(hạn chế N4)

 Mô hình bài toán trên chính là quy hoạch tuyến tính
2.3. Các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính
2.3.1.

Mở đầu:
Bài toán quy hoạch tuyến tính là 1 trong những bài toán cơ bản nhất của vận trù học,

nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như tổ chức lao động, lập kế hoạch sản xuất,
điều động, đầu tứ vốn …
2.3.2.
a.

Bài toán quy hoạch tuyến tính.

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc.
n

Z = f(x1, x2, …………, xn) =

 C .x

j 1

j

j

 min (1)

17


Hệ ràng buộc:
n

 a .x
j 1

ij

j

 bi  0(i  1, m)(2)

x j  0j  1, n(3)
Phương án của bài toán là hệ thống các giá trị bằng số của xj thỏa mãn (2) & (3).
Phương án tối ưu của bài toán là phương án thoả mãn (1), (2) & (3).
b. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc.
Là bài toán dạng chính tắc mà ở mỗi phương trình của hệ ràng buộc (2) đều tồn tại 1 ẩn
với hệ số = 1 không có trong phương trình khác.
n

Z = f(x1, x2, …………, xn) =

 C .x
j 1

j

j

 min (1)

Hệ ràng buộc:

xi 

n

 a .x
ij

j  m 1

j

 bi  0(i  1, m)(2)

x j  0vabi  0i, j  1, n(3)
Phương án của bài toán là hệ thống các giá trị bằng số của xj thỏa mãn (2) & (3).
Khi đó xi là ẩn cơ sở

c. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát là bài toán thường gặp nhất.

Z   C j .x j  max(min)

(1’)

Điều kiện ràng buộc

 n
 aij .x j  bi (i  1, m)
 j n1

 aij .x j  bi (i  1, m)
 j n1

aij .x j  bi (i  1, m)

 j 1

x j bất kỳ

(2’)

(3’)

Cj , aij : đã biết
d. Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc :
1) Nếu hàm mục tiêu là :
n

f ( x)   C j x j  max
j 1

18


n

Thì đặt

F   f   C j x j  min
j 1

2) Nếu trong hệ điều kiện ràng buộc tồn tại 1 aij.xj = bi nào đó mà bi < 0 thì ta nhân 2 vế
của phương trình đó với (-1) .
3) Nếu trong hệ ràng buộc tồn tại bất phương trình:
n

a x
j 1

ij

j

;  bi

thì cộng hay trừ thêm vào mỗi bất phương trình đó 1 ẩn không âm riêng biệt, và thêm vào
hàm mục tiêu ẩn đó với hệ số = 0. Ẩn này gọi là ẩn phụ.
4) Nếu không có điều kiện không âm với 1 biến xj nào đó (không có điều kiện xj ≥ 0 ) thì

đặt xj = yj – zj trong đó yj ≥ 0; zj ≥ 0.
e. Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chuẩn tắc.
- Trước hết đưa bài toán đã cho về dạng chính tắc.
- Nếu nó chưa có dạng chuẩn tắc thì trong phương trình ràng buộc nào chưa có ẩn riêng
biệt ta thêm 1 ẩn mới với hệ số = 1, và thêm vào hàm mục tiêu ẩn đó với hệ số M là 1 số
dương lớn bao nhiêu cũng được. Ẩn đó gọi là ẩn giả.
2.4. GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
2.4.1. PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ (chỉ dùng trong trường hợp bài toán có 2 biến)
Ví dụ: DN sản xuất đồ gỗ sản xuất 2 loại bàn: bàn tròn x1 và bàn chữ nhật x2.
Mỗi bàn tròn cần 2,5h lắp ghép, 3h để đánh bóng, 1h để vào thùng.
Mỗi bàn chữ nhật cần 1h lắp ghép, 3h để đánh bóng, 1h để vào thùng.
Một tuần do hạn chế về nhân lực, xưởng chỉ bố trí 20h để lắp ghép, 30h để đánh bóng,
16h để vào thùng.
Lợi nhuận cho mỗi bàn tròn là 30.000đ và bàn chữ nhật là 40.000đ.
Tìm phương án sản xuất tối ưu để mang về cho nhà sản xuất lợi nhuận cao nhất.
Giải:
Gọi x1, x2 là số lương bàn tròn và bàn chữ nhật cần sản xuất.
Có hàm mục tiêu:

f (x)  1000  (30x 1  40x 2 )  max

2,5x1  x 2  20

§ K 3x1  3x 2  30
x  2x  16
x1 , x 20
 1 2

(hạn chế về thời gian lắp ghép)
(hạn chế về thời gian đánh bóng)

(hạn chế về thời gian vào thùng)

19


X2
I

20

15

II
10
III
A

8

B
5

C

D
O

5

8

X1
10

15 16

20

Nghiệm bài toán là đa giác ABCDO vì f(x)  max
Giải phương trình 2 và 3  B (4;6)
 f(max) = 1000  (30  4 + 6  40) = 360.000 (đ)
2.4.2. PHƯƠNG PHÁP BẢNG ĐƠN HÌNH
a. Nội dung của phương pháp bảng đơn hình để giải bài toán QHTT dạng chuẩn
+ Định lý: nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì phương án này phải nằm trong
tập hợp các phương án cơ bản không âm của hệ
+ Nội dung: Định lý trên mới chỉ cho biết được phạm vi tồn tại của phương án tối ưu,
chứ chưa chỉ ra cách tìm. Xuất phát từ phương án cơ bản không âm nào đó, tìm cách thay thế
nó bởi 1 phương án không âm tốt hơn, tức là hàm mục tiêu thực sự giảm đối với bài toán min
và tăng thực sự với bài toán max để cuối cùng nhận được 1 phương án tối ưu.
+ Tiêu chuẩn tối ưu: Điều kiện cần và đủ để bài toán min có phương án cơ bản x là tối
ưu khi j  0 với j

20


+ Điều kiện để phương án mới tốt hơn phương án cũ
Nếu phương án cơ bản x có ít nhất 1 giá trị  j > 0 xảy ra 2 trường hợp sau:
- a ij  0 i, j  hàm mục tiêu không giới nội (f (x)  )  bài toán vô nghiệm
-  1a ij  0  có thể tìm được 1 phương án mới tốt hơn phương án cũ
b. Thuật toán bảng đơn hình

-

Lập bảng đơn hình
Ứng với phương án cực biên ban đầu Xo của bài toán
Gồm (m + 2) dòng, (n + 4) cột
C1

C2

...

Cm

Cm+1

...

Cn

x1

x2

...

xm

xm+1

...

xn

bi

C1

x1

b1

1

0

...

0

a1,m+1

...

a1n

C2

x2

b2

0

1

...

0

a2,m+1

...

a2n

...

xi

...

Ci

...

Bước

Cm

xm

bm

0

0

...

1

am,m+1

1

2

...

m

m+1

I

m

f (x 0 )   C i b i
i 1

Cột 1: ứng với bước giải
Cột 2: Các hệ số của ẩn cơ sở
Cột 3: Ẩn cơ sở
Cột 4: Các hệ số tự do
Dòng 1: Ghi các C j vµ x j của hàm mục tiêu
...
-

Trình tự tính
Bước 1: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu
m

m

i 1

i 1

+ Tính f ( x 0 )   C i bi &  j   aij C i  C j
+ Xảy ra 2 trường hợp
- Nếu  j  0  phương án đang xét là phương án tối ưu

21

amn
...

n

a i,s  0 i;s  bµi to¸ n v « nghiÖm
 1 a i;s  0  chuyÓn sang b- íc 2

- Nếu  1  s  0 

Bước 2: Cải tiến phương án
+ Chọn ẩn đưa vào
Gọi xs là ẩn đưa vào thì  s  max  j

(  j  0)

 s gọi là cột quay
+ Xác định ẩn đưa ra khỏi phương án cơ bản
Gọi xk là ẩn đưa ra khỏi hệ thống ẩn cơ sở thì x k  min

bi
a i ,s

(a i,s  0)

 k gọi là dòng quay
+ ak,s gọi là phần tử quay
+ Lập bảng đơn hình mới
Thay xk = xs và Ck = Cs
- Đối với dòng quay:

b' k 

- Đối với các dòng khác:

a k,j
bk
& a' k , j 
a k ,s
a k ,s

b'i  b i 

a k,j
bk
 a i,s & a'ij  a ij 
 a i,s
a k ,s
a k ,s

Sau đó quay lại bước 1
Ví dụ: Giải bài toán QHTT sau:

f (x)  2x1  x 2  4x 3  min

§K

x1  2x 2  x 3  x 4  8
3x1  x 2  4x 3  12
x1  2x 3  10
x  0 ( j  1,4)
 j

f (x)  2x1  x 2  4x 3  min

§K

x1  2x 2  x 3  x 4  8
3x1  x 2  4x 3  x 5  12
x1  2x 3  x 6  10
x  0 ( j  1,6)
 j

22


Lập bảng đơn hình
Bước

Ci

xi

2

-1

4

0

0

0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

bi

0

x4

8

1

2

-1

1

0

0

0

x5

12

3

-1

4

0

1

0

0

x6

10

1

0

2

0

0

1

-1

1

-4

0

0

0

I
f(I) = 0
2

x2

4

1/2

1

-1/2

1/2

0

0

0

x5

16

7/2

0

7/2

1/2

1

0

0

x6

10

1

0

2

0

0

1

-5/2

0

-7/2

-1/2

0

0

II
f(II) = - 4

Vậy nghiệm của bài toán X = (0; 4; 0; 0)
Vd: Giải bài toán:
f ( x)  8x1  6 x2  2 x3  min

4 x1  4 x 2  3x3  18

4 x1  3x 2  4 x3  16

 x j  0 ( j  1,3)

DK

Giải: Bài toán (M) tương ứng:

f ( x)  8x1  6 x2  2 x3  Mx4  Mx5  min
4 x1  4 x 2  3x3  x 4  18

4 x1  3x 2  4 x3  x5  16

 x j  0 ( j  1,5)

DK

Bước

I

Ci

xi

2

M

M

x1

x2

x3

x4

x5

x4

18

4

4

-3

1

0

M

x5

16

[4]

3

4

0

1

8M+8

7M-6

M-2

0

0

M

x4

2

0

[1]

-7

1

-8

x1

4

1

3/4

1

0

0

M-12

-7M-10

0

f(II) = 2M-32

III

6

M

f(I) = 34M

II

-8
bi

6

x2

2

0

1

-7

-8

x1

5/2

1

0

25/4

0

0

-94

f(IIi) =-8

23


Nghiệm của bài toán X=(5/2;2;0) và min f(x) = -8
Chú ý ẩn giả khi đã ra khỏi bảng đơn hình thì không còn cơ hội quay lại bảng đơn hình
khi đó cột ẩn giả ta có thể gạch đi
Ví dụ: Giải bài toán QHTT sau:
f (x)  x1  x2  2x3  min

4x1  x 2  3x 3  2x 4  16
2x  2x  4x  8
§ K 2x1  x 3 4x 4 10
x 1 0 3(j) 4
 j
2.4.3. QUY HOẠCH ĐỐI NGẪU
Trong phương pháp QHTT, tất cả các bài toán cực đại (cực tiểu) đều có thể liên kết với
một bài toán cực tiểu (cực đại) tương ứng  đó là bài toán đỗi ngẫu tương ứng của bài toán
ban đầu.
a. Bài toán đối ngẫu của bài toán chính tắc
Bài toán gốc

Bài toán đối ngẫu

n

m

f (x)   C jx j  min

g(y)   b i y i  max

n
 a ijx j  b i (i  1, m )
§ K 
j1
x j  0 (j)


m

 a ij y i  Cj ( j  1, n )
§ K 
i 1

y i bÊt kú

j1

i 1

Nhận xét:
+ Hàm mục tiêu của bài toán gốc  min thì bài toán đối ngẫu  max
+ Ứng với mỗi ràng buộc của bài toán gốc là 1 ẩn số của bài toán đối ngẫu
+ Hệ số hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu là các hệ số tự do trong ràng buộc của bài
toán gốc
+ Bài toán đối ngẫu có số ràng buộc bằng số ẩn số trong bài toán gốc
Ví dụ: Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau:
g(y)  5y1  4 y 2  max
y1  2 y 2  1

§ K 2 y1  y 2  3
 y1  3y 2  4
y bÊt
kú
 i

f (x)  x1  3x 2  4x 3  min
x1  2x 2  x 3  5
§ K 2x1  x 2  3x 3  4
x j  0 (j)

c. Bài toán đối ngẫu của bài toán tổng quát
n

f ( x)   c j .x j  min(max) suyra

 g ( y )   bi . yi  max(min)
j 1

n

 a .x
j 1

ij

j

 bi suyra

 yi (batky )

24


n

a

ij

ra
va
.x j  bi suy

 y i  0 
yi  0

a

ij

ra
va
.x j  bi suy

 y i  0 
yi  0

j 1
n
j 1

m

m

x j  0   aij . y i  c j   a ij . y i  c j
suy ra

va

i 1
m

i 1
m

ra
va
x j  0 suy

  aij . y i  c j 
 aij . yi  c j
i 1
m

i 1

ra
x j  0 suy

  a ij . y i  c j
i 1

Ví dụ: Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau:
f(x) = 2x1 - x2 + 4x3  max

g(y) = 6y1 + 4y2 + 12y3  min

x1  2x 2  x 3  x 4  6
x  2x  x  4
§ K 3x2  x 3  124
x 1 0 3(j)
 j

§K

y1  3y 2  2
2 y1  y 2  1
y1  2 y 2  y 3  4
 y1  y 2  0
y1  0; y 2 bÊt kú; y 3  0

Ví dụ: Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau:
f(x) = 2x1 - 6x2 + x3 + 3x4 min

g(y) = 10y1 + 4y2  max

x1  x 2  4x 3  10
2x1  x 2  x 3  2x 4  4
 x  x  0
x ; x2  04
 1 2

§K

§K

y1  2 y 2  2

 y1  y 2  y 3  6
4 y1  y 2  1
2 y 2  y3  3
y1  0; y 2  0; y 3 bÊt kú

Ý nghĩa của đối ngẫu
+ Về mặt toán học trong một số trường hợp nghiên cứu bài toán đối ngẫu đơn giản hơn
vì ít ẩn hơn
+ Bài toán QHTT là bài toán lập kế hoạch sản xuất còn bài toán đối ngẫu là bài toán thị
trường
Ví dụ: Giả sử một nền sản xuất cần đáp ứng m loại nhu cầu (lợi ích) thể hiện bằng m mặt hàng
khác nhau. Có n công nghệ sản xuất ra các mặt hàng đó. Mỗi đơn vị cường độ công nghệ j sẽ tạo ra aij
đơn vị mặt hàng i, đồng thời chịu một chi phí là C j
. Bài toán lập kế hoạch
Gọi xj là số đơn vị cường độ công nghệ j được sử dụng thì chi phí sẽ là

25