ĐÁP ÁN TN THPT MÔN TOÁN NĂM 2008 (tham khao)

Đáp án tham khảo môn Toán (Đề TN THPT 2008)
Câu 1:
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = x
4
– 2x
2

+ Tập xác định: D = R.
+ y’ = 4x
3
– 4x
y’ = 0 ⇔ 4x
3
– 4x = 0 ⇔
0 0
1 1
1 1
x y
x y
x y
= ⇒ =


= ⇒ = −


= − ⇒ = −

+
lim
x

y
→−∞
= +∞ lim
x
y
→+∞
= +∞
+ Bảng biến thiên:
x - ∞ - 1 0 1 + ∞
y’ - 0 + 0 - 0 +

y
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có: hàm số đồng biến trên khoảng (- 1; 0) ∪ (1; + ∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞; - 1) ∪ (0; 1)
+ y’’ = 12x
2
– 4
y’’ = 0 ⇔ 12x
2
– 4 = 0 ⇔
1
2
3 5 3 5
( ; )
3 9 3 9
3 5 3 5
( ; )
3 9 3 9
x y U
x y U


= ⇒ = − −



= − ⇒ = − − −


+ Bảng xét dấu:
x - ∞ -
3
3

3
3
+ ∞

y’’ + 0 - 0 +
y lồi lõm lồi
+ Đồ thị:
(C)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8

x
y
1
- 1
CT
0
CĐ
- 1
CT
+ ∞
+ ∞
U
1
U
2
2/ Phương trình tiếp tuyến :
Ta có : x = -2 ⇒ y = 8
Mặt khác : k = y’(- 2) = - 24.
⇒ Phương trình tiếp tuyến là : y – 8 = - 24(x + 2)
⇒ 24x + y + 40 = 0.
Câu 2 :
1/ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) =
9
x
x
+
trên đoạn [2; 4].
+ Tập xác đinh : D = R \ {0}.
+ y’ = 1 -
2

9
x
=
2
2
9x
x
−
y’ = 0 ⇔ x
2
– 9 = 0 ⇔
3 6
3 6
x y
x y
= ⇒ =


= − ⇒ = −

+ Bảng biến thiên:
x - ∞ - 3 0 2 3 4 + ∞
y’ + 0 - - - 0 + +
y
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có:
[ ]
2;4
13
ax ( )
2

M f x =
[ ]
2;4
in ( ) 6M f x =
2/ Tính tích phân I =
1
0
(1 ). .
x
e x dx+
∫
+ Ta có: I =
1 1
0 0
. . .
x
x dx x e dx+
∫ ∫
= I
1
+ I
2
.
+ Tính I
1
=
1
1
2
0

0
1
.
2 2
x
x dx = =
∫
+ Tính I
2
=
1
0
. .
x
x e dx
∫
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
1
1 1
2
0 0

0
. . ( 1) 1
x x x
I x e e dx e e e e⇒ = − = − = − − =
∫
Vậy I =
1
2
+ 1 =
3
2
.
Câu 3:
1/ Phương trình đường tròn (T) qua O(0; 0), A(0; 8), B(- 6 ; 0)
Phương trình đường tròn (T) có dạng : x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0.
Do (T) qua O, A, B nên ta có hệ phương trình :
2 2
0 ( ) 3
( 3;4)
64 16 0 ( ) 4
3 4 5
36 12 0 ( ) 0
c qua O a
Tam I
b c qua A b
ban kinh R

a c qua B c
= = −
 
−

  
− + = ⇒ = ⇒
  
= + =

 

+ + = =
 
2
6
13
2
25
4
Vậy phương trình đường tròn (T) là: x
2
+ y
2
+ 6x – 8y = 0.
2/ Phương trình tiếp tuyến (t) tại A(0; 8)
Ta có phương trình tiếp tuyến tại A có dạng: x.x
A
+ y.y
A

+ 3(x + x
A
) – 4(y – y
A
) = 0
⇒ 8y + 3x – 4y -32 = 0
⇒ 3x + 4y – 32 = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến (t) là : 3x + 4y – 32 = 0
* Tính góc giữa (t) và (d) : y -1 = 0.
Ta có :
(3;4); (0;1)
t d
n n= =
ur uur
Gọi ϕ là góc giữa (t) và (d).
⇒ cosϕ = cos(
t
n
ur
,
d
n
uur
) =
2 2
4
.
4
5
.

3 4 . 1
t d
t d
n n
n n
= =
+
ur uur
ur uur
⇒ ϕ ≈ 37
0
.
Câu 4: M(1; 2; 3), (α): 2x – 3y + 6z + 35 = 0,
(2; 3;6)n
α
= −
uur
1/ Phương trình đường thẳng qua M và vuông góc (α):
Do (d) ⊥ (α) (giả thiết) nên
(2; 3;6)
d
u n
α
= = −
uur uur
⇒ Phương trình của (d) là :
1 2
2 3
3 6
x t

y t
z t
= +


= −


= +

2/ * Tính khoảng cách từ M đến (α):
Ta có: d(M, (α)) =
2 2 2
2.1 3.2 6.3 35
7
2 ( 3) 6
− + +
=
+ − +
* Tìm toạ độ điểm N:
Do N ∈ Ox nên N(x; 0; 0)
Ta có: MN =
2 2 2 2
( 1) 2 3 ( 1) 13x x− + + = − +
Theo giả thiết ta có: MN = d(M, (α))
⇒
2
( 1) 13x − +
= 7 (*)
⇒ (x – 1)

2
+ 13 = 49
⇒ x
2
– 2x – 35 = 0
⇒
7 ( (*))
5 ( (*))
x thoa
x thoa
=


= −

Vậy toạ độ điểm N cần tìm là: N
1
(7; 0; 0), N
2
(-5; 0; 0).
Câu 5:
Giải bất phương trình:
2 4 3 3
( 5) 2. 2.
n n n
n C C A− + ≤
(1)
Điều kiện: n ≥ 4.
(1) ⇔
2

! ! !
( 5) 2. 2.
4!( 4)! 3!( 3)! ( 3)!
n n n
n
n n n
− + ≤
− − −
⇔ (n
2
– 5).n.(n -1)(n – 2)(n – 3) + 8n.(n – 1)(n – 2) ≤ 48n.(n – 1)(n – 2)
⇔ (n
2
– 5).(n – 3) + 8 ≤ 48
⇔ n
3
– 3n
2
– 5x – 25 ≤ 0 (2)
Ta có: n
3
– 3n
2
– 5x – 25 = 0 ⇔ (n – 5)(n
2
+ 2n +5) = 0 ⇔ n – 5 = 0 ⇔ n = 5
(vì n
2
+ 2n +5 > 0 ∀ n)
Bảng xét dấu :

n - ∞ 5 + ∞
VT - 0 +
3
Căn cứ vào bảng xét dấu và điều kiện (*), ta có tập nghiệm của bất phương trình (2) là :
4 ≤ n ≤ 5
Do n ∈ N
-*
nên nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = {4; 5}
4