Hệ thập phân 23456222

Hệ thập phân
Hệ thập phân (hệ đếm cơ số 10) là hệ đếm dùng số 10
làm cơ số. Đây là hệ đếm được sử dụng rộng rãi nhất
trong các nền văn minh thời hiện đại.[1][2]

1

và 10 ngón chân trong khi đếm - và một số dân Nigeria
dùng hệ thập nhị phân (12) (duodecimal). Người dân ở
thành phố Babylon dùng hệ lục thập phân (60), và thổ
dân châu Mỹ, người Yuki, dùng hệ bát phân.
Hệ thống phần cứng và phần mềm của máy tính cũng
dùng một hệ thống riêng, để biểu đạt các giá trị của
hệ thập phân, song song với việc dùng hệ thống này
lưu trữ các con số, và dùng chúng trong các thao tác
số học. ường thì những thao tác số học này được áp
dụng vào các nguồn dữ liệu đã được mã hóa dùng hệ
nhị phân biểu đạt số thập phân (binary-coded decimal),
song cũng có các hệ mã thập phân hóa khác hiện đang
được dùng (xem IEEE 754r), đặc biệt trong việc kiến tạo
và thi hành cơ sở dữ liệu. ao tác số học trong hệ thập
phân trên được dùng trên các máy tính để đảm bảo sự
chuẩn xác của các con tính với phân số thập phân, bởi
việc dùng phân số nhị phân không đảm bảo được kết
quả tính toán như mong đợi. Sự chuẩn xác trong các
phép tính này rất quan trọng với các tính toán trong
tài chính và trong các ngành khác.

Ký tự hệ thập phân

Hệ thống ký tự các con số dùng để biểu đạt các giá trị

trong một hệ đếm. Trong hệ thập phân, 10 ký tự (còn
gọi là con số) khác nhau được dùng để biểu đạt 10 giá
trị riêng biệt (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9), tức là 10 con số.
Những con số này còn được dùng cùng với dấu thập
phân - ví dụ dấu “phẩy” - để định vị phần thập phân
sau hàng đơn vị. Con số còn có thể được dẫn đầu bằng
các ký hiệu "+" hay "-" để biểu đạt số dương và số âm
nữa.
Hệ thập phân là một hệ đếm dùng vị trí định lượng
(positional numeral system), bao gồm hàng đơn vị, hàng
chục, hàng trăm v.v. Vị trí của một con số ám chỉ một
phép nhân (mũ 10) với con số ở vị trí đó, và mỗi vị trí
có giá trị gấp mười lần vị trí ở bên tay phải của nó.

3 Phân số thập phân

Số mười là một số đếm, biểu tượng của 10 ngón của
hai bàn tay (hoặc bàn chân). Từ “con số" trong nhiều
ngôn ngữ trên thế giới có cùng nghĩa ám chỉ đến cấu
trúc sinh vật học của ngón tay, hoặc ngón chân. Trong
tiếng Việt chữ “phần mười” ám chỉ đến số lượng nhỏ
bằng 1/10 của một số lượng nào đó, và “mười lần” ám
chỉ đến một số lượng được nhân gấp 10 lần số lượng
đang có.

Phân số thập phân là một phân số có mẫu số với số mũ
của 10. Phân số thập phân thường được biểu thị là một
số không có mẫu số, dùng dấu thập phân cho vào tử số
(với số không dẫn đầu nếu cần), và con số ngay sau dấu
phân số có giá trị tương đương với một phân số mẫu số

là 10, chẳng hạn.

Những ký tự đại biểu cho các con số, hiện đang được
dùng phổ biến trên toàn thế giới ngày nay, được các
nước châu Âu gọi là bảng chữ số Ả Rập, và các nước
ở vùng Ả Rập gọi là bảng chữ số Ấn Độ. Hai nhóm
từ này đều ám chỉ đến một nền văn hóa, nơi họ tiếp
cận và học hỏi được hệ thống số, lần đầu tiên. Tuy vậy,
hình dáng của các ký tự của cùng một hệ số, ở những
nơi khác nhau, lại không giống nhau hoàn toàn. Chẳng
hạn, trong hệ đếm dùng ở các vùng Tây Ả Rập (nơi hệ
thống ký tự châu Âu được lấy ra) khác hẳn với những
ký tự được dùng trong các nền văn minh Ả Rập khác.

Phần nguyên và phần phân số của các số được tách
biệt bởi dấu thập phân. Trong tiếng Anh, thay vì dấu
phẩy người ta dùng dấu chấm (.) để làm dấu tách ly
phần phân số ra khỏi số nguyên, trong khi tiếng Việt
và nhiều ngôn ngữ khác dùng dấy phẩy. ường những
số có giá trị nhỏ hơn 1 được biểu đạt bằng một phân số
thập phân với số không dẫn đầu, chẳng hạn 0,25 (thay
vì 41 ). Những số không nối theo sau trở thành không
cần thiết, dầu vậy trong khoa học, kỹ thuật và kế toán,
những số không nối theo sau có thể cần phải để lại để
2 Những hệ thống ký tự khác
biểu đạt mức độ chính xác yêu cầu, đảm bảo sự an tâm
về tính chính xác của con số. Tuy 0,080 và 0,08 là tương
Có nhiều nền văn hóa dùng, hoặc đã từng dùng, những đương về giá trị, trong kỹ thuật 0,080 ám chỉ đến một
1
hệ đếm khác với hệ thập phân. Chẳng hạn, người thổ đo lường với sai số 2000 = ±0,0005, trong khi 0,08 ám

1
= ±0,005 thôi.
dân ở các vùng cao nguyên của México Tzotzil dùng hệ chỉ đến một đơn vị đo lường với sai số 200
nhị thập phân (20) (vigesimal) - do dùng cả 10 ngón tay (Xin xem thêm về số đáng kể).
1


2

4

6

Nhóm số

Các số có nhiều con số, đứng trước hoặc sau dấu thập
phân, có thể được nhóm lại thành các nhóm có ba con
số, bắt đầu từ dấu thập phân, chạy theo hướng về cả
hai chiều, trái và phải. Sự phân nhóm thường được
thi hành bởi một dấu phẩy hoặc dấu chấm, hoặc một
khoảng trống. Việc dùng khoảng trống đã được cân
nhắc và đề nghị trong tài liệu SI/ISO 31-0. Việc dùng
dấu chấm thay thế cho dấu phẩy, để phân chia phần
thập phân, cũng có thể được cân nhắc. Để biết thêm
chi tiết, xin xem thêm bài viết về dấu thập phân. Những
phương thức biểu đạt tương tự như “12,345”, “12.345”,
“12,345.678”, và “12.345,678” gây sự khó hiểu nếu không
có một hệ thống phân định về ký hiệu nhất định.

5

Các số hữu tỷ khác

SỐ THỰC

5 5 0 4 9 50/7 = 7 dư 1 1 0 7 10/7 = 1 dư 3 3 0 2 8 30/7 =
4 dư 2 (tái diễn) 2 0 vân vân.
Một quan điểm đối lập với quan sát trên là mỗi số thập
phân tái diễn (recurring decimal) cho ta một phân số
p
hữu tỷ q . Đây chính là hậu quả của việc dãy số thập
phân tái diễn là một cấp số nhân (geometric series) hữu
hạn, và tổng của chúng là một số hữu tỷ. Chẳng hạn:
∞

0.0123123123 · · · =

123
1
123 ∑
123
=
=
0.001k =
10000
10000 1 − 0.001
9990
3
k=0

6 Số thực
Mỗi số thực (real number) có một biểu thị thập phân
tương ứng (có thể là vô hạn). Có thể được biểu thị theo
công thức sau đây:

Bất cứ một số hữu tỷ nào không thể biểu đạt bằng một
∑
phân số thập phân, đều có một số thập phân đặc thù
ai 10i
ở phần đuôi được nhắc đi nhắc lại, tạo nên một dãy số x = sign(x)
i∈Z
thập phân tái diễn.
Số mười là tổng số của hai số nguyên tố, thứ 2 và thứ 4, ghi chú:
(3 + 7=10), và là số lớn hơn bình phương của số nguyên
tố thứ 2 (32 =9), và là số nhỏ hơn số nguyên tố thứ 5 (số
• sign() là hàm signum,
11). Điều này chỉ ra rằng có nhiều phân số thập phân
• a ∈ { 0,1,…,9 } đối với tất cả các giá trị i ∈ Z, là con
đơn thuần, như sau:
số trong phần thập phân, bằng 0 đối với tất cả các
giá trị i lớn hơn một số nào đó (và số đó là lôgarít
1/2 = 0.5
tự nhiên của |x|).
1/3 = 0.333333… (với số 3 tái diễn)
1/4 = 0.25
1/5 = 0.2
1/6 = 0.166666… (với số 6 tái diễn)
1/8 = 0.125
1/9 = 0.111111… (với số 1 tái diễn)
1/10 = 0.1

1/11 = 0.090909… (với số 09 tái diễn)
1/12 = 0.083333… (với số 3 tái diễn)
1/81 = 0.012345679012… (với dãy số
012345679 tái diễn)
Khi mẫu số là các thừa số nguyên tố, nó còn cho phép
những dãy số tái diễn lâu hơn, chẳng hạn trường hợp
7, 13.

Tổng này tăng trưởng trong khi i được giảm xuống, và
có thể nó là những dãy số của các con số lớn hơn không
a, lặp lại theo tiến trình vô hạn.
p

Số hữu tỷ (rational number) (ví dụ: q ) với mẫu số là các
thừa số nguyên tố (prime factor), ngoài số 2 và 5 (khi
đã được giảm xuống dạng đơn giản nhất), có một chuỗi
dãy số thập phân lặp lại đặc thù.
Xem xét các số hữu tỷ có mẫu số là các thừa số nguyên
tố, như 2 và 5 - có thể biểu thị bằng 2ap5b . Những số này
cho chúng ta một dãy số thập phân hữu hạn. Chẳng
hạn:

1
1
1
2

=1

= 0, 5

Một số hữu tỷ nào đó, tạo nên một dãy số thập phân
3
tái diễn hữu hạn, hoặc vô hạn, đều là hậu quả của một 5 = 0, 6
phép tính chia dài, mà trong đó số dư còn lại chỉ là (q-1) 3 = 0, 12
những số khác 0, khi số chia là q, hầu cho mô hình tái 25
1306
= 1, 0448
diễn chỉ nhắc lại q-1 lần. Chẳng hạn phép chia dài 37 1250
sau đây:
Có những số thực không có một biểu đạt bằng một dãy
.4 2 8 5 7 1 4… 7) 3.0 0 0 0 0 0 0 0 2 8 30/7 = 4 dư 2 2 0 1 số thập phân đặc thù, vì chúng còn có thể được biểu đạt
4 20/7 = 2 dư 6 6 0 5 6 60/7 = 8 dư 4 4 0 3 5 40/7 = 5 dư bằng một biểu thức khác, gồm có những con số 9 tái


3
diễn, chẳng hạn 1 = 0, 99999... hoặc
vân vân.

1
2

= 0, 499999...

Những số này gọi là số vô tỷ (irrational number). Chúng
có thể có một biểu thị thập phân đặc thù hữu hạn,
nhưng cũng đồng thời mang đặc tính là những số có
phần biểu thị thập phân vừa hữu hạn, vừa vô hạn.
Nói chung, phần biểu thị thập phân trở nên đặc thù,
nếu chúng ta không kể đến những phần biểu thị kết
thúc bằng những con số 9 tái diễn.

Đương nhiên, cùng một hệ tam phân pháp (trichotomy)
được áp dụng cho các gốc hệ đếm khác của các hệ đếm
dùng vị trí định lượng (positional numeral system):
• Biểu thị hữu hạn: số hữu tỷ với mẫu số chia hết
cho một số nk nào đó.
• Biểu thị tái diễn: một trường hợp khác của số hữu
tỷ.
• Biểu thị vô hạn, bất tái diễn: số vô tỷ.
Một sao bản của hiện trạng này cũng được thấy áp dụng
trong các hệ đếm vô tỷ, chẳng hạn như thể dạng golden
mean base (⁇?)

7

Lịch sử

7.1

Những học giả viết về hệ thập phân

• Khoảng 3500 - 2500 TCN, Đế chế Elam của Iran đã
dùng thể thức sơ đẳng của hệ thập phân.
• Khoảng 2900 TCN, trong các bản chữ tượng hình
của người Ai Cập đã có thấy sự tính toán với mũ
10 (1 triệu + 400,000 con dê chẳng hạn).
• Khoảng 2600 TCN, nền văn minh sông Ấn (Bắc
Ấn Độ và Pakistan) đã có bằng chứng dùng hệ
thập phân trong hệ cân đong trọng lượng dùng
1 1 1 1
các trọng lượng thăng bằng có giá trị: 20

10 5 2
. Xin xem thêm trong mục Cân đong và đo lường
trong nền văn minh sông Ấn cổ.
• Khoảng 1400 TCN, có biểu hiện là những học giả
của Trung Hoa quen thuộc và thông hiểu quan
niệm về số thập phân, chẳng hạn số 547 được viết
là “Năm trăm, cộng với bốn mươi, cộng với bảy
ngày” trong một số bản viết tay.

• Khoảng 400 TCN, Pingala (em trai của Panini) –
kiến tạo ra hệ nhị phân trong phép làm thơ tiếng
Phạn, với sự sắp xếp tương ứng rõ ràng hệ thập
phân.
• Khoảng 100–200, Satkhandagama (hệ thống toán
học cổ của Ấn Độ) là một hệ thống dùng lôgarít
sớm nhất.
• Khoảng 476–550, Aryabhata (nhà thiên văn học
người Ấn Độ) dùng một hệ thống mật mã hóa bằng
bảng chữ cái đối với những con số dùng số không
(0).
• Khoảng 598–670, Brahmagupta (nhà thiên văn
học và toán học người Ấn Độ) giải thích bảng chữ
số Ả Rập (hệ thống đương đại) mà trong đó số
nguyên, số âm, và số không đã được dùng đến.
• Khoảng 780–850, Muḥammad ibn Mūsā alḴwārizmī (nhà bác học người Ba Tư) là người đầu
tiên trình bày chi tiết về algorism dùng hệ thập
phân ở ngoài Ấn Độ.
• Khoảng 920–980, Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim
Al-Uqlidisi (nhà toán học người Ả Rập) được biết
là người sớm nhất áp dụng trực tiếp phương pháp

toán học đối với phân số thập phân (decimal
fraction).
• Khoảng 1300–1500, Trường Kerala (dạy toán và
thiên văn học) ở miền Nam Ấn Độ) dạy số thập
phân với dấu chấm động (decimal floating point
number).
• 1548/49–1620, Simon Stevin (nhà toán học và kỹ
sư người vùng Vlaanderen - phía Bắc nước Bỉ) viết
cuốn De iende (Phần mười).
• 1561–1613, Bartholemaeus Pitiscus (nhà lượng
giác học, thiên văn học và thần học người Silesia)
có khả năng đã dùng dấu thập phân (decimal point
notation).
• 1550–1617, John Napier (nhà toán học, vật lý học,
thiên văn học người Scotland) dùng lôgarít thập
phân làm công cụ tính toán.

8 Cách diễn đạt trong ngôn ngữ

Một số ngôn ngữ diễn đạt thẳng số thập phân theo kiểu,
ví dụ số 11 được gọi là “mười-một” (10+1) và 23 được nói
• Khoảng 1200 TCN, Ấn Độ cổ, kinh Vệ đà nghi thức là “hai-mươi-ba” (2x10+3); cách diễn đạt này có trong
tế tự (Yajur-Veda) có liệt kê những con số có mũ các tiếng Trung ốc - ngoại trừ tiếng Ngô ( ) - và
cũng có trong tiếng Việt, với một vài biến âm (euphony)
10, đến số 1055.
(“mười” thành “mươi”, “năm” thành “lăm”, “một” thành
• Khoảng 450 TCN, nhà ngữ pháp Panini của Ấn Độ “mốt”…) hay nuốt âm (elision) (“hai mươi mốt” thành
– dùng toán tử vô định (null operator) trong ngữ “hăm mốt”). Nhật Bản, Hàn ốc và ái Lan đã nhập
pháp tiếng Phạn.
nội hệ thập phân từ tiếng Trung ốc. Nhiều ngôn ngữ

4

11 LIÊN KẾT NGOÀI

khác, có hệ thập phân cài đặt sẵn, có những chữ dành
riêng cho “chục” và “thập niên”.

• Cultural Aspects of
Mathematics Knowledge

Trong các ngôn ngữ của người dân bản xứ châu Mỹ,
như tiếng echua và tiếng Aymara, các từ đếm của
hệ thập phân hầu như được dùng trực tiếp, chẳng hạn
11 được bày tỏ là “mười với một”, hoặc 23 được nói là
“hai mười với ba”.

• English words
development

Nhiều nhà tâm lý học cho rằng những sự bất thống nhất
(bất thường) về số học trong một ngôn ngữ nào đó, sẽ
gây sự yếm thế trong khả năng tính toán của trẻ con,
làm giảm khả năng tính toán của chúng.

9

Xem thêm
• uật toán thập phân (Algorism)

• Dấu tách thập phân (Decimal separator)
• Biểu diễn thập phân
• Các dãy thập phân dùng cho mã hoá
• Hệ đếm
• Số thập phân mã hoá theo nhị phân (Binary-coded
decimal, BCD)
• Hệ thống phân loại thập phân Dewey
• 10 (số)
• Hệ nhị phân
• Hệ thập lục phân
• Hệ bát phân

10

Tham khảo

[1] e History of Arithmetic, Louis Charles Karpinski, 200
trang, Rand McNally & Company, 1925.
[2] Histoire universelle des chiffres, Georges Ifrah, Robert
Laffont, 1994 (hay e Universal History of Numbers:
From prehistory to the invention of the computer, Georges
Ifrah, ISBN 0-471-39340-1, John Wiley and Sons Inc.,
New York, 2000. David Bellos dịch từ bản tiếng Pháp,
E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk)

11

Liên kết ngoài

• Decimal arithmetic FAQ

• Tests: Decimal Place Value Sums Fractions
• Practice Decimal Arithmetic with Printable
Worksheets
• Converting Decimals to Fractions

may

Young
hinder

Children’s
math

skills


5

12
12.1

Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh
Văn bản

• Hệ thập phân Nguồn: Người đóng góp:
Robbot, Mekong Bluesman, Nguyễn anh ang, Trung, Arisa, Newone, DHN-bot, Hai Dang ang, JAnDbot, ijs!bot,
VolkovBot, TXiKiBoT, Okokono, BotMultichill, AlleborgoBot, SieBot, Luckas-bot, Xqbot, Almabot, TobeBot, Prenn, TuHan-Bot,
EmausBot, RedBot, WikitanvirBot, Kasirbot, MerlIwBot, JYBot, GrouchoBot, AlphamaBot, Hugopako, Addbot, Gaconnhanhnhen,
itxongkhoiAWB, Tuanminh01, TuanminhBot, Watashte và 10 người vô danh

12.2

Hình ảnh

12.3

Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0