Nghiên cứu một số phương trình tích phân giải được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN QUỐC HƯNG

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
GIẢI ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Sơn La, năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
GIẢI ĐƯỢC

Chuyên ngành: Giải Tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn: TS. VŨ VIỆT HÙNG

Sơn La, năm 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy TS.Vũ Việt Hùng,
người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em

về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên em có nghị lực hoàn thành
khóa luận này.
Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của
các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các thầy cô trong
tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học
Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K54 ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng góp,
giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để
em hoàn thành đề tài này. Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn
về những sự giúp đỡ quý báu nói trên.
Sơn La, tháng 5 năm 2017
Người thực hiện
Sv: Nguyễn Quốc Hưng


Mục lục

Mở đầu

3

1

Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . . . . .

6

1.2

Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.1

Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.2

Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . .

11

1.5.3

Định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . .

13

1.6
2

Phương trình tích phân

14

2.1

Phân loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.1

Phương trình tích phân Fredholm loại 2 . . . . . . . . . . .

14

2.1.2

Phương trình Fredholm loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.3

Phương trình Voltera loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.4

Phương trình Voltera loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.5

Một số bài toán dẫn tới phương trình tích phân . . . . . . .

18

Toán tử tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

1


2.2.1

Toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.2

Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.3

Toán tử tích phân Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3

Phương trình tích phân hạch đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4

Phương trình tích phân với nhân suy biến . . . . . . . . . . . . . .

32

2.5

Phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.6

Phương trình tích phân với nhân tử bé . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.6.1

Nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric . . . . . . .

46

2.6.2

Phương trình tích phân với nhân tử bé . . . . . . . . . . . .

46

2.6.3

Phương trình tích phân với nhân trực giao . . . . . . . . .

54

2.6.4

Giải phương trình Fredholm ứng dụng liên tục phổ . . . .

55

2.7

Phương trình Fredholm với nhân tổng quát . . . . . . . . . . . . .

61

2.8

Phương trình Voltera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.8.1

Phương trình Voltera loại 2, phương pháp xấp xỉ liên tiếp

64

2.8.2

Giải phương trình Voltera loại 2 bằng phương pháp toán tử 74

Kết luận

81

Tài liệu tham khảo

82

2


MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nhiều vấn đề toán học ( phương trình vi phân với điều kiện ban đầu hay điều
kiện biên ), cơ học, vật lý dẫn đến các hàm chứa biến nằm dưới dấu tích phân.
Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Phương trình
tích phân được xem như là một công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực
nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau. Nó có ứng
dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học
khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân với các điều kiện xác định
hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân không thể mô
tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền,... Vì vậy việc nghiên cứu

phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học.
Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn các phương trình tích phân.
Đồng thời đóng góp thêm một số lời giải cho các bài toán liên quan, tôi mạnh
dạn lựa chọn đề tài " Nghiên cứu một số phương trình tích phân giải được "
để làm khóa luận tốt nghiệp Đại học.
2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Khóa luận tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
- Nghiên cứu một số phương trình tích phân có thể giải được.
- Vận dụng một số phương pháp giải phương trình tích phân để giải một số
bài tập liên quan.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số phương trình tích phân có thể giải được.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của giải tích hàm, các phương trình

3


tích phân có thể giải được.
- Làm rõ các phương pháp giải các phương trình tích phân có thể giải được.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminar với
tổ bộ môn.
6. TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN
6.1. Tính mới mẻ của khóa luận:
Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong giải tích. Đồng thời đây cũng
là một vấn đề còn chưa được tiếp cận nhiều đối với các bạn sinh viên ĐHSP Toán
hiện nay.
6.2. Hướng phát triển của khóa luận:

Nghiên cứu và tổng hợp, thống kê các phương trình tích phân có thể giải được.
7. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN
Khóa luận đã nêu ra được các phương pháp giải cho một số loại phương trình
tích phân và các bài tập liên quan.
8. CẤU TRÚC KHÓA LUẬN
Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 2 chương với những
nội dung chính sau đây:
Chương 1: Nội dung chương này em trình bày một số kiến thức quan trọng
của giải tích hàm như các khái niệm về không gian định chuẩn, không gian
Banach, không gian thương, không gian hữu hạn chiều... Ba nguyên lí cơ bản
của giải tích hàm: Nguyên lí bị chặn đều, Định lí ánh xạ mở và đồ thị đóng,
Định lí Hahn - Banach cùng với các kết quả liên quan được sử dụng cho chứng
minh chương 2.

4


Chương 2: Trình bày nội dung chính của đề tài, trình bày một số loại phương
trình tích phân giải được và phương pháp giải các phương trình đó. Đồng thời
là một số bài toán có liên quan.

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức quan trọng
của giải tích hàm như không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian
hữu hạn chiều,..., ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm cùng với một số kết quả

quan trọng phục vụ chương 2.

1.1

Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.1. Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là một chuẩn
trên E nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ρ( x ) > 0 với mọi x ∈ E và ρ( x ) = 0 ⇒ x = 0,
2) ρ(λx ) = |λ|ρ( x ) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E,
3) ρ( x + y)

ρ( x ) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E.

Khi ρ thỏa mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’)
ρ( x )

0 với mọi x ∈ E, thì ρ được gọi là một nửa chuẩn trên E.

Định nghĩa 1.2. Không gian vector E cùng với chuẩn ρ xác định trên E được gọi
là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Một không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi ngắn gọn là không gian
định chuẩn.
Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn ρ thì với mỗi x ∈ E ta viết
6


ρ( x ) = || x || và gọi số || x || là chuẩn của vector x.
Định nghĩa 1.3. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian
Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric

đầy.
Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian định chuẩn E được gọi là:
a) Tập bị chặn nếu sup{|| x || x ∈ X } < +∞.
b) Tập hoàn toàn bị chặn nếu Với mọi ε > 0 tồn tại tập hữu hạn A ⊂ E sao cho

(∀ x ∈ X )(∃y ∈ A)| x − y < ε ⇔ x ⊂

B(y, ε)
y∈ A

Tập con hữa hạn A ⊂ E thỏa mãn b) được gọi là một ε- lưới hữu hạn của X.
c) Tập compact nếu mọi dãy { xn } ⊂ X có một dãy con { xnk } hội tụ tới một
phần tử x ∈ X.
Mệnh đề 1.5. Nếu F là không gian con của không gian định chuẩn E thì bao đóng F
của F cũng là không gian con của E.
Chứng minh. Thật vậy, rõ ràng F = ∅. Cho x, y ∈ F, α, β ∈ K. Khi đó, tồn tại các
dãy { xn } ⊂ F, {yn } ⊂ F để xn → x, yn → y. Suy ra dãy {αxn + βyn } là dãy phần
tử của F hội tụ đến αx + βy nên αx + βy ∈ F.
Định lý 1.6. Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn E. Khi đó
f liên tục khi và chỉ khi ker f là không gian con đóng của E.
Chứng minh. Điều kiện là tầm thường. Ngược lại, giả sử ker f là đóng. Vì f = 0
nên tồn tại e ∈ E sao cho f (e) = 1. Do ker f là đóng và e ∈
/ ker f , tồn tại r > 0 để
B(e, r ) ∩ ker f = ∅, ở đây B(e, r )z = { x ∈ E : x − c < r } = e + B(0, r ). Khi đó
f ( B(0, r )) ⊂ {λ ∈ K : |λ| < 1}.
Thật vậy nếu trái lại, tồn tại x0 ∈ B(0, r ) để | f ( x0 )|
và vậy thì e −

1. Do đó −

x0
∈ B(0, r )
f ( x0 )

x0
∈ B(e, r ) ∩ ker f . Trái giả thiết B(e, r ) ∩ ker f = ∅. Như vậy
f ( x0 )
7


sup{| f ( x )| : x

r}

1. Điều này mâu thuẫn với | f ( x0 )|
sup{| f ( x )| : x

1}

1. Suy ra

1
< +∞
r

Chứng tỏ f liên tục trên E.
Định nghĩa 1.7. Cho E, F là các không gian định chuẩn trên trường K. Khi đó
E, F vừa là không gian vector vừa là không gian metric sinh bởi chuẩn trên E, E.

1.2

Không gian thương

Cho E là không gian định chuẩn và M là không gian con đóng của E. Ký hiệu
E/M là tập thương của E theo quan hệ ∼ xác định bởi:
x, y ∈ E : x ∼ y ⇔ x − y ∈ M.
Khi đó E/M = { x + M : x ∈ E} và quan hệ bằng nhau trên E/M xác định bởi:
x + M = y + M ⇔ x − y ∈ M.
Dễ dàng kiểm tra được rằng E/M là không gian vector với các phép toán vector
xác định theo các phép toán giữa các phần tử đại diện của các phần tử của E/M.

( x + M) + (y + M) := ( x + y) + M, λ( x + M) := λx + M.
Ta sẽ chứng tỏ công thức sau xác định một chuẩn trên E/M:
x + M = dist( x, M) = inf{ x − y : y ∈ M}.
Chú ý rằng do M là không gian con của E nên y ∈ M ⇔ −y ∈ M, vì thế đẳng
thức sau đúng:
dist( x, M ) = inf{ x + y : y ∈ M}.
Định lý 1.8. E/M là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức
x + M = dist( x, M) = inf{ x − y : y ∈ M }.
Ngoài ra nếu E là Banach thì E/M cũng là Banach.
8


Định nghĩa 1.9. Không gian định chuẩn E/M được gọi là không gian thương
của không gian định chuẩn E theo không gian con đóng M.

1.3

Không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Định lý 1.10. Mọi không gian định chuẩn n chiều trên K, (n

1), đều đẳng cấu với

không gian Euclide n- chiều Kn .
Chứng minh. : Xem [1].
Hệ quả 1.11. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian Banach.
Chứng minh. Cho E là không gian định chuẩn m chiều, m ∈ N. Khi đó, theo định
lý 1.10 tồn tại phép đẳng cấu ϕ : E → K m . Giả sử { xn }n

1

là dãy Cauchy bất kỳ

trong E, khi đó với mọi số ε > 0 cho trước , tồn tại số tự nhiên n sao cho:

(∀k, l ∈ N∗ )(k, l

N ⇒ x k − x l < ε ),

suy ra với mọi k, l ∈ N∗ :

(k, l

N ⇒ ϕ( xk ) − ϕ( xi ) = ϕ( xk = xl )||

chứng tỏ dãy { ϕ( xn )}n

1

ϕ

.

xk − xl < ϕ

ε)

là dãy Cauchy trong Km . Do Km là không gian Banach

nên tồn tại giới hạn lim ϕ( xn ) = y0 ∈ Km . Lại do ϕ−1 liên tục nên tồn tại giới
n→∞

hạn:
lim xn = lim ϕ−1 ( ϕ( xn )) = ϕ−1 (y0 ) ∈ E.

n→∞

n→∞

Như vậy, mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ nên E là không gian Banach.

1.4

Không gian khả li

Định nghĩa 1.12. Không gian định chuẩn E gọi là khả li nếu E có một tập con
đếm được trù mật trong E.

9

1.5

Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm

Trong mục này trình bày ba định lí quan trọng xem như những nguyên lí của
Giải tích hàm. Đó là nguyên lí bị chặn đều, định lí ánh xạ mở và đồ thị đóng và
quan trọng nhất phải kể đến định lí Hahn- Banach và một số hệ quả quan trọng
của nó.
1.5.1

Nguyên lý bị chặn đều

Định lý 1.13. (Nguyên lý bị chặn đều). Mọi nửa chuẩn liên tục trên không gian
Banach E nếu bị chặn điểm thì bị chặn đều.
Chứng minh. Cho { pα }α∈ J là họ nửa chuẩn liên tục, bị chặn điểm trên không
gian Banach E:
C ( x ) = sup{ pα ( x ) : α ∈ J } < +∞ với mọi x ∈ E
Với mỗi n

1 đặt
An = { x ∈ E : pα ( x )

1
p−
α ((− ∞; n ])

n với mọi α ∈ J } =
α∈ J

1
Do pα : E → R liên tục và mỗi khoảng (−∞; n] là tập đóng trong R nên p−
α ((− ∞; n ])

đóng trong E, do đó An =

α∈ J

1
p−
α ((− ∞; n ]) là tập đóng trong E. Mặt khác nếu

x ∈ E thì theo giả thiết C ( x ) < +∞ nên tồn tại số tự nhiên n ∈ N để C ( x )
đó x ∈ An . Như vậy E =

n ∈N

An . Theo định lý Baire, tồn tại n0 ∈ N và x0 ∈ An0

để
B( x0 , r ) = x0 + B(0, r ) + B(0, r ) ⊂ An0 với r > 0 nào đó
Suy ra, với mọi x ∈ E, || x ||
1
Pα ( x ) = pα (rx )
r

1 và với mọi α ∈ J ta có:
1
[ pα ( x0 + rx ) + pα ( x0 )]

r

Vậy
sup || pα ||
α∈ J

n, khi

n0 + C ( x0 )
< +∞
r
10

n0 + C ( x0 )
r


Chứng tỏ họ { pα : α ∈ J } bị chặn đều. Định lý được chứng minh.
1.5.2

Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng

Định nghĩa 1.14. Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa các không gian metric X và Y.
Ta nói f là ánh xạ mở nếu ảnh f ( G ) của mọi tập mở G trong X là tập mở trong
Y.
Định lý 1.15. (Định lý ánh xạ mở). Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f : E → F từ
không gian Banach E lên không gian Banach F đều là ánh xạ mở.
Định lý 1.16. (Định lý đồ thị đóng). Mọi ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng giữa các
không gian Banach đều liên tục.
Chứng minh. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng từ không gian

Banach E vào không gian Banach F. Do E × F là không gian Banach và Γ( f ) là
đóng trong E × F nên Γ( f ) cũng là không gian Banach. Xét các ánh xạ tuyến tính
liên tục
p : Γ( f ) → E

( x, f ( x )) → x
và
q : Γ( f ) → F

( x, f ( x )) → x
Rõ ràng p là song ánh tuyến tính liên tục từ Γ( f ) lên E. Vì mọi song ánh tuyến
tính liên tục giữa các không gian Banach đều là đẳng cấu nên ánh xạ p−1 : E →
Γ( f ) : x → ( x, f ( x )) là liên tục. Do tính liên tục của p−1 và q và do f = q ◦ p−1 ,
suy ra f liên tục.
1.5.3

Định lý Hahn-Banach

Định lí Hahn - Banach thực.
11


Định lý 1.17. Giả sử F là không gian vector con của không gian vector thực E và p là
nửa chuẩn trên E. Khi đó đối với phiếm hàm tuyến tính f : F → R thỏa mãn
f (x)

p( x ) với mọi x ∈ F

đều tồn tại phiếm hàm tuyến tính f : E → R sao cho
fˆ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ F và fˆ( x )

p( x ) với mọi x ∈ E

Định lí Hahn - Banach phức.
Định lý 1.18. (Hahn-banach). Giả sử F là không gian vector con của không gian
vector phức E và p là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính
phức f : F → C thỏa mãn

| f ( x )|

p( x ) với mọi x ∈ F

Sau đây là một số hệ quả quan trọng của các định lí Hahn - Banach:
Hệ quả 1.19. Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn ( thực hoặc phức
) E và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính
liên tục fˆ trên sao cho
fˆ| F = f và || fˆ|| = || f ||
Hệ quả 1.20. Giả sử F là không gian con đóng của không gian định chuẩn E và x◦ ∈
E\ F. Khi đó tồn tại f ∈ E để
f | F = 0, || f || = 1 và f ( x◦ ) = dist( x◦ , F ) = in f {|| x◦ − y|| : y ∈ F }
Hệ quả 1.21. Giả sử E là không gian định chuẩn và x ∈ E, x = 0. Khi đó tồn tại f ∈ E
để
f ( x ) = || x || và || f || = 1

12


1.6

Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.22. Giả sử E và F là hai không gian vector trên cùng một trường
K. Ánh xạ T : E → F gọi là tuyến tính nếu:
T (αx + βy) = αT ( x ) + βT (y), ∀ x, y ∈ E, ∀α, β ∈ K
Định nghĩa 1.23. Cho E là không gian định chuẩn xn → x◦ gọi là hội tụ mạnh

⇔ || xn − x◦ || −→ 0.
Định nghĩa 1.24. Cho không gian định chuẩn E, f là ánh xạ. xn → x◦ gọi là hội
tụ yếu ⇔ Với mọi f liên tục, f ( xn ) −→ f ( x◦ ).
Định lý sau cho phép ta khẳng định L( E, F ) là một không gian định chuẩn.
Định lý 1.25. L( E; F ) là không gian định chuẩn với chuẩn || f || xác định bởi công thức:

|| f || = sup{|| f ( x )|| : x ∈ E, || x ||

1}

Ngoài ra, nếu F là không gian Banach thì L( E, F ) cũng là không gian Banach.
Định nghĩa 1.26. Cho E là không gian định chuẩn trên trường K. Ta kí hiệu
E = L( E, K) và gọi E là không gian liên hợp tôpô của E. Mỗi phần tử của E
gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E.
Định lý 1.27. Không gian định chuẩn E là đầy nếu mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt đối
là hội tụ.

13


Chương 2

Phương trình tích phân
Chương này chúng tôi trình bày nội dung chính của khóa luận. Trước hết trong

phần đầu chương, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về các phương trình
tích phân, phân loại phương trình tích phân. Tiếp sau đó chúng tôi trình bày
một số dạng phương trình tích phân giải được cùng phương pháp giải của nó.

2.1

Phân loại

Trong mục này chúng tôi trình bày các định nghĩa và phân loại các phương trình
tích phân thường gặp.
2.1.1

Phương trình tích phân Fredholm loại 2

Định nghĩa 2.1. Phương trình tích phân Fredholm loại 2 là phương trình tích
phân có dạng
b

ϕ( x ) = f ( x ) + λ

K ( x, s) ϕ(s)ds

(2.1)

a

trong đó ϕ( x ) là hàm chưa biết, f ( x ), K ( x, s) là các hàm cho trước; x, s ∈ [ a, b], λ
là tham số.
Phương trình
b

ϕ( x ) = λ

K ( x, s) ϕ(s)ds
a

14

(2.2)


được gọi là phương trình thuần nhất của phương trình tích phân Fredholm loại
2.
Ví dụ 2.2.
1

e x−s ϕ(s)ds

ϕ( x ) = f ( x ) +
0
1

e x−s ϕ(s)ds.

= x2 +
0

với f ( x ) = x2 .
Ví dụ 2.3.
1

ln| x − s| ϕ(s)ds + x

ϕ( x ) =
0

kí hiệu K ( x, s) = ln| x − y| không bị chặn, tuy vậy (sau này ta sẽ biết); là phương
trình Fredholm loại 2 , vì
ln2 | x − y|dxdy < +∞
D

Ví dụ 2.4.
1

( x + s) ϕ(s)ds + 18x2 − 9x − 4

ϕ( x ) =
0

với f ( x ) = 18x2 − 9x − 4.
2.1.2

Phương trình Fredholm loại 1

Định nghĩa 2.5. Phương trình Fredholm loại 1 là phương trình tích phân có
dạng
b

K ( x, s) ϕ(s)ds = f ( x ), λ là tham số

λ
a

với ϕ(s), s ∈ [ a, b] là hàm chưa biết, f ( x ), K ( x, s), x, s ∈ [ a, b] là các hàm cho trước.
Phương trình mà f = 0 được gọi là phương trình thuần nhất.

15


Ví dụ 2.6. Phương trình
π

ϕ( x ) = 1 +

cos( x + s) ϕ(s)ds
0

là phương trình Fredholm loại 2.
Ví dụ 2.7. Phương trình Fredholm loại 1
π

x=

cos( x + s) ϕ(s)ds
0

2.1.3

Phương trình Voltera loại 1

Định nghĩa 2.8. Phương trình Voltera loại 1 là phương trình tích phân có dạng
x

K ( x, s) ϕ(s)ds = f ( x )

λ

(2.3)

a

trong đó ϕ(s) là hàm chưa biết, K ( x, s), f ( x ) là các hàm cho trước; phương trình
mà f ( x ) = 0 được gọi là phương trình thuần nhất λ là tham số.
Ví dụ 2.9.

x
2

(s − x ) ϕ(s)ds.

x =
0

2.1.4

Phương trình Voltera loại 2

Định nghĩa 2.10. Phương trình Voltera loại 2 là phương trình tích phân có dạng
b

ϕ( x ) = λ

K ( x, s) ϕ(s)ds + f ( x )
a

trong đó ϕ( x ) là hàm chưa biết, K ( x, s), f ( x ) là các hàm cho trước. Phương trình
mà f ( x ) = 0 được gọi là phương trình thuần nhất, λ là tham số.
Ví dụ 2.11.

x

(s − x ) ϕ(s)ds.

ϕ( x ) = x +
0

16


Ví dụ 2.12.

x

(6x − 6s + 5) ϕ(s)ds.

ϕ( x ) = 29 + 6x +
0

Nhận xét 2.13. i) Các phương trình tích phân trên còn được gọi là các phương
trình tích phân tuyến tính là bởi tính chất tuyến tính của nó, hàm ϕ chưa biết

chứa trong đó là tuyến tính.
Một loạt các bài toán đưa đến phải xét các phương trình tích phân phi tuyến,
chẳng hạn phương trình dạng
b

ϕ( x ) = λ

K ( x, s) g ϕ(s), s ds + f ( x ).
a

hay
b

K ( x, s) g ϕ(s), s ds

ϕ( x ) = λ
a

trong đó f , g, k là những hàm đã biết. Tuy vậy, chúng ta chỉ giới hạn trong việc
xét các phương trình tuyến tính.
ii) Rõ ràng các phương trình Voltera loại 1, loại 2 có thể xem là trường hợp đặc
biệt của phương trình Fredholm loại 2, loại 1 tương ứng. Khi các phương trình
sau này ta cho thêm điều kiện
K ( x, s) = 0, ∀s > x
ta thu được phương trình Fredholm chính là phương trình Voltera.
iii) Lý thuyết các phương trình loại 1 phức tạp hơn lý thuyết các phương trình
loại 2 mà lại không có nhiều ý nghĩa, vì vậy ta chỉ xét các phương trình loại 2.
Mặt khác ta xét phương trình Voltera thành lớp riêng biệt bởi chúng có một số
tính chất khác biệt mà các phương trình Fredholm tùy ý không có.
iv) Trong khóa luận này, chúng tôi chủ yếu xét các phương trình Fredholm loại

2 vì phương trình loại 1 không có nhiều ý nghĩa.

17


2.1.5

Một số bài toán dẫn tới phương trình tích phân

a) Bài toán 1 " Cân bằng của thanh có tải trọng".
Cho thanh (hoặc dây) vật chất nào đó có độ dài l có thể uốn tự do, nhưng tạo ra
phản lực của sức căng, tỉ lệ với độ lớn của sức căng ấy.
Các điểm nút của thanh được gắn chặt tại vị trí cân bằng x = 0; x = l
Tại x = s đặt lực thẳng đứng p = ps hình dạng của thanh như hình vẽ.
Hãy tìm dộ lệch δ ?
Gọi sức căng của thanh là T0 thì
δ
δ
= ps
T0 + T0
s
l−s
(l − s)s
⇒δ = ps
T0 l
Nếu u( x ) là độ uốn của thanh tại x dưới tác dụng của ps thì
u( x ) = ps G ( x, s),
với




x (l − s)



T0 l
G ( x, s) =

(l − x )s



 Tl
0

, 0 ≤ x ≤ s.
, s ≤ x ≤ l.

Rõ ràng G ( x, s) = G (s, x ).
Vậy nếu trên thanh, cho tác dụng lực p2 liên tục với mật độ p(s) (tại s) thì dạng
tải trọng của thanh mô tả bởi hàm
l

u( x ) =

G ( x, s) p(s)ds.(∗)
0

Như vậy, nếu cho tải trọng lên thanh thì (tức là biết p(s)) thì theo trên ta tìm
được dạng của u( x ) của thanh có tải trọng.

Ngược lại, xét bài toán: Tìm cách phân bố tải trọng khi thanh có dạng u( x ) đã cho
ta thu được với hàm cần tìm p( x ), ta thu được phương trình tích phân Fredholm
18


loại 1
l

−u( x ) +

G ( x, s) p(s)ds = 0
0

dạng
b

f (x) +

K ( x, s) ϕ(s)ds = 0.
a

b) Bài toán 2 "Dao động tự do và cưỡng bức của thanh".
Giả sử thanh dao động mà không ở trạng thái tĩnh như Bài toán 1.
Giả sử thanh dao động, u( x, t) là vị trí của thanh tại thời điểm t ở vị trí x. ρ là
mật độ (tuyến tính) của thanh.
Tại mỗi yếu tố độ dài dx, thanh có tác dụng một lực quán tính là

−

∂2 u( x, t)

ρdx
∂t2

lực p(s) tại s là
∂2 u(s, t)
ρ
p(s) = −
∂t2
theo (*) ta được
l

u( x, t) = −ρ

G ( x, s)
0

∂2 u(s, t)
ds.
∂t2

Nếu thanh dao động điều hòa tần số ω và biên độ u( x ), ta được
l

u( x ) = ρω 2

G ( x, s)u(s)ds.
0

Nếu thanh chịu một dao động không tự do (cưỡng bức) dưới tác dụng của ngoại
lực thì dễ dàng ta thu được

l

u( x ) = ρω

2

G ( x, s)u(s)ds + f ( x )
0

đây là các phương trình Fredholm loại 2, phương trình sau là phương trình
Fredholm loại 2 không thuần nhất.

19


c) Đưa phương trình vi phân về phương trình tích phân.
Một loạt các trường hợp giải các phương trình vi phân được đưa về giải phương
trình tích phân.
Chúng ta biết rằng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình vi phân
y = f ( x, y)
thỏa mãn điều kiện đầu y( x ) = y0 , đưa về phương trình tích phân (phi tuyến)
x

y = y0 +

f (t, y)dt
x0

Việc đưa về phương trình tích phân có thể thực hiện cả đối với phương trình vi

phân cấp cao hơn 1. Chẳng hạn phương trình vi phân cấp 2
y + f ( x )y = 0
Đặt f ( x ) = ρ2 − σ( x ), ρ = const, ta được
y + ρ2 y = σ ( x ) y
Vậy nghiệm phương trình đã cho là nghiệm của phương trình tích phân
1
y( x ) −
ρ

2.2

x

σ(s) sin ρ( x − s)y(s)ds = cos ρ( x − a).
a

Toán tử tích phân

Chúng tôi sẽ dựa chủ yếu vào lý thuyết toản tử để giải các phương trình tích
phân. Vì vậy trong mục này, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức liên
quan tới lý thuyết toán tử tuyến tính nói chung, toán tử tuyến tính liên tục nói
riêng.

20


2.2.1

Toán tử

a) Không gian L p . Cho không gian E, µ là một độ đo trên một σ đại số và các tập
con của E. Họ tất cả các hàm f ( x ) có lũy thừa bậc p (1 ≤ p ≤ +∞) của modun
khả tích trên E, tức là

| f | p dµ < +∞
được gọi là không gian

E
p
L ( E, µ). Đây

là không gian định chuẩn với chuẩn
1

p

p

| f | dµ

f =
E

Khi E là tập đo được Lebesgue trên Rk , µ là độ đo Lebesgue trên Rk ta viết gọn
là
L p ( E)
Khi E = [ a, b] ⊂ R1 , µ là độ đo Lebesgue trên R, ta viết
p

L p ( a, b) hay L[ a,b]

hay là L nếu E = [0, 1].
Nhận xét 2.14. i) Cần chú ý rằng trong L p ( E, µ) với chuẩn nói trên cần phải
không phân biệt các hàm tương đương với nhau.
2i) Hơn nữa L p ( E, µ) là không gian định chuẩn đủ, tức là không gian Banach.
3i) Không gian L p ( E, µ) trong đó E đo được Lebesgue trong Rk , µ là độ đo trên
Rk là tách được.
b) Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 2.15. Cho hai không gian vectơ X, Y trên cùng trường K. Ánh xạ
A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu

∀ x, y ∈ X

A( x + y) = Ax + Ay,

∀α ∈ K, x ∈ X.

A(αx ) = αAx,
21


Định nghĩa 2.16. Toán tử A : X → Y từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y được gọi là liên tục nếu xn → x0 thì kéo theo Axn → Ax0 .
Toán tử A được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số k > 0 để

(∀ x ∈ X, Ax ≤ k x ).
Định lý 2.17. Toán tử tuyến tính A : X → Y giữa các không gian định chuẩn liên tục
khi và chỉ khi A bị chặn.
Chứng minh. Thật vậy, nếu k, Ax ≤ k với x = 1 thì mỗi n ∈ N∗ , ∃ xn : xn =
1 mà Axn > n.
Dãy {

xn
Axn
xn
} là hội tụ về 0 ∈ X và A
=
> 1. Do đó A không liên tục
n
n
n

(mâu thuẫn).
Vậy ∃k > 0 : Ax ≤ k, ∀ x = 1.
Xét trường hợp ∀ x ∈ X, do
A

x
x

= 1 và do chứng minh trên, nếu

x
x

≤ k ⇔ Ax ≤ k x .

Ngược lại rõ ràng nếu tồn tại k như trên thì A liên tục.
Định nghĩa 2.18. Cận dưới lớn nhất của các số k thỏa mãn điều kiện bị chặn
trong Định lý 2.17 nói trên được gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A .
Như vậy ta có

Ax ≤ A . x , ∀ x ∈ X;
Nếu Ax ≤ k. x , ∀ x ∈ X thì A ≤ k.
Định nghĩa 2.19. Ta gọi L( X, Y ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ
không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Khi đó L( X, Y ) là một
không gian định chuẩn với chuẩn của toán tử xác định trong Định nghĩa 2.18.
Chú ý 2.20. i) Nếu Y là Banach thì L( X, Y ) là Banach.
22