Bài tập Phép biến hình

PHÉP BIẾN HÌNH. PHÉP TỊNH TIẾN
A. Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến
1. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v   2;3  và đường thẳng d có phương trình 3x – 5y + 3 = 0.
Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x 2  y2  2 x  4y  4  0 . Tìm
ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v   2;3 
B. Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán dựng hình
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(-1:-1), B(3;1), C(2;3). tìm tọa độ điểm D để tứ giác
ABCD là hình bình hành
2. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc đường
thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song song hoặc trùng với d (hay d1 ). Hãy tìm M trên d
và điểm M’ trên d1 để tứ giác ABMM’ là hình bình hành
3. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x 2  y2  2 x  4y  4  0 . tìm ảnh của
(C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v   2;5 
C. Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm
1. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, diểm A di động trên đường
tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động
trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn
2. Cho đoạn thẳng AB và dường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường AB. Lấy
điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động
trên (C)
PHÉP ĐỖI XỨNG TRỤC
A. Xác định ảnh của một hình qua một phép đối xứng trục
1. Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE
qua phép đối xứng qua đường thẳng CD
2. Trong mặt phẳng Oxy, cho M(1;5), đường thẳng d có phương trình x – 2y + 4 = 0 và đường tròn
(C) có phương trình: x 2  y2  2 x  4y  4  0
a) Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox
b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng

3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3;-5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 6 = 0
và đường tròn (C) có phương trình: x 2  y2  2 x  4y  4  0 . Tìm ảnh M, d và (C) qua phép đối
xứng trục Ox
B. Tìm trục đối xứng của một đa giác
1. Tìm các trục đối xứng của một hình chữ nhật
2. Tìm các trục đối xứng của hình vuông
C. Dùng phép đối xứng trục để giải một số bài toán dựng hình
1. Cho hai đường tròn (C), (C)’ có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãydựng hình vuông
ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C), (C)’ còn hai đỉnh kia nằm trên d
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm


1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(2;-3) và đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 1 =
0. Tìm tọa độ của điểm I’ và phương trình đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và đường thẳng
d qua phép đối xứng tâm O
2. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1;2), M(-2;3), đường thẳng d có phương trình 3x – y + 9
= 0 và đường tròn (C) có phương trình: x 2  y2  2 x  6y  6  0 . Hãy xác định tọa độ của điểm
M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C)’ theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua
a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ
b) Phép đối xứng qua tâm I
B. Tìm tâm đối xứng của một hình
1. CMR: trong phép đối xứng tâm I nếu điểm M biến thành chính nó thì M phải trùng với I
2. CMR: nếu có một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là một hình bình hành
3. Trong Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: x – 2y + 2 = 0 và d’có phương trình: x – 2y – 8
= 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó
PHÉP QUAY
A. Xác định ảnh của một hình qua phép quay
1. Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của
tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 90°

2. Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 120°
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 60°
3. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(3;3), B(0;5), C(1;1) và đường thẳng d có phương trình 5x
– 3y + 15 = 0. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ và phương trình đường thẳng
d’ theo thứ tự ảnh của tam giác ABC và đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 90°
B. Sử dụng phép quay để giải một số bài toán chứng minh hình học
1. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của
đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF
a) chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 60°
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC , chứng minh tam giác BMN đều
2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía
ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn
cố định