Rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM
SỐ BẬC BA.

Người thực hiện: Đỗ Thị Toàn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HOÁ NĂM 2017


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

Mục lục
Trang
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1.Một số công thức và quy tắc tính đạo hàm

2
2
2
2

3

2.1.2.Một số định lí về cực trị của hàm số

3

2.1.3.Các kiến thức về đường thẳng trong mặt phẳng

3

2.1.4.Các kĩ năng biến đổi đại số, giải phương trình, bất
phương trình
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

4
4

2.3. Giải pháp
2.3.1. Giới thiệu dạng toán và phân tích

4

2.3.2. Các bước thực hiện bài toán

6

2.3.3. Các bước áp dụng

7

2.3.4. Bài tập tự luyện

14

2.4. Hiệu quả của SKKN

16

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục SKKN đạt giải cấp tỉnh
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

17
17
17
18
19
2


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số bậc ba qua một số ví dụ

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Toán lớp 12, cực trị của hàm số là nội dung quan
trọng và thường xuyên gặp trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn
Toán.
Bài toán về cực trị khá đa dạng,trong đó bài toán liên quan đến viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số
bậc ba là một trong những bài toán hay gặp. Với sự thay đổi lớn về hình thức thi
là chuyển từ tự luận sang trắc nghiệm,chúng ta cũng cần phải có sự thay đổi
trong cách dạy và học, chúng ta không chỉ phải làm được mà còn phải làm
nhanh.Trong quá trình giảng dạy cho đối tượng là học sinh trung bình và khá, tôi
thấy rằng một trong những phương pháp hữu hiệu là cung cấp cho các em một
số cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
bậc ba và cho các em rèn luyện kĩ năng đó qua các ví dụ. Phương pháp này khá
hữu hiệu với các em do các em không cần tư duy nhiều mà chỉ cần áp dụng công
thức.
Tuy nhiên để ghi nhớ lâu dài các công thức các em cần làm nhiều bài tập
liên quan đến công thức. Chính vì lí do đó tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ
năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số bậc ba qua một số ví dụ”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Góp phần giải quyết một lớp bài toán liên quan đến viết phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba.
Cung cấp thêm cho học sinh công cụ để rèn luyện kĩ năng giải toán về cực
trị của hàm bậc ba.Qua đó các em tự tin hơn khi bước vào kỳ thi THPTQG.
Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ của bản thân, để trau đổi kinh nghiệm với
đồng nghiệp và đóng góp một phần nào đó vào việc nâng cao chất lượng dạy và
học.

1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của tôi là những bài toán liên quan đến viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba và
các bài toán liên quan.
Đề tài được áp dụng cho học sinh trung bình và khá của lớp 12A5, 12A7,
năm học 2016 - 2017
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liên quan ,SGK,tài
liệu về cực trị.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp thực nghiệm.

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

3


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Để sử dụng được phương pháp này học sinh phải nắm được một số vấn đề
sau đây:
2.1.1. Một số công thức và quy tắc tính đạo hàm.
+ ( c ) ' = 0 (với c là hằng số) [ 3]
n
n −1
+ ( x ) ' = n.x [ 3]

n
n −1
+ ( kx ) ' = n k.x [ 3]
+ ( u ± v ± w ) ' = u'± v'± w ' [ 3]

n
n −1
+ f ( ) ( x ) =  f ( ) ( x )  [ 3]
2.1.2. Một số định lí về cực trị của hàm số.
* Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 .Khi đó ,nếu f có đạo hàm tại x0 thì
f '(x 0 ) = 0 . [ 2]
* Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
các khoảng ( a; x0 ) và ( x0 ; b ) .Khi đó
a)Nếu f '(x) < 0 với mọi x ∈ ( a; x0 ) và f '( x) > 0 với mọi x ∈ ( x0 ; b ) thì hàm
số f đạt cực tiểu tại điểm x0 . [ 2]
b)Nếu f '(x) > 0 với mọi x ∈ ( a; x0 ) và f '( x) < 0 với mọi x ∈ ( x0 ; b ) thì hàm
số f đạt cực đại tại điểm x0 . [ 2]
'

3
2
*Điều kiện để hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ,(a ≠ 0) có cực trị
y ' = 0 ⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac > 0 . [ 3]
2.1.3. Các kiến thức về đường thẳng trong mặt phẳng.
Cho hai đường thẳng (∆1 ) : y = a1 x + b1 ;( ∆ 2 ) : y = a2 x + b2 . Khi đó
a1 = a2

[ 4]
+ ∆1 P∆ 2 ⇔ 
b
≠
b
1 2

+ ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇔ a1.a2 = −1 [ 4]
a1 = a2
[ 4]
+ ∆1 ≡ ∆ 2 ⇔ 
b
=
b
1 2

+ ∆1 tạo với ∆ 2 một góc α thì tan α =

a1 − a2
, ( α ≠ 900 ) [ 4]
1 + a1.a2

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

4


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

+ ∆1 tạo với Ox một góc α thì tan α = a1 [ 4]
+ ∆1 qua điểm M ( xM ; yM ) khi yM = a1 + b1 xM [ 4]
2.1.4. Các kĩ năng biến đổi đại số, giải phương trình, bất phương trình…
Kĩ năng chia đa thức đa thức cho đa thức,giải phương trình,bất phương
trình bậc hai,phương trình quy về phương trình bậc hai,…
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Khi giảng dạy về cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh thi THPTQG, tôi
thấy các bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của đồ thị hoặc các bài toán liên quan đến điểm cực trị của hàm số bậc ba
đã làm cho các học sinh trung bình,thậm chí cả học sinh khá '' ngại " vì phải tính
toán, biến đổi đại số khá nhiều và phức tạp, nhất là những bài toán có chứa tham
số làm mất nhiều thời gian mới cho ra kết quả. Lí do là: Các em chưa có
phương pháp thích hợp, chưa có kĩ năng giải quyết bài toán. Trước thực trạng đó
tôi đã tìm tòi, tham khảo các phương pháp giải quyết nhanh bài toán trong đó có
cả phương pháp dùng máy tính cầm tay và đưa ra một số ví dụ dưới hình thức
trắc nghiệm cho các em rèn luyện.
2.3. Giải pháp
2.3.1. Giới thiệu dạng toán và phân tích.
3
2
Dạng toán: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ,(a ≠ 0)
Yêu cầu: Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số
Phân tích: Với bài toán dạng này hiểu đơn giản là ta phải thực hiện tìm tọa độ
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số, sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị đó. Vấn đề đặt ra là khi phương trình
f'(x)' = 0 ⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0 không có nghiệm " đẹp " thì việc ta tìm ra hai
điểm cực trị và viết phương trình đi qua hai điểm cực trị đó sẽ khó khăn và tốn
rất nhiều thời gian. Chính vì vậy tôi đã đưa ra công thức áp dụng để thực hiện
bài toán một cách nhanh chóng.

Xây dựng công thức:
Công thức 1
'
+ Thực hiện phép chia f ( x) cho f ( x) ta được :
b  '
2
b2 
bc
1
f ( x) =  x + ÷ f ( x) +  c − ÷x + d −
[ 3]
9a 
3
3a 
9a
3
b 
2∆ '
bc
1
=  x + ÷ f ' ( x) −
x+d −
9a 
9a
9a
3
(Với ∆ ' = b 2 − 3ac )

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

5


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

 f ' ( x1 ) = 0
+ Gọi x1 ; x2 là hai điểm cực trị của hàm số ,khi đó ta có:  '
 f ( x2 ) = 0
2∆ '
bc

y1 = −
x1 + d −
'

 f ( x1 ) = 0

9a
9a
[ 3]
Do  '
nên hai cực trị của hàm số là 
'
f
(
x
)
=
0

2
∆
bc

2
y = −
x2 + d −
 2
9a
9a
Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn phương trình đường thẳng
2∆ '
bc
y=−
x+d −
nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
9a
9a
đồ thị hàm số là:
2∆ '
bc
y=−
x+d −
9a
9a
Công thức 2.
'
+ Thực hiện phép chia f ( x) cho f ( x) ta được :
x b 
x b 

f ( x) =  + ÷ f ' ( x ) + g ( x) ⇔ g ( x) = f ( x ) −  + ÷ f ' ( x )
 3 9a 
 3 9a 
Trong đó g ( x ) là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại cực tiểu của
đồ thị hàm số.
x b 3ax + b 6ax + 2b
y"
y"
=
=
=
=
Xét h( x) = +
. [ 1]
3 9a
9a
18a
3.6a 3. y '
Với : f "( x ) = 6ax + 2b;f'''(x) = 6a
Như vậy:
f"(x).f'(x)
y ''. y '
g ( x) = f ( x) −
= y−
[ 1]
3 f '''(x)
3 y '''
Với công thức 2 chúng ta dùng máy tính cầm tay Casio Fx570 tìm
nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số như
sau:

'
2
''
'''
+ Tính: y = 3ax + 2bx + c; y = 6ax + 2b; y = 6a
+ Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS hoặc fx -570VN PLUS
thực hiện theo các bước:
y ' y ''
- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức y − ''' [ 1]
3y
- Bấm CALC, gán x = i với i là đơn vị số phức (bấm ENG) được kết
quả dạng p + qi [ 1]
- Đường thẳng đi qua điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số có phương
trình là:
6
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

y = qx + p [ 1]
+Trong trường hợp hàm số chứa tham số m ta thực hiện các bước tương tự:
y ' y ''
- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức y − ''' ( m gán bằng M)
3y
- Bấm CALC, gán x = i, M = 100 với i là đơn vị số phức (bấm ENG)
được kết quả dạng p + qi với p, q là các hằng số được ở dạng lũy thừa của 100.
Thế 100= m để được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại,cực tiểu
của đồ thị hàm số phụ thuộc vào m [ 1]

- Kết luận về đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số.
2.3.2. Các bước thực hiện bài toán : " Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d ,(a ≠ 0)"
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
'
2
+ Tính đạo hàm: y = 3ax + 2bx + c
'
+ Hàm số có hai cực trị khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac > 0
Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại ,cực tiểu của
đồ thị hàm số.
Cách 1:
+ Tìm tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số A ( x1; y1 ) ,B ( x2 ; y2 ) .
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B
x − xA
y − yA
=
[ 4]
Phương trình đường thẳng AB :
xB − x A y B − y A
Cách 2: Áp dụng công thức 1.
'
2
2
+Tính đạo hàm y = 3ax + 2bx + c; ∆ ' = b − 3ac
+ Xác định: a, b, c, d , ∆ '
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

2∆ '
bc
y=−
x+d −
9a
9a
Cách 3: Áp dụng công thức 2
'
2
''
'''
+ Tính: y = 3ax + 2bx + c; y = 6ax + 2b; y = 6a
+ Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS hoặc fx -570VN PLUS
thực hiện theo các bước:
y ' y ''
- Chuyển sang chế độ MODE 2,nhập biểu thức y − ''' [ 1]
3y

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

7


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

- Bấm CALC, gán x = i với i là đơn vị số phức (bấm ENG) được kết
quả dạng p + qi [ 1]
- Đường thẳng đi qua điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số có phương
trình là:

y = qx + p [ 1]
+ Trong trường hợp hàm số chứa tham số m ta thực hiện các bước tương tự:
y ' y ''
- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức y − ''' ( m gán bằng M)
3y
- Bấm CALC, gán x = i, M = 100 với i là đơn vị số phức (bấm ENG)
được kết quả dạng p + qi với p, q là các hằng số được ở dạng lũy thừa của 100.
Thế 100= m để được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại,cực tiểu
của đồ thị hàm số phụ thuộc vào m
- Kết luận về đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số.
Nhận xét:
Tuy nhiên trong các đề thi ta lại thường gặp các bài toán liên quan đến
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số khi đó
chúng ta phải thực hiện thêm bước 3.
Bước 3: Giải các điều kiện liên quan
* Một số điều kiện thường gặp:
Giả sử đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là:
( ∆ ) : y = p + qx
Cho đường thẳng ( ∆ ) : y = k + hx . Khi đó
p = k
'
+ ∆ P∆ ⇔ 
q ≠ h
'
+ ∆ ⊥ ∆ ⇔ pk = −1
p = k
'
+ ∆≡∆ ⇔
q = h

p−k
, ( α ≠ 900 )
+ ∆ tạo với ∆' một góc α thì tan α =
1 + pk
+ ∆ tạo với Ox một góc α thì tan α = p
+ ∆ qua điểm M ( xM ; yM ) khi yM = p + qxM
'

2.3.3. Ví dụ áp dụng.
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

8


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của hàm số bậc ba bằng cách áp dụng các công thức, tôi đã đưa
ra 10 ví dụ và có hướng dẫn đi kèm để các em luyện tập .
Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x3 − 3x + 1 là:
A. y = 2 x − 1
B. y = 1 − 2 x
C. y = 2 x + 1
D. y = −2 x − 1
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 3x − 3

x =1
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ 
 x = −1
+ Với x = 1 ⇒ y = −1
x = −1 ⇒ y = 3
+ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A ( 1; −1) ; B ( −1;3)
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
x −1 y +1
=
⇔ y = −2 x + 1
−1 − 1 3 + 1
Đáp án: B
Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x 3 − 3 x 2 − 6 x + 8 [ 3] là:
A. y = −6 x + 6
B. y = 6 x − 6
C. y = 6 x + 6
D. y = −6 x − 6
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 3x − 6 x − 6
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x − 6 = 0
+ Có ∆ ' = 27 > 0 ,hàm số có hai điểm cực trị.
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Viết theo cách 2: Ta có a = 1; b = −3; c = −6; d = 8; ∆ ' = 27
2∆ '
bc
2.27
(−3).(−6)

y=−
x+d −
=−
x +8−
= −6 x + 6
9a
9a
9.1
9.1
+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là :
y = −6 x + 6
Đáp án: A
'
2
''
'''
Viết theo cách 3: Ta có y = 3x − 6 x − 6; y = 6 x − 6; y = 6
Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS hoặc fx -570VN
PLUS thực hiện theo các bước:
- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức
3x 2 − 6 x − 6 ) ( 6 x − 6 )
(
y ' y ''
3
2
y − ''' = ( x − 3x − 6 x + 8) −
3y
18
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

9


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

- Bấm CALC, gán x = i với i là đơn vị số phức (bấm ENG) được kết
quả: 6 − 6i
- Đường thẳng đi qua điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số có phương
y = −6 x + 6
trình là:
Đáp án: A
Nhận xét 1:
Ở VD1 ta tính được ∆' là số chính phương nên chúng ta có thể viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng cách một khá dễ dàng.
Ở VD2 ta tính được ∆' không phải là số chính phương nên việc chúng ta
viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng cách 1 sẽ khó khăn
hơn, khi đó chúng ta sử dụng cách 2 hoặc cách 3 sẽ thuận lợi hơn rất nhiều.
3
2
Ví dụ 3: Giả sử đồ thị hàm số y = x − 3mx + 3 ( m + 6 ) x + 1 có hai điểm cực trị.
Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
2
2
2
A. y = 2 x + m + 6m + 1
B. y = 2 ( − m + 6m + 6 ) x + m + 6m + 1
2
C. y = −2 x + m + 6m + 1

D. Tất cả đều sai. [ 1]
(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng-Phú Yên)

Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 3x − 6mx + 3 ( m + 6 )
∆ , = 9 ( m2 − m − 6 )
+ Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.Khi đó phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
,
2
Viết theo cách 2: Ta có a = 1; b = −3m; c = 3 ( m + 6 ) ; d = 1; ∆ = 9 ( m − m − 6 )
2.9 ( m 2 − m − 6 )
2∆ '
bc
(−3m).3(m + 6)
y=−
x+d −
=−
x +1−
9a
9a
9.1
9.1
= 2 ( −m 2 + m + 6 ) x + m 2 + 6m + 1

+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là :
y = 2 ( − m 2 + m + 6 ) x + m 2 + 6m + 1
Đáp án: B

''
'''
Viết theo cách 3: Ta có y = 3x − 6mx + 3 ( m + 6 ) ; y = 6 x − 6m; y = 6
Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS hoặc fx -570VN
PLUS thực hiện theo các bước:
- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức
'

2

3x 2 − 6mx + 3 ( m + 6 )  ( 6 x − 6 )
y ' y ''
3
2
y − ''' = [x − 3mx + 3 ( m + 6 ) x + 1] −
3y
18
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

10


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

- Bấm CALC, gán x = i, m = 100 với i là đơn vị số phức (bấm ENG)
được kết quả : 10601 − 19788i
Ta có:
10601 − 19788i = 1002 + 6.100 + 1 − ( 2.100 2 − 2.100 − 12 ) i
⇒ y = m 2 + 6m + 1 + 2 ( − m 2 + m + 6 ) i

- Vậy đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có
y = 2 ( −m 2 + m + 6 ) x + m 2 + 6m + 1
phương trình là:
Đáp án: B
Nhận xét 2:
+ Đối với những hàm số có chứa tham số thì việc sử dụng cách 2 hoặc cách 3 là
thuận lợi hơn rất nhiều so với cách 1.
+ Cũng với hàm số này chúng ta cũng có thể gặp một số yêu cầu khác như:
- Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song
song với đường thẳng y = 8 x + 2017
- Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số qua
điểm M ( 0;17 )
- Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông
góc với đường thẳng x − 12 y + 2017 = 0
Tuy nhiên để giải những bài toán này trước khi viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số ta còn phải tìm điều kiện của
m để hàm số có hai điểm cực trị
3
Ví dụ 4: Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − x − m đi
qua điểm M ( 3; −1) khi m bằng:
A. m = 1
B. m = −1
C. m = 0
D. Một giá trị khác
(Trích đề thi thử tạp chí Toán học và Tuổi trẻ lần 7)
Hướng dẫn:
'
2
+Ta có : y = 3x − 1

∆ , = 3 > 0 nên hàm số luôn có hai điểm cực trị.
+Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
Viết theo cách 2: Ta có a = 1; b = 0; c = −1; d = m; ∆ , = 3
0.( −1)
2∆ '
bc
2.3
2
y=−
x+d −
=−
x+m−
=− x+m
9a
9a
9.1
9.1
3
'
2
''
'''
Viết theo cách 3: Ta có y = 3 x − 1; y = 6 x; y = 6
+ Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS hoặc fx -570VN PLUS
thực hiện theo các bước:
- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

11

Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

3x 2 − 1) 6 x
(
y ' y ''
3
y − ''' = ( x − x + m) −
3y
18
- Bấm CALC, gán x = i, m = 100 với i là đơn vị số phức (bấm ENG)
được kết quả :
2
2
100 − i ⇒ y = m − x
3
3
- Vậy đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có
phương trình là:
2
y=− x+m
3
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số qua điểm M ( 3; −1)
khi:
2
−1 = − .3 + m ⇔ m = 1
3
Đáp án: A

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ
3
2
3
thị hàm số y = x − 3mx + 3m song song với đường thẳng (∆) : y = −2 x + 2017 ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 3x − 6mx
∆ , = 9m 2
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ , = 9m 2 > 0 ⇔ m ≠ 0
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
y = −2m 2 x + 3m 3
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường
−2m 2 = −2
⇔ m = ±1
thẳng (∆) : y = −2 x + 2017 khi:  3
3m ≠ 2017
Đáp án: C
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6 x [ 1] vuông góc với đường thẳng
(∆) : x − 5 y + 2017 = 0?
A. m = −4; m = 2
B. m = −2
C. m = 4; m = −2
D. Đáp án khác

Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 6 x − 6(m + 1) x + 6
∆ , = 9(m 2 + 2m − 3)
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

12


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

 m < −3
,
2
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ = 9(m + 2m − 3) > 0 ⇔ 
m > 1
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
y = −(m 2 + 2m − 3) x + m + 1
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường
1
2017
thẳng (∆ ) : x − 5 y + 2017 ⇒ ( ∆) : y = x +
khi:
5
5
1
− ( m 2 + 2 m − 3 ) . = −1 ⇔ m 2 + 2 m − 8 = 0
5

 m = −4(t / m)
⇔
 m = 2(t/ m)

Đáp án: A
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x − 1[ 3] tạo với đường thẳng
(∆) : y = 3x + 1 một góc 450 ?
A. m = 1; m = 5
B. m = 3 ± 2
C. m = 2 ± 3
D. m ∈∅
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 6 x + 6( m − 1) x + 6 ( m − 2 )
∆ , = 9(m 2 − 6m + 9)
,
2
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ = 9(m − 6m + 9) > 0 ⇔ m ≠ 3
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
y = −( m 2 − 6m + 9) x − ( m 2 − 3m + 2 )
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường
thẳng (∆ ) : y = 3 x + 1
một
góc
khi:
450
3 + m 2 − 6m + 9
3 + m 2 − 6m + 9

tan 450 =
⇔
= 1 ⇔ m = 3 ± 2(t / m)
1 − 3(m 2 − 6m + 9)
1 − 3(m 2 − 6m + 9)
Đáp án: B
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
y = 2 x 3 + 3( m − 1) x 2 + 6m ( 1 − 2m ) x có hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng
(∆) : y = −4 x ? [ 3]
1
1
A. m = 0
B. m = −
C. m = −
D. m = 1
3
2
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 6 x + 6( m − 1) x + 6m ( 1 − 2m )

∆ , = 9(9m 2 − 6m + 1)
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

13


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

1
3
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
y = −(9m 2 − 6m + 1) x + (m − 1) ( −2m 2 + m )
,
2
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ = 9(9m − 6m + 1) > 0 ⇔ m ≠

3
2
+ Để đồ thị hàm số y = 2 x + 3(m − 1) x + 6m ( 1 − 2m ) x − 1 có hai điểm cực trị
nằm trên đường thẳng (∆) : y = −4 x khi đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số trùng với đường thẳng (∆) : y = −4 x
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng với đường thẳng
1

m
=
1
∨
m
=
−
2

−9( m − 6m + 1) = −4
3
(∆) : y = −4 x khi: 
⇔

⇔ m =1

2
1
(m
−
1)(
−
2
m
+
m
)
=
0

m = 1 ∨ m = ∨ m = 0

2
Đáp án: D
Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
3
2
đồ thị hàm số y = 2 x + 3 x − 3 ( m − 1) x tạo với hai trục tọa độ một tam giác có
1
diện tích bằng (đvdt)?
3
10
1
A. m = 1; m =

B. m = − ; m = 3
3
3
1
1
C. m = ; m = 3
D. m = − ; m = −3
3
3
Hướng dẫn:
+ Ta có : y ' = 3 x 2 + 6 x − 3(m − 1) ; ∆ , = 9m
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ , = 9m > 0 ⇔ m > 0
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
(∆) : y = −2mx + m − 1
 m −1 
;0 ÷ . Với m > 0 ta có:
+ ( ∆ ) ∩ Ox = A ( 0; m − 1) ; ( ∆ ) ∩ Oy = B 
 2m 
m = 3
1
1
1
1
m −1 1
2
S∆ABC = ⇔ OA.OB = ⇔ m − 1 .
= ⇔ 3m − 10m + 3 = 0 ⇔ 
1 (t / m)
m =
3

2
3
2
2m
3
3

Đáp án: B
Ví dụ 10: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
3
của đồ thị hàm số y = x + 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I ( 1;1) ,bán kính bằng 1
tại M , N sao cho ∆IMN có diện tích lớn nhất?

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

14


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

1
3 ± 12
2± 3
1+ 3
B. m =
C. m =
D. m =
2
4

2
2
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 3 x − 3m
∆ , = 9m
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ , = 9m > 0 ⇔ m > 0
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
( ∆ ) : y = −2mx + 2 ⇔ ( ∆ ) : 2mx + y − 2 = 0
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt đường tròn tâm
I ( 1;1) ,bán kính r = 1 tại M , N .Diện tích tam giác IMN được xác định:
1
1
1
·
·
·
S∆IMN = IM .IN .sin IMN
= r 2 .sin IMN
= sin IMN
2
2
2
·
·
Do sin IMN ≤ 1 nên S ∆IMN lớn nhất khi sin IMN
= 1 ⇔ IM ⊥ IN .Khi đó
∆IMN vuông cân tại I .
2

2
Gọi H là trung điểm của MN thì ta tính được IH =
⇔ d ( I , ∆) =
2
2
2m − 1
2
⇔
=
4m 2 + 1 2
⇔ 4m 2 − 8m + 1 = 0
A. m =

⇔m=

2± 3
2

Đáp án: B
Nhận xét 3:
Trên đây là những ví dụ cần sử dụng trực tiếp phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số, tuy nhiên trong quá trình làm toán về
cực trị của hàm số bậc ba chúng ta có thể chỉ sử dụng phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số để tìm giá trị cực trị của hàm số hoặc
tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số để giải các điều kiện liên quan.
2.3.4. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 là:
A. y = 2 x + 4
B. y = 2 x − 4

C. y = −2 x + 4
D. y = −2 x − 4
Bài 2: Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào đi qua hai điểm cực trị của
3
2
đồ thị hàm số y = x + 3x + 4 x − 2 là:
1
1
A. y = 2 x − 3
B. y = x +
C. y = 2 x − 10 D. 2 x − 3 y − 10 = 0
3
3
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

15


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ
3
2
2
3
Bài 3:Giả sử hàm số y = x + 3mx + 3(m − 1) x + m − 3m + 2 có hai điểm cực trị.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đó là:
A. 2 x + y + 2m − 2 = 0
B. 2 x − y + 2m + 2 = 0

C. x − 2 y + 2m − 2 = 0

D. x + 2 y + m + 2 = 0

3
2
Bài 4: Cho hàm số y = x + mx + 7 x + 2017 .Tìm m để đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng
( d ) : 3x − y − 2017 = 0 ?

2 7
2 5
3 5
3 10
B. m = ±
C. m = ±
D. m = ±
3
3
4
2
3
2
2
Bài 5: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = x − 2mx + 3m − m có hai
điểm cực trị thẳng hàng với gốc tọa độ?
1
1
A. m = 0; m =
B. m = 3
C. m =

D. m ≠ 3
3
3
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
3
2
2
3
2
thị hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m + 2017 đi qua điểm A ( 1;2017 ) ?
A. m = 1; m = −2
B. m = −1; m = 2
C. m = −1; m = −2 D. m ∈∅
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
3
2
3
thị hàm số y = x − 3mx + 4m + 3 song song với đường thẳng ( d ) : y = −2 x + 7 ?
A. m = ±

D. m = 3 − 1
2
m
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
3
2
thị hàm số y = x − 3x − mx + 2 tạo với trục Ox một góc bằng 450 ?
3
7
3

A. m = − ; m = −
B. m = −
2
2
2
3 2 −4
3 2 −4
3(− 2 − 4)
C. m =
D. m =
;m =
4
4
4
Đáp án phần bài tập tự luyện
Bài
Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 Bài 6 Bài 7 Bài 8
Đáp án
C
D
A
C
C
B
B
B
A. m = 1; m = −1

(

B. m = −1

)

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

C. m = 1

(

)

16


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

2.4. Hiệu quả của SKKN
Sau khi được cung cấp kĩ thuật và rèn luyện qua hệ thống kiến thức
trên, hầu hết các em học sinh trung bình và khá đã thấy thích thú và thực hiện tốt
việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc
ba, đồng thời các em cũng đã giải được các bài toán liên quan. Các em đã biết
tìm chọn và làm được các bài tập tương tự trong các tài liệu tham khảo. Qua đây
các em cũng được rèn luyện nhiều kĩ năng khác như: Kĩ năng biến đổi đại số, kĩ
năng giải phương trình, bất phương trình …
Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán
học tương đương nhau thông qua việc kiểm tra bài cũ, kiểm tra 15 phút, kết quả
thu được như sau:
- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):

Lớp

Sĩ số

12A6
12A8

41
40

Đạt yêu cầu
Số lượng
%
18
43.90
15
37.50

Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
23
56.10
25
62.50

- Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới)
Lớp

Sĩ số

12A5
12A7

43
39

Đạt yêu cầu
Số lượng
%
38
88.37
32
82.05

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
5
11.63
7
17.95

17


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo. Mỗi giáo viên đều tự
hình thành cho mình một đường ngắn nhất, dễ đi nhất, lĩnh hội những kinh
nghiệm hay nhất để đạt được mục tiêu giảng dạy của mình. Trước sự thay đổi về
hình thức thi điều này càng cần thiết. Cực trị là một nội dung cơ bản và quan
trọng trong chương trình toán phổ thông. Để làm tốt các bài toán phần này
không những phải nắm vững kiến thức về nó mà còn phải có kĩ năng tốt để làm
nhanh các bài toán đó.
Trong quá trình giảng dạy ,đọc tham khảo nhiều tài liệu tôi đã rút ra được
một số kinh nghiệm nêu trên. Đề tài " Rèn luyện kĩ năng viết phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba qua một số ví
dụ " của tôi cũng chỉ rèn luyện được cho học sinh một dạng toán nhỏ trong
chuyên đề về cực trị của hàm số nên nó chưa đủ giúp các em làm hết được đầy
đủ các bài toán về cực trị của hàm số. Nhưng tôi hy vọng đóng góp nhỏ của đề
tài này cũng được các thầy cô và các em học sinh tham khảo, phần nào giúp ích
trong việc nghiên cứu,giảng dạy và học tập về chuyên đề cực trị của hàm số.
Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế, rất mong được
sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp.
3.2. Kiến nghị
Qua đây tôi cũng xin đề đạt nguyện vọng với các cấp lãnh đạo trong việc
triển khai áp dụng các SKKN hay, đã được hội đồng các cấp đánh giá, công
nhận. Các sáng kiến nên được gửi về các trường phổ thông như là một tài liệu
tham khảo bổ ích cho đồng nghiệp để phục vụ tốt hơn cho sự nghiệp giáo dục
của chúng ta.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh hoá, ngày 01 tháng 06 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Đỗ Thị Toàn

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

18


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương trình đường thẳng đi qua cực đại ,cực tiểu của hàm số bậc 3 của
thạc sĩ Phùng Quyết Thắng trên Toán Math
2. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-Nguyễn Huy Đoan chủ biên-Nhà xuất
bản Giáo dục ,2008
3. Tuyển tập các chuyên đề LTĐH môn Toán Hàm số của Trần Phương ,nhà
xuất bản Hà Nội ,2006
4. Tuyển tập các chuyên đề LTĐH môn Toán Hình Giải tích của Trần PhươngLê Hồng Đức ,nhà xuất bản Hà Nội ,2006

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

19


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số bậc ba qua một số ví dụ

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
-

THPTQG: Trung học phổ thông Quốc gia
THPT: Trung học phổ thông
SGK:Sách giáo khoa
SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm
LTĐH:Luyện thi đại học
t / m :Thỏa mãn
l :Loại

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

20