Ứng dụng đạo hàm giải một số bài toán thực tế nhằm nâng cao năng lực thực tiễn cho học sinh lớp 12

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt động
giáo dục phải được thức hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết
hợp với lao động sản xuất, lý thuyết phải gắn liền với thực tiễn...”
Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống
xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà
trường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các em
giải quyết các vấn đề, tình huống trong thực tế, vì vậy việc tăng cường ứng dụng
toán học trong giảng dạy toán ở trường Trung học phổ thông là một vấn đề có ý
nghĩa lý luận và thực tiễn sâu sắc.
Từ năm học 2016 – 2017, sự thay đổi hình thức thi THPTQG môn Toán từ tự
luận sang trắc nghiệm là một trong những bước ngoặt quan trọng trong cải cách
giáo dục Việt Nam. Nội dung ma trận đề thi minh họa đã được xác định, kiến
thức được đề cập đến tất cả các phần trong sách giáo khoa, vì vậy đòi hỏi học
sinh phải nắm vững tất cả các phần kiến thức cơ bản trong chương trình, trong
đó có toán ứng dụng thực tế. Đó là một lớp bài toán mang tính thực tiễn rất gần
gũi và thiết thực trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta
Bộ SGK môn Toán THPT hiện hành đã được tăng cường thêm các bài toán
ứng dụng toán học cả về số lượng và chất lượng, song vẫn còn rất ít. Trong quá
trình giảng dạy tại nhà trường nhận thấy học sinh còn ngại tiếp cận và thường
gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội các bài toán về ứng dụng thực tế, đề bài loại
toán này thường dài nên học sinh thường cảm thấy trừu tượng. Nhiều học sinh
không hiểu được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của khái niệm Toán học và yếu về
kiến thức liên môn từ đó dẫn đến việc khi làm các bài tập toán ứng dụng, cảm
thấy lúng túng và không định hướng được phương pháp giải, không biết hướng
vận dụng.
Do đó cần phải có biện pháp thích hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học
các bài toán ứng dụng thực tế, giúp học sinh thích nghi với sự thay đổi của việc
cải cách trong giáo dục, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói
riêng và chất lượng giáo dục nói chung, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của sự

nghiệp Giáo dục trong tình hình mới. Học sinh thấy được việc học Toán không
chỉ là các kiến thức hàn lâm xa vời mà còn có rất nhiều ứng dụng khác nhau
trong đời sống thực tế, từ đó các em có thêm động lực, niềm đam mê môn học
để chinh phục các đỉnh cao trong các kỳ thi và ngược lại học Toán không phải
chỉ để thi mà học để biết áp dụng vào thực tiễn cuộc sống hằng ngày. Trên tinh
thần đó, cùng với một số kinh nghiệm của bản thân, tôi đưa ra sáng kiến “Ứng
dụng đạo hàm giải một số bài toán thực tế nhằm nâng cao năng lực thực
tiễn cho học sinh lớp 12” với mong muốn giúp học sinh nắm vững phương
pháp, biết vận dụng tốt các kiến thức đã học, sẽ luôn tự tin với dạng toán ứng
dụng thực tế và không còn cảm thấy khó khăn khi giải lớp các bài toán hay này!

1


1.2. Mục đích nghiên cứu
- Đề xuất những ví dụ về toán ứng dụng thực tế để chuyển thành câu hỏi
trắc nghiệm khách quan, nhằm cho học sinh tiếp cận với phương pháp đánh giá
mới và phát triển năng lực tư duy giải toán và học được cách suy nghĩ tìm lời
giải bài toán
- Giúp giáo viên hệ thống kiến thức và hướng dẫn học sinh cách tư duy giải
các bài toán ứng dụng thực tế trong chương trình toán THPT
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh, tạo
hứng thú học tập và giúp các em lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa
học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Lớp các bài toán có liên quan đến môn Toán học đó là Hình học, Vật lý,
Hóa học, Sinh học, Tin học …và các bài toán xuất phát từ nhu cầu của thực tiễn
trong đời sống hàng ngày
- Nội dung chương trình được giảng dạy trong trường THPT
1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra khảo sát
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Phương pháp tổng hợp, phân tích, đánh giá
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM
2.1. Cơ sở lí luận
- Hiện nay Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành lộ trình đổi mới đồng bộ
phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá ở các trường phổ thông theo định
hướng phát triển năng lực của học sinh trên tinh thần Nghị quyết 29NQ/TƯ
ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Xuất phát từ
mục tiêu day học phát triển năng lực, đòi hỏi học sinh phải tăng cường vận dụng
kiến thức vào giải quyết những vấn đề thực tiễn
- Việc hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán và vận dụng thực tế không
chỉ mang lại cho học sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối
với một dạng toán nào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích xem xét
trong từng tình huống cụ thể. Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học
đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính kiên trì
vượt khó, tính kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp của một sự vật, hiện tượng
- Các vấn đề lý thuyết của Toán học từ đại số, giải tích, hình học đều xuất
phát từ nhu cầu tự nhiên của thực tiễn cũng như các môn học khác. Người giáo
viên nếu chịu khó tìm tòi, sáng tạo các ví dụ thực tế lồng ghép vào bài dạy hoặc
tiết học tự chọn sẽ giúp học sinh hiểu được tầm quan trọng khi học về các khái
niệm Toán học từ đó giúp các em tích cực chủ động và hứng thú đối với việc học
tập
2.2 Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nhiệm
- Các bài toán vận dụng kiến thức SGK để giải quyết vấn đề thực tế còn ít,
nếu có chỉ mang tính tượng trưng

2

- Các tài liệu về mảng toán ứng dụng còn rất hạn chế và không có sự phân
loại rõ ràng
- Học sinh còn rất lúng túng khi giải các loại toán này
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống, bổ sung những kiến thức cơ bản
- Khái niệm của đạo hàm, ý nghĩa của đạo hàm
- Các quy tắc tính đạo hàm, bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản
- Cách khảo sát sự biến thiên của một hàm số, quy tắc tìm cực trị, tìm min,
max của hàm số trên một tập xác định K
2.3.2. Đổi mới phương pháp dạy học
- Sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, tạo
hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho bài giảng sinh
động hơn, bớt khô khan và học sinh không thấy nhàm chán
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp thông
qua các ví dụ
2.3.4. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
Việc phân loại các dạng bài tập cùng với phương pháp giải là vô cùng cần
thiết, sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán nó sẽ giúp
học sinh nắm vững phương pháp giải các bài tập cơ bản, trên cơ sở đó học sinh
sẽ biết cách khai thác các bài tập ở mức độ cao hơn. Như vậy học sinh sẽ có tư
duy linh hoạt và sáng tạo.
Các bài toán thực tế liên quan đến đạo hàm có thể chia thành hai phần:
Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học
Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán
học vì vậy để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước hết ta phải “ thiết
lập được hàm số”. Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như
sau:
Bước 1: Từ giả thiết và yếu tố của đề bài để diễn tả dưới dạng ngôn ngữ Toán

học, biểu diễn dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tạị của biến số
Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế,
đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,…để thiết lập
hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán
hình thành ở bước 2, lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu
được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa
Sau đây là các ví dụ minh họa:
2.3.4.1. Ứng dụng trong hình học
Bài toán 1. Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B. Hai thành
phố này bị ngăn cách bởi một con sông có chiều rộng là r (km) . Người ta cần xây
một cây cầu bắc qua sông, biết rằng A cách con sông một khoảng bằng a(km) . B
cách con sông một khoảng bằng b(km) (0 < a ≤ b) như hình vẽ. Hãy xác định vị trí

3


xây cầu EF (theo hình vẽ) để tổng khoảng cách giữa hai thành phố là nhỏ nhất?
(Trích tài liệu của tác giả Hứa Lâm Phong)
B

Phân tích:
- Ta thấy rằng vị
b
trí xây cầu để
D
tổng
khoảng
E
r

Sông
cách giữa hai
C
thành phố là nhỏ
F
a
nhất
tương
p
đương với độ dài
A
I
đường gấp khúc
AFEB nhỏ nhất
- Đề bài đã gợi ý các số liệu a, b và r nên ta có thể giả thiết khoảng cách AI
như hình vẽ với AI vuông góc với BD . Khi đó ta đặt
CF = x
(0 < x < p ) ⇒ ED = p − x

 AI = p

- Tổng khoảng cách lúc này sẽ là: S = AF + EF + EB = x + a + r + ( p − x) + b
- Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S (x) với 0 < x < p
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Đặt AI = p và CF = x ⇒ ED = p − x(0 < x < p)
Khoảng cách giữa hai thành phố là S = AF + EF + EB = x 2 + a 2 + r + ( p − x) 2 + b 2
- Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S (x) với 0 < x < p
2

Khi đó S ' ( x) =

x
x2 + a2

+

2

2

x− p

b 2 + ( p − x) 2

S ' ( x) = 0 ⇔ x b 2 + ( p − x) 2 = ( p − x ) x 2 + a 2

[

2

]

(

)

⇔ x 2 b 2 + ( p − x) 2 = ( p − x) 2 ( x 2 + a 2 ) ⇔ a 2 − b 2 x 2 − 2a 2 px + a 2 p 2 = 0 (1)

x =
(1) ⇔ 


x =


a p − apb
ap
=
∈ (0; p)
2
2
a+b
a −b
a 2 p + apb
ap
=
2
2
a−b
a −b
a2
b2
Mặt khác S " ( x) = 2 2 3 + 2
2
( x + a ) 2 b + ( p − x)
ap
)
Do đó min S ( x) = S (
a+b
2

[

]

3
2

> 0 ∀x ∈ (0; p )

Vậy để khoảng cách giữa hai thành phố là ngắn nhất thì x =

ap
a+b

Chú ý: Ta có thể cho a, b, r các giá trị cụ thể để được các bài toán tương tự

4


Cách 2:
B
b
B’
K
C
a
A

D

r

I

E

Sông

F
p

F

Ta thấy rằng chiều dài r của cây cầu là đại lượng bất biến và vấn đề là chọn vị trí
thuận lợi F hay vị trí thuận lợi E trong hình vẽ để tạo được quãng đường ngắn
nhất. Dĩ nhiên ta cũng đặt ra câu hỏi liệu rằng còn có cách khác nữa không? Gọi
B' là ảnh của B qua phép tịnh tiến EF . Khi đó AB'∩CF = D
Với mọi vị trí đặt cây cầu EF ta luôn có
BE + EF + AF = B ' F + DK + AF ≥ DK + B ' A = DK + B' D + DA = const

Dấu “=” xảy ra khi ⇔ F ≡ D . Khi đó S = B' A + EF = p 2 + (b + a) 2 + r
Bài toán tương tự: Hai thành phố A và B nằm ở hai phía khác nhau của một con
sông thẳng, lòng sông rộng 800m, thành phố A bên phía phải cách bờ 6km và
cách thành phố B theo đường chim bay 16km, thành phố B cách bờ trái 1500km.
Người ta muốn xây một cây cầu CD vuông góc với bờ sông sao cho quãng
đường đi bộ từ A đến B là ngắn nhất. Tính độ dài quãng đường đó?
(Trích đề thi HSG giải toán trên máy tính cầm tay, Quảng Ninh, 2012)
Bài toán 2: Giả sử bạn là một Giám đốc công ty sản
xuất bồn chứa nước, bạn vừa nhận được một đơn đặt
∆

r
hàng là thiết kế và sản xuất bồn chứa nước hình trụ có
nắp
với dung tích 1000lit. Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, thì
bạn
sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước trong các giá trị
dưới đây?
l
A. 1,3m
B. 1, 08m
C.1,5m
D. 1, 2m
Phân tích:
r
Để tốn ít nguyên vật liệu nhất thì diện tích xung quanh
của
phần vỏ bao bên ngoài bồn chứa nước cùng với diện
tích
đáy và nắp phải nhỏ nhất, ta phải tìm diện tích xung
quanh nhỏ nhất ứng với thể tích mà đề bài cho. Ta có
S tp = S xq + 2 S day = 2πrh + 2πr 2 (Với r; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của
bồn nước hình trụ). Đề bài lại cho sẵn dung tích của bồn chứa, tức là dạng cho
mối liên hệ giữa bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ, trong đó

5


V = π r 2h ⇒ h =

V

. Như vậy ta có thể tìm min S tp phụ thuộc theo 1 trong 2 biến r
π r2

hoặc h .
Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi r ; h(r; h > 0) lần lượt là bán kính và chiều cao của
khối trụ. Khi đó ta có V = π r 2 h ⇒ h =

V
. Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần
π r2

tìm r sao cho diện tích toàn phần của khối trụ nhỏ nhất.
Ta có: S tp = S xq + 2S day = 2πrh + 2πr 2 = 2πr 2 + 2πr

V
V
= 2π (r 2 + )
2
πr
πr

V
(r > 0) . Bài toán trở thành tìm min f (r ) = ?
πr
V
V
4V
⇒h=3
Ta có f ' (r ) = 2r − 2 ; f ' (r ) = 0 ⇔ r = 3
.

2π
π
πr
V
min f (r ) = f ( 3
).
Lập
bảng
biến
thiên,
ta
có
2π
r >0
4V 3 4.1000
h= 3
=
≈ 10,83dm ≈ 1, 08m . Chọn đáp án B
π
π

Xét hàm số f ( x) = r 2 +

Khi

đó

Cách 2: Ngoài cách sử dụng đạo hàm, ta có thể sử dụng BĐT Cauchy
V
V

V
V2
V
4V
) = 2π (r 2 +
+
) ≥ 2π .3.3
⇒r=3
⇒h=3
2
πr
2πr 2πr
2π
π
4π
h
≈
10,83
dm
≈
1,
08
m
Thay V = 1000 vào ta được
. Chọn đáp án B
4V
3
h
π = 2 ⇒ h = 2r
Tổng quát bài toán lên ta có: =

r
V
3
2π
S tp = 2π ( r 2 +

Bài toán 3: Một Công ty mỹ phẩm chuẩn bị cho ra một sản phẩm dưỡng da
mang tên Ngọc Trai với thiết kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ,
bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da. Theo
dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là R = 4 3cm . Tìm thể
tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất.
A. 54π cm 2
B. 18π cm 2
C. 128π cm3
D. 45π cm3
Phân tích:
Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa quả cầu như hình vẽ bên. Gọi h; r lần lượt là chiều
cao và bán kính hình trụ, thể tích khối trụ là: Vtru = πr 2 h (phụ thuộc theo hai biến
r và h ), mối liên hệ giữa chúng là h 2 + r 2 = R 2
R
là hằng số. Để thuận tiện ta tính r theo h
r
Hướng dẫn giải: Ta có Vtru = πr 2 h . Lại có
r 2 = R2 − h2

h

R

x

6


Suy ra Vtru = πr 2 h = πh( R 2 − h 2 ) . Xét f (h) = h( R 2 − h 2 ); 0 < h < R . Bài toán trở thành
R
2
2
f ( h) = ?
tìm max
. Ta có f ' (h) = R − 3h ; f ' (h) = 0 ⇔ h =
h∈( 0; R )
3

R

f ( h) = f (
Lập bảng biến thiên ta có: max
h∈( 0; R )

)
3
R
R2
2π R 3
(R2 − ) =
⇒ Vtru = 128π (cm3 ) .
Khi đó ta có: Vtru = π r 2 h = π h( R 2 − h 2 ) = π
3

3
3 3

Cách2: Ngoài cách giải trên ta có thể làm như sau
h = R cos x
(0 < x < 90 0 ) . Vtru = πr 2 h = πr 3 sin 2 x. cos x
r = R sin x
max f ( x) = ?
Xét f ( x) = sin 2 x. cos x . Bài toán trở thành tìm x∈( 0;π )
.

Đặt 

2

Đặt t = cos x; t ∈ (0;1) ⇒ g (t ) = (1 − t )t = −t + t ⇒ g ' (t ) = −3t 2 + 1
2

3

1

t = 3
Khi đó g ' (t ) = 0 ⇔ 
. Lập
1

t
=
−


3

1
1
max f ( x) = max g (t ) = g ( ) ⇔ t = = cos x
π
3
t∈( 0;1)
3
x∈( 0; )
2

bảng

biến

thiên

ta

suy

ra

1
1
2π R 3
−
)=

⇒ Vtru = 128π (cm3 )
3 3 3
3 3
Bài toán 4: Cho hai vị trí A ,
B cách nhau 615m , cùng nằm

Khi đó ta có V = π R 3 (

về một phía bờ sông (d) như
hình vẽ. Khoảng cách từ A và
từ B đến bờ sông lần lượt là
.
118m và 487m Một người đi từ
A đến bờ sông để lấy nước sau
đó đi về vị trí B . Đoạn đường
ngắn nhất mà người đó đi từ A
đến B (Có ghé qua bờ sông) là
bao nhiêu? (đơn vị m)
(Trích đề thi HSG giải toán trên máy tính cầm tay, Tây Ninh)
Hướng dẫn giải:
Cách 1:Giả sử người đó đi từ A
đến M để lấy nước và đi từ M về
B dễ
dàng
tính
được
BD = 369; EF = 492

Ta đặt EM = x, khi đó ta được:

7


MF = 492 − x; AM = x 2 + 118 2 ; BM = (492 − x ) 2 + 487 2

Như vậy ta có hàm số f ( x) được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB :
f ( x) = x 2 + 118 2 + (492 − x) 2 + 487 2 với x ∈ [ 0;492]

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó
xác định được vị trí điểm M .
f ' ( x) = 0 ⇔

x
x + 118
2

2

+

f '( x ) =

x
x2 + 1182

492 − x
(492 − x ) + 487
2

2

-

=0⇔

492- x

( 492- x)
x
x + 118
2

2

2

=

.
2

+ 487

x − 492
(492 − x ) 2 + 487 2

⇔ x (492 − x) 2 + 487 2 = (492 − x) x 2 + 1182
 x 2  (492 − x ) 2 + 487 2  = (492 − x) 2 ( x 2 + 1182 )
(487 x) 2 = (58056 − 118 x) 2


⇔ 
⇔
0 ≤ x ≤ 492
0 ≤ x ≤ 492
58056
− 58056

hoac x =
58056
x =
⇔
⇔x=
605
369
605
0 ≤ x ≤ 492

Hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ 0;492] . So sánh các giá trị của f (0) , f (
f ( 492) ta có giá trị nhỏ nhất là f (

58056
,
605

58056
) ≈ 779,8m
605

Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m.
Cách 2: Gọi A ', B ' lần lượt là điểm đối xứng của A và B qua (d ) . Gọi M là

điểm thuộc cạnh HK . Khi đó ta có AM + MB = MA '+ MB ≥ A ' B .
Do đó ( AM + MB)min = A ' B = BB '2 + A ' B '2 = ( BK + HA ') 2 + AB 2 − ( BK − AH ) 2
⇒ A ' B = (487 + 118) 2 + 6152 − (487 − 118) 2 = 608089 ≈ 779,800612m

Bài toán 4: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R , người thợ thủ
công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là
một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn
thiện.
Hướng dẫn giải: Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0 < x < R) (xem hình vẽ)
Bán kính của khối trụ là r = R 2 − x 2 . Thể tích khối trụ là: V = π ( R 2 − x 2 )2 x . Xét
hàm số: V ( x) = π ( R 2 − x 2 )2 x, 0 < x < R ;

V ′( x) = 2π ( R 2 − 3 x 2 ) = 0 ⇔ x =

R 3
3

Ta có bảng biến thiên:

8


Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là
2R 3
4π R 3 3
; Vmax =
.
3
9

2.3.4.2. Ứng dụng trong Vật lý
Bài toán 5: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s (t ) = 12t 2 − 4t 3 − 7t + 5 . (s
tính theo mét, t tính theo giây). Trong 10 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận
tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t = 2

B. t = 3

C. t =

1
2

D. t = 1

Phân tích:
Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết v(t ) = s '(t ) . Do đó để tìm giá trị lớn nhất
trong 10 giây đầu tiên t ∈ [ 0;10] thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã
học
Hướng dẫn giải:
Ta có v(t ) = s '(t ) = 24t − 12t 2 − 7 ⇒ v '(t ) = −24t + 24; v '(t ) = 0 ⇔ t = 1
v (t ) = v(1) = 6 . Chọn D
Lập bảng biến thiên ta có max
t∈( 0;10 )

Chú ý: Ứng dụng của đạo hàm trong vật lý là rất đa dạng nhưng đặc biệt thể
hiện rõ nhất chính là qua các bài toán chuyển động khi liên quan đến các đại
lượng quãng đường, vận tốc của thời gian. Và không chỉ như vậy ta còn gặp
ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở nhiều bài toán khác
Bài toán tương tự 1: Một chất điểm chuyển động theo quy luật

s (t ) = 15t 2 − 5t 3 + 4t + 3 . (s tính theo mét, t tính theo giây). Trong 15 giây đầu tiên,
thời điểm t mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t = 2
B. t = 2,5
C. t = 1,5
D. t = 1
Bài toán tương tự 2: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được
là s (t ) (km) là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) tuân theo biểu thức sau:
s (t ) = et +3 + 2te3t +1 (km). Hỏi vận tốc tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu(biết hàm biểu
thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?
A.10e4 (km / s )
B. 8e4 (km / s)
C. 4e4 (km / s )
D. 6e4 (km / s)
Bài toán 6: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 7 hải lý. Đồng
thời cả hai tàu cùng khởi hành, Tàu A chạy về hướng Nam với 8 hải lý/giờ, còn
2

9


tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 9 hải lý/ giờ. Hãy xác định
thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là nhỏ nhất ?
A. t = 17 (giờ)
B. t = 63 (giờ)
C. t = 47 (giờ)
D.
145

t=

145

145

59
(giờ)
145

Phân tích:
Giáo viên cần cho học sinh nhớ lại về khái niệm kinh tuyến và vĩ tuyến( Các em
đã học ở môn Địa lý)
- Trên Trái đất hay các hành tinh hoặc
thiên thể hình cầu, Vĩ tuyến là một vòng
tròn tưởng tượng nối tất cả các điểm có
cùng vĩ độ. Trên Trái đất, vòng tròn này có
hướng từ Đông sang Tây. Vị trí trên vĩ
tuyến được xác định bằng kinh độ. Một vĩ
tuyến luôn vuông góc với một kinh tuyến
tại giao điểm giữa chúng. Các vĩ tuyến ở
gần cực trái đất có đường kính nhỏ hơn
- Kinh tuyến là một nửa đường tròn trên bề mặt Trái Đất, nối liền hai địa cực,
có độ dài khoảng 20.000km, chỉ hướng Bắc – Nam và cắt thẳng góc đường xích
0
đạo. Mặt phẳng của kinh tuyến 0 (chạy qua đài quan sát thiên văn tại
0
Greenwich thuộc Luân Đôn) và kinh tuyến 180 , chia Trái Đất ra làm hai bán
cầu - Bán cầu đông và Bán cầu tây [ 1] (Nguồn Internet)
Như vậy khi các tàu, thuyền đi trên biển chúng ta sẽ dùng một đơn vị đo khoảng
cách khác là hải lý(1 hải lý = 1852m). Từ mô hình và mô tả của bài toán ta có

thể gọi t là thời gian mà sau khi xuất phát hai tàu cách nhau một khoảng d
2
2
2
Khi đó d = A1 B1 = AB1 + AA1 . Trong đó AA1 chính là quãng đường của tàu A đi
được. Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 7 hải lý theo đường Vĩ tuyến, nên
2
2
ta có thể tính AB1 = (7 − BB1 ) . Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ giữa
 AA1 = v A t
S
=
vt
⇒

quãng đường, vận tốc và thời gian là
 BB1 = v B t

Hướng dẫn giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa
hai tàu là d. Khi đó tàu A đang ở vị trí A1 và tàu
đang ở vị trí B1 như hình vẽ.

A

B1

B

d

A1

10


Ta có d = AB1 + AA1 = (7 − BB1 ) + AA1 = (7 − 9t ) + (8t ) .
Với BB1 là quãng đường tàu B đi được BB1 = v B t = 7t và AA1 là quãng đường tàu
A đi được AA1 = vB t = 7t
2
Suy ra d = 145t 2 − 126t + 49 . Đặt f (t ) = 145t − 126t + 49 voi t > 0
2

2

2

Bài toán trở thành tìm
Cách 1: Ta có f '(t ) =

2

2

min f (t ) = ?
t∈(0; +∞ )

2

2

.

145t − 63
145t 2 − 126t + 49

⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t =
63

63
( h)
145

56

f (t ) = f (
)=
≈ 4, 65
Lập bảng biến thiên ta có: t∈min
( 0;+∞ )
145
145

khi t =

63
(giờ), khi đó ta có d ≈ 4,65 (hải lý).
145

(t ) = ? như sau:
Cách 2: Học sinh có thể làm cách khác để tìm mìn

t∈( 0; +∞ )
f (t ) = 145t 2 −126t + 49 = 145(t −
⇒ min f (t ) =
t∈( 0; +∞ )

63 2 3136
56
) +
≥
145
145
145

56
63
⇔t=
(Hoặc sử dụng cực trị của Parabol)
145
145

Bài toán tương tự: Từ cảng A dọc theo đường
sắt AB cần phải xác định một trạm trung
chuyển hàng hóa C và xây dựng một con A
C α
đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên
đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2 ) .

Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để
thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?
Bài toán 7: Một ngọn hải đăng đặt tại

A
vị trí A cách bờ biển một khoảng AB
5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị
5k
trí C cách B một khoảng là 7km.
m
Người canh hải đăng có thể chèo đò từ
A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc
M
B
4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc
7k
6km/h (xem hình vẽ dưới đây). Tính
m
độ dài đoạn BM để người đó đến kho
nhanh nhất?.
Hướng dẫn giải:

D
h

B

E

C

Trước tiên, ta xây dựng hàm số f ( x ) là hàm số tính thời gian người canh hải
đăng phải đi. Đặt BM = x thì ta được: MC = 7 − x , AM = x 2 + 25 .
Thời gian người canh hải đăng chèo đò từ A đến M là: t AM =

x 2 + 25
4

11


Thời gian người canh hải đăng đi bộ từ M đến C là: tMC =
Thời

gian

người

canh

hải

đăng

đi

x 2 + 25 7 − x 3 x 2 + 25 − 2 x + 14
+
=
4
6
12
2
x + 25 7 − x 3 x 2 + 25 − 2 x + 14

Xét hàm số: f (x) =
+
=
4
6
12

từ

7− x
6

A

đến

C

là:

t=

với x ∈ [ 0;7]


1  3x
− 2 ÷.
 2
12  x + 25


2
5x = 100
3x
f '( x ) = 0 ⇔
− 2 = 0 ⇔ 3x − 2 x 2 + 25 = 0 ⇔ 2 x 2 + 25 = 3x ⇔ 
x 2 + 25
x ≥ 0
 x = ±2 5
⇔
⇔ x = 2 5.
 x ≥ 0
[ 0;7]
Hàm
số f ( x )
liên
tục
trên
đoạn
và
ta

Bài toán trở thành tìm min f (x) voi x ∈ [ 0;7] . Ta có: f ' ( x ) =

( 2 5 ) = 14 +125

74
.
4
14 + 5 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của f ( x ) là

tại x = 2 5 . Khi đó thời gian đi là ít
12
nhất và điểm M nằm cách B một đoạn BM = x = 2 5 (km)
ff( 0 ) =

29
,
12

5

có:

, f ( 7) =

Bài toán tương tự: Bạn Mai đi từ nhà ở vị trí A đế trường học ở vị trí C phải đi
qua cầu từ A đế B tới trường. Trận lũ lụt vừa qua làm cây cầu bị ngập nước, do
đó bạn Mai phải đi bằng thuyền từ nhà đến một vị trí D nào đó trên đoạn BC
với vận tốc 4km / h sau đó đi với vận tốc 5km / h đến C. Biết độ dài AB = 3km ,
BC = 5km . Hỏi muộn nhất mấy giờ bạn Mai phải xuất phát từ nhà để có mặt ở
trường lúc 7h30 phút để kịp vào học?
A. 6h03 phút
B. 5h30 phút
C. 6h16 phút
D. 6h05 phút
Bài toán 8: Một nhà thám hiểm đang ở tại địa điểm A trên sa mạc, ông ta muốn
đến địa điểm B cách A một đoạn là 90km. Trong sa mạc thì xe ông ta chỉ có thể
di chuyển với vận tốc 35km/h và phải đến được điểm B sau 2 giờ. Vì vậy, nếu
ông ấy đi thẳng từ A đến B sẽ không thể đến đúng giờ. May mắn thay, có một
con đường nhựa song song với đường nối A và B và cách AB một đoạn 15km.

Trên đường nhựa này thì xe của nhà thám hiểm này có thể di chuyển với vận
tốc 60km/h. Làm thế nào để nhà thám hiểm đến sớm nhất (đảm bảo trong
khung giờ cho phép)
Phân tích: Ta có thể mô tả bài toán trên bằng hình vẽ
Ta phải chia quãng đường đi được thành 3 giai đoạn
Giai đoạn 1: Đi từ A đến C( Từ A đến đường nhựa song song)
Giai đoạn 2: Đi từ C đến D( một quãng đường nào đó trên đường nhựa)
Giai đoạn 3: Đi từ D đến B( Từ D đi đến B)

12


Hướng dẫn giải:
Gọi H; K; C; D là các
điểm như hình vẽ.
Khi
đó
gọi
HC = x ( 0 < x < 90 )
và
DK = y (0 < x < 90) .
Ta có:
AC
152 + x 2
152 + y 2
DB
=
DB = 152 + y 2 ⇒ t2 =
=
v

35
v
35
CD 90 − ( x + y )
=
Và CD = 90 − ( x + y ) ⇒ t3 =
. Vậy tổng thời gian mà nhà thám
v
60

AC = 152 + x 2 ⇒ t1 =

2
2
152 + y 2 90 − ( x + y )
hiểm đi từ A đến B là: T = t1 + t2 + t3 ⇒ T ( x; y ) = 15 + x +
+

35

35

60
min
T
( x; y ) .
Đây là một biểu thức có dạng đối xứng hai biến x; y và ta cần tìm
2
225 + y 2 45 − y
Ta có: T ( x; y ) = 225 + x + 45 − x +

+
= f ( x ) + f ( y ) . Khi đó ta xét

35
60
35
60
225 + t
45 − t
f (t ) =
+
(0 < t < 90)
35
60
t
1
60u
21 95
− ; f '(t ) = 0 ⇔ 225 + t 2 =
>0⇔t=
Xét f '(t ) =
.
2
60
35
19
35 225 + t
2

Lập

bảng

biến

thiên

T ( x; y ) = f ( x) + f ( y ) ≥ 2 f (

ta

có

min f (t ) = f (
t∈(0;90)

21 95
).
19

Do

đó

ta

có

21 95
21 + 95

)=
≈ 2,196
19
14
.

Dấu “=” xảy ra khi x = y =

21 95
19

Chú ý: Bài toán quãng đường, vận tốc, thời gian thì ta nhận thấy có 2 mối
quan tâm lớn trong thực tế là đi làm sao để quãng đường là ngắn nhất hoặc
thời gian là ít nhất. Trong thực tế đời sống hằng ngày, điều này không phải lúc
nào cũng đúng bởi lẽ còn phải chịu sự tác dộng của nhiều yếu tố khác nhau
như thời điểm, mật độ di chuyển, động cơ và nhiều thứ khác ta không lường
trước được. Việc lý tưởng hóa các bài toán chỉ ở mức sai số chấp nhận được
2.3.4.3. Ứng dụng trong kinh tế
Bài toán 9: Thầy Hiệu trưởng dự định xây một bồn hoa có bề mặt là hình tròn
có đường kính AB = 16m , để cho ấn tượng thầy thiết kế có hai hình tròn nhỏ
trong hình tròn lớn bằng cách lấy điểm M giữa A và B rồi dựng các đường tròn
đường kính MA và MB như hình vẽ. Trong hai đường tròn nhỏ thầy định trồng
loại hoa hồng đỏ, còn phần còn lại thầy trồng hoa hồng trắng. Biết giá hoa hồng
đỏ là 10.000 đồng một cây, hoa hồng trắng là 7.000 đồng một cây và ít nhất
13


0.5 m 2 mới trồng được một cây hoa.

Hỏi chi phí thấp nhất để trồng hoa

của thầy là bao nhiêu? (Kết quả làm
tròn đến nghìn đồng)
Hướng dẫn giải:
AB = 2a; AM = 2 x
Đặt
suy
ra
MB = 2(a − x) Muốn chi phí thấp nhất
thì diện tích trồng hoa hồng trắng
phải lớn nhất.
Gọi S1 , S2 , S3 lần lượt là diện tích đường tròn đường kính. Ta có diện tích
AB, MA, MB trồng hoa hồng trắng là :
S = S1 − ( S 2 + S3 ) = π a 2 − π x 2 + π (a − x) 2 
= −2π ( x 2 − ax )

Xét hàm số f ( x) = x 2 − ax ta có S lớn nhất khi f ( x) = x 2 − ax nhỏ nhất, lập bảng
biến thiên ta có f ( x) = x 2 − ax nhỏ nhất là

−a 2
. Khi đó diện tích trồng hoa hồng
4

a2
trắng lớn nhất là π . = 32π ≈ 101m 2 .
2

Do vậy chi phí thấp nhất mà thầy Hiệu trưởng phải mua hoa để trồng là:
T = 32π .2.7000 + 32π .2.10000 ≈ 3434000 đồng
Bài toán 10: Công ty tư nhân Ngôi Sao chuyên kinh doanh xe gắn máy và tay
ga các loại. Hiện nay, công ty đang tập trung chiến lược kinh doanh xe tay ga

Vespa LX với chi phí mua vào 1 chiếc là 55 triệu đồng và bán ra với giá 70
triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua là
1500 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn
khách này, Công ty dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu
đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra sẽ tăng thêm 500 chiếc. Vậy công ty phải
định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện việc giảm giá, lợi nhuận
thu được sẽ là cao nhất?
Phân tích:
Ta có thể mô tả bài toán bằng cách sau:
Giá mua
Giá bán
Lợi
Số
Tổng lợi nhuận
vào 1
ra 1
nhuận
lượng
Ban
chiếc xe
chiếc xe
khi bán 1
đầu
chiếc xe
55 triệu 70 triệu 15 triệu 1500
22.500.000.000
đồng
đồng
đồng
chiếc

đ
Như vậy việc giảm giá bán trên 1 chiếc xe sẽ làm giảm lợi nhuận thu được khi
bán 1 chiếc nhưng đồng thời cũng làm tăng lên nhu cầu mua xe của khách
hàng. Theo giả thiết nếu giảm giá 1 triệu đồng thì số lượng xe bán ra tăng

14


thêm 500 chiếc. Từ đây nếu ta gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc Vespa LX .
Ta thấy rằng giá bán chỉ có thể dao động trong khoảng 55 triệu đồng đến 70
triệu đồng.
Ta xác định lại số lượng xe bán ra sau khi giảm giá ứng với gián bán mới là x
Khi đó lợi nhuận của công ty sẽ bằng tổng doanh thu – tổng chi phí và là một
hàm phụ thuộc theo biến x. Ứng dụng đạo hàm ta sẽ tìm được giá trị x thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
Hướng dẫn giải:
Gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc Vespa LX mà công ty phải xác định để lợi
nhuận thu được sau khi giảm giá là cao nhất. ( 55 < x < 70 )
Suy ra số tiền đã giảm là 70 − x . Đồng thời số lượng xe tăng lên 500(70 − x)
Vậy tổng số sản phẩm bán được là 1500 + 500(70 − x) = 36500 − 500 x
Doanh thu mà công ty sẽ đạt được là ( 36500 − 500x ) x
Chi phí mà công ty phải bỏ ra là ( 36500 − 500 x ) .55
Lợi nhuận mà công ty đạt được = Tổng doanh thu – chi phí
⇒ ( 36500 − 500 x ) x − ( 36500 − 500 x ) .55 = −500 x 2 + 64000 x − 2007500

2
f ( x) = ?
Đặt f ( x ) = −500 x + 6400 x − 2007500 . Bài toán trở thành tìm 55max
< x < 70
'

'
Ta có: f ( x ) = −1000 x + 64000, f ( x) = 0 ⇔ x = 64

f ( x ) = f ( 64 ) = 40500 triệu đồng hay
Lập bảng biến thiên, ta có: 55max
< x < 70
40.500.000.000 đồng. Công ty phải định giá bán mới là 64.000.000 đồng
Bài toán tương tự: Công ty du lịch A dự định tổ chức một tua xuyên Việt.
Công ty dự định nếu giá tua là 5 triệu đồng thì sẽ có khoảng 160 người tham
gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi
lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty
phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất?
2.3.4.4. Ứng dụng trong đời sống và các lĩnh vực khác
Bài toán 11 (Ứng dụng trong thể thao)
Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại hồ bơi có
chiều rộng 70m và chiều dài 250m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với
bơi(bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình
vẽ. Hỏi sau khi chạy được bao xa( quãng đường x) thì vận động viên nên nhảy
xuống tiếp tục bơi để về đích nhanh nhất?. Biết rằng vận tốc của vận động viên
khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 5m/s và 1,5m/s
Phân tích:
- Với lộ trình vạch sẵn như hình
C 250 - x
vẽ, ta thấy tổng quãng đường vận A
x
động viên đó phải đi sẽ là
70 m
AC + CB . Giả sử đặt AC = x ( x > 0) .
Khi đó ta nhận thấy để tính quãng
đường bơi từ C đến B thì phải dựa

B
250 m

15


vào chiều rộng của hồ, và quãng đường còn lại nếu vận động viên đi dọc theo
bờ hồ. Do vận tốc trên bộ và dưới nước khác nhau nên thời gian di chuyển
cũng khác nhau. Việc xác định x thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có thể sử dụng
ứng dụng đạo hàm
Hướng dẫn giải: Gọi C là vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh
AC

và AC = x(0 < x < 250) . Khi đó ta có t1 = v

=

chay

x
4,5 là thời gian đi từ A đến C

Đồng thời quãng đường bơi chính là BC = 702 + (250 − x) 2
Khi đó ta có

702 + (250 − x) 2
BC
t2 =
=
là thời gian đi từ C đến B. Tổng thời

vboi
1,5
x
5

gian của vận động viên sẽ là T = t1 + t2 = +

702 + (250 − x) 2
1,5

702 + (250 − x) 2
x
( x) = ?
f ( x) = +
(0 < x < 250) . Bài toán trở thành tìm mìnf
x∈(0;250)
5
1,5
x 2
x − 250
f '( x ) = + .
; ∀x ∈ (0; 250) ;
Ta
có:
5 3 702 + (250 − x) 2
f '( x ) = 0 ⇔ 10(250 − x) = 70 2 + (250 − x) 2
22750 + 210 91
≈ 227,986 .
91
22750 − 210 91

) ≈ 94,517 s
Lập bảng biến thiên ta có: mìnf ( x) = f (
91
x∈(0;250)
91x 2 − 45500 x + 5643400 = 0 ⇔ x =

Chú ý: Việc vận dụng đạo hàm đã giúp ta tối ưu hóa bài toán thời gian cho vận
động viên trên. Trong thể thao có ba môn phối hợp gồm chạy bộ, bơi và đua xe
đạp. Ban đầu các vận động viên đua bơi lội. Tiếp đó là đua xe đạp tới đường
chạy, cuối cùng các vận động viên chạy marathon để về đích. Đây là môn thể
thao được chơi ngoài trời và là một môn thể thao mới được chơi tại Thế Vận
Hội năm 2000 ở Sydney. Á vận hội và thậm chí tại SEA Games. Ba môn phối
hợp đòi hỏi các vận động viên phải có một sức bền cả về thể lực lẫn tinh thần.
Đây là môn thể thao thi đấu cá nhân hoặc đồng đội. Môn thể thao này có rất
nhiều người tham gia
Bài toán 12(Ứng dụng trong Hóa học)
Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào thì tỉ lệ mol H 2O ; mol CO2
giảm dần khi số cacbon tăng dần?
Phân tích:
Để làm được bài này, học sinh cần có hiểu biết về kiến thức về chương
Hidrocacbon đã học ở chương trình hóa lớp 11. Từ đây ta thiết lập công thức
tổng quát của một hidrocacbon là Cn H 2 n+ 2−2 k sau đó thực hiện phản ứng cháy
xt ,t
Cn H 2 n + 2− 2 k +O2 
→ nCO2 + (n + 1 − k ) H 2O . Đến đây ta thấy đuộc tỉ lệ mol giữa
0

16

nH 2O

nước và khí cacbonic sinh ra chính là
f ( n) =

nCO2

=

n +1− k
. Xét hàm số
n

n +1− k
; n ∈ N * . Khảo sát và tìm điều kiện của k( chính là số liên kết)
n

Hướng dẫn giải:
Công thức tổng quát của một hidrocacbon là Cn H 2 n+ 2−2 k với k là số liên kết π
trong
phân
tử.
Phương
trình
phản
ứng
cháy
là:
0

xt ,t
Cn H 2 n + 2− 2 k +O2 
→ nCO2 + (n + 1 − k ) H 2O . Ta có:

nH 2O
nCO2

=

n +1− k
.
n

n +1− k
k −1
; n ∈ N * . Ta có f '(n) = 2 ; n ∈ N * .
n
n
f
(
n
)
thiết
là
hàm
nghịch

Xét hàm số. f ( n) =
Theo

giả

k −1
k∉N
f '(n) < 0 ⇔ 2 < 0 ⇔ k − 1 < 0 ⇔ k < 1 
→k = 0 ⇒
n
Cn H 2 n + 2 : ankan

biến

nên

công thức tổng quát là

Nhận xét: Việc vận dụng kiến thức liên môn kết hợp với nhau, góp phần giúp
cho bài toán Hóa trở nên dễ dàng hơn khi có công cụ Toán học hỗ trợ, ngược
lại ta cũng tìm thấy được những ứng dụng của Toán học trong quá trình tìm
hiểu các môn học khác, điều này góp phần củng cố, khắc sâu tri thức mà ta
lĩnh hội được khi học
Bài toán 13(Ứng dụng trong xây dựng)
Hãy xác định độ dài ngắn
C
nhất cánh tay nâng của cần
B
cẩu bánh hơi có thể dùng
được để xây dựng tòa nhà
cao tầng mái bằng có chiều
H
cao H và chiều rộng 2l ?

α
E
Biết rằng cần cẩu thỏa mãn
A
h
yêu cầu sau: Có thể xê dịch
chiếc cẩu cũng như góc
2l
nghiêng của cánh tay nâng
để sao cho điểm cuối của cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng
thì trùng với trung điểm của bề rộng. Ta giả sử ngôi nhà xây dựng trên miếng
đất rộng, cần cẩu có thể di chuyển thoải mái
Hướng dẫn giải:
Gọi h là khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu dưới của cánh tay cần cẩu
(0 < h < H )

H −h
l
+
. Bài toán trở thành tìm min f (α) = ?
sin α cos α
− cos α
sin α
l sin 3 α − ( H − h) cos3 α
+l
=
Ta có f '(α ) = ( H − h)
sin α
cos 2 α
sin 2 α .cos 2 α

Đặt f (α ) =

17


Cho f '( x) = 0 ⇔ tan 3 α =

H −h
> 0 ⇔ tan α =
l

3

H −h
=k >0
l
1

f(α ) = f( arctan k ) = ( H − h) k 2 + 1 + l 2 + 1
Lập bảng biến thiên ta có: αmin
 π
k
∈ 0; 


2

Một số bài tập áp dụng(Trích tài liệu tham khảo)
Bài 1. Biết rằng mỗi km dây điện dặt dưới nước mất 5000USD, còn đặt dưới

đất mất 3000USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ
A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất ?
Bài 2. (Ứng dụng trong thủy lợi)
Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ
động học"(Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S ; l là độ dài đường
biên giới hạn của tiết diện này, l đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương;
mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, l là nhỏ nhất).
Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ
động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
A. x = 4 S , y =

S
4

B. x = 4 S , y =

S
2

C. x = 2S , y =

S
4

D. x = 2S , y =

S
2

Bài 3. Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng 2 m. Nam muốn mắc

một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được
nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị
bởi công thức C = c

sin α
( α là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c là
l2

hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng
điện) . Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là?
A. 1m
B. 1,2m
C. 1.5 m
D. 2m
Bài 4. Ông An cần sản xuất một cái thang để
Trèo qua một bức tường nhà. Ông muốn cái
thang
phải luôn được đặt qua vị trí C, biết rằng điểm
C
cao 2m so với nền nhà và điểm C cách tường
nhà 1m (như hình vẽ bên).Giả sử kinh phí để
sản xuất thang 1.500.000 đồng một mét dài. Hỏi
ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất
thang?
(Kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng).
Bài 5. (Ứng dụng trong Sinh học)
Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực
nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi quy luật
N (t ) = 1000 +

100t
(con vi khuẩn), trong đó t là thời gian(đơn vị giây). Hãy
100 + t 2

xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng
lên là lớn nhất?

18


Bài 6. (Ứng dụng trong Y Học)
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công
thức G ( x) = 0, 25 x 2 (30 − x) với x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x:
miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm
nhiều nhất và tính độ giảm?
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi triển khai đề tài này tôi thấy hiệu quả rất tốt, học sinh dần dần tự
tin, biết vận dụng kiến thức thực tiễn vào việc giải quyết các bài toán thực tế
trong chương trình toán THPT, có niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cách
nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho
việc tự học, tự nghiên cứu và biết áp dụng kiến thức trong chương trình vào thực
tiễn đời sống thường ngày
Để thấy được kết quả sát thực của SKKN tôi đã chọn hai lớp 12A2 và
12A7 trong đó lớp 12A7 để tiến hành làm đối chứng cụ thể như sau:
Đầu tiên tôi ra đề bài kiểm tra trong đó có vận dụng đạo hàm để giải các
bài toán thực tế, chấm điểm kết quả như sau:
Lớp Sĩ số
12A2 43
12A7 46

Giỏi
3
6,9%
9
21%

Khá
8
18,6%
11
23%

TB
22
51,2%
20
43%

Yếu, kém
10
23,3%
6
13%

Bài làm của học sinh chủ yếu ở mức độ trung bình, yếu có em gần như bế tắc, số
bài đạt khá, giỏi còn ít. Trước tình trạng đó tôi tập trung bồi dưỡng cho các em
vào các buổi học thêm buổi chiều và các tiết học tự chọn, tôi đã truyền thụ các
nội dung chủ yếu trong SKKN, các em đã tự tin hơn khi tiếp thu và làm loại bài
tập này, kết quả thu được của bài kiểm tra lần hai là:
Lớp Sĩ số Giỏi

12A2 43
14
12A7 46
21

32,6%
45,7%

Khá
19
44,2%
17
36,9%

TB
7
8

16,3%
17,4%

Yếu
3
0

6,9%
0.0%

Với kết quả như trên và bài làm thực tế của học sinh, tôi nhận thấy việc cung
cấp cho học sinh các bài toán ứng dụng đạo và phương pháp phân tích tìm tòi

lời giải vào giải bài toán thực tế đã có hiệu quả tốt, giúp học sinh tiếp thu và
nâng cao năng lực giải quyết các bài toán tực tiễn. Các em hiểu được:
Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra các quyết
định đầu tư đúng đắn thì phải làm như thế nào?
Một nhà kinh doanh muốn có lợi nhuận cao nhất thì phải tính toán chi phí
nguyên liệu, giá thành sản phẩm như thế nào?
Một nhà khoa học muốn xác định tốc độ của các phản ứng hóa học nào đó hay
một nhà Vật lý cần làm gì để tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động ?

19


Và hơn thế nữa trong thực tiễn đời sống luôn có rất nhiều bài toán liên quan
đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất như phải tính toán thế nào để
làm cho chi phí sản xuất là thấp nhất mà lợi nhuận đạt được là cao nhất?...
Với cách xây dựng hệ thống kiến thức từ trong SGK đến những bài toán thực tế
theo từng dạng, thì học sinh có thể dễ dàng nhận dạng và từ đó tìm ra lời giải
nhanh chóng và khả năng vận dụng kiến thức thực tiễn của các em cũng được
nâng lên một cách rõ rệt
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau:
Đưa ra từng phương pháp cụ thể cùng hệ thống ví dụ hợp lý, có định hướng
phân tích, thiết kế cách thức dạy học các ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích
cực. Và đặc biệt đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và
hiệu quả của những biện pháp được đề xuất. Học sinh rất hứng thú khi được tiếp
cận nhiều dạng bài tập cùng phương pháp giải của nó, được vào vai những nhà
thiết kế, kinh doanh …để tìm ra những giải pháp tối ưu nhất cho công việc.
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tại trường THPT với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán ứng

dụng thực tế nói riêng, Toán học nói chung. Tôi hi vọng có điều kiện để trình
bày mở rộng các vấn đề này trong những năm tiếp theo.
3.2. Đề xuất
Nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo
loại này, mở thư viện điện tử để học sinh cập nhật tiếp cận nhiều các dạng toán
và phương pháp giải các bài toán thực tế
Đây là đề tài cần được mở rộng và phát triển để giáo viên và học sinh có
thêm tư liệu giảng dạy và học sinh được tiếp cận nhiều hơn
3.3. Lời kết
Chuyên đề về các bài toán ứng dụng thực tế là một chuyên đề khá rộng, song
trong khuôn khổ giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm nên người viết cũng chỉ
nêu ra được một số bài toán điển hình, vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý
hội đồng chuyên môn và của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện đầy đủ hơn
nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2017
TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

NGUT,THS LƯƠNG HƯU HỒNG

Lê Thị Thanh

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO

TT
1
2
3
4
5
6
7

Tên tài liệu
Ứng dụng toán để giải các bài toán thực tế - Trần Văn Tài NXB
ĐHQG Hà Nội năm 2017
Rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán trắc nghiệm thực tế - Hứa Lâm
Phong NXB Thanh Hóa năm 2017
Giải tích12, Bài tập Giải tích 12 - NXBGD 2008.
Giải tích12 nâng cao, Bài tập Giải tích 12 nâng cao - NXBGD 2008.
Đề thi thử THPTQG của các trường THPT và các Sở GD trên cả nước
Các fanpage ; ; …
Luật giáo dục năm 2005, Nghị quyết 29NQ/TƯ

21