Hướng dẫn học sinh giải bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học cơ bản nhất trong số các bộ môn khoa học tự
nhiên; Toán học giúp thúc đẩy khả năng phát triển tư duy cho người học,
người nghiên cứu.
Trong sự chuyển mình tích cực của giáo dục nước ta, tôi nhận thấy dạy học
giúp học sinh phát triển tư duy vẫn là một trong những yêu cầu quan trọng
hàng đầu. Đối với dạy học bộ môn Toán nói chung và dạy học giải bài tập
Toán nói riêng, dạy học giúp phát triển tư duy cho học sinh ngoài việc đòi hỏi
ở giáo viên năng lực chuyên môn, năng lực sư phạm ra còn đòi hỏi nhiều về
thời gian và sự tâm huyết ở mỗi người giáo viên.
Trong các nội dung học tập ở trường THPT, phần hàm số đóng vai trò
quan trọng hàng đầu vì có rất nhiều kiến thức được đề cập và rất nhiều dạng
bài tập phong phú nhằm bồi dưỡng năng lực và kĩ năng thực hành, vận dụng
kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, điển hình là các
bài toán về đồ thị và các câu hỏi phụ của nó. Mặc dù đây là dạng toán thường
gặp và xuất hiện trong hầu hết các đề thi nhưng học sinh thường vướng tâm lí
“đầu có xuôi thì đuôi mới lọt” nên để làm tốt cả đề thi, các em cần làm tốt
ngay từ đầu những bài toán này.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: nếu đề bài chỉ yêu cầu viết
phương trình tiếp tuyến thì các em chỉ cần nắm vững kiến thức sách giáo khoa
là có thể làm được ở mức độ vận dụng đơn giản, tuy nhiên nếu kết hợp viết
phương trình tiếp tuyến với tương giao, cực trị, tiệm cận, chứng minh bất
đẳng thức… trong cùng một câu hỏi, đa số các em sẽ lung túng và không thể
giải quyết trọn vẹn vấn đề.
Từ thực tế đó, tôi đã tổng hợp và khai thác thành chuyên đề: “Hướng
dẫn học sinh giải bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” làm
đề tài nghiên cứu với 6 dạng toán khác nhau, mỗi dạng gồm 3 mục là phương
pháp, ví dụ, bài tập được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó để phù hợp với
nhiều đối tượng học sinh, bên cạnh các bài tập tự luận tôi còn đưa thêm các
bài tập trắc nghiệm và các chú ý cần thiết cho mỗi bài tập khó.

1.2.Mục đích nghiên cứu :
Tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải bài toán phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số” với mong muốn tự bổ sung vốn kiến thức và phục
vụ quá trình giảng dạy cho bản thân nhằm cung cấp cho học sinh các phương
pháp và kĩ năng hiệu quả nhất. Hi vọng đề tài nhỏ này cũng sẽ giúp các bạn
đồng nghiệp và các em học sinh có cái nhìn linh hoạt, chủ động và tương đối
đầy đủ khi gặp bài toán viết phương trình tiếp tuyến.
1.3.Đối tượng nghiên cứu :
Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 11 và 12 bậc trung học phổ thông tại
trường THPT Mai Anh Tuấn.
1


Phạm vi nghiên cứu: Một số mảng kiến thức lý thuyết và bài tập (bao gồm
cả tự luận và trắc nghiệm) được nêu trong các bài học của chương V (từ trang
145 đến trang 180) sách Đại số và giải tích 11; chương I (từ trang 4 đến trang
67) sách Giải tích 12, bậc trung học phổ thông.
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài sử dụng phương pháp khảo sát thông qua việc giảng dạy thực tế,
thu thập thông tin từ những nguồn tài liệu liên quan; phương pháp thống kê,
xử lí thông tin; trao đổi thảo luận với các đồng nghiệp để đề xuất các biện
pháp thực hiện. Trong đó phương pháp chính là từ những quan sát thực tiễn
trong quá trình giảng dạy, tôi thu thập thông tin để giải quyết vấn đề
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Điều 24.2 của Luật giáo dục (sửa đổi) 2005 đã quy định: “Phương
pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy
sáng tạo của người học; phù hơp với đặc điểm của từng lớp học môn học; bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn, tác động dến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”

Trong lý luận dạy học đã chỉ rõ: Phương pháp dạy học tích cực là
những phương pháp giáo dục/ dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo của người học. Trong đó các hoạt động học tập được tổ chức, được
định hướng bởi người thầy, người học chủ động, tự lực, tích cực tham gia vào
quá trình tìm kiếm, khám phá, phát hiện kiến thức, vận dụng kiến thức để giải
quyết vấn đề thực tiễn, qua đó lĩnh hội nội dung học tập và phát triển năng lực
sáng tạo.
Phương pháp dạy học này không chỉ quan tâm đến yêu cầu thông
hiểu, ghi nhớ, tái hiện các kiến thức theo SGK mà còn đặc biệt chú ý đến
năng lực nhận thức, rèn luyện kỹ năng và phẩm chất tư duy (phân tích, tổng
hợp, xác lập quan hệ giữa các sự kiện, giả thuyết, qui lạ về quen…) nhằm
giúp học sinh có được kinh nghiệm tiếp cận bài toán khó theo từng bước từ
đơn giản đến phức tạp phù hợp với khả năng từng em.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua thực tế giảng dạy THPT nói chung và dạy chương trình lớp 11, 12 nói
riêng, tôi nhận thấy:
- Khả năng phân tích, tổng hợp các kiến thức về vấn đề này của học sinh nhìn
chung chưa tốt.
- Kỹ năng biến đổi và phân loại các dạng toán để tìm mối liên hệ giữa các yếu
tố của học sinh chưa thực sự linh hoạt.
- Kỹ năng tính toán của học sinh còn yếu
2.3.Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
Phần A: Hệ thống và bổ sung các nội dung lí thuyết:
A1.Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm:

2


Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0 thuộc

f ( x) − f ( x0 )
khi x dần đến x0 được gọi
x − x0

khoảng đó. Giới hạn (nếu có) của tỉ số

là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0) hoặc y’(x0), tức là
f’(x0) = Lim
x→ x
0

f ( x) − f ( x0 )
x − x0

Trong định nghĩa trên, nếu đặt x = x – x0 và y = f(x0+ x) – f(x0) thì ta có
Lim
∆x → 0

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆y
= Lim
= f '( x0 )
∆x → 0 ∆x
∆x

Chú ý rằng:
.) Số x = x – x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0,
Số y=f(x0+ x) – f(x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia x tại
điểm x0
.)Số x không nhất thiết chỉ mang dấu dương.

.) x và y là những kí hiệu ( không nên nhầm lẫn rằng x = .x và y = .y)
A2.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), M0 cố định thuộc (C) có hoành độ x0.
Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M0, ta kí hiệu xM là hoành độ của nó và kM là
kM
hệ số góc của cát tuyến M0M.Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn k0 = xLim
→x0
Khi đó ta coi đường thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc k0 là vị trí giới hạn
của cát tuyến M0M khi M di chuyển dọc theo(C) dần đến M0.
Đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0, còn điểm
M0 được gọi là tiếp điểm.
A3.Hệ số góc của tiếp tuyến
Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm x0. Với mỗi điểm M trên (C) ta có
M

kM =

f ( xM ) − f ( x0 )
xM − x0

Vì f có đạo hàm tại điểm x0 nên f '( x0 ) = xLim
→x
M

0

f ( xM ) − f ( x0 )
= Lim k M = k0
xM → x 0
xM − x0

Do đó, đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp
tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0, f(x0)).
A4.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm M0(x0,f(x0)) có phương trình là : y = f’(x0)(x- x0) + f(x0).
A5.Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị :
Đường thẳng y = kx + b tiếp xúc với đường cong y = f(x) khi và chỉ
khi hệ phương trình sau có nghiệm

 f ( x) = kx + b

 f '( x) = k

Phần B: Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng 1: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị.
3


Đây là dạng thường gặp và dễ giải quyết nhất của bài toán tiếp tuyến.
a. Phương pháp:
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị (C) của hàm số y =
f(x) có dạng y = f’(x0) (x – x0) + y0.
- Để viết được phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0), học sinh cần xác
định được ba yếu tố là x0, y0, f’(x0) dựa theo các giả thiết của bài toán.
u ( x)

- Riêng với hàm số y = v( x) có đồ thị (C), nếu (C) cắt trục hoành tại điểm có
u '( x)

hoành độ x = x0 thì tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là k = v( x) . Thật vậy, (C) cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ x = x0 nên u(x0) = 0 và v(x0)
k = y '( x0 ) =

là

0. Hệ số góc

u '( x)v( x) − v '( x)u ( x) u '( x)
=
v 2 ( x)
v( x)

b. Các ví dụ tự luận
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = x3 –6x2
+9x–2 tại điểm M có hoành độ x0= 1
Phân tích:Bài toán này đã cho x0= 1 đồng thời ẩn đi y0 và f’(x0), do vậy
để viết được phương trình tiếp tuyến thì cần xác định được hai yếu tố này.
Bài giải: Ta có x0= 1 => y0= y(x0) = 2, y’(x0) = y(1) = 0 nên phương trình
tiếp tuyến cần tìm là y = 0(x – 1 ) + 2 hay y = 2
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x2 + 2 x − 8
tại giao
x −1

điểm của đồ thị với trục hoành
Phân tích: Đây là bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
dạng phân số nên ta sẽ dùng nhận xét đã trình bày ở trên để giải.
Bài giải: Giao điểm là A(2; 0), B(-4; 0).Phương trình tiếp tuyến lần lượt là

6
5

y = 6x – 12 và y = x +

24
5

Ví dụ 3: [Cao đẳng khối A, A1, B, D - 2013]. Cho hàm số y =

2x +1
. Gọi M là
x −1

một điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị tại M
cắt các trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Phân tích: Đối với bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M biết
tung độ y0, ta thường tìm hoành độ x0 bằng cách giải pt f(x0) = y0. Từ đó viết
phương trình tiếp tuyến tại điểm tìm được.
Bài giải: Tập xác định: D = R\ {1}. Ta có pt:

2x + 1
= 5 ⇔ x = 2 → M (2;5) . Vì
x −1

3
⇒ y '(2) = −3 nên phương trình tiếp tuyến là (d): y = - 3x.
( x − 1) 2
11
Đường thẳng (d) cắt Ox tại A ( ; 0) và cắt Oy tại B (0; 11). Vì tam giác OAB

3
1
121
vuông tại O nên SOAB = OA.OB =
[8]
2
6
y'= −

4


Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2x + 1 có đồ thị (C). Giả sử hai điểm A, B
thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.Chứng minh
rằng điểm uốn của (C) là trung điểm AB.
Bài giải : y’ = 3x2 – 6x + 2, y” = 6x – 6, điểm uốn M (1; 1).
Giả sử A, B có hoành độ lần lượt là a, b (a b). Tiếp tuyến tại A và B song
song nên k1 = k2  3a2 – 6a + 2 = 3b2 – 6b + 2 (a – b) (a + b – 2) = 0  a
+ b = 2 => A(a; a3 – 3a2 + 2a + 1), B(2 – a; -a3 + 3a2 – 2a + 1)
Trung điểm AB là M (1; 1) chính là điểm uốn của đồ thị. [8]
Ví dụ 5: Cho hàm số y =

2x − 3
(C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận và M
x−2

là điểm bất kì thuộc (C ), tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. Chứng
minh rằng M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không đổi
khi M thay đổi trên (C). Tìm M để AB nhỏ nhất.
Bài giải: Tập xác định: D = R\ {1}. Đồ thị (C) có tiệm cận ngang y = 2 và

1
2a − 3
2a − 3
) là y = − (a − 2)2 ( x − a) + a − 2
a−2
2a
(d) cắt các tiệm cận tại A (2a – 1; 2) và B (1;
). Suy ra trung điểm AB là
a −1

tiệm cận đứng x = 1. Tiếp tuyến tại M (a;

điểm M.Giao của hai tiệm cận là I (1; 2). Tam giác IAB vuông tại I nên
S IAB =

1
IA.IB = 2 = const và AB
2

. Dấu “=” xảy ra khi a = 3 hoặc a = 1 nên

M (3; 3) hoặc M (1; 1).
c.Ví dụ trắc nghiệm [8]
Ví dụ 6: (Đề thi thử THPT Lam Kinh – 2017): Hàm số y = x3 − x − 1 (C). Tiếp
tuyến tại giao điểm của (C) với Ox là:
A, y = -x + 1
B, y = -x -1
C, y = 2x + 2
D, y = 2x – 1

Ví dụ 7: (Đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc – 2017) Hàm số y = x3 − x − 1
(C). Tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy là:
A, y = 2x + 2
B, y = -x + 1
C, y = -x -1
C,
D, y = 2x – 1
Ví dụ 8: (Đề thi thử THPT chuyên KHTN – 2017) Tiếp tuyến tại điểm có
hoành độ -1 của đồ thị y =
A,

1
6

B, -

1
6

x +1
có hệ số góc là
2x −1
1
C, 3

D,

1
3

Ví dụ 9 : (Đề thi thử THPT Hàn Thuyên) Tiếp tuyến tại điểm M của đồ thị
y=

2x + 4
tạo với hai tiệm cận một tam giác vuông có diện tích không đổi. Tìm
x +1

diện tích đó
A, 4
B, 8

C, 2

D, 1

5


Ví dụ 10 : (Đề thi thử THPT Hoài Ân – 2017) Tiếp tuyến tại điểm M có tung
2x +1
cắt Ox, Oy tại A, B. SOAB là :
x −1
119
123
B,
C,
6
6

độ bằng 5 của đồ thị y =

A,

121
6

D,

125
6

Ví dụ 11 : (Đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn – 2017) Hệ số góc tiếp tuyến
tại điểm có hoành độ bằng 5 của đồ thị y = log3 x là:
A,

ln 3
5

B,

1
5ln 3

C,

5
ln 3

D, 5ln3

d. Bài tập áp dụng[8]

Bài tập 1[Đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc-2014]: Cho hàm số y = mx3 –
(2m+1) x + m + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m 0 để tiếp tuyến của đồ thị tại giao
điểm của đồ thị với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích
bằng 4. Đáp số m = 7 ± 2 14, m = −9 ± 6 2
Bài tập 2 [Đề thi thử THPT chuyên ĐHSPHN-2014]: Cho hàm số y = -x3
+3x+2 có đồ thị (C). Đường thẳng d đi qua I (0; 2) có hệ số góc k. Tìm k để d
cắt (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B. Gọi d1, d2 là tiếp tuyến của (C) tại A,
B.Chứng minh rằng I cách đều d1, d2. Đáp số k < 3
Bài tập 3: [Đề thi thử THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa – 2013] Viết phương trình
đường thẳng d cắt đường thẳng (C) y = x3 – 3x2 +4 tại ba điểm phân biệt N, P,
3± 2 2
(x – 2).
3
−x −1
Bài tập 4: [Đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh A-2014] Cho hàm số y =
x −1

M (2; 0) sao cho tiếp tuyến tại N và P vuông góc. Đáp số y =

(C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M biết khoảng cách từ M

đến đường thẳng y = 2x–1 bằng

3
1
1
. Đáp số y = x + và y = 8x – 1.
5
2
2

Dạng 2: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
a. Phương pháp:
Ta biết rằng đồ thị (C) của hàm số y = f(x) có hệ số góc của tiếp
tuyến tại điểm x = x0 là k = f’(x0). Để lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) của hàm số y = f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k, ta có thể làm theo
hai cách Cách 1: Xét hàm số, tính đạo hàm y’ = f’(x)
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: f’(x) = k, giải pt để
suy ra x0.
Phương trình tiếp tuyến có dạng y = k(x – x0) + y0.
Cách 2: Phương trình đường thẳng với hệ số góc k có dạng y = kx + b
Đường thẳng này tiếp xúc với đồ thị khi và chỉ khi hệ
có nghiệm. Giải hệ rồi suy ra phương trình tiếp tuyến. Nghiệm của hệ chính là
hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị.
6


Chú ý - Hai đường thẳng song song khi hai hệ số góc bằng nhau (Sau khi giải
phải thử lại để loại trường hợp trùng nhau)
- Hai đường thẳng vuông góc khi tích hai hệ số góc bằng -1
- Hệ số góc của đường thẳng bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng và trục
hoành
- Hai đường thẳng d1, d2 không vuông góc có hệ số góc k1, k2 thì góc giữa
chúng được tính theo công thức tan α =

k1 − k2
1 + k1k2

. b. Các ví dụ tự luận
Ví dụ 12: Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc

(C) sao cho tiếp tuyến tại M có hệ số góc bằng 9.
Bài giải: Cách 1 : Gọi x0 là hoành độ điểmM, khi đó x0 là nghiệm phương
trình : y’(x0) = k  3 x02 – 3 = 9  x0 = 2. Vậy M (2; 0) hoặc M (-2; -4).
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y = 9x + m. (d) tiếp xúc với (C)
 x 3 − 3 x − 2 = 9 x + m
khi và chỉ khi hệ có nghiệm  2
. Vậy M (2; 0) hoặc M (-2; -4).
3 x − 3 = 9

Ví dụ 13: [Đề thi ĐH khối B – 2006] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số y =

x2 + x −1
biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị.
x−2

Giải: Tập xác định: D = R\ {-2}. Đồ thị có tiệm cận xiên y = x – 1. Tiếp
tuyến vuông góc với tiệm cận xiên nên có hệ số góc k = -1. Xét phương trình:
y’(x0) = k  x0 = −2 ±

1
nên phương trình tiếp tuyến là y = x – 5
2

.[8]

Ví dụ 14: [Đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh – 2013] Gọi I là giao điểm hai
tiệm cận của đồ thị hàm số (C) : y =

x −1

. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của
x−2

(C) tại điểm M sao cho IM vuông góc (d).
Phân tích: Vì IM chưa có hệ số góc cụ thể nên nếu chọn phương pháp viết
theo hệ số góc sẽ khá rối, trong khi đó nếu viết theo tọa độ điểm M thì chỉ cần
một phương trình là đủ.
Bài giải: Tập xác định: D = R\ {2}. Đồ thị có các tiệm cận x = 2 và y = 1
và giao điểm của chúng là I (2; 1). Gọi M (a ;
1

a −1
)
a−2

(C ) (a 2). Hệ số góc

của tiếp tuyến (d) tại M là k1= y’ (a) = − (a − 2)2 . Hệ số góc của IM là
k2 =

yM − yI
1
1
1
=
−
=-1
2 . Hai đường thẳng vuông góc nên
2
xM − xI (a − 2)

(a − 2) (a − 2) 2

suy ra a = 1 ; a = 3, ta có phương trình tiếp tuyến là y = -x + 1và y = -x + 5.[8]

7


(3m + 1) x − m 2 + m
có đồ thị (C). Tìm m để tiếp tuyến
x+m
5
của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với Ox song song với (d): y=x 3
1
Bài giải: đồ thị (C) cắt trục hoành khi và chỉ khi m 0 và m ≠ − . Tiếp
3
2
2
m −m
(3m + 1)
tuyến tại hoành độ giao điểm x0 =
có hệ số góc k =
. Tiếp tuyến
3m + 1
4m 2
−1
−1
(3m + 1) 2
1
=
song song với (d) nên

=> m = ; m = -1.Với m = phương
2
5
5
4m
3
trình tiếp tuyến là y = x - (loại do tiếp tuyến trùng (d)) .Với m = -1phương
5

Ví dụ 15: Cho hàm số y =

trình tiếp tuyến là y = x + 1(thỏa mãn). Vậy m = -1.
Ví dụ16: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =
trục Ox, Oy tại A, B sao cho AB =

2x +1
biết tiếp tuyến cắt hai
x+2

.OA.

3

Bài giải: Cách 1 : Ta có y’ = ( x + 1)2 . Phương trình tiếp tuyến tại M (a ;

2a + 1
)
a+2

3

 −2(a 2 + a + 1) 
2a + 1
;0 ÷, Oy tại
là y = (a + 1)2 (x – a) +
cắt Ox tại A 
3
a+2


 2( a 2 + a + 1) 
2
2
2
B  0;
÷. Tam giác OAB vuông tại O nên OA + OB = AB 
2
(
a
+
2)



a = -1 hoặc a =-3 nên phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 2 và y = 3x + 14.
Cách 2: OA2 + OB2 = AB2  tanOAB =

OB
= 3. Suy ra hệ số góc k = ± 3.
OA

Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 2 và y = 3x + 14.
Ví dụ 17: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =

x+2
biết tiếp tuyến cắt
2x + 3

hai trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại O.
Phân tích: Với bài toán này ta có hai sự lựa chọn:
1. Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại x = x0, viết phương trình tiếp
tuyến tại x = x0, tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ rồi thay vào
biểu thức OA = OB.
2. Tam giác OAB vuông cân tại O nên góc OAB = 450 k = ± 1.

−1
a+2
) là y = (2a + 3) 2 (x – a) +
2a + 3
a+2
2a 2 + 8a + 6
cắt Ox tại A(2a2+ 8a + 6; 0), Oy tại B(0;
) . Vì OA = OB nên
2a + 3
(2a + 3) 2

Bài giải: Cách 1: Tiếp tuyến tại M (a ;

a =-1 (loại) hoặc a =-2 phương trình tiếp tuyến là y = - x – 2.
Cách 2: Tam giác OAB vuông cân tại O nên góc OAB = 450 hay hệ số góc k =
± 1. Khi k = 1, phương trình

−1
= −1  a = -1 hoặc a = -2. Với a = -1 thì
(2a + 3) 2

8


phương trình tiếp tuyến y = -x không cắt các trục tại hai điểm phân biệt nên
loại. Với a =- 2 phương trình tiếp tuyến là y = - x – 2.
c.Ví dụ trắc nghiệm[8]
Ví dụ 18 ( Đề thi thử THPT Hòn Gai 2017 ) : Cho hàm số y = x3 + 3x 2 − 4(C ) .
Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại M song song với d: y = 9x + 2
A, M(-3; -4)
B, M(1; 0), M(-3; -4)
C, M(-1; -1), M(3; 5) D, M(1; 0)
Ví dụ 19 (Đề thi thử THPT Tĩnh Gia 3 – 2017) : Cho hàm số
y = − x3 − 3 x 2 − 5 x − 1 . Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc lớn nhất là
A, y = 2x
B, y = 2x – 1
C, y = -2x
D, y = -2x + 2
Ví dụ 20 (Đề thi thử sở GD-ĐT Bà Rịa Vũng Tàu) : (C): y = x3 − 3x 2 + 5 x + 3 và
(d) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất . Điểm nào thuộc (d):
A, M(0; 3)
B, N(-1; 2)
C, P(3; 0)
D, Q(2; -1)
Ví dụ 21 (Đề thi thử THPT chuyên Hà Giang – 2017) Tìm M thuộc (C)
1

y = x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1 sao cho tiếp tuyến tại M có hệ số góc nhỏ nhất.
3
5
5
5
5
A, M(2; − )
B, (2; )
C, ( ; 2)
D, ( − ;
3
3
3
3

2)
Ví dụ 22 (Đề thi thử THPT Quốc học Huế - 2017) Tìm M thuộc (C) : y =
1
2

7
2

x −1
x +1

sao cho tiếp tuyến tại M song song với (d): y = x + .
A, M(0; 1) M(2; 3)
D, M(1; 0)

B, (1; 0) (-3; 2)

d. Bài tập áp dụng
Bài tập 5: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

C, M(-3; 2)

x+9
biết tiếp tuyến vuông
x +1

góc với đường thẳng (d): y = x + 2. Đáp số y = -2x + 7 và y = -2x – 9
Bài tập 6: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị song song với đường thẳng (d): 9x – y + 6 = 0. Đáp số y = 9x – 26

2x + 2
biết tiếp tuyến tạo
x+2
1
1
với đường thẳng (d): y = 3x một góc 450. Đáp số y = x + 1, y = x +5
2
2
2x + m
Bài tập 8: Tìm m để đồ thị (C): y =
có tiếp tuyến song song và cách
x +1
43
đường thẳng (d) : 3x + y – 1 = 0 một khoảng
. Đáp số m = 1 hoặc m = 3

Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =

Dạng 3: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
a. Phương pháp
9


Cách 1: Gọi phương trình tại tiếp điểm M(x0; y0) là của tiếp tuyến d và
đồ thị là y – y0 = f’(x0) (x - x0).Vì tiếp tuyến đi qua A nên yA – y0 = f’(x0) (xA x0 ). Giải phương trình được x0; y0 rồi viết phương trình tiếp tuyến
Cách 2: Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua A, phương trình d
dạng y = k(x – xA) + yA là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x) = k ( x − x A ) + y A

. Giải hệ tìm x, tìm k, rồi viết phương trình tiếp tuyến.
 f '( x) = k

b. Các ví dụ tự luận
Ví dụ 23: [Đề thi thử THPT chuyên Quốc học Huế] Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) : y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến đi qua A (1; -1).
Bài giải: Tiếp tuyến (d) tại M (a, a4 – 2a2) là y = (4a3 – 4a)(x – a) + a4 –
2a2. Vì A (d) nên (a – 1)2(3a – 1)(a + 1) = 0 x = ± 1 hoặc x =
1 thì (d): y = -1. Với x =

1
. Với x = ±
3

1
32

5
thì (d): y = x+
.[8]
3
27
27

Nhận xét: Qua ví dụ này ta thấy không phải lúc nào số tiếp tuyến cũng
bằng số tiếp điểm, cụ thể : có 3 tiếp điểm nhưng chỉ có hai tiếp tuyến. Như
vậy cũng suy ra ở đồ thị hàm số bậc 4 có thể có tiếp tuyến tiếp xúc đồ thị tại
hai điểm phân biệt.
Ví dụ 24: Cho (C) y = x3 – 2x2 + (m – 2) x + 3m (m là tham số). Tìm m để
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số đi qua điểm A (1 ;

−55
).
27

Bài giải : Hệ số góc của tiếp tuyến tại M(x0, y0) : k = y’(x0) = 3x02 – 4x0 + m –
10
2
2 11m 55
− ) =>phương trình tiếp
khi x0 = => M ( ;
3
3
3 3
27
10
2

11m 55
1
− . Vì A thuộc tiếp tuyến nên m =
tuyến: y = (m - ) (x - ) +
3
3
3
27
4

2. Ta có kmin = m -

Ví dụ 25: [Đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc – 2014] Viết phương trình tiếp
1− x
đi qua giao điểm của tiệm cận và Ox.
2x −1
1
Bài giải: Đồ thị có giao điểm của tiệm cận và Ox là M (- ; 0). Đường
2
1
thẳng d đi qua M: y = k(x + ) là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
2
1
 1− x
 2 x + 1 = k ( x + 2 )
5
−1
−1
⇒x= ⇒k =
. Vậy d: y = x.[8]

 −3
2
12
12

=k
2
 (2 x + 1)

tuyến của (C): y =

Ví dụ 26: Cho (C) : y =

x2 + x + 1
. Chứng minh rằng từ A (1; -1) có thể kẻ được
x +1

hai tiếp tuyến vuông góc đến (C).

10


Bài giải : Đường thẳng d: y = k(x – 1) – 1 là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ
 x2 + x + 1
 x + 1 = k ( x − 1) − 1
−3 ± 5
−1 ± 5

⇒x=
⇒k =

sau có nghiệm:  2
(tích bằng -1)
2
2
 x + 2x = k
 ( x + 1) 2

c.Ví dụ trắc nghiệm .[8]
Ví dụ 27 (Đề thi thử THPT Bắc Kạn – 2017) Số tiếp tuyến đi qua điểm
A(1; -6) của đồ thị y = x3 − 3x + 1 là:
A, 3
B, 2
C, 0
D, 1
2
Ví dụ 28 Hai tiếp tuyến của parabol y = x đi qua điểm ( 2;3) có hệ số góc là
A. 2 hoặc 6

B. 1 hoặc 4

C. 0 hoặc 3

D. -1 hoặc 5

Ví dụ 29 Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ
thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua A(−1; −2)
A. y = 9 x + 7; y = −2

B. y = 2 x; y = −2 x − 4

C. y = x − 1; y = 3x + 2

D. y = 3x + 1; y = 4 x + 2

d.Bài tập áp dụng
Bài tập 9: Viết phương trình tiếp tuyếnvới đồ thị (C) : y = x3 – 3x2 – 9x + 20
biết tiếp tuyến đi qua A (3; -7). Đáp số y =-9x + 20, y =-7
Bài tập 10: Cho hàm số y =4x2 +3mx+6. Tìm m để đồ thị có tiếp tuyến đi qua
A (1; -2).Đáp số : m > -4
Bài tập 11: Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Gọi M là điểmtrong mặt phẳng sao
cho biểu thức T =
+
đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó A,
B là các điểmcực trị của hàm số và C (0; 39). Viết phương trình tiếp tuyến kẻ
từ M đến đồ thị. Đáp số : y = 12x + 12.
Dạng 4 : Bài toán kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
a.Phương pháp :
Tiếp tuyến (d) đi qua A có hệ số góc k là y =

.

Dùng điều kiện tiếp xúc để tìm k. Điều kiện để qua A kẻ được n tiếp tuyến là
hệ phương trình có n nghiệm k phân biệt.
b.Các ví dụ tự luận
Ví dụ 30: [Đề thi HSG Thanh Hóa – 2015] Tìm trên trục tung những điểm kẻ
được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) y =

và hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến

đó nằm về hai phía của Ox.

Bài giải: Tập xác định D = R\ {1}. Đường thẳng (d) đi qua A (0; m) có
phương trình y = kx + m. Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường thẳng khi và

11


chỉ khi hệ sau có 2 nghiệm k phân biệt :

. Thế (2) vào (1)

ta được (m – 1) x2 -2(m + 2) x+ m + 2 = 0 (3). Từ A kẻ được hai tiếp tuyến
đến đồ thị (C )  hệ trên có hai nghiệm k phân biệt  hệ trên có hai nghiệm
x phân biệt  pt (3) có hai nghiệm x phân biệt x 1  1 m > -2.Giả sử hai

tiếp điểm là (x1; y1), (x2; y2). Theo Viet:

. Hai tiếp điểm

nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi y1.y2 < 0 

< 0 m

>- . Vậy 1 m >- .[8]
Nhận xét:
Hai điểm A(x1; y1), B (x2; y2) nằm về hai (cùng) phía của Ox khi và chỉ khi
y1.y2 < 0 (y1.y2 > 0 )
Hai điểm A(x1; y1), B (x2; y2) nằm về hai (cùng) phía của Oy khi và chỉ khi
x1.x2 < 0 (x1.x2 > 0)
Hai điểm A(x1; y1), B(x2; y2) nằm về hai (cùng) phía của đường thẳng d: ax +
by + c = 0 khi và chỉ khi (ax1 + by1 + c) (ax2 + by2 + c) < 0 (>0)

Ví dụ 31: [Đề thi thử THPT Amsterdam – 2014] Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 2.
Tìm trên d: y = 9x – 7 những điểm có thể kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị.
Bài giải : Gọi đường thẳng qua M (a; 9a – 7) : y = k(x – m) + 9m – 7. là tiếp
tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có 3 nghiệm k phân biệt

Thế (2) vào (1) ta được (x – 1)
[2x2 + (5 – 3m) x + 5 – 9m] = 0 (3). Từ M kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị
(C )  hệ trên có ba nghiệm k phân biệt  hệ trên có ba nghiệm x phân biệt
 phương trình (3) có ba nghiệm x phân biệt phương trình 2x2 +(5 – 3m)x
+ 5 – 9m = 0 có hai nghiệm x phân biệt x

1  m (- ; -5) ( ; + )\{1}.[8]

Ví dụ 32: Cho hàm số y = x4 - 2x2 – 1. Tìm trên trục tung những điểm mà từ
đó có thể kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị

12


Bài giải: Đường thẳng qua M (0; a) Oy : y = kx + m là tiếp tuyến của (C)
khi và chỉ khi hệ sau có 3 nghiệm k phân biệt :

.

Thế (2) vào (1) ta được 3x4 – 2x2 + m + 1 = 0 (3).
Đặt t = x2, t > 0: 3t2 – 2t + m + 1 = 0 (4). Phương trình (3) có ba nghiệm x
phân biệt pt (4) có hai nghiệm t thỏa mãn t1 = 0 < t2 => m = -1. Thử lại, với
m = -1, pt (4) có hai nghiệm t1 = 0, t2 = (tm) =>

=> phương trình (2) có 3 nghiệm là

,

,

.

Vậy từ M (0; -1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị.
Lưu ý rằng ở hàm số bậc 4 hai điều kiện “có ba giá trị k phân biệt” và “ba
nghiệm x phân biệt” không tương đương vì có thể xảy ra trường hợp một tiếp
tuyến tiếp xúc với đường thẳng tại hai tiếp điểm, vậy nên sau khi giải phải
thử lại. Ở hàm số bậc 3 hoặc hàm số phân thức thì các điều kiện này tương
đương.
c.Ví dụ trắc nghiệm .[8]
Ví dụ 33 (Đề thi thử THPT Thanh Hà – 2017) : Có bao nhiêu tiếp tuyến của
đồ thị y = x 4 − 4 x 2 + 3 song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất
A, 1
B, 0
C, 3
D, 2
Ví dụ 34 (Đề thi thử THPT Bắc Kạn – 2017) Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ
thị y = 2 x 4 − 8x 2 + 1 song song với Ox
A, 0
B, 1
C, 2
D, 3
d.Bài tập áp dụng
Bài tập 12: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 1 (C). Tìm trên (d): y = 3 những điểm
có thể kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị. Đáp số m (- ; -1) ( ; + )\ {2}.
Bài tập 13: Cho hàm số

(C). Tìm trên trục tung những điểm mà từ

đó có thể kẻ hai tiếp tuyến đến hai nhánh của đồ thị.Đáp số 0 < m <
Bài tập 14: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 2. Tìm m để đường thẳng d: y = m (2 –
x) + 2 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A (2; 2), B, C sao cho tích hệ số
góc của tiếp tuyến tại B, C nhỏ nhất.Đáp số : m = -1.
Bài tập 15: Cho hàm số

có đồ thị (C). Tìm trên trục tung những điểm

mà từ đó có thể kẻ đúng một tiếp tuyến đến đồ thị.Đáp số : M (0; 1), M (0; -1)
13


Dạng 5 : Sử dụng bài toán tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức :
a. Phương pháp:
1. Khái niệm về tính lồi lõm của đồ thị hàm số :
Cho y = f(x) (C) có đạo hàm trên (a; b). Đồ thị hàm số được gọi là lồi trên (a ;
b) nếu với mọi điểm M(c ; f(c)) (c ∈ (a ;b)) tiếp tuyến đồ thị hàm số
nằm phía trên đồ thị hàm số. Tương tự cho khái niệm đồ thị
hàm số lõm.
2. Dấu hiệu lồi lõm của đồ thị hàm số :
Nếu f ’’(x) < 0, ∀x ∈ (a ; b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng
(a; b). Nếu f ’’(x) > 0, ∀x ∈ (a ; b) thì đồ thị hàm số lõm trên
khoảng (a; b).
3. Nhận xét : Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị là
(C) và (G)
- Trên khoảng (a ; b) đồ thị (C) nằm trên đồ thị (G) khi
và chỉ khi f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ (a ; b).

- Nếu đồ thị y = f(x) lồi trên (a; b) và tiếp tuyến tại C(c; f(c)) (c ∈
(a ;b)) là y = f’(c)(x – c) + f(c) thì f(x) < f’(c)(x – c) + f(c). Nếu
đồ thị y = f(x) lõm trên (a; b) f(x) > f’(c)(x – c) + f(c).
Chú ý : Phương pháp này cho phép ta đánh giá biểu thức f(x) dễ dàng
hơn thông qua một biểu thức bậc 1. Hơn nữa, ta có thể chọn c để dấu bằng
xảy ra theo yêu cầu bài toán.
b. Ví dụ tự luận
Ví dụ 35: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. CMR a + b + c ≥ ab + bc + ca
Bài giải : Dấu “=” khi a = b = c = 1. Bất đẳng thức tương đương với
2 a + 2 b + 2 c ≥ 9 − a 2 − b 2 − c 2 . Xét hàm số f ( x) = x 2 + 2 x , tiếp tuyến tại x = 1
là y = 3x. Ta có f(x) – 3x ≥0, ∀ x∈(0 ;1) nên với a, b, c ∈(0 ;1) : f(a) +
f(b) + f(c) ≤ 9.[10]
Ví dụ 36 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. CMR :
(2a + b + c) 2
(2b + a + c) 2
(2c + b + a ) 2
+
+
≤8
2a 2 + (b + c ) 2 2b 2 + (a + c) 2 2c 2 + (b + a) 2

Bài giải : Vì a + b + c = 1 nên ta có:
a + 2a + 1 b 2 + 2b + 1 c 2 + 2c + 1
+
+
≤8 .
3a 2 − 2a + 1 3b 2 − 2b + 1 3c 2 − 2c + 1
1
4
x2 + 2 x + 1

Xét hàm số f ( x) = 2
. Tiếp tuyến tại x = là y = 4x + . Ta có f(x)
3
3
3x − 2 x + 1
4
– (4x + ) ≥ 0, ∀ x∈(0 ;1) nên với a, b, c ∈(0 ;1) : f(a) + f(b) + f(c)
3
2

≤ 8.[10]
c. Bài tập [10]
Bài tập 16: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
14


1 1 1
9
1
1 
 1
+ + +
≥ 4
+
+
÷
a b c a+b+c
 a+b b+c c+a 

Bài tập 17: Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng:

a
b
c
d
1
+
+
+
≤
2
2
2
2
5 + 3a 5 + 3b 5 + 3c 5 + 3d
2

Dạng 6: Một số dạng bài toán khác .
a. Ví dụ tự luận
Ví dụ 37 [Đại học khối D 2007] : Cho hàm số y =

2x
(C). Tìm điểm M thuộc
x +1

(C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ tại A và B sao cho tam
giác OAB có diện tích

1
4
2x

0
Bài giải : Tập xác định : D = R\ {-1}. Gọi M ( x0 ; x + 1) , tiếp tuyến tại M là
0

2

2 x0

2x

2

0
(d) : y = ( x + 1) 2 ( x − x0 ) + x + 1 , (d) cắt Ox và Oy tại A (-x02; 0), B(0;
).
(
x
+
1) 2
0
0
0

1
4

Từ S∆ABC = ta có x0 = 1 hoặc x0 =

−1

−1
nên M(1 ;1) và M( ; -2) .[8]
2
2

Ví dụ 38: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp
tuyến của đồ thị hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài giải : Gọi M(x0, y0) thuộc (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k =
y’(x0) = 3x02 + 6x0 – 9. Ta có kmin = -12 khi x0 = -1 => M (-1; 16)=>phương
trình tiếp tuyến: y = -12x + 4. Nhận xét: M (-1; 16) là điểm uốn của đồ thị
Ví dụ 39: Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c. Giả sử đồ thị hàm số có đúng hai
điểm chung M, N với trục hoành. Gọi P là giao điểm của đồ thị với trục tung,
biết tiếp tuyến của đồ thị tại nghiệm đi qua P. Tìm a, b, c để S∆MNP = 1
Phân tích: Thông thường ta sẽ tìm tọa độ của M, N theo a, b, c nhưng việc
này rất khó khăn, thay vào đó ta sẽ biểu diễn a, b, c theo tọa độ của M, N để
giảm bớt số ẩn.
Bài giải: Gọi M (m; 0) và N (n; 0). Phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 có
đúng hai nghiệm phân biệt ta giả sử y = x3 + ax2 + bx + c = (x – m)2 (x – n).
Giao điểm của đồ thị với trục tung là P (0; -m2n) và mn 0. Vì y’(m) = 0 và y’
(n) = (n – m)2 nên phương trình tiếp tuyến là y = 0 và y = (n – m)2(x – n),
đường thẳng này chứa P. Suy ra -m2n = -n(n – m)2  (n – m)2 = m2 n= 2m.
Mà SMNP = 1 nên m = 1 hoặc m = -1. Với m = 1 thì n=2 =>a= -4, b = 4, c = -2.
Với m = -1 thì n= -2 =>a= 4, b = 5, c = 2.
Ví dụ 40: Cho (C): y = x3 – 3x – 2 .Xét ba điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc
(C). Gọi A1, B1, C1 lần lượt là giao điểm của (C ) với tiếp tuyến của (C ) tại A,
B, C. Chứng minh rằng A1, B1, C1 cũng thẳng hàng.

15

Phân tích: - tiếp tuyến tại một điểm M bất kì thuộc đồ thị còn cắt đồ thị tại
một điểm khác khi phương trình cho hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và đồ
thị có hai nghiệm phân biệt.
Giải : Gọi a, b, c là các tiếp điểm.Tiếp tuyến tại A: y = (3a2 – 3)(x – a) + a3
– 3a – 2 còn cắt (C) tại điểm A1 có hoành độ -2a, tương tự tiếp tuyến tại B, C
cắt
(C ) các điểm B1, C1 có hoành
độ -2b, -2c.
uuur
uuur
2
2
AB = (b − a;(b − a )(b + ab + a − 3), AC = (c − a;(c − a )(c 2 + ac + a 2 − 3) . A, B, C thẳng
hàng khi a + b + c = 0. Như vậy A, B, C thẳng hàng khi tổng hoành độ bằng 0.
Xét tổng hoành độ các điểm A1, B1, C1: -2a +(-2b) + (-2c) = -2(a + b + c) = 0
nên chúng cũng thẳng hàng.
Ví dụ 41: Tìm tiếp tuyến cố định của họ đường cong y =

(m − 1) x + m
(m
x−m

0)

Bài giải: nhận xét rằng x= a không thể là tiếp tuyến của họ đồ thị trên.
Đường thẳng (d): y = kx + b tiếp xúc họ đồ thị khi hệ sau có nghiệm m 0:
 m2
 x − m + m − 1 = kx + b



Ta có (k + 1)2m2 +2(k – 1) (b + 1) m + (b + 1)2 = 0 thỏa
2
 −m = k
 ( x − m) 2

mãn với mọi m 0 khi b = k = -1. Thử lại thấy hệ có nghiệm x = 0, phương
trình tiếp tuyến là y = -x – 1 cố định.
Ví dụ 42 : Cho (C) : y = x4 – 2x2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc đồ
thị tại hai điểm phân biệt.
Bài giải : Gọi hai tiếp điểm là a, b (a b), vì tiếp tuyến tại A cũng là tiếp
 k = f '(a ) = f '(b)

 f '(a )( x − a ) + f (a) = f '(b)( x − b) + f (b)
 a 2 + ab + b 2 − 1 = 0
 a = 1; b = −1
⇔
TH1 : 
thì hai tiếp điểm (1; 1), (-1; 1) và
 a = −1; b = 1
a + b = 0

tuyến tại B nên

phương trình tiếp tuyến là y = 1
2
2
 a + ab + b − 1 = 0
TH2  2
loại do a b.Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = 1
2

3a + 3b = 2

Ví dụ 43: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị (P): y = x2 và (P’):
y = x2 – 2x – 1.
Bài giải: Gọi tiếp tuyến chung là (d): y = ax + b. (d) tiếp xúc với (P) và
 x12 = ax1 + b

(P’) nên hai hệ phương trình: 

 2 x1 − 2 = a

 x2 2 − 2 x2 − 1 = ax2 + b

và 

 2 x2 − 2 = a

có nghiệm

suy ra x1=-1, x2 = 0 nên a = -2, b = -1. Vậy tiếp tuyến chung là y = - 2x – 1.
b.Ví dụ trắc nghiệm.[8]
Ví dụ 44 (Đề thi thử THPT Phan Chu Trinh – 2017) : Cho (C) y = x3 + 3x 2 + 1 .
Tiếp tuyến tại điểm A(0; 1) cắt đồ thị tại điểm M khác điểm A. Tìm M
A, M(-3; 1)
B, M(-1; 3)
C, M(1; 5)
D, M(-2; 5)
16

Ví dụ 45 (Đề thi thử THPT Yên Lạc – 2017) Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ
thị (C): y = x3 − 3x cắt (C) tại điểm N không trùng M. Kết luận nào đúng:
A, 2 xM + xN = 6 B, xM + 2 xN = −3
C, xM + xN = −2
D, xM + xN = 3
c. Bài tập áp dụng
Bài tập 18: Cho (C) y =

2x +1
. Tìm hệ số góc k của đường thẳng (d) đi qua
x +1

điểm M(-1; 2) sao cho (d) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Đáp số k = -1.

3 − 2x
. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến
x +1
5
7
cách đều hai điểm A (-7; 6), B (-3; 10). Đáp số : y = -5x – 17, y = - x +
4
4

Bài tập 19: Cho (C) y =

Bài tập 20: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểmcủa đồ thị hàm số
(Cm) : y =

x+m
với trục hoành, k’ là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có

x +1

hoành độ x = 1. Tìm m để T = |k + k’| đạt giá trị nhỏ nhất.Đáp số: m = -1 hoặc
m=3
Bài tập 21: Cho (C) : y = x3 – 3x2 + m2x + 2 – m2. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3
điểm phân biệt sao cho tổng hệ số góc của tiếp tuyến tại 3 điểm đó lớn nhất.
Đáp số: Tmax = 9 khi m = 0
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
2.4.1. Kết quả thực tiễn
Để nghiên cứu đề tài, ngoài phần kiến thức có liên quan, tôi đã tiến
hành tổng hợp, phân dạng và tìm tòi cách giải ngắn gọn dễ hiểu nhất cho mỗi
dạng toán, đồng thời trong mỗi dạng tôi cũng phân loại và sắp xếp hệ thống ví
dụ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Kết quả, tôi đã đưa ra được 6
dạng toán với 45 ví dụ và 21 bài tập áp dụng, mỗi dạng gồm 3 phần là phương
pháp, ví dụ và bài tập, đồng thời mỗi dạng gồm 2 loại bài tập là trắc nghiệm
và tự luận.
Ban đầu học sinh còn gặp khó khăn bỡ ngỡ trong việc thực hiện. Tuy
nhiên sau khi được hướng dẫn cụ thể thì các vấn đề gặp phải đã trở nên đơn
giản và dễ tiếp cận hơn, đồng thời tạo cho học sinh thói quen tư duy và cách
làm việc khoa học, hiệu quả.
2.4.2. Kết quả thực nghiệm:
Để kiểm nghiệm kết quả của đề tài trên, tôi có tiến hành khảo sát trên cùng
một số đối tượng học sinh, tôi đã thu thập được các số liệu như sau:
-Lớp thực nghiệm: Lớp 12G, 12K năm học 2015 – 2016
Giỏi (G)
Khá (K)
Trung bình
Yếu
Kém
Lớp TSHS Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ

HS
%
HS
%
HS
%
HS
%
HS
%
12G
41
35 85,37% 6 14,63% 0 0,00% 0 0,00% 0 0,00%
12K
45
10 22,22% 30 66,67% 5 11,11% 0 0,00% 0 0,00%
-Lớp đối chứng: Lớp 12M, 12D năm học 2014 - 2015
Lớp TSHS
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
17


12B
12H

42

43

Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ
HS
%
HS
%
HS
%
HS
%
HS
%
20 47,62% 18 42,86% 4 9,52% 0 0.00% 0 0.00%
0 0,00% 15 34,88% 27 62,79% 1 2,33% 0 0,00%

Hình 1: Biểu đồ so sánh kết quả đánh giá
Theo kết quả bảng so sánh và biểu đồ, tôi nhận thấy rằng những nội dung
và giải pháp trong SKKN đã nêu ở trên đã có một kết quả khả quan hơn. Điều
đó được thể hiện ở tỉ lệ của các lớp được phân công giảng dạy khi tôi áp dụng
thử nghiệm với những mức độ khác nhau. Sau khi nghiên cứu và thử nghiệm
áp dụng tại đơn vị bước đầu đã có những hiệu quả, bên cạnh đó tôi thấy cần
có thời gian nhiều hơn để thử nghiệm, vì vẫn còn có một số HS ở một số lớp
vẫn chưa đạt yêu cầu tuy điểm kiểm tra xấp xỉ trung bình. Ngoài ra, bản thân
tôi cũng tích lũy được tài liệu bổ ích trong quá trình giảng dạy cho học sinh.
3.Kết luận, kiến nghị
3.1.Kết luận:
Đề tài này mang tính thực tiễn khá cao vì trong quá trình giảng dạy, tôi chỉ
cần chọn những lát cắt ngang phù hợp là có thể cung cấp kiến thức khá phù
hợp và đầy đủ cho từng đối tượng học sinh, dù đó là học sinh khá giỏi, hay

trung bình, yếu.
Tuy nhiên, đây chỉ là kinh nghiệm tôi tự tích lũy được, khó tránh khỏi thiếu
xót hạn chế, rất mong nhận được góp ý chân thành của các đồng nghiệp.
3.2.Kiến nghị:
Những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tế tốt, thiết thực đã được
Sở Giáo dục – Đào tạo xếp loại cần được sưu tập, bổ sung đầy đủ và in thành
tập san để giáo viên sử dụng làm tài liệu giảng dạy, đồng thời cũng là tài liệu
tham khảo bổ ích cho học sinh và phụ huynh.

18


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh hóa ngày 05 tháng 06 năm 2017
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người thực hiện

Phan Thị Thanh

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao.
2. Sách Bài tập Đại số - Giải tích 12 Nâng cao.
3. Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 Nâng cao.
4. Sách Bài tập Đại số và giải tích 11 Nâng cao.
5. Hàm số tập 1. Tác giả: Phan Huy Khải.
6. Hàm số tập 1. Tác giả Trần Phương.

7. Báo toán học và tuổi trẻ.
8. Các đề thi đại học, thi thử THPT quốc gia, thi HSG môn toán từ 2002 2017.
9. Nguồn khác: Internet
10.Kinh nghiệm giảng dạy một số Bài tập về phương trình tiếp tuyến. Tác giả
Nguyễn Thị Thức

20