HƯỚNG dẫn học SINH lớp 11 KHAI THÁC câu hỏi TRẮC NGHIỆM góc, KHOẢNG CÁCH từ một số mô HÌNH HÌNH CHÓP tứ GIÁC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 KHAI THÁC CÂU
HỎI TRẮC NGHIỆM GÓC, KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT
SỐ MÔ HÌNH HÌNH CHÓP TỨ GIÁC

Người thực hiện: Lê Thị Thu Lý
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán

NĂM HỌC: 2016-2017


1 - MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Kì thi THPT Quốc Gia năm 2017, môn Toán sẽ thi theo hình thức TNKQ.
Để đáp ứng tốt với những thay đổi này, việc giảng dạy của giáo viên và học tập
của học sinh cần được điều chỉnh một cách kịp thời và thích hợp nhất.
Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay phần hình học không gian
lớp 11 là phần kiến thức khó đối với nhiều học sinh. Chính vì khó nên có một bộ
phận không nhỏ học sinh tỏ thái độ “ngại học” đối với phân môn này. Khi làm
bài thi cũng chỉ làm chiếu lệ hoặc làm không đến nơi đến chốn, không dành thời
gian nghiên cứu một cách nghiêm túc, bài bản. Bên cạnh đó cũng có một bộ
phận học sinh hứng thú với phân môn hình học không gian nhưng khi làm bài
theo hình thức tự luận thì bài toán hình không gian bao giờ cũng tốn khá nhiều
thời gian của các em vào việc vẽ hình rồi sau đó là tìm quy trình giải bài. Khi
chuyển qua hình thức thi TNKQ rất nhiều học sinh lúng túng trong quá trình
làm bài, vì nếu sử dụng phương pháp như trước đây thì tốn khá nhiều thời gian

cho việc tìm đáp án cho một câu hỏi trắc nghiệm trong khi đó thi theo hình thức
trắc nghiệm học sinh bị áp lực rất nhiều về mặt thời gian. Do đó trong quá trình
giảng dạy tôi cũng đã tìm nhiều giải pháp để thông qua đó giúp các em tìm ra
phương án tối ưu nhất để vận dụng vào môn học. Với kinh nghiệm giảng dạy
của mình tôi nhận thấy để làm các bài toán hình không gian đòi hỏi học sinh
phải nắm vững kiến thức cơ bản, vận dụng tổng hợp kiến thức của hình không
gian và hình học phẳng kết hợp thao tác cụ thể để dựng hình, tính toán. Có nhiều
bài toán chỉ cần vận dụng đúng các bước theo lý thuyết là ta có thể đi đến kết
quả, nhưng có nhiều bài toán để dựng được hình theo lý thuyết rất khó khăn và
khi dựng được rồi thì tính toán quá phức tạp. Khi đó buộc học sinh phải tìm con
đường khác để giải quyết.
Chính vì lí do đó nên ở mỗi tiết dạy, song song với việc tổ chức học tập
truyền thụ đầy đủ kiến thức lí thuyết trong sách giáo khoa, bổ sung một số
những kiến thức cần thiết để học sinh áp dụng vào bài tập như trước đây tôi đã
lồng ghép việc rèn luyện các dạng bài tập trắc nghiệm ứng với từng đơn vị kiến
thức của từng bài, từng chương, từng chủ đề cần được quan tâm tối đa. Với các
bài toán trong sách giáo khoa, trước đây chúng ta dạy học sinh giải theo hình
thức tự luận thì bây giờ chúng ta phải hướng dẫn các em chuyển các bài toán đó
thành dạng câu hỏi trắc nghiệm. Tuy nhiên, nếu chỉ chuyển một bài toán tự luận
thành một câu hỏi trắc nghiệm thì quá đơn điệu và bỏ qua rất nhiều kiến thức
liên quan có thể khai thác được khi phân tích tìm lời giải và quá trình nhìn lại
bài toán khi đã giải đúng đáp số, quá trình tìm tòi, sáng tạo, phát triển, ứng dụng
bài toán để giải các bài toán khác khi có thể,...Cách làm được đưa ra là hướng
dẫn học sinh nghiên cứa kĩ tính chất của các mô hình hình học không gian, khai
thác triệt để các vấn đề lí thuyết mà các em cần để vận dụng vào bài tập. Từ đó
hình thành câu hỏi trắc nghiệm theo một hệ thống nhất định. Dựa vào các yếu tố
có sẵn trong hình hoặc tạo ra các yếu tố mới, từ đó hướng dẫn học sinh tạo ra
các dạng câu hỏi trắc nghiệm theo từng mạch kiến thức.
2

Cụ thể là với mô hình hình chóp tứ giác (đáy là hình vuông, hình chữ nhật)
có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy, mô hình hình chóp tứ giác đều tôi
hướng dẫn học sinh khai thác câu hỏi trắc nghiệm theo mạch kiến thức: góc và
khoảng cách. Qua hệ thống bài tập này phần nào giúp các em định hình và từ đó
có thể khai thác hệ thống câu hỏi đối với các mô hình hình học khác (hình chóp
tam giác, hình Lăng trụ, hình hộp,...). Với mong muốn đó tôi đã viết đề tài sáng
kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 khai thác câu hỏi trắc nghiệm
góc, khoảng cách từ một số mô hình hình chóp tứ giác”.
1.2. Mục đích nghiên cứu :
Đề tài này góp phần trang bị đầy đủ kiến thức về hình học không gian cho
học sinh lớp 11 đồng thời phát triển tư duy cho các em( tư duy sáng tạo, tư duy
phân tích, tổng hợp, tư duy trừ tượng và thói quen nhìn nhận vấn đề dưới nhiều
góc cạnh) từ đó tìm phương án nhanh gọn để giải quyết vấn đề hiệu quả nhất.
Những yếu tố trên cũng rất cần thiết trên con đường thành công của mỗi học
sinh trong tương lai.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong quá trình giảng dạy chương III Hình học lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước một số bài toán sử
dụng các mô hình hình chóp tứ giác (đáy là hình vuông, hình chữ nhật) có cạnh
bên vuông góc với đáy, hình chóp tứ giác đều, tôi hướng dẫn học sinh tự đặt câu
hỏi trắc nghiệm theo từng mạch kiến thức cho mỗi mô hình hình học.Từ đó học
sinh có thể liên hệ đối với các mô hình hình học tương tự, từ đó dần hình thành
cho các em các kĩ năng nhận dạng, xác định và kĩ năng tính toán cần thiết đối với
mỗi mô hình hình học cụ thể.
2 - NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận:
Xuất phát từ một số mô hình hình chóp tứ giác, tôi hướng dẫn học sinh cách
khai thác lí thuyết theo từng mô hình hình học cụ thể, khi đã nắm vững tính chất

của hình kĩ năng giải toán trắc nghiệm của học sinh sẽ tốt hơn.
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông ( hoặc hình
chữ nhật) và SA ⊥ ( ABCD ) .

3


A. Nhận biết chính xác các yếu tố như: Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên,
mặt bên của hình chóp:
1) Đáy: ABCD là hình vuông hoặc hình chữ nhật
2) Đường cao: SA
3) Cạnh bên: SA, SB, SC, SD
4) Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA
5) Mặt bên: ∆SAB, ∆SAD vuông tại A
∆SBC vuông tại B
∆SCD vuông tại D
B. Xác định góc:
a. Góc giữa cạnh bên và đáy:
1) Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABCD)
Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) (gt)
⇒ Hình chiếu của SB lên (ABCD) là AB
⇒ Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBA
(Tương tự ta xác định được góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy (ABCD) là góc
SDA)
2) Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD)
Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) (gt)
⇒ Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC
⇒ Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA
b. Góc giữa cạnh bên và mặt bên:
1) Góc giữa cạnh bên SB và mặt bên (SAD)

Ta có: AB ⊥ ( SAD )
⇒ Hình chiếu của SB lên (SAD) là SA
⇒ Góc giữa SB và (SAD) là góc BSA
(Tương tự ta xác định được góc giữa cạnh bên SD và mặt bên (SAB) là góc DSA)
2) Góc giữa cạnh bên SC và mặt bên (SAB)
Ta có: AB ⊥ ( SAB )
⇒ Hình chiếu của SC lên (SAB) là SB
⇒ Góc giữa SC và (SAB) là góc BSC
(Tương tự ta xác định được góc giữa cạnh bên SC và mặt bên (SAD) là góc
DSC)
c. Góc giữa mặt bên và mặt đáy:
1) Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD)
Ta có: BC ⊥ AB (gt)
BC ⊥ SB (vì BC ⊥ ( SAB )

( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC

⇒ Góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc SBA

(Tương tự ta xác định được góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) là góc
SDA)
2) Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD)
4


*) Đáy ABCD là hình chữ nhật: Trong (ABCD), vẽ AH ⊥ BD tại H
⇒ BD ⊥ SH ⇒ Góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc SHA
*) Đáy ,ABCD là hình vuông: Xác định tương tự nhưng khi đó H ≡ O là tâm
hình vuông ABCD.
C. Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

1) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
Trong mp(SAD), vẽ AH ⊥ SD ( H ∈ SD)
⇒ AH ⊥ (SCD) (Vì AH ⊥ SD , AH ⊥ CD) ⇒ d [ A,( SCD ) ] = AH
( Tương tự ta tính được khoảng cách từ A đến mp(SBC))
2) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)
Vì AB//(SCD) nên d [ B ,( SCD ) ] = d [ A,( SCD ) ]
(Tương tự khoảng cách từ D đến mp(SBC) bằng khoảng cách từ A đến
mp(SBC))
3) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
*) Đáy ABCD là hình chữ nhật:
+ Trong (ABCD), vẽ AI ⊥ BD tại I ⇒ BD ⊥ ( SAI )
+ Trong (SAI), vẽ AH ⊥ SI tại H ⇒ AH ⊥ ( SBD ) ⇒ d [ A,( SBD ) ] = AH
*) Đáy ,ABCD là hình vuông: Xác định tương tự nhưng khi đó I ≡ O là tâm hình
vuông ABCD.
4) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)
Gọi O là tâm hình vuông nên O là trung điểm AC nên d [ C ,( SBD ) ] = d [ A,( SBD ) ]
Bài toán 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

A. Nhận biết chính
xác các yếu tố như:
Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chóp:
1) Đáy: ABCD là hình vuông
2) Đường cao: SO ⊥ ( ABCD ) (O là tâm của đáy)
3) Cạnh bên: SA = SB = SC = SD
4) Cạnh đáy: AB = BC = CD = DA
5) Mặt bên: ∆SAB, ∆SBC , ∆SCD, ∆SDA là các tam giác cân tại S và bằng nhau
B. Xác định góc:
a. Góc giữa cạnh bên và đáy:
5

Ta có: SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ O là hình chiếu của S lên (ABCD) ⇒ AO, BO, CO,
DO lần lượt là hình chiếu AS, BS, CS, DS lên (ABCD). Do đó góc giữa các cạnh
bên SA, SB, SC, SD và mặt đáy (ABCD) lần lượt là: ∠SAO, ∠SBO, ∠SCO, ∠SDO
Chú ý: ∠SAO = ∠SBO = ∠SCO = ∠SDO
b. Góc giữa mặt bên và mặt đáy:
Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD): Gọi I là trung điểm CD, ta có

OI ⊥ CD ⇒ CD ⊥ SI
Mà ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa OI và SI và

chính là góc SIO.
( Tương tự ta xác định được góc giữa mặt bên ( SBC ) , ( SCD ) , ( SDA) với mp(ABCD))
Chú ý: ∠SMO = ∠SNO = ∠SPO = ∠SQO
C. Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
1) Khoảng cách từ O đến mp(SCD)
+) Trong mp(ABCD), vẽ OM ⊥ CD tại M ⇒ CD ⊥ ( SOM )
+) Trong mp ( SOM ) , vẽ OH ⊥ SM tại H. Vậy d [ O ,( SCD ) ] = OH
(Tương tự ta xác định được khoảng cách từ O đến các mp(SDA), (SAB), (SBC))
Chú ý: Khoảng cách từ O đến các mặt bên bằng nhau
2) Khoảng cách từ A đến mp(SCD)
Vì O là trung điểm AC nên d [ A,( SCD ) ] = 2d [ O ,( SCD ) ]
(Tương tự ta xác định được khoảng cách từ A đến các mp(SBC) và áp dụng với
các điểm B, C, D của hình chóp S.ABCD)
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trường THPT Quảng Xương 1 là một ngôi trường giàu truyền thống dạy và
học. Nhiều năm qua trường luôn dẫn đầu trong thành tích học sinh giỏi và xếp
tốp đầu trong kỳ thi Đại học - Cao đẳng trong tỉnh. Dưới sự lãnh đạo của Ban
giám hiệu, đội ngũ giáo viên luôn trăn trở tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng
dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh. Trong những

năm qua bên cạnh việc truyền thụ tri thức đội ngũ giáo viên nhà trường chú
trọng rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua các bài học, làm hành trang vững
chắc cho các em bước vào tương lai.Tuy nhiên trong các môn học thì hình học
không gian vẫn là môn học khó đối với đại đa số học sinh đặc biệt là học sinh
trung bình và yếu. Khi giải các bài toán về hình học không gian, nếu các bước
cơ bản không nắm vững được thì tâm lý học sinh thường nản và bỏ qua. Theo
số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở hai lớp tôi trực tiếp giảng dạy năm
học 2016-2017: 11C4,11C7 trường THPT Quảng Xương 1, kết quả đạt được như
như sau:
Năm học
2016-2017

Lớp

Sĩ số

Số học sinh giải được

11C4

43

15

11C7 44
10
Đứng trước thực trạng tên tôi đã trăn trở và cuối cùng đã tìm được hướng
khắc phục một số những điểm yếu của học sinh, cách giải quyết này là trên cơ
6

sở kiến thức trong SGK, song song với việc cung cấp tri thức tôi chú trọng rèn
rũa kỹ năng vẽ hình không gian và với mỗi mô hình yêu cầu học sinh nắm chắc
tính chất của nó, để trên cơ sở này học sinh có thể áp dụng trực tiếp vào một số
câu hỏi trắc nghiệm, từ đó làm nền tảng để nâng cao dần mức độ nhận biết của
các em mà thông qua đó còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác ở
chương trình lớp 12.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:
Với mỗi mô hình hình học sau khi phân tích kĩ các tính chất có trong hình, tôi
thường yêu cầu học sinh vận dụng các tính chất đó vào các câu hỏi trắc nghiệm
cụ thể.
Sau đây là một số ví dụ áp dụng cho hai mô hình tổng quát đã nêu ở trên.
Mỗi mô hình tôi giữ nguyên hoặc thay đổi độ dài các cạnh, trên cơ sở lý thuyết
đã có, tôi hướng dẫn học sinh xây dựng câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến việc
xác định góc và khoảng cách, đối tượng học sinh hướng đến chủ yếu là học sinh
có lực học trung bình, khá.
Ví dụ áp dụng bài toán 1:
Câu1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD )
và SA = a . Góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) là:
A. 30 0
B. 45 0
C. 60 0
D. 90 0
[2]
HD:
Góc giữa SD và mp(ABCD) là góc SDA.
∆SAD vuông cân tại A nên ∠SDA = 45 0
⇒ Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

SA ⊥ ( ABCD ) và SA =

α bằng:
A. 300

a 6
. Gọi α là góc giữa SC và (ABCD), khi đó số đo góc
3

B. 450

C. 600

D. 750

[2]

HD: Góc giữa SC và mp(ABCD) là góc SCA.
Xét ∆SAC vuông tại A, ta có:
a 6
SA
3
tan α =
= 3 =
⇒ α = 30 0
AC a 2
3
⇒ Chọn đáp án A.

7

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng
a; SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 3 . Khi đó, cosin của góc giữa SDvà AC bằng:
A.

2
2

B.

2
4

C.

3
2

D.

3
4

[3]

HD:
Gọi I là trung điểm của SD
⇒ OI là đường trung bình của ∆SBD
OI / /SB


⇒
SB
SA 2 + AB2
3a 2 + a 2
=
=
=a
OI =

2
2
2
Vì OI // SB ⇒ ( SB, AC ) = (OI , AC ) = ∠AOI
SD
SA 2 + AD 2
3a 2 + a 2
=
=
=a
2
2
2
⇒ AI = OI ⇒ ∆AOI cân tại I.
Gọi H là trung điểm của OA ⇒ IH ⊥ OA

Ta có: AI =

và OH =

OA AC a 2
=
=
.
2
4
4

2
Xét ∆OHI , ta có: cos( SD, AC ) = cos ∠HOI =
.
4

⇒ Chọn đáp án B.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a ; SA
vuông góc với đáy và SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng:
A.

3a 2
2

B.

2a 3
3

C.

2a

5

D.

3a
7

[3]

HD:
Trong (SAD), kẻ AH ⊥ SD, ( H ∈ SD ) .

⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH =
⇒ d ( A, ( SCD ) ) =

SA.AD
SA 2 + AD 2

=

a.2a
a 2 + 4a 2

2a
5

⇒ Chọn đáp án C

8

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường
thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a . Gọi M là trung điểm của CD.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A.

a 2
2

B. a

C.

D. 2a

a 2

[2]

HD:
CD / / ( SAB )
 M ∈ CD

Vì 

⇒ d ( M, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = DA = a
⇒ Chọn đáp án B.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a ;
cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(SBD) bằng:
A.

2a 3
3

B.

2a
3

C.

2a 5
5

D.

a 3
2

[2]

HD:
Trong (ABCD), kẻ AE ⊥ BD, ( E ∈ BD ) .
Trong (ABCD), kẻ AH ⊥ SE, ( H ∈ SE ) (1)
 BD ⊥ SA
⇒ BD ⊥ ( SAE ) ⇒ BD ⊥ AH (2).
 BD ⊥ AE

Vì 

Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = AH
Xét ∆ABD vuông tại A có đường cao AH, ta có:
AE =

AB.AD

=

a.2a

=

2a
5

AB + AD
a + 4a
∆
SAE
Xét
vuông tại A có đường cao AH, ta có:
2a
a.
SA.AE
2a
5
AH =
=

=
2
3 .
SA 2 + AE 2
 2a 
2
a +
÷
 5
⇒ Chọn đáp án B.
2

2

2

2

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và
CD bằng:
A. a
B. a 2
C. a 3
D. 2a [3]

9


HD: Vì CD / / ( SAB )

⇒ d ( CD,SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) )

Vì

 DA ⊥ AB
⇒ DA ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = DA = a ⇒ Chọn đáp án A.

 DA ⊥ SA

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AD = 2; AB = 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SB tạo với
mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60 0. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
SC bằng:
a 21
2a 21
a 21
B.
C.
7
7
14
AB
/
/
SCD
⇒
d
AB,SC
=

d
AB,
SCD
=
(
)
(
) ( (
) ) d ( A, ( SCD ) )
HD: Vì
Trong (SAD), kẻ AH ⊥ SD, ( H ∈ SD )

A.

D.

a 21
21

[2]

CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH
CD ⊥ SA
 AH ⊥ SD
⇒ AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH
Vì 
 AH ⊥ CD

Vì 

Theo gt: ∠SBA = 60 0
Xét ∆SAB vuông tại A, ta có:
tan ∠SBA =

SA
⇒ SA = AB. tan 60 0 = a 3
AB

Vậy:
d ( AB,SC ) = AH =

SA.AD
SA + AD
2

2

=

2a.a 3
4a + 3a
2

2

=

2a 21
⇒ Chọn đáp án B.

7

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD )
và SA = 2a . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khoảng cách từ điểm O đến
đường thẳng SC là:
A.

a 3
3

B.

a 3
4

C.

a 2
3

D.

a 2
[2]
4

10


HD:

Trong (SAC), kẻ AH ⊥ SC, ( H ∈ SC )
và OK ⊥ SC, ( K ∈ SC )
Khi đó: d ( O,SC ) = OK
 AH ⊥ SC
⇒ AH / /OK
OK ⊥ SC
 AH / /OK
⇒ HK = KC
Xét ∆AHC , có 
 AO = OC
⇒ OK là đường trung bình của ∆AHC
AH 1
SA.AC
⇒ OK =
= .
2
2 SA 2 + AC 2

Trong (SAC), ta có: 

1
⇒ d ( O,SC ) = OK = .
2

2a.a 2

( 2a )

2

(

+ a 2

)

2

=

a 3
3

⇒ Chọn đáp án A

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Cạnh SC hợp với đáy một góc 600 , gọi d là
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). Khi đó, tỉ số
A.

58
13

B.

18
13

C.

78
13

d
bằng:
a

D.

38
13

[3]

HD: Gọi O là tâm của đáy.
Kẻ AH ⊥ SO, ( H ∈ SO ) .
 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAC )
 BD ⊥ SA

Vì 

( SBD ) ⊥ ( SAC )

Vì ( SBD ) ∩ ( SAC ) = SO ⇒ AH ⊥ ( SBD )

( SAC ) ⊃ AH ⊥ SO
SA.AO
⇒ d = d ( A, ( SBD ) ) = AH =
SA 2 + AO 2

Từ gt, ta có: ∠SCA = 60 0
Xét ∆SAC vuông tại A, ta có: SA = AC. tan 60 0 = a 6

Vì O là tâm của đáy nên O là trung điểm của AC ⇒ AO =

Khi đó:

d=

a 6.

( a 6)

2

a 2
2
2

a 2
+
÷
 2 

=

AC a 2
=
2
2

a 78
d
78
⇒ =
13
a
13

11


⇒ Chọn đáp án C

*) Bài tập tham khảo:
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật, O
là trung điểm AC, H là hình chiếu của B lên AC. Góc giữa SB và mp(SAC) là
góc nào trong các góc sau:
A. BSA
B. BSC
C. BSO
D. BSH [3]
Đáp án: D
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA
= h và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khi đó:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:
A.

a
2

B. a

C. 2a

D.

2a
3

[1]

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:
a

a 2
h
.
2
h 2 + 2a 2

h

a 3

h

.
B. 2 . 2
C.

3
h + 2a 2
h 2 + 2a 2
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB là:

A.

A.

ah
h + 2a
2

2

Đáp án: a) B ;

B.

h
h +a
2

2

C.

h
h + 2a
2

2

D.

D.

a.h

[1]

h + 2a 2
2

a.h
h + a2
2

[1]

c) D
Ví dụ áp dụng bài toán 2:
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao hình
chóp bằng

b) A ;

a 3
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy là:
2

B. 450
C. 600

A. 300
HD:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, E là
trung điểm của CD.
⇒ OE là đường trung bình của ∆ACD .

D. 750

[1]

OE / /AD

⇒
1
a
OE = 2 AD = 2
Vì OE / /AD ⇒ OE ⊥ CD
CD ⊥ OE
⇒ CD ⊥ ( SOE ) ⇒ CD ⊥ SE
Vì 
CD ⊥ SO
( ABCD ) ∩ ( SCD ) = CD

Vì SE ⊥ CD
OE ⊥ CD

⇒ Góc giữa (ABCD) với (SCD) là góc giữa SE với OE và bằng góc SEO

12


SO
=
Xét ∆SEO vuông tại O, ta có: tan ∠SEO =
OE
⇒ Chọn đáp án C.

a 3
2 = 3 ⇒ ∠SEO = 60 0
a
2

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Cosin của góc
giữa một mặt bên và một mặt đáy bằng:
A.

1
2

B.

1
3

C.

1

3

D.

1
2

[3]

HD:
Tương tự câu 1, góc giữa một mặt bên và một mặt đáy là góc SEO
Ta có: OE =

CD a
=
2
2

a 3
Vì ∆SCD đều cạnh a nên SE =
2

OE

a
2

1

Xét ∆SEO vuông tại O, ta có: cos ∠SEO = SE = a 3 = 3

2
⇒ Chọn đáp án B.

Câu 3: Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng
qua O và vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Nếu góc giữa SA và (ABCD) có số
đo bằng 450 thì độ dài đoạn SO bằng
A. SO = a 3

B. SO = a 2

C. SO =

a 3
2

D. SO =

a 2
[2]
2

HD:
Ta có: AC = 2a 2 ⇒ OA =

AC
=a 2
2

Theo gt: ∠SAO = 45 0
Khi đó, ∆SAO là tam giác vuông cân tại O.

Suy ra SO = OA = a 2 .
⇒ Chọn đáp án B.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các
cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của
góc giữa MN và SC bằng:
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900 [2]
13


HD:
Vì MN//SA nên góc giữa MN, SC bằng góc
giữa SA, SC bằng góc ASC
Ta có: AC = AB2 + BC2 = a 2 + a 2 = a 2
Vì SA 2 + SC2 = a 2 + a 2 = 2a 2 = AC2
⇒ ∆SAC vuông tại S.
⇒ SA ⊥ SC ⇒ ∠ASC = 90 )
⇒ Chọn đáp án D

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi O là tâm
của đáy và M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Nếu góc giữa MN và
(ABCD) bằng 600 thì độ dài đoạn MN là:
A.

a
2

B.

a 5
2

C.

a 10
2

D.

a 2
2

[3]

HD:
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên
SO ⊥ ( ABCD ) (1)
Gọi H là trung điểm của OA
⇒ MH / /SO (2).
Vì (1) và (2) ⇒ MH ⊥ ( ABCD )
⇒ HN là hình chiếu của MN trên (ABCD).
⇒ ( MN , ( ABCD ) ) = ( MN , NH ) = ∠MNH = 60 0

3
3
4
4

Trong ∆CNH , ta có:

Ta có: CH = AC = .a 2 =

3a 2
4

NH = CN 2 + CH 2 − 2CN.CH.cos 450
2

2
a 3a 2 2 a 10
 a   3a 2 
=  ÷ + 
−
2.
.
.
=
÷
2
4
2
4
2  4 ÷


Xét ∆MNH vuông tại H, ta có:
a 10
NH

NH
a 10
cos 60 0 =
⇒ MN =
= 4 =
0
1
MN
2
cos 60
2
⇒ Chọn đáp án C

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a; góc hợp bởi một cạnh
bên và mặt đáy bằng α . Khi đó, khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên
bằng:
14


A. a 2.cot α

B. a 2.tan α

C.

a 2
.cos α
2

D.

a 2
.sin α
2

HD: Giả sử, hình chóp tứ giác đều là S.ABCD với đáy ABCD có tâm O, cạnh
bằng a.
Trong (SBD), kẻ OH ⊥ SD, ( H ∈ SD ) . Khi đó,
khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên
là d ( O,SD ) = OH .
Ta có: OD =

BD
BC2 + CD 2
a2 + a2 a 2
=
=
=
2
2
2
2

Vì OD là hình chiếu của SD lên (ABCD) nên
α = ∠SDO
Xét ∆OHD vuông tại H, ta có:
OH
a 2
sin α =
⇒ OH = OD.sin α =

.sin α
OD
2
⇒ Chọn đáp án D

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao
bằng a 2 . Khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên bằng:
A.

a 3
2

a 2
3

B.

C.

2a 5
3

D.

a 5
2

HD: Vì O là tâm của đáy của hình chóp tứ giác đều S.ABCD nên
SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO = a 2 .
OM ⊥ CD


Gọi M là trung điểm của CD ⇒ 
BC a
OM = 2 = 2
Trong (SOM), kẻ OH ⊥ SM, ( H ∈ SM ) .
OS.OM

⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = OH =

Vậy

d ( O, ( SCD ) ) =

a 2.

(

a 2

)

2

⇒ Chọn đáp án B

a
2
2

a

+ ÷
2

=

OS2 + OM 2
a 2
3

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao
bằng a 3 . Khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB) bằng:
A.

a 3
2

B.

a 3
4

C. a 3

D.

a 3
3

HD:
SO ⊥ ABCD


Gọi O là tâm của đáy ⇒ 

SO = a 3
Vì CD / / ( SAB ) ⇒ d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C, ( SAB ) )
15


Vì CO ∩ ( SAB ) = { A} ⇒

d ( C, ( SAB ) )

d ( O, ( SAB ) )

=

CA
=2
OA

⇒ d ( C, ( SAB ) ) = 2d ( O, ( SAB ) )

OI ⊥ AB

Gọi I là trung điểm của AB ⇒ 
BC
OI = 2 = a

Trong (SOI), kẻ

SO.OI

OH ⊥ SI ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = OH =

Vậy d ( C, ( SAB ) ) = 2d ( O, ( SAB ) ) = 2.
⇒ Chọn đáp án C.

SO 2 + OI 2

=

a.a 3

(

a2 + a 3

)

2

=

a 3
2

a 3
=a 3
2

*) Bài tập tham khảo:
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a. Khoảng cách từ
đường thẳng AB đến mp(SCD) bằng:
A.

a 6
3

B.

a
2

C. a

D.

a 6
2

[2]

Đáp án: A
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh AB
= a và đường cao SO của hình chóp vuông góc với mặt đáy (ABCD) và có SO =
a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB chéo nhau bằng:
A.

a 5

5

B.

2a 3
3

C.

2a 5
5

D.

a 3
3

[1]

Đáp án: C
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng trong một số mô hình hình học cụ thể
tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học sinh. Kết quả
các lớp đạt được như sau như sau:
Năm học
Lớp
Sĩ số
Số học sinh giải được
28
11C4

43
2016-2017
44
23
11C7
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể mở rộng khai thác các bài toán khó hơn để
dạy cho đối tượng học sinh khá, giỏi.
3 - KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:
Khi áp dụng SKKN này vào giảng dạy học sinh ở 2 lớp 11C4,11C7 trường
THPT Quảng Xương 1, tôi nhận thấy rằng các em học sinh đã hứng thú nhiều
hơn với môn học. Nhiều em cảm thấy bất ngờ khi trước đây các bài toán liên
quan đến việc xác định góc và tính khoảng cách tưởng chừng như các em không
thể giải quyết được thì giờ đây các em đã bước đầu hiểu và áp dụng vào một số
16


bài đơn giản. Chính vì thế các em cảm thấy hứng thú với môn học nên chất
lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em nói chung được
nâng lên rõ rệt, từ đó góp phần nâng cao chất lượng giáo dục chung của nhà
trường. Ngoài ra các em cũng học được cách tìm tòi, khám phá và tự đặt ra câu
hỏi và tìm cách giải quyết đối với các mô hình hình học khác như thế nào để
việc học nhanh gọn và hiệu quả nhất.
3.2. Kiến nghị:
- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần hình không gian nên
để ý hơn đến việc hướng dẫn học sinh nắm vững lí thuyết trên các mô hình hình
học cụ thể. Nhà trường nên trang bị thêm đồ dùng học tập hiện đại về hình học
không gian.
- Đối với Sở GD và Đào tạo : Có thể làm riêng một phần mềm tin học về các
hình không gian theo lý thuyết và các bài toán trong sách giáo khoa để giáo viên

có thể sử dụng giảng dạy, giúp học sinh có thể quan sát hình một cách trực quan,
từ đó các giờ dạy hình không gian sẽ thêm sinh động, tạo hứng thú học tập cho
học sinh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 30 tháng 5 năm
2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Lê Thị Thu Lý

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa và sách bài tập Hình học cơ bản 11
[2]. Cấp tốc chinh phục đề thi trắc nghiệm môn Toán chuyên đề Hình học
không gian của tác giả Phạm Minh Trung
[3]. Nguồn tài liệu trên mạng Internet

18