Kỹ thuật dùng máy tính casio chinh phục hệ phương trình không mẫu mực trong đề thi trắc nghiệm môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT DÙNG MÁY TÍNH CASIO CHINH PHỤC HỆ
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC TRONG ĐỀ THI
TRẮC NGHIỆM MƠN TỐN

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hịa
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn

1


MỤC LỤC

Nội dung

Trang

1. Mở đầu:

01

1.1. Lý do chọn đề tài:

01

1.2. Mục đích nghiên cứu:

01

1.3. Đối tượng nghiên cứu:

01

1.4. Phương pháp nghiên cứu:

02

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

03

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

03

2.2. Thực trạng của vấn đề:

03

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

03

2.3.1. Vấn đề 1: Kỹ thuật sử dụng máy tính casio trong trường hợp một
trong hai phương trình của hệ phân tích được thành nhân tử.

03

2.3.2. Vấn đề 2: Kỹ thuật sử dụng máy tính casio trong trường hợp cần
phải kết hợp 2 phương trình của hệ mới có thể phân tích thành nhân tử.

10

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

15

3. Kết luận, kiến nghị

16

3.1. Kết luận:

16

3.2. Kiến nghị

16

Tài liệu tham khảo

17

2

1. Mở đầu:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói
riêng, con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén. Muốn có những tri
thức đó con người phải tự học, tự nghiên cứu. Hiện nay với sự phát triển như vũ
bão của khoa học kỹ thuật nhất là các ngành thuộc lĩnh vực cơng nghệ thơng tin,
trong đó máy tính cầm tay là một thành quả của những tiến bộ đó. Máy tính cầm
tay đã được sử dụng rộng rãi trong các nhà trường với tư cách là một công cụ hỗ trợ
việc học tập, giảng dạy hay cả việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hiện
đại như hiện nay một cách có hiệu quả. Đặc biệt với nhiều tính năng mạnh như máy
Fx 500 Vn Plus thì học sinh còn được rèn luyện và phát triển dần tư duy thuật tốn
một cách hiệu quả. Máy tính cầm tay là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho học sinh và
giáo viên trong việc giải tốn. Nó giúp cho giáo viên và học sinh giải toán một cách
nhanh hơn, tiết kiệm được thời gian và tốn ít cơng sức hơn.
Bắt đầu từ năm học 2016-2017 trở đi trong kỳ thi THPT quốc gia thì mơn tốn
được tổ chức thi dưới hình thức trắc nghiệm. Với hình thức thi đó học sinh phải
giải bài tốn với tốc độ nhanh để hồn thành bài làm trong thời gian ngắn nhất.
Song trong cấu trúc của một đề thi trắc nghiệm, ngoài những câu hỏi nhận biết,
thông hiểu và vận dụng thấp là các câu dễ làm và tốn ít thời gian thì bên cạnh đó là
những câu vận dụng cao vừa khó tìm ra cách giải vừa mất rất nhiều thời gian. Học
sinh muốn đạt điểm 9-10 thì phải làm thành thạo các câu đó. Và một trong số các
câu hỏi khó đó có câu hỏi về hệ phương trình khơng mẫu mực vốn đã khó trong bài
thi tự luận và mất rất nhiều thời gian để giải. Để đáp ứng yêu cầu đó ngồi việc học
sinh có năng lực tư duy tốt thì sử dụng máy tính cầm tay sẽ đem lại hiệu quả cao
hơn, giúp các em tìm ra lời giải nhanh hơn tiết kiệm được thời gian để giải toán.
Đặc biệt với các em học sinh tôi thấy các em có sự say mê khi khám phá được
nhiều chức năng của máy tính cầm tay nên các em ham học, say mê tìm tịi hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Vì những lý do trên nên tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm:

3


- Giúp cho học sinh hình thành thuật tốn để giải bài tốn hệ phương trình một
cách nhanh hơn, tiết kiệm được thời gian đáp ứng được yêu cầu về mặt thời gian
trong giải toán đặc biệt là giải toán trắc nghiệm.
- Tôi muốn chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh một số ứng dụng hay
của máy tính cầm tay trong dạy học mơn tốn và kỹ năng dùng máy tính cầm tay
trong giải tốn trắc nghiệm.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
* Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho các em học sinh THPT, học sinh ơn
thi THPT quốc gia và có thể áp dụng cả cho học sinh lớp 9 ôn thi học sinh giỏi.
* Phạm vi nghiên cứu:
- Khơng trình bày các vấn đề cơ bản về máy tính casio mà chỉ minh họa các ví dụ
cụ thể và có tính tốn mới trong giải tốn.
- Kỹ thuật dùng máy tính casio dị nghiệm để giải hệ phương trình
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp nêu vấn đề.
- Phương pháp phân tích.

4


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Sáng kiến kinh nghiệm này dựa trên cơ sở:

- Các kiến thức cơ bản về máy tính Casio, kỹ năng dùng máy tính casio giải
phương trình [3].
- Các kiến thức tốn học cơ bản trong chương trình THPT [1], [2].
- Một số kĩ thuật giải hệ phương trình đại số như phương pháp cộng, phương pháp
hàm số, phương pháp đánh giá… và ứng dụng của máy tính Casio.( Ở đây tơi dùng
máy tính Casio fx 570 Vn Plus) [3], [5].
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Thứ nhất, ngày nay là thời đại của khoa học công nghệ, hầu hết các gia đình
đều trang bị cho con em mình một cái máy tính cầm tay. Bên cạnh đó, trong hầu
hết các kỳ thi thí sinh đều được đem máy tính cầm tay vào phịng thi.
Thứ hai, kể từ năm học 2016-2017 trở đi trong các kỳ thi THPT quốc gia mơn
tốn thi dưới hình thức trắc nghiệm với thời gian 90 phút 50 câu.
Thứ ba, trong quá trình giảng dạy tơi nhận thấy rằng trình độ của học sinh rất
khác nhau, mức độ và năng lực tư duy cũng chênh lệch đáng kể. Đứng trước bài
toán giải hệ phương trình khơng mẫu mực các em thường lúng túng khơng biết bắt
đầu từ đâu để tìm được lời giải do đó mất rất nhiều thời gian tìm ra lời giải mà một
đề thi trắc nghiệm chỉ làm trong thời gian 90 phút.
Vì thế nhằm tạo điều kiện cho học sinh học tập tích cực, chủ động, sáng tạo gây
được hứng thú và phát triển tư duy lôgic, giúp các em tiết kiệm thời gian giải toán,
sáng kiến kinh nghiệm này đề cập một vấn đề mới giúp học sinh khai thác tối đa
chức năng của máy tính cầm tay để chinh phục bài tốn giải hệ phương trình khơng
mẫu mực đạt điểm cao trong các kỳ thi.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1. Vấn đề 1: Kỹ thuật sử dụng máy tính casio trong trường hợp một trong
hai phương trình của hệ phân tích được thành nhân tử.
* Đặt vấn đề:
5


Khi bắt tay vào giải hệ phương trình, nếu ta khơng nhận thấy được nó thuộc

dạng cố định nào đó đã học thì việc đầu tiên ta nên nghĩ tới là thử xem một trong
hai phương trình của hệ có phân tích được thành nhân tử khơng. Và việc này nếu có
sự hỗ trợ của máy tính sẽ đơn giản hơn nhiều.
* Nội dung phương pháp:
Ta dùng máy tính để dị tìm mối liên hệ giữa x và y từ một trong hai phương
trình của hệ. Từ đó tùy từng hệ ta có thể dùng phương pháp hàm số, phương pháp
nhân liên hợp, phương pháp đánh giá..để tìm ra mối liên hệ như dự đốn.
* Phương tiện để dị nghiệm:
Ta dùng phím SOLVE để dị nghiệm.
Muốn tìm mối liên hệ của x và y ta nhập vào máy tính một trong hai phương trình
của hệ mà ta dự đốn là phân tích được thành nhân tử.
Bước 1: Nhập phương trình cần dị nghiệm vào máy:
Ví dụ muốn nhập pt : 2 x  1  ( 2 x  2 y  1  2 ( x  1) y )
Ấn trên máy:
2 AnlphaX  1  ( 2 AnlphaX  2 AnlphaY  1  2 ( AnlphaX  1) AnlphaY )
Bước 2: Dị tìm các giá trị của x và y:
Sau khi nhập xong phương trình, bấm Shift solve, máy hỏi Y? nhập 0 =, máy hỏi
Solve for X thì nhấn dấu “=”
Máy sẽ xử lý, chờ một lúc máy hiện kết quả Y= 0 thì X= 1
Tiếp theo ấn mũi tên sang trái để quay trở lại pt, lại tiếp tục bấm Shift solve, sau đó
nhập giá trị khác của Y. Cứ như vậy ta có kết quả như bảng sau:

Y 0 1 2 3
X 1 2 3 4
Dự đoán quy luật: x – 1 = y
* Các ví dụ áp dụng:
2 x 2  y 2  3 xy  3 x  2 y  1 0
Ví dụ 1: Hệ phương trình:  2
2
4 x  y  x  4  2 x  y  x  4 y

có bao nhiêu nghiệm?
A. 0
B.1
C. 2
D. 3 [4].

(1)
(2)

Phân tích:
6


Nhập máy phương trình (1) ta có kết quả:
Y 0
1 2
3
X -0,5 0 0,5 1
Dự đoán: y = 2x + 1
Lời giải:
Điều kiện: 2 x  y 0; x  4 y 0
 y x  1
(1)  
 y 2 x  1

* Với y = x + 1 thay vào phương trình (2) ta được:
3x 2  x  3  3 x  1  5 x  4(*)  3( x 2  x)  ( x  1 
 ( x 2  x)(3 

1

x  1  3x  1



3x  1)  ( x  2 

5 x  4) 0

 x 0
) 0  x 2  x 0  
x  2  5x  4
 x 1
1

Suy ra hệ có 2 nghiệm (x;y) là (0;1) và (1;2)
* Với y = 2x + 1 thay vào (2) ta được:
3  3x  4 x  1  9 x  4  3 x  ( 4 x  1  1)  ( 9 x  4  2) 0
4
9
 x(3 

) 0  x 0
1  4 x 1 2  9 x  4

Suy ra hệ có nghiệm (x;y) là (0;1)
Đối chiếu điều kiện hệ có 2 nghiệm là (0;1) và (1;2)
Vậy ta chọn C
 x 3  y 3  5 x 2  2 y 2  10 x  3 y  6 0
Ví dụ 2: Hệ phương trình: 
3

2
 x  2  4  y x  y  4 x  2 y

(1)
(2)

có 2

nghiệm ( x1; y1 ) và ( x2 ; y2 ) . Khi đó tổng x1  x2 là:
A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

Phân tích:
Bấm máy xử lý pt (1):

Y 0 1 2 3
X -1 0 1 2
Dự đoán: y = x + 1
Mà x, y đứng độc lập nên ta sẽ dùng phương pháp hàm số
Lời giải:

7


Điều kiện: x  2; y  4

(1)  ( x  1)3  2( x  1) 2  3( x  1)  y 3  2 y 2  3 y

Xét hàm số: f (t ) t 3  2t 2  3t , f '(t ) 3t 2  4t  3  0, t  R
Nên y = x + 1 Thay vào (2) ta được:
x  2  3  x x3  x 2  4 x  1
 ( x  2  3  x )  3 x3  x 2  4 x  4 

2( ( x  2)(3  x)  2)
( x  2  3 x) 3

( x  2)( x 2  x  2)

2



 2( x  x  2)
( x  2)( x 2  x  2)
( x  2  3  x  3)( ( x  2)(3  x)  2)

 ( x 2  x  2)[x  2 

2
]=0
( x  2  3  x  3)( ( x  2)(3  x)  2)

 x  1
 x 2  x  2 0  
 x 2

Vậy hệ pt có 2 nghiệm (2;3) và (-1;0)
Ta chọn C
Ví dụ 3: Hệ phương trình:

2 x  1  2 x  2 y  1  2 ( x  1) y
(1)
có

3
x

2

4
x

y

9

2
3
xy

2
x

2
(2)


nghiệm (x;y) thỏa mãn đẳng thức nào sau đây?
A. x – y = 1
B. x + y = 4
C. 2x – y =1

D. 2x + y = 4

Phân tích:
Bấm máy xử lý phương trình (1) ta có kết quả như bảng sau:
Y 0 1 2 3
X 1 2 3 4
Dự đoán quy luật: x – 1 = y
Ta sẽ biến đổi phương trình (1) để xuất hiện nhân tử chung là x - 1 - y
Lời giải:
Điều kiện: x 1; y 0; 2 x  2 y  1 0;3 xy  2 x  2 0
(1)  ( x  y ) 

2 x  2 y  1  ( x  1)  2 ( x  1) y  y 0

( x  y  1) 2

( x 1
x  y  1  2x  2 y  1

y )2 0

8



( x  y  1) 2
( x  y  1) 2

0
x  y  1  2 x  2 y  1 ( x  1  y )2

 ( x  y  1) 2 [

1
x  y  1  2x  2 y  1



1
] 0
( x  1  y )2

 x  y  1 0  x  1  y

PT (1)
Thế vào pt (2) ta được:
(2) 

3 x  2  x  1 4 x  9  2 (3 x  2)( x  1)

t  3 x  2  x  1 0
 t 3
pt  t 2  t  6 0  

 t  2(l )
Đặt t 3  4 x  3  2 3 x 2  5 x  2 9  3 x 2  5 x  2 6  2 x
 x 3
 2

x

19
x

34

0

 y 1

 x 2
 x 17(l )


Vậy hệ có 1 nghiệm (2;1)
Ta chọn A
Ví dụ 4: Hệ phương trình:
(1  y ) x  y  x 2  ( x  y  1) y
 2
2 y  3x  6 y  1 2 x  2 y  4 x  5 y  3

(1)
(2)

có 2 nghiệm ( x1; y1 ) và ( x2 ; y2 ) .

Khi đó x1  x2  y1  y2 là:
A. 2  3

B. 4  5

C. 2 

3

D. 4 

5 [4].

Phân tích:
Bấm máy xử lý pt (1) ta được kết quả:
Y 0 1 2 3
X 1 2 3 4

9


(Chú ý: Ở bài này điều kiện là x  y nên khi máy hỏi “solve for x” ta phải nhập giá
trị của x lớn hơn y)
Dự đoán quy luật: x – y = 1 từ đó ta có lời giải
Lời giải:
 y 0

Điều kiện:  x 2 y

4 x 5 y  3

(1)  (1  y )( x  y  1)  ( x  y  1)(1 
 (1  y )( x  y  1)(

y ) 0

1
1

) 0
x  y 1 1  y

 (1  y )( x  y  1) 0( do

1
1

 0)
x  y 1 1  y

 y 1

 y x  1
Với y = 1 thay vào (2) ta được: 9 – 3x = 0  x = 3
Với y = x - 1 (Đk: 1 x 2 ) thay vào (2) ta được
2 x 2  x  3  2  x (*)  2( x 2  x  1)  ( x  1 

2  x ) 0  ( x 2  x  1)(2 


 x 1 
1
2
 x  x  1 0 ( do 2 
 0)  
x  1 2  x

 x 1 

Vậy hệ có 2 nghiệm (3;1) và (

1
) 0
x  1 2  x

5
2
 1 5
 y
2
5
(loai )
2

1 5  1 5
;
)
2
2

Ta chọn B

10


 x 12  y  y (12  x 2 ) 12
Ví dụ 5: Hệ phương trình:  3
 x  8 x  1 2 y  2
thỏa mãn bất đẳng thức nào sau đây?
A. x  y  1
B. x  y   2
C. x  y 3

(1)
(2)

có nghiệm (x;y)

D. x  y 0 [4].

Phân tích:
Đặt điều kiện, sau đó bấm máy xử lý pt (1)
Ta có kết quả như sau:

Y 2
3 4
5
X 3,16… 3 2,828… 2,64…
X2 10

9 8
7
2
Dự đoán quy luật: y + x = 12
Nhưng ở bài này ta khơng thể phân tích thành nhân tử như mấy bài trước. Giờ ta
thử đi đánh giá 2 vế của pt xem sao.
Lời giải:
Điều kiện:
2  y 12; x 2 12

Áp dụng BĐT Cauchy cho vế trái ta được
x 2  12  y y  (12  x 2 )
x 12  y  y (12  x ) 

12
2
2
2

 x 0

2
2
 y 12  x
 y 12  x
 x  12  y

Dấu bằng xảy ra khi 

Thay vào pt (2) ta được:

x 3  8 x  1 2 10  x 2  x 3  8 x  3  2(1  10  x 2 ) 0
 ( x  3)( x 2  3 x  1)  2(1  10  x 2 ) 0
2( x  3)
 ( x  3)( x 2  3 x  1 
) 0  x 3
1  10  x 2
 y 3

Vậy hệ có nghiệm (3;3)
Ta chọn D

11


* Bài tập tự luyện:
2 xy  x  4 y (2 y  1) x 2  2 y
Câu 1: Hệ phương trình: 
có mấy nghiệm?
2
 4 y  3  3 x  2 y  2 3 x  2
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
 x  1  4 x  1  y 4  2  y
Câu 2: Hệ phương trình:  2
có 2 nghiệm.
2
 x  2 x( y  1)  y  6 y  1 0
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng:

A. x  3; y  2
B. x  3; y  2
C. x  3; y  2
D. x  3; y  2
(4 x 2  1) x  ( y  3) 5  2 y 0
Câu 3: Hệ phương trình:  2
có nghiệm (x;y) thỏa mãn
2
4
x

y

2
3

4
x

7

mệnh đề nào dưới đây:
A. x  Z ; y  Z

B. x  Q; y  Z 

C. x  Z ; y  N

D. x  Q; y  Z 

2 x 2  x 2 y  y  x 2  y
Câu 4: Hệ phương trình: 
có nghiệm (x;y)
3
3 4 x( x  1)
(
y

2

x
)

8

8
x

4

thuộc đường thẳng nào sau đây?
A. 2x + 3y = 6
B. x – y = 2
C. 3x + 2y = 5
D. x + y = 3
(Chú ý: Đáp án là chữ cái được gạch chân)
2.3.2. Vấn đề 2: Kỹ thuật sử dụng máy tính casio trong trường hợp cần phải
kết hợp 2 phương trình của hệ mới có thể phân tích thành nhân tử.
* Đặt vấn đề:
Một số hệ phương trình giải bằng phương pháp cộng đại số, nhiều học sinh

không hiểu được số k mà đáp án đưa ra được tìm như thế nào. Mà nếu có tìm được
thì việc tìm nhân tử chung cũng khơng dễ dàng gì nếu khơng có kĩ năng. Song giờ
đây các em có thể dùng máy để dị tìm số k mà khơng phải vất vả đi tìm bằng
phương pháp hệ số bất định nữa.
* Nội dung phương pháp:
Khi bấm máy thử cả hai phương trình của hệ mà khơng tìm được mối liên hệ
của x và y vì tồn ra số xấu ta sẽ kết hợp cả 2 phương trình để tìm ra mối liên hệ.
Đó là ta cần tìm số k sao cho khi lấy pt thứ nhất của hệ cộng với k lần pt thứ hai
12


của hệ thì ta được một pt mới có thể phân tích được thành nhân tử. Tức là ta bấm
máy sẽ tìm được mối liên hệ của x và y.
* Phương tiện để tìm số k:
Bước 1: Nhập vào máy pt (1) + k. (2) (số k ở đây ta thử lần lượt các giá trị chứ
không nhập biến cụ thể).
Bước 2: Lần lượt thử với k = 0, k = 1,…. Nhập giá trị y = 0 thử cho đến khi ta
được x đạt giá trị nguyên hoặc phân thức hữu tỷ…, ta thử tiếp với y = 1,….Từ đó
suy ra mối liên hệ của x và y.
* Các ví dụ áp dụng:
 2 x 2  2 xy  y 5
Ví dụ 1: Hệ phương trình:  2
 y  xy  5 x 7

A. 2

B. 3

(1)
(2)

có mấy nghiệm?

C. 4

D. 0 [5].

Phân tích:
2
 2 x  2 xy  y  5 0
Viết lại hệ thành  2
 y  xy  5 x  7 0

(1)
(2)

Nhập vào máy (1) + k. (2) Sau đó lần lượt thử với k = 0, k = 1 Nhập giá trị y = 0 ta
thấy k = 1 cho x là số hữu tỷ , ta thử tiếp với y = 1…Ta được bảng sau:
Y 0
1 2
3
X 3/2 1 1/2 0
Dự đoán: 2x + y = 3
Lời giải:
Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ ta được:
2 x 2  y 2  3 xy  5 x  y  12 0  (2 x  y  3)( x  y  4) 0
 2 x  y  3 0


 x  y  4 0

 y 3  2 x
 y  4  x


* Với y = 3 – 2x thay vào (1) ta được:
2 x 2  4 x  2 0  x 1  y 1

* Với y = -4 – x thay vào (1) ta được:
 9 x 9  x  1  y  3

Vậy hệ có 2 nghiệm là (1;1) và (-1;-3)
Ta chọn A

13


 x 2  2 y 2  3x  2 xy 0
Ví dụ 2: Hệ phương trình: 
2
 xy ( x  y )  ( x  1) 3 y (1  y )

(1)
(2)

có 4 nghiệm ( x1; y1 ) và

( x2 ; y2 ) , ( x3 ; y3 ) , ( x4 ; y4 ) Khi đó tích x1 x2 x3 x4 bằng:
A. 10

B. 6

C. 4

D. 3 [5].

Phân tích:
Nhập máy phương trình (1) + k. (2) và thử với k = 0, 1, -1 ta chọn k = -1. Kết quả
cho như bảng sau:
Y 0
1 2
3
X -1
-1 -1
-1
Dự đoán nhân tử x + 1 = 0
Lời giải:
Lấy (1) – (2) ta được:
y 2  2 xy  x 2 y  xy 2  x  1  3 y 0  ( x  1)(1  y 2  xy  3 y ) 0
 x  1

2
 1  y  xy  3 y 0

Với x = -1 thay vào (1) ta được: 2 y 2  2 y  4 0 pt vô nghiệm
Với 1  y 2  xy  3 y 0  x 
y2 

3y  1 y2
thay vào (2) ta được:

y

1
3
1
1
 3 y  0  ( y  ) 2  3( y  )  2 0
2
y
y
y
y


y


y


1
 1
 y 2  y  1 0
y
 2

1
y

2

y

1

0

 2
y

Với y 

 1 5
 x 3 
2

Với y 

 1 5
 x 3  5
2


 1 5
y
2

 y  1  2

5

Với y  1  2  x 3  2 2
Với y  1  2  x 3  2 2

14


Vậy hệ có 4 nghiệm (3  5;
(3  2 2;  1 

 1 5
 1 5
) , (3  5;
) , (3  2 2;  1  2) ,
2
2

2)

Ta chọn C
 x 2  y 2  1 2 x  2 y
Ví dụ 3: Hệ phương trình: 
(2 x  y  2) y 1

(1)
có 2 nghiệm ( x1; y1 ) và ( x2 ; y2 ) .
(2)

Đặt a x1  x2 ; b  y1  y2 . Khi đó:
6
8

A. a  , b 
5
5

8
6
B. a  , b 
5
5

C. a 1, b 

6
5

8
D. a  , b 2
5

Phân tích:
Thử với k = 1 ta được kết quả:
Y 0
1 2
3
X 0
0 0
0
Dự đoán: x là nhân tử chung
Lời giải:
Lấy (1) + (2) ta được:

 x  y  1 y  1
( x  y ) 2  1 2( x  y )  ( y  1) 2  ( x  y  1) 2 ( y  1) 2  
 x  y  1 1  y
 x 0

 x  2 y 2

Với x 0  y 1
Với x = -2y + 2 thay vào (1) ta được:
 y 1
5 y  6 y  1 0  

 y 1
5

2

 x 0

 x 8
5

8 1
5 5

Vậy hệ có 2 nghiệm: (0;1) và ( ; )
Ta chọn B

15

 x 3  y 3  5 x 2  14 y 2  97 x  28 y 755
Ví dụ 4: Hệ phương trình: 
( x  3)( x  4) ( y  11)(14  y )

(1)
có 2 nghiệm
(2)

( x1; y1 ) và ( x2 ; y2 ) . Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M ( x1; y1 ) và N ( x2 ; y2 ) là:
A. x + y - 11 = 0

B. x – y – 11 = 0

C. x + y + 11 = 0

D. x – y +11 = 0

Phân tích:
Bài này ta phải thử hơi lâu một chút, k = 7 mới có số đẹp và kết quả như sau:
Y 0
1
2
3
X -11 -10 -9
-8
Dự đoán: y - x = 11
Lời giải:
Lấy (1) + 7.(2) ta được:
x 3  12 x 2  48 x  64  y 3  21y 2  147 y  343  ( x  4)3 ( y  7) 3  y  x  11

 x 2

 y 13

2
 
Thay vào (2) ta được: 2 x  10 x  112 0  
 x 3  y 14

Vậy hệ có 2 nghiệm (2;13), (3;14)
Ta chọn D
* Bài tập tự luyện:
 x 4  y 4  6 x 2 y 2 41
Câu 1: Hệ phương trình: 
2
2
 xy ( x  y ) 10

A. 1

B. 4

C. 6

(1)
(2)

có mấy nghiệm?

D. 3

 x 2  y 2  x  y 4
Câu 2: Cho hệ phương trình: 
 x( x  y  1)  y ( y  1) 2
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Nghiệm của hệ phương trình là các cặp (x;y) mà x, y đều là các số vơ tỷ.
B. Nghiệm của hệ phương trình là các cặp (x;y) mà x, y đều là các số hữu tỷ.
C. Nghiệm của hệ phương trình là các cặp (x;y) mà x, y đều là các số nguyên
D. Nghiệm của hệ phương trình là các cặp (x;y) mà x đều là số vô tỷ, y là số
nguyên

16


 x 2  y 2  xy  4 y  1 0
Câu 3: Hệ phương trình: 
có 2 nghiệm ( x1; y1 ) và ( x2 ; y2 ) .
2
2
 y[7  ( x  y )] 2( x  1)
Khi đó hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:
A. x1  x2  y1  y2

B. x1  x2  y1  y2

C. x1  x2  ( y1  y2 )

D. x1  x2  y1  y2

3

2
 x  1 2( x  x  y )
Câu 4: Cho hệ phương trình:  3
. Gọi (x;y) là nghiệm của hệ.
2
 y  1 2( y  y  x)
Tìm mện đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Có đúng một cặp (x;y) mà x, y nhận các giá trị nguyên.
B. Có hai cặp (x;y) mà x, y nhận các giá trị nguyên.
C. Có ba cặp (x;y) mà x, y nhận các giá trị ngun.
D. Khơng có cặp (x;y) nào mà x, y nhận các giá trị nguyên.

 x 3  y 3 9
Câu 5: Cho hệ phương trình:  2
. Gọi (x;y) là nghiệm của hệ. Mối
2
2 x  y 4 x  y
liên hệ giữa x và y là:
A. y = x + 3
B. x = y + 2
C. y = x - 3
D. x = y - 2
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Sau khi dạy cho học sinh phương pháp này tôi nhận thấy ở các em sự say mê và
hứng thú học tập, các em đã thành thạo kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay trong
q trình học chuyên đề phương trình, hệ phương trình. Các em đã khơng cịn lúng
túng khi gặp bài tốn giải hệ phương trình khơng mẫu mực mà đã chủ động phân
tích, dị nghiệm để tìm ra lời giải.
Tơi cũng đã chia sẻ phương pháp này cho các giáo viên trong tổ bộ mơn của mình.
Các thầy cơ đã áp dụng và cũng thu được kết quả tốt. Các em học sinh và thầy cơ

giáo đều có ý kiến phản hồi tốt về phương pháp này.
Tôi đã tiến hành thực nghiệm tại trường THPT Lương Đắc Bằng. Tôi cho học sinh
làm bài kiểm tra sau khi dạy phương pháp này.
Kết quả kiểm tra như sau:

17


Lớp

12A6
10A4
10A8

Số bài Giỏi
Kiểm HS
tra
45
40
42

10
10
9

Tỉ lệ
%
22,2
25,0
21,4

Khá
HS Tỉ lệ
%
20
15
15

44,4
37,5
35,7

Trung bình Yếu
HS Tỉ
HS Tỉ
lệ
lệ
%
%
11 24,4
4 9.0
13 32,5
2 5,0
14 33,3
4
9,6

Kém
HS Tỉ lệ
%

0
0
0

0
0
0

3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:
Trên đây là một số kinh nghiệm của tơi trong q trình giảng dạy. Tơi đã tiến hành
dạy cho 3 lớp ở trường THPT Lương Đắc Bằng và đã đạt kết quả tốt, giúp các em có
kỹ năng giải bài tốn phương trình, hệ phương trình và phát triển tư duy logic. Các
đồng nghiệp được tôi chia sẻ phương pháp này cũng đã đạt được kết quả tốt khi áp
dụng cho học sinh của mình. Tơi hy vọng đề tài này sẽ trở thành công cụ logic hữu
ích cho các em học sinh và giáo viên để nâng cao chất lượng dạy và học nội dung
giải hệ phương trình nói riêng và tốn học nói chung.
Đề tài này cịn nhiều chỗ chưa được hồn thiện, rất mong được sự trao đổi, góp ý của
các thầy cơ đồng nghiệp và Ban giám khảo. Xin chân thành cám ơn!
3.2. Kiến nghị
Cấp thêm máy Casio cho các trường THPT để nâng cao chất lượng dạy và học
toán ở trường THPT.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Giáo viên thực hiện đề tài

Nguyễn Thị Hòa
18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Đại số nâng cao 10 – NXB giáo dục Việt Nam
[2]. Sách giáo khoa Giải tích nâng cao 12 – NXB giáo dục Việt Nam
[3]. Các tài liệu hướng dẫn sử dụng máy tính Casio của BGD
[4]. Đề thi đại học của các năm từ 2010 đến 2016 của Bộ giáo dục và Đào tạo.
[5]. Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình của Đặng Thành Nam- NXB Đại học
Quốc Gia Hà Nội.

.

19