VẬN DỤNG NHỮNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :1
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN CƯM’GAR
TRƯỜNG THCS NGUYỄN HUỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG NHỮNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC “NON STANDARD
PROBLEMS” TRONG RÈN LUYỆN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO
HỌC SINH GIỎI BẬC
TRUNG HỌC CƠ SỞ.
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
CưM’gar, tháng 12 năm 2009
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHẦN A : MỞ ĐẦU
Trong thời kỳ phát triển và hội nhập, cộng với việc gia nhập tổ chức WTO đã mở
cho đất nước ta rất nhiều cơ hội lớn nhưng cũng không ít những thách thức lớn. Trước
một thực tại như vậy , nước ta lại phải cùng một lúc giải quyết ba nhiệm vụ : Thoát khỏi
tình trạng nghèo nàn lạc hậu của nền kinh tế nông nghiệp ; đẩy mạnh công nghiệp hóa ,
hiện đại hóa và đồng thời tiếp cận ngay với nền kinh tế tri thức . Để làm nên sự nghiệp ấy
đòi hỏi rất nhiều yếu tố tác động tới, trong đó có việc thích ứng ngay với nền kinh tế tri
thức của thế giới . với bộ môn toán nếu “Toán học là một môn thể thao của trí tuệ” thì
công việc của người dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào
thuận lợi hơn môn toán trong công việc đầy hứng thú và khó khăn này.
Là một giáo viên giảng dạy môn toán hơn 9 năm và làm công tác quản lý được
2 năm tôi luôn luôn trăn trở rất nhiều về quá trình học toán và làm toán của các em học
sinh, trong quá trình học toán, làm toán các em học sinh có thể gặp đây đó những bài
toán mà đầu đề có “vẻ lạ”, “không bình thường”, những bài toán không thể giải bằng

cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc. Những bài toán như
vậy thường được gọi là “không mẫu mực”(non standard problems) có tác
dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thử thách đối với
học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán, thi vào đại
học.Đương nhiên quen thuộc hay “không mẫu mực” chỉ là tương đối, phụ thuộc vào
trình độ, kinh nghiệm của người giải toán, có bài toán là “lạ”, “không mẫu mực” đối với
người này nhưng lại quen thuộc đối với người khác.
Để đạt được mục tiêu này tôi xin chân thành cảm ơn tập thể GV- CBCNV trường
THCS Nguyễn Huệ đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành SKKN.
Chân thành cảm ơn!
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :2
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHẦN B : ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Lý do : Năm học 2009 – 2010 với chủ đề “ Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất
lượng dạy học”, là Phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn tôi nhận thấy việc đào tạo
chất lượng mũi nhọn là một trong những nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu, trong đó đầu tư
tập trung cho khối 8 và 9 nhằm đào tạo và phát hiện ra những học sinh có tố chất, học
sinh giỏi là rất quan trọng vì vậy tôi mạnh dạn xây dựng SKKN này với mong muốn các
thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường cùng tham khảo .Trong quá trình học
toán, làm toán các em học sinh có thể gặp những bài toán không thể giải bằng cách áp
dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc. Những bài toán như vậy
thường được gọi là “không mẫu mực” (non standard problems). Những bài
toán đó có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thử
thách đối với học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán, thi
vào đại học. Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán, đã tổng hợp,
phân loại và hướng dẫn phương pháp giải đối với nhiều phương trình và hệ phương
trình “không mẫu mực” ở các lớp 8 , 9 và các lớp đầu cấp THPT, tôi mạnh dạn xây

dựng SKKN này nhằm giúp các em học sinh luyện tập để nhiều bài toán giải phương
trình và hệ phương trình “không mẫu mực” dần trở thành “quen thuộc” với mình, qua
đó biết cách suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình “ không mẫu mực”
khác.
1. Mục đích :Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra những kinh nghiệm và
những bài học thực tiễn qua quá trình bồi dưỡng nhiều năm học sinh giỏi, giảng
dạy cho các em học sinh có tố chất và yêu thích toán học tại trường THCS Nguyễn
Huệ
2. Tính thực tiễn, ý nghĩa : Qua nhiều năm bồi dưỡng tôi nhận thấy phương trình và
hệ phương trình không mẫu mực được quan tâm và ra đề thi nhiều trong các kỳ thi
học sinh giỏi các cấp vì vậy , cho đến năm học 2008 – 2009 đã thôi thúc tôi viết lên
những kinh nghiệm nhỏ trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đến nay tôi nhận
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :3
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
thấy đề tài phần nào đã đem lại hiệu quả cao, chất lượng học sinh giỏi cấp trường,
cấp huyện và học sinh giỏi toàn diện đi lên, các thầy cô cũng đã quan tâm nhiều
hơn đến phương trình và hệ phương trình không mẫu mực vì vậy không gặp khó
khăn trong quá trình giảng dạy học tập và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN :
1. Cơ sở lí luận khoa học :
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm
chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống
của học sinh. Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc
lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết trong việc học
toán. Chính vì vậy bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em
một số vốn kiến thức thông qua việc làm bài tập càng nhiều, càng tốt, càng khó càng hay
mà phải cần thiết rèn luyện khả năng phát triển tư duy, sáng tạo làm toán cho học sinh,
đặc biệt đối với những bài toán được các em coi là “lạ”.

2. Cơ sở lý luận thực tiễn:
Qua nhiều năm công tác giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy việc học toán
nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được
tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi người thầy (cô) cần phải có
nhiều phương pháp và nhiều cách hướng dẫn học sinh tiếp thu và tiếp cận bài giải. Đặc
biệt qua những năm giảng dạy thực tế ở trường trung học cơ sở Nguyễn Huệ việc có
được học sinh giỏi của môn Toán là một điều rất khó mà không phải giáo viên toán nào
cũng có thể làm được nếu không biết đầu tư, không thực sự nhiệt tình và không nghiên
cứu các chuyên đề về Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực,hoặc các chuyên
đề khác, tuy nhiên có nhiều nguyên nhân có cả khách quan và chủ quan. Song đòi hỏi
người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải qua một
bài Toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy sáng tạo, phát triển
bài toán và có thể đề xuất hoặc tự làm những bài toán tương tự đã được nghiên cứu bồi
dưỡng.
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :4
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. THỰC TRẠNG:
* Thuận lợi: Là một phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn có 9 năm giảng dạy
và 5 năm làm tổ trưởng tổ toán, 2 năm làm quản lý .Năm học 2008 – 2009 được sự chỉ
đạo, quan tâm của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động đặc biệt trong họat
động chuyên môn, luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu,
phát huy các phương pháp dạy học đổi mới sáng tạo nhất. Bên cạnh đó các môn học khác
có học sinh giỏi huyện luôn khuyến khích các giáo viên dạy toán và học sinh phải năng
động tìm tòi, tư duy sáng tạo trong việc dạy và học toán. Mặt khác trong sự nghiệp giáo
dục của huyện CưMgar nói chung , và trường THCS Nguyễn Huệ nói riêng đã có nhiều
thay đổi đáng kể, đã có rất nhiều học sinh giỏi cấp tỉnh, giỏi cấp huyện, do đó các cấp uỷ
Đảng chính quyền, các bậc phụ huynh, đặc biệt Hội khuyến học xã đã có phần quan tâm
động viên hơn đối với sự nghiệp giáo dục của xã và nhà trường.

* Khó khăn: Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như:
Điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường thiếu thốn, không có phòng học để mở việc bồi
dưỡng cho học sinh khá giỏi theo một trình tự có hệ thống từ các lớp nhỏ đến lớp lớn, cụ
thể từ lớp 6 đến lớp 9. Phòng thư viện của nhà trường còn ít đầu sách, do đó việc tìm tòi
sách đọc là vấn đề hạn chế. Nhưng khó khăn nhất vẫn là các em học sinh do điều kiện
của địa phương với đặc thù là vùng 2 của huyện , số nhân khẩu đông, điều kiện kinh tế
khó khăn,dân di cư tự do nhiều, vì vậy việc quan tâm đến học hành còn hạn chế nhiều về
tinh thần và vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành của các em đặc biệt là môn toán.
Vì vậy để cho môn toán ngày càng được nhiều học sinh yêu thích trước hết người
Thầy phải tác động như thế nào đó vào tiềm thức của các em, không những học sinh khá,
giỏi mà cần phải đánh thức các em có học lực trung bình và những học sinh chưa thật sự
yêu thích môn toán, để đạt được các mục tiêu này cần phải có một cú “hích” đó chính là
đào tạo , phát hiện ra những học sinh giỏi nhằm khuyến khích động viên các em kịp thời ,
là nhân tố khơi dậy và là tấm gương sáng cho những học sinh khác noi theo.
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :5
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN (NỘI DUNG SKKN) :
Phần I : Phương trình
I/ Phương trình một ẩn
Phương pháp thường vận dụng :
1/
Đưa về phương trình tích :

a/Các bước :
+ Tìm tập xác định của phương trình
+ Dùng các phép biến đổi đại số đưa PT về dạng f(x).g(x)....h(x)=0
+ Dùng ẩn phụ
+ Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách số hạng....

b/ Ví dụ1 : Giải phương trình :
2
10 21 3 3 2 7 6x x x x+ + = + + + −
( 3)( 7) 3 3 2 7 6
3( 7 3) 2( 7 3) 0
( 7 3)( 3 2) 0
x x x x
x x x
x x
⇔ + + = + + + −
⇔ + + − − + − =
⇔ + − + − =
⇔
7 3 0
3 2 0
x
x

+ − =

+ − =



⇔
7 9
3 4
x
x
+ =



+ =

ĐS : x=1; x= 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình :
3
1 2 1x x− + + =
Giải : Điều kiện x
≥
- 2
Đặt : 2t x= + ( t
≥
0)
⇔
3 2
3 1t t− + =
⇔
3 2
3 1t t− = −
⇔
3- t
2
= (1- t)
3
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :6
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
⇔

t
3
– 4t
2
+ 3t + 2 = 0
⇔
(t-2)( t
2
– 2t – 1) = 0
Đs : x= 2; x= 1+
2 2
c/ Bài toán áp dụng :
1.Giải phương trình :
a/
294 296 298 300
4
1700 1698 1696 1694
x x x x− − − −
+ + + =
Đs : x= 1994.
b/ 3
x+1
+2x.3
x
– 18x – 27 = 0 ĐS :
3
;2
2
−
c/ (x

2
– 4x + 1)
3
= (x
2
–x - 1)
3
–( 3x-2)
3
gợi ý : áp dụng HĐT (a - b)
3
- (a
3
–b
3
)= -3ab( a - b)
ĐS :
1 5 2
2 3; ;
2 3
±
±
d/ (x
2
– 3x + 2)
3
+ (- x
2
+x + 1)
3

+ ( 2x-3)
3
= 0
Gợi ý : áp dụng HĐT (a - b)
3
+ (b - c)
3
+(c - a)
3
= 3(a –b )(b – c)(c- a)
Đáp số :
1 5 3
2;1; ;
2 2
±
2/ Áp dụng bất đẳng thức :
a/ Các bước :
+ Biến đổi phương trình về dạng : f(x) = g(x) mà f(x)
≥
a ; g(x)
≤
a (a là hằng số)
Nghiệm là các giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a.
+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m ( m là hằng số) mà ta luôn có : h(x)
≥
m
hoặc h(x)
≤
m thì nghiệm của PT là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra.
+ Áp dụng BĐT : Cô si, Bunhia kốpxki, .........

b/ Ví dụ1 : Giải phương trình :
6
4
2 2
1 1 3 2
19 5 95 3
x x x x
− − − +
+ + =
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :7
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điều kiện :
2
2
1 0
1 0
3 2 0
x
x
x x
− ≥


− ≥


− + ≥


Ta có :
6
4
2 2
1 1 3 2 0 0 0
19 5 95 19 5 95 3
x x x x
− − − +
+ + ≥ + + =
Nên x - 1 = 0 ; x
2
– 1 = 0 và x
2
– 3x + 2 = 0
Đáp số : x = 1
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
x
2
– 3x + 3,5 =
2 2
( 2 2)( 4 5)x x x x− + − +
Hướng giải : ta có x
2
– 2x + 2 = ( x - 1)
2
+ 1 > 0
x
2
– 4x + 5 = ( x - 2)
2

+ 1 > 0
x
2
– 3x + 3,5 =
2 2
(x – 2x 2)(x – 4x 5 )
2
+ +
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương :
(x
2
– 2x + 2 ) và (x
2
– 4x + 5)
Đáp số : x = 3.
c/ Bài toán áp dụng :
a/
3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − =
gợi ý :
2 2
( 1 2) ( 1 3) 1x x− − + − − =
áp dụng bất đẳng thức :
a b a b+ ≥ +
dấu bằng sảy ra khi ab
≥
0 với a=
1 2x − −
; b= 3-
1x −
b/ 13[(x

2
– 3x +6)
2
+ (x
2
-2x + 7)
2
] = ( 5x
2
– 12x + 33)
2
Gợi ý : sử dụng BĐT Bunhia cốpxki cho 4 số : (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
≥
(ac + bd)
2
Đáp số : x = 1; 4
3/ Chứng minh nghiệm duy nhất :
a/ Các bước :
Ta có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm sau đó chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra
không còn nghiệm nào khác nữa :
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :8

Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
b/ Ví dụ
Ví dụ 1:Giải phương trình :
4 2
4 2 4 2 4 2
1
4 8
8 14 8 12 8 16
2
25(3 25 ) 29 18.3 7
x x
x x x x x x
− +
− + − + − +
+ = − −
(1)
Gợi ý :
2 2
2 2 2 2 ( 4)
( 4) 1 ( 4) 2
3 7 7 29
x
x x
−
− + − +
+ + =
x =
±
2 là nghiệm số của (1)

Xét x
≠
±
2, (giáo viên hướng dẫn cho học sinh xét x
≠
±
2)
Đáp số : x =
±
2
Ví dụ 2: Giải phương trình :
2 ( 3) 1
x
x
= +
Giải :
⇔

3 1
1 ( ) ( )
2 2
x x
= +
(*)
• Dễ thấy : x= 2 là nghiệm của *
• Xét x > 2 . Ta có
2 2
3 1 3 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
2 2 2 2

x x
+ < + =
• Xét x< 2 ta có :
2 2
3 1 3 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
2 2 2 2
x x
+ > + =
Vậy ta có nghiệm duy nhất là 2.
c/ Bài toán áp dụng :
Giải phương trình :
1. 2
x
+ 3
x
+ 5
x-1
= 2
1-x
+ 3
1-x
+ 5
1-x
2. 3
x
+ 4
x
= 5
x

4/ Đưa về hệ phương trình
a/ Các bước :
- Tìm ĐK tồn tại của phương trình.
- Biến đổi PT để xuất hiện nhân tử chung.
- Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc GPT về việc giải HPT quen thuộc.
b/ Ví dụ
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :9
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
4 4 x x− + =

Điều kiện :
0
4 0 0 12
4 4 0
x
x x
x

≥

+ ≥ ⇒ ≤ ≤


− + ≥

Đặy y =
4 x+

ta có hệ phương trình :
4
4
x y
y x

= −


= +


Đây là bài toán quen thuộc nên giải một cách dễ dàng
Lưu ý : x + y
≠
0
1 2
1 13 1 13
; ;
2 2
x x
− + − −
= = (loại)
Đáp số :
1
1 13
2
x
− +
=

Ví dụ 2 : Giải phương trình :
4 4 x x− + =
Giải : Điều kiện :
0
4 0 0 12
4 4 0
x
x x
x

≥

+ ≥ ⇒ ≤ ≤


− + ≥

Đặt y = 4 x+ ta có hệ phương trình :
4
4
x y
y x

= −


= +


⇔

2 2 2
2 2
4 ( )
4 4
x y x y x y
y x x y
 
= − − = − +
 
⇔
 
= + = −
 
 
⇔
2
( )( 1) 0
4
x y x y
x y
+ − + =


= −

Vì x + y
≠
0 nên ta có hệ :
2
1 0

4
x y
x y
− + =


= −

Suy ra : x
2
= 4 – x – 1
⇔
x
2
+ x – 3 = 0
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :10
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Suy ra :
1 2
1 13 1 13
;
2 2
x x
− + − −
= =
(loại)
Đáp số :
1 13

;
2
x
− +
=
c/ Bài toán áp dụng :
Giải phương trình :
1. 2 – x
2
= 2 x−
2. x
3
+ 1 = 2
3
2 1x −
3.
3 3
2 2 2
(3 1) (3 1) 9 1 1x x x+ + − + − =
II/ Phương trình nhiều ẩn :
1/
Đưa về phương trình tích :

a/Các bước :
Đưa phương trình về dạng f
1
(x,y,....).....f
n
(x,y......) = a
1.

a
2
.........a
n
.
Với a
1;
a2;.......;a
n

∈
Z. rồi sử dụng tính chất của tập hợp số tự nhiên , tập hợp số
nguyên ......, f
1
(x,y,....); f
2
(x,y........); ....f
n
(x,y......)
∈
Z
Xét mọi trường hợp có thể sảy ra để tìm được nghiệm thích hợp của phương trình.
b/ Ví dụ1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x
2
+ 91 = y
2
(1)
(1)
⇔

y
2
– x
2
= 91
⇔

( ) ( )
91y x y x+ − =
Vì
y
>0;
x
>0;
( ) ( )
y x y x+ > −
Và
y
-
x
>0
91 = 1.91 = 13. 7
Nên ta có :
91
1
13
7
y x
y x
y x

y x

 + =



− =




 + =




− =



⇔
45
46
3
10
x
y
x
y


 =



=




 =




=



--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :11