Một số bài toán về số phức giúp học sinh ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

"MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC GIÚP HỌC SINH ÔN
THI THPT QUỐC GIA"

Người thực hiện: Trương Thị Huệ
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

1


Mục lục

Trang

1. Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài..................................................................................3
1.2 Mục đích nghiên cứu..........................................................................3
1.3 Đối tượng nghiên cứu.........................................................................3
1.4 Phương pháp nghiên cứu....................................................................3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm..........................................................3
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm............................................4
2.2 Thực trạng của vấn đề.........................................................................4
2.3 Các giải pháp.......................................................................................4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm..................................................19
3. Kết luận và kiến nghị ...........................................................................20
3.1 Kết luận...............................................................................................20
3.2 Kiến nghị.............................................................................................20
Tài liệu tham khảo.....................................................................................21

2


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do viết sáng kiến
- Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,
năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo ,
đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi
mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố , trong đó một yếu tố
quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học trong đó có phương pháp dạy học môn
toán.
1.2. Mục tiêu của sáng kiến

Nhằm giúp học sinh ôn luyện thi THPT quoc gia, tôi nghiên cứu và biên soạn
nhóm bài tập , đưa ra các phương pháp để học sinh có thể tự ôn luyện.
2. NỘI DUNG SKKN
2.1. Cơ sở li luạn cua sáng kiến

Đổi mới phương pháp dạy học là sự thay đổi từ các phương pháp dạy học tiêu
cực đến các phương pháp tích cực, sáng tạo. Nhưng không phải thay đổi ngay
lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình
áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực
của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương
pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.

Đây là vấn đề mới đối với học sinh phổ thông ,Bộ giáo dục đã chuyển tải nội
dung này từ nội dung học đại học năm thứ nhất xuống lớp 12.Với thời lượng
cho phép dạy trên lớp môn toán có hạn . Chất lượng học sinh trong lớp không
đồng đều , nếu dạy cho các học sinh yếu , trung bình hiểu thì học sinh khá
giỏi sẽ chán , và nguồn học sinh thi đậu đại học lại mong manh.

3


2.2 Thực trạng của vấn đề cần giải quyết

Trong chương trình giải tích 12 mới hiện nay, chương số phức được đưa
vào,trong đó gồm các phần : khái niệm về số phức, cộng trừ nhân chia hai số
phức,phương trình bậc hai với hệ số thực chiếm vị trí khá quan trọng và có
trong các đề thi THPT QUOC GIA. Phần lớn học sinh còn lúng túng trong
việc phân tích đề để tìm lời giải. Chính vì thế mà tôi đã nghiên cứu, biện soạn
vấn đề này nhằm giúp học sinh đi đúng hướng và tìm ra lời giải .
2.3. Các giải pháp/biện pháp thực hiện

Để phát huy tính năng động và sáng tạo của học sinh khá giỏi tôi đã biên
soạn nhóm bài tập này và sắp xếp thứ tự các bài tập từ dễ đến khó ,nhằm giúp
học sinh làm bài tốt phần số phức trong các kỳ thi sắp tới .

4


NỘI DUNG NGHIÊN CỨU :
Dạng 1 :
Tìm mô đun ,căn bậc hai của số phức, giải phương trình ,hệ phương
trình trên tập số phức

Phương Pháp : Cho số phức : z = a + bi với a,b là các số thực
+ Mô đun của số phức z là :

z = a 2 + b2

+Gọi w = x + yi với x,y ∈ R là một căn bậc hai của số phức z
 x2 − y 2 = a
2
w 2 = a + bi ⇔ ( x + yi ) = a + bi ⇔ 
 2 xy = b

Ta có

giải hệ phương

trình trên tìm được các căn bậc hai của số phức z
+Việc giải phương trình ,hệ phương trình được giải tương tự như giải
trên trường số thực nhưng chú ý đến việc tìm căn bậc hai của số âm.
Bài 1:
Tìm môđun của số phức
Lời giải: Vì ( 1 − i )

3

z = 1 + 4i + ( 1 − i )

3

= 13 − 3i + 3i 2 − i 3 = 1 − 3i − 3 + i = −2 − 2i

2
Suy ra: z = −1 + 2i ⇒ z = ( −1) + 22 = 5

Bài 2:
Cho hai số phức: z1 = 3 − 5i ; z2 = 3 − i . Tính

Lời giải:

z1
3 − 5i
=
=
z2
3 −i

(

)(
( 3 − i) (
3 − 5i

3 −i
3 +i

)

) = 8−4

4

3i

z1
z2

z

và z1
2

= 2 − 3i

5


(

z1
= 22 + − 3
z2

)

2

= 7

Bài 3:
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình:
Tính giá trị của biểu thức A =

Lời giải: Ta có:

∆=

2

z1 + z2

z 2 + 2 z + 10 = 0 .

2

12 - 10 = -9 = 9i2

Phương trình có các nghiệm: z1 = - 1 - 3i; z2 = - 1 + 3i
Ta có:

z1 + z2 = ( −1) + ( −3) + ( −1) + 32 = 20
2

2

2

2

2

Bài 4:
Tìm số phức z thỏa mãn:

z − ( 2 + i ) = 10

Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b ∈

¡

và z.z = 25

, ta có:

 z.z = 25
 a 2 + b 2 = 25
a 2 + b 2 = 25
⇔ 
⇔ 

2
2
a
−
2
+
b
−
1
i
=
10
z

−
2
+
i
=
10
(
)
(
)
(
)


( a − 2 ) + ( b − 1) = 10
 a = 3

a + b = 25
b = 4
⇔
⇔ 
 a = 5
2a + b = 10

 b = 0
2

2

Vậy có hai số phức cần tìm : z = 3 + 4i , z = 5 + 0i

Bài 5:
Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm
Lời giải:

z + z2
z

z + z 2 = ( 4 − 3i ) + ( 4 + 3i ) = 11 − 27i
2

6


⇒

z + z 2 11 − 27i ( 11 − 27i ) ( 4 − 3i ) −37 − 141i
=
=
=
4 + 3i
4 2 + 32
25
z

Bài 6:
Giải phương trình sau (ẩn z):
Lời giải: Giả sử z = a + bi ;

z + 2 z = ( 1 + 5i )

z + 2 z = ( 1 + 5i )

2

2

⇒ (*) ⇔ a + bi + 2 ( a − bi ) = 1 + 10i + 25i 2
3a = −24
 a = −8
⇔ 3a − bi = −24 + 10i ⇔ 
⇔
⇒ z = −8 − 10i
 −b = 10
b = −10

Dạng 2:
Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Phương pháp :

+ Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y là các số thực
+ Dựa vào giả thiết bài toán tìm xem với điểm M( x; y)

thỏa mãn phương trình nào .
+ Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z đã cho.
Bài 13:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện
z − ( 3 − 4i ) = 2

Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y ∈

z − ( 3 − 4i ) = 2 ⇔

⇔

( x − 3)

2

( x − 3) + ( y + 4 ) i

¡

, ta có:

=2 ⇔

( x − 3)

2

+ ( y + 4) = 2
2

+ ( y + 4) = 2
2

7


Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi

thỏa mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(3; -4); bán kính R = 2
Bài 14:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
2 z − i = z − z + 2i

Lời giải: Gọi z = x + yi (x, y ∈
Ta có:

¡

)

2 z − i = z − z + 2i

⇔ 2 x + ( y − 1) i = ( 2 + 2 y ) i
⇔ 2 x 2 + ( y − 1) 2 =
⇔ y=

( 2 + 2y)

2

1 2
x
4

Bài 15:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện
z − ( 5i − 2 ) = 2

Lời giải: Đặt z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
Ta có: z - 5i + 2 = (x + 2) + (y - 5)i
2
2
2
2
Suy ra: z − ( 5i − 2 ) = 2 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 5 ) = 2 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 5 ) = 4

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-2; 5), bán kính
R = 2.

8


CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC CÓ HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Phần 1: Dạng đại số của số phức
Bài 1: Tính z +

z

a) z = 2 + 3i

và z .

z

với :

b) z = -5 + 3i . ĐS: a) 4 và 13

b) -10 và 34

Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
b) (1 + i) 2 – (1 – i)2

a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)
d)

c) (2 + i)3 – (3 – i)3

3 −i
2 +i
−
1+ i
i

ĐS: a) 1 và 1

b) 0 và 4

c) -16 và 37

d)

3 − 3 2 2 −1− 3
và
2
2

Bài 3: Tính :
a)

a + bi
a − bi

ĐS: a)

b)

(1+ i)

b) 2

(1+ i)
Bài 4: Tính: a)
(1− i)
b)

ĐS: a) -2in+1

c)

−1 − 32i
25

n

(với n là số nguyên dương)

n −2

3

5

(1 − i )7

a 2 − b2
2ab
+ 2 2
2
2
a +b
a +b

 1 i 3
 − +
÷
2 ÷
 2


( 1− i ) −1
c)
5
( 1+ i) +1

9

3

1 i 3
 −
÷.
2 ÷
2


b)

1+ i 3
2

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau với x, y, z là số phức :
a)

( 3 − i ) x + ( 4 + 2i ) y = 2 + 6i

( 4 + 2i ) x − ( 2 + 3i ) y = 5 + 4i

b)


( 2 + i ) x + (2 − i ) y = 6


(3 + 2i) x − (3 − 2i ) y = 8

9

ĐS: a) x = 1 + i , y = i

b) x = 2 + i , y = 2 – i

Bài 6: Tìm các số liên hợp với :
a) Bình phương của chính nó.
ĐS: a) 0; 1;

b) Lập phương của chính nó.

1 i 3 1 i 3
− +
;− −
2
2
2
2

b) 0; 1; -1; i; -i

Bài 7: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R). Tìm phần thực và phần ảo của
các số phức:
a) z2 – 2z + 4i
2

b)

z +i

iz − 1

2

ĐS: a) x – y – 2x và 2(xy – y + 2); b)

−2xy
y 2 − x2 −1
v
à
x 2 + ( y + 1)2 x 2 + ( y + 1)2

Bài 8: Giải các phương trình sau (ẩn z) :
a)

2+i
−1 + 3i
z=
1− i
2+i

ĐS: a)

22 4
+ i
25 25



b) ( ( 2 − i ) z + 3 + i )  iz + 2i ÷ = 0 .

1



b) -1 + i , ½

Bài 9: a) Chứng minh :
b) Giả sử



i 2 k +1 = (−1) k .i, k ∈ N ; i 2 k = (−1) k , k ∈ N .

zk = i 2 k + i 2 k +1 , k ∈ N . Tính

tổng zk + zk+1 .

ĐS: b) 0.

Bài 10: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
a) Với điều kiện nào giữa a, b, a’, b’ thì tổng của chúng là số thực ? số ảo?
b) Cũng câu hỏi trên đối với hiệu z – z’ .
ĐS: a) z + z’ là số thực nếu b = -b’ , là số ảo nếu a = -a’ , b ≠ −b′
b) z – z’ là số thực nếu b = b’ , là số ảo nếu a = a’, b ≠ b′ .

10


Bài 11: a) Với điều kiện nào giữa a, b thì bình phương của z = a + bi là số
thực, số ảo?

b) Cũng câu hỏi trên đối với z3.
HD:

a) z2 = a2 – b2 + 2abi.
Z2 là số thực nếu a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b = 0 .
Z2 là số thuần ảo nếu a = b ≠ 0
b) z3 = a3 – 3ab2 + (3a2b – b3)i
z3 là số thực nếu b = 0 hoặc b2 = 3a2
z3 là số ảo nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a2 = 3b2, b ≠ 0 .

Bài 12: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a)

z = a + ai , a ∈ R

b)

1
z −i

ĐS: a) Đường thẳng y = x

là số ảo
b) Trục ảo Oy trừ (i)

Bài 13: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a) z2 là số thực âm

b) z − i + 2 + z + i = 9 .

ĐS: a) Trục thực Ox từ gốc O.

b) Elip

Bài 14: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R và
thỏa mãn :
a) 1 ≤ z ≤ 3

b)

x + y ≤ 1

 x ≥ 0, y ≥ 0

Bài 15: Chứng minh rằng :
a) Bình phương của hai số phức liên hợp cũng là liên hợp.

11


b) Lập phương của hai số phức liên hợp cũng là liên hợp.
c) Lũy thừa bậc n của 2 số phức liên hợp cũng là liên hợp.
Bài 16: A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn
các số :
1 + 2i , 1 +

3 + i,1 + 3 − i,1 − 2i

Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường
tròn đó biểu diễn số phức nào?

HD: vì mỗi cặp số 1 + 2i, 1 – 2i và

1 + 3 + i,1 + 3 − i là

cặp số phức liên hiệp

nên hai điểm A, D và hai điểm B, C đối xứng qua Ox; phần thực của hai số
đầu khác phần thực của hai số sau nên ABCD là một hình thang cân . Do đó
nó là một tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm J nằm trên trục đối xứng Ox; J
biểu diễn số thực x sao cho :
uuu
r uur
JA = JB ⇔ 1 − x + 2i = 1 − x + 3 + i ⇔ x = 1 . Từ

đó suy ra tâm đường tròn biểu diễn

: z=1
* Cách khác:

uuu
r
AB biểu

diễn số phức

uuur uuur
3 + 3i
= 3i nên AB.DB = 0
3 −i

uuur
3 − i, DB biểu

diễn số phức

3 + 3i .

Mà

.
uuur uuur

T/tự (hay vì lí do đ/x qua Ox), DC. AC = 0 .Từ đó suy ra AD là một đ/kính của
đ/tròn đi qua các điểm A, B, C, D.
Phần 2: Căn bậc hai và phương trình
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của số phức: a) z = 200
±10 2

b)

b) z = - 13.

ĐS: a)

±i 13

Bài 2: Giải các phương trình bậc hai sau đây trong tập hợp các số phức C:
12

a) z2 – z + 2 = 0
ĐS: a)

z=

1± i 7
2

b) 2z2 – 5z + 4 = 0
b)

(Tốt nghiệp THPT 2006)

5±i 7
4

z=

Bài 3: Giải các phương trình :
a) z2 + z + 1 = 0

b)

z2 − z 3 +1 = 0

ĐS: a)

z=

−1 ± i 3

2

b)

3 1
± i
2 2

Bài 4: Giải các phương trình
a) k = 1

z+

1
=k
z

trong các trường hợp sau:

b) k = 2

ĐS: a) z =

1± i 3
2

b) z =

2
( 1± i)

2

Bài 5: Giải các phương trình trong C:
z2 + z = 0

HD: Đặt z = x + yi dẫn đến hệ phương trình hai ẩn x, y:
Kết quả: z1 = 0 ; z2 = -1 ; z3 =

1
3
1
3
+i
; z4 = − i
2
2
2
2

Bài 6: Giải các phương trình trong tập C:
a) x4 – 3x2 + 4 = 0
ĐS: a) x =

±

7 i
±
2 2

b) x4 – 30x2 + 289 = 0

b) x = ±4 ± i

Bài 7: Giải phương trình trong C: x3 + 8 = 0
HD: Ta có: x3 + 8 = 0

 x = −2
 x = −2
⇔ ( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 4 ) = 0 ⇔  2
⇔
 x − 2x + 4 = 0
x = 1± i 3

13


Phần 4: Bài tập tổng hợp về số phức
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng đại số:
a) z = 2i10 + i3

b) z = i2007 + i2008

ĐS: a) -2 –i ; b) 1 – i

Bài 2: Viết dưới dạng a + bi các số phức sau:
a) z = (1 + i)2– (1 – i)2
c)

(

z = 1+ i 3

)

b) z = (2 + i)(-1 + i)(1 + 2i)2

3

d)

ĐS: a) 4i

z=

1
1
+
1+ i 1− i

b) 5 – 15i

c) -8

Bài 3: Tính : a) (1 + 2i)6

d) 1

b) (2 + i) 7 + (2 – i)7

ĐS: a) 117 + 44i ;

b) -556
Bài 4: Giải hệ phương trình với ẩn số thực:
(1 + i ) x + (1 + 2i ) y + (1 + 3i ) z + (1 + 4i)t = 1 + 5i

(3 − i ) x + (4 − 2i ) y + (1 + i ) z + 4it = 2 − i

ĐS: x = -2; y = 3/2; z = 2 ; t = -1/2

Bài 5: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Với điều kiện nào giữa a, b, a’ ,b’ thì tích z.z’ của chúng là số thực ?số ảo?
ĐS: ab’ + a’b = 0 và aa’ – bb’ = 0 ; ab’ + a’b ≠ 0

(

Bài 6: Tính: a)
c)
HD: a)

4 3i

(
(

=

)
3 − i)

3 +i

(

) −(

3 −i

) (

)

3 +i

2

3

3 +i −

3 −i

)

2

3

b) 2(3 + i 2) = 4

b)

(

d)

(
(

3 +i

) +(

)
3 − i)

3 +i

2

3 −i

)

2

2
2

c) 2i.8 = 16i

d)

2
2

1 + 3i −1 + 3i
=
2
1 − 3i

14


Bài 7: Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z = (x + iy) 2 – 2(x + iy) + 5
(x, y ∈ R)
Với x, y nào thì số phức đó là số thực?
Bài 8: Cho các số phức: z1 = 1 + i , z2 = 1 – 2i. Hãy tính: z12 .z1 z2 ; 2z1 − z2 ; z1 z2 và
z2
z1

Bài 9: Thực hiện phép tính: a)
e)

3
1 + 2i

b)

1+ i
1− i

c)

m
i m

d)

a+i a
a −i a

a+i b
i a

Bài 10: Phân tích ra thừa số phức : a) a 2 + 1

b) 2a 2 + 3

c) 4a 2 + 9b2

d) 3a2 + 5b2
Bài 11: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều
kiện :
a) z + 1 + 2i ≤ 0

b) ( 1 − i ) z = ( 1 + i ) z

c) lg z + i ≤ 1

Bài 12: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z :

z =

d)

2

2

z − 2 + z + 2 = 26

1
= 1− z
z

Bài 13: Cho số phức z = a + bi . Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O, các
cạnh song song với các trục tọa độ có độ dài bằng 4. Hãy xác định điều kiện
của a và b để điểm biểu diễn của z:
a) Nằm trong hình vuông

b) Nằm trên đường chéo hình vuông.

15


Bài 14: X/định tập hợp các điểm M trên mphẳng phức biểu diễn các số phức

( 1 + i 3 ) z + 2 , trong đó

z −1 ≤ 2 .

Bài 15: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a)

b) 2iz − 1 = 2 z + 3

2i − 2 z = 2z − 1

Bài 16: Tìm các căn bậc hai của số phức : a) 6

b) -2

ĐS: a)

± 6

b) ± 2i
Bài 17: Giải các phương trình trong tập số phức: a) x 2 + 81 = 0

b) x 2 – x

+2=0
Phan 5

Luyen tap TNKQ

Câu 1. Tìm số phức liên hợp z của số phức: z = −1 + 2i.
A. z = −1 − 2i B. z = 1 + 2i C. z = 1 − 2i D. z = −2 + i
Câu 2. Tính mô đun z của số phức: z = 4 − 3i
A. z = 7
B. z = 5

C. z = 25 D. z = 7
Câu 3. Tìm số thực x, y thỏa: ( x + y ) + ( 2 x − y ) i = 3 − 6i
A. x = −1; y = 4
B. x = 1; y = −4
C. y = −1; x = 4

D. x = −1; y = −4

Câu 4. Thu gọn số phức z = ( 2 + 3i ) được:
2

A. z = −5 B. z = 11 + 6 2i C. z = −1 + 6 2i
D. z = −7 + 6 2i
Câu 5. Cho số phức z = 3 ( 5 − 4i ) + 2i − 1 . Modun của số phức z là:
A. 4 6
B. 14 − 10i C. 2 74
D. 2
Câu 6. Tìm số phức liên hợp z của số phức z = 3 ( 2 + 3i ) − 4 ( 2i − 1) .
A. z = 10 + i
B. z = 10 − i
C. z = 10 + 3i
D. z = 2 − i
z

1
Câu 7. Cho 2 số phức z1 = 3− 4i ; z2 = 4 − i . Số phức z = z bằng:
2

16 13
+ i.

25 25
5 + 4i
.
Câu 8. Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức z = 4 − 3i +
3 + 6i

A.

16 13
− i.
17 17

B.

8 13
− i.
15 15

C.

16 13
− i.
5 5

D.

16


73

17
, b= .
15
5
17
b=− .
5

A. a =

B. a =

−17
73
,b= .
5
15

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn

C. a =

73
17
, b = − i.
15
5

D. a =

73
,
15

z
+ z = 2 . Phần thực a của số phức w = z 2 − z là:
1 − 2i
C. a = 2
D. a = 1

A. a = −5
B. a = 3
Câu 10. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 z + 13 = 0 .Tính
2
2
P = z1 + z 2 ta có kết quả là:

A. P = 0 .
B. P = −22 .
C. P = 2 13.
D. P = 26 .
Câu 11. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 2 + 3z + 3 = 0 . Tính giá
trị biểu thức P =
A. P = −

z1 z2
+
z2 z1

7

i
2

B. P = −

8
3

C. P =

2 7

D.

3

P=−

3
2

Câu 12. Trong tập số phức. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình
z3 − 3z 2 + 8z − 6 = 0 .Tính P = z1 . z2 . z3 .
A. P = 6
B. P = 59

C. P = −4
D. P = 36
Câu 13. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa z = 2 và z 2 là số thuần ảo
 a = ±1

b = ±1

 a = ±1
b = 1

A. 

B. 

 a = −1
b = ±1

 a = ±1
b = −1

C. 

D. 

Câu 14. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện
z − i = 1 là:
A. Một đường thẳng
B. Một đường tròn
C. Một đoạn thẳng
D. Một hình vuông
Câu 15. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các
số phức z1 = -1+3i; z 2 = -3-2i, z 3 = 4+i . Tam giác ABC là:
A. Cân.
B. Đều. C. Vuông .
D. Vuông cân

Câu 16. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z − 2i = 3 là đường tròn tâm I . Tìm tất cả
1
.
5
D. m = 8; m = 9

các giá trị m để khoảng cách từ I đến d : 3 x + 4 y - m = 0 bằng

A. m = −7; m = 9
B. m = 8; m = −8
C. m = 7; m = 9
Câu 17. Trong tập số phức, phương trình z 2 + z + 1 = 0 có nghiệm là:
A.

z1,2 =

−1 ± 3
2

B. z1,2 = −1 ± i 3

C. z1,2 =

−1 ± i 3
2

D. Vô

nghiệm
Câu 18. Cho số phức z = 1− 3i . Tìm số phức z−1

17


A. z−1 =

1
3
+
i.
4 4

B. z−1 =

1
3
+
i.
2 2

C. z−1 = 1 + 3i.

D. z = 1+ 3i.

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện zi − ( 2 + i ) = 2 là
A. ( x − 1) 2 + ( y − 2 ) 2 = 4 B. ( x − 1) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4
C. ( x − 1) + ( y + 4 ) = 0 D. x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 3 = 0
Câu 20. Trên mặt phẳng Oxy,tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa
mãn điều kiện z = 2

A. Tập hợp các điểm M là một đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính là 2
B. Tập hợp các điểm M là một đường thẳng: x + y − 2 = 0
C. Tập hợp các điểm M là một đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính là 4
D. Tập hợp các điểm M là là một đường thẳng: x + y − 4 = 0
3
Câu 21. Tính môđun z của số phức z = 5 + 2i − ( 1 + i ) A. z = 41.
B. z = 5
2

2

C. z = 7. D. z = 3.
Câu 22. Biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện u = ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i) là một số thực.
Giá trị nhỏ nhất của |z| là
A. 10
B. 38
C. 2 2
D. 1
Câu 23. Trong mặt phẳng phức cho ΔABC vuông tại C . Biết rằng A, B lần lượt
biểu diễn các số phức : z1 = 2 − 2i ; z1 = −2 + 4i . Khi đó, C biểu diễn số phức:
A. z = 2 − 4i B. z = −2 + 2i
C. z = 2 + 4i D. z = 2 − 2i
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn: 2 z − 2 + 3i = 2i − 1 − 2 z .
Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là
A.d: 20 x − 16 y − 47 = 0 B. d’: 20 x + 16 y + 47 = 0 C.(C): 3 y 2 + 20 x + 2 y − 20 = 0 D. d’’:
−20 x + 32 y + 47 = 0

Câu 25. Tìm tích các nghiệm thuần ảo của phương trình z 4 + z 2 − 6 = 0
A. −6 B. 3
C. −2

D. −3

18


2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm :

Kết quả thử nghiệm cuối năm học 2014-2015 ,tôi đã chọn 30 học sinh dự thi
khối A ,tôi đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp

Giỏi

Khá

Trung

Yếu

bình
12C1

2

6,7%

8

26,7% 5

16,7%

15

50%

12C2

1

3,3%

5

16,7% 6

20%

18

60%

Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2015 - 2016 ,tôi đã chọn ngẫu
nhiên 30 học sinh dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp

Giỏi

Khá

Trung

Yếu

bình
12C5

10

33,3%

12

40 %

6

20 %

2

6,7%

12C7

8

26,7%

10

33,3%

5

16,6%

7

23,3%

Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2016 - 2017 ,tôi đã chọn ngẫu
nhiên 30 học sinh dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp

Giỏi

Khá

Trung

Yếu

bình
12C2

12

36,6%

12

40 %

4

17 %

2

6,7%

12C6

9

29,7%

10

33,3%

4

13,6%

7

23,3%

19


Rõ ràng qua ba năm thực hiện đề tài này, kết quả là học sinh học phần số
phức có tiến bộ rõ rệt.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1 Kết luận

Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho gian
đoạn hiện nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước
đang phát triển như Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáo dục cần
phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự nhiên điều
cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo viên chúng ta
nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được. Có như vậy, tình
trạng hỏng kiến thức cơ bản mới hạn chế và dần khắc phục được.Hy vọng
rằng với đề tài này có thể giúp học tự học và thích học phần số phức .
3.2 Kiến nghị

Đề tài này cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy 12.
Tuy nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc giả
chắc chắn đề tài sẽ đem lại nhiều lợi ích . Ngoài ra phương pháp giải các ví dụ
có thể chưa tối ưu cần sự góp ý bổ sung của bạn đọc.

20


Tài liệu tham khảo
1. Sgk giải tích 12 Nhà XBGD
2. Sách Bài tập Giải tích 12 Nhà XBGD
3. Các dạng toán và phương pháp giải Giải tích 12 ( Tự luận và trắc nghiệm)

Nhà XBGD

Thiệu hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2017
Ngươì thực hiện

Trương Thị Huệ

21


22