Một số dấu hiệu giải các bào toán trắc nghiệm về hệ số bậc 3, bậc 4 trùng phương dạng cho hàm số tìm đồ thị và ngược lại

I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ
thông là đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá. Việc đổi
mới phương pháp dạy học và phương pháp kiểm tra đánh giá môn Toán hiện nay
là nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong việc tiếp
thu kiến thức qua đó khai thác vận dụng những kỹ năng để giải toán.
Trong thời gian qua, việc Bộ giáo dục chuyển hình thức kiểm tra môn
toán từ tự luận sang trắc nghiệm khiến cho không ít giáo viên và học sinh gặp
khó khăn trong quá trình giải bài tập. Qua quá trình giảng dạy ở trường phổ
thông bản thân tôi cũng đã dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp
dạy nhiều đối tượng học sinh từ yếu, trung bình đến bồi dưỡng học sinh khá;
song, tôi nhận thấy rằng việc chuyển từ cách giải một bài toán từ tự luận sang
trắc nghiệm làm cho học sinh mất phương hướng, đặc biệt là đối với đối tượng
học sinh có học lực yếu, trung bình; để tìm ra đáp án đúng, đôi khi học sinh giải
bài toán đó như theo hướng tự luận mất rất nhiều thời gian, trong khi, yêu cầu
bình quân mỗi câu trắc nghiệm chỉ mất tối đa là gần 2,0 phút phải cho đáp số ở
những câu hỏi dạng nhận biết.
Đứng trước những vấn đề như vậy, làm thế nào để đáp ứng được nhu cầu
đổi mới hiện nay, làm cho học sinh có hứng thú trong học tập, không bị động
trước các bài toán ở mức độ nhận biết về hàm số;
Sau đây tôi xin giới thiệu một kinh nghiệm đó là: Một số dấu hiệu giải
các bài toán về hàm số bậc 3, bậc 4 trùng phương dạng: Cho hàm số tìm đồ
thị và ngược lại.
2. Mục đích nghiên cứu:
Tổng hợp kiến thức cơ bản về một lĩnh vực nhỏ của hàm số giúp học sinh
có học lực yếu, trung bình có thể giải được các bài tập trắc nghiệm một cách
nhanh chóng, chính xác.
3. Đối tượng nghiên cứu:
1

Một số dấu hiệu giải các bài toán về hàm số bậc 3, bậc 4 trùng phương
dạng: Cho hàm số tìm đồ thị và ngược lại.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Từ lý thuyết chung về hàm số bậc 3, bậc bốn trùng phương, xây dựng hệ
thống các dấu hiệu nhận biết để giải các bài tập có liên quan.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
1.1 Đối với hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d
Một số vấn đề về lý thuyết
a>0
y' = 0

a<0

có

hai
nghiệm
phân biệt
hay ∆ y > 0
/

y' = 0

có

hai
nghiệm
kép

hay

∆ y/ = 0

2


y' = 0

vô

nghiệm
hay ∆ y < 0
/

Chú ý: y(0) = c
Từ bảng tổng hợp trên nhận thấy:
- Khi a>0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi lên
- Khi a<0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi xuống
Từ dấu hiệu trên ta đã loại được một số phương án không phải là đáp số
đúng.
- y(0) = c
- Tuỳ vào PT y’=0 có nghiệm hay không để kết luận hàm số có hay không
có cực trị.
1.2. Đối với hàm số bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c
Một số vấn đề về lý thuyết
x = 0

3

2
+) Đạo hàm: y ' = 4ax + 2bx = 2x ( 2ax + b ) , y ' = 0 ⇔ 

2
 2ax + b = 0

+) Để hàm số có 3 cực trị: ab < 0
a > 0

- Nếu b < 0 hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

a < 0
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
b > 0

- Nếu 

+) Để hàm số có 1 cực trị ab ≥ 0
a > 0

- Nếu b ≥ 0 hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại


3


a < 0
hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu
b ≤ 0

- Nếu 

a>0

a<0

y ' = 0 có 3

nghiệm
phân

biệt

hay ab < 0
y' = 0

có

đúng

1

nghiệm
hay ab ≥ 0
Ngoài các dấu hiệu về cực trị, từ bảng tổng hợp trên ta nhận thấy:
- Khi a>0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi lên
- Khi a<0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi xuống
(hai điều trên trái ngược với hàm số bậc 3)
Từ dấu hiệu trên ta đã loại được một số phương án không phải là đáp số
đúng.

- y(0) = c
2. Thực trạng vấn đề
Ta gặp dạng bài toán: Cho hàm số: y = f (x) (bậc 3 hoặc bậc 4 trùng
phương) và 4 hình ảnh đồ thị, hãy tìm đồ thị của hàm số đã cho.
Hoặc: Cho 1 hình ảnh đồ thị và 4 hàm số, tìm hàm số có đồ thị tương ứng
Nếu giải nhanh bài toán trên theo các bước khảo sát để tìm ra đồ thị thì
quả thật mất rất nhiều thời gian.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1. Các ví dụ về hàm số bậc 3 y = ax 3 + bx 2 + cx + d

4


Ví dụ 1: Đồ thị hình bên là của hàm
số nào ?

2

A. y = x 3 + 3x

1
5

B. y = x − 3x
3

-2

C. y = − x + 2x
3

-4

D. y = − x − 2x
3

Từ đồ thị suy ra a>0 vậy C, D bị loại.
Vấn đề tiếp theo dựa vào đâu để chọn A hoặc B? Cả 4 hàm số đầu có đồ thị đi
qua O (tức cắt Ox, Oy tại O), nên không thể dựa vào dấu hiệu tương giao giữa
đồ thị với Ox, Oy.
Nhìn vào đồ thị, ta thấy hoành độ cực trị là -1 và 1, từ đó đáp án đúng là B
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 2 có dạng:
A.

B.

C.

y
3

3

2

2

1

1

y

-2

-1

1

2

3

-2

-1

4

1

3
x

x
-3

y

2

x
-3

D.

y

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

2

3

-1

1
x

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-1

-3

-3

-4

-2

-3

-2

-1

1

2

3

Từ hàm số ta có a>0 nên A, C bị loại.
Vấn đề tiếp theo dựa vào đâu để chọn B hoặc D?
Nhìn vào 2 đồ thị B, D, chúng đều có các hoành độ cực trị là -1 và 1, nếu
tính tung độ cực trị chắc chắn sẽ tìm được phương án đúng nhưng mất nhiều
thời gian. Để ý thấy y(0) = 2, quan sát vào B, D suy ra Đáp án đung là D
Ví dụ 3:

5


Đồ thị hình bên là của hàm số nào ?
2

A. y = − x 3 + 1
B. y = −2x 3 + x 2

1

C. y = 3x 3 +1
-2

D. y = −4x 3 + 1
Từ đồ thị ta có a<0 suy ra C bị loại

Nếu dựa vào tương giao với trục tung thì y(0) = 1 suy ra B bị loại, Còn A và D
cả hai hàm đều không có cực trị.
Quan sát tương giao với trục hoành, đồ thị cắt ox tại điểm có hoành độ x = 1,
suy ra đáp án là A.
Ví dụ 4: Đồ thị hình bên là của hàm
2

số nào ?
1
3

A. y = x 3 − x 2 + x
1
3

1

B. y = x 3 − x 2 + x − 1
-2

C. y = − x 3 + 3x 2 − 3x
D. y = x 3 − 3x 2 + 3x − 2
Từ đồ thị ta có a>0 suy ra C bị loại,
nhận thấy y(0)=0 suy ra đáp án A
Ví dụ 5: Đồ thị hình bên là của hàm
số nào ?
2

A. y = x − 3x + 3x + 1

3

2

B. y = − x 3 + 3x 2 + 1

1
O

1

C. y = x − 3x + 1
3

D. y = − x 3 − 3x 2 − 1
Từ đồ thị ta có a>0, suy ra B, D bị loại.
6


Nếu xét y(0) = 1 đều đúng cho cả A và C suy ra không loại tiếp được
Nếu xét tương giao với Ox thì đồ thị cắt Ox tại điểm có hoành độ không nguyên
Trong trường hợp này ta dựa vào dấu hiệu có cực trị hay không có cự trị bằng
cách quan sát đồ thị và tính nhanh y’ của một trong hai hàm số A hặc C, từ đó
đáp án đúng là A.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ
thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. a < 0,b > 0,c > 0,d < 0
B. a < 0,b < 0,c > 0,d < 0
C. a > 0,b < 0,c < 0,d > 0

D. a < 0,b > 0,c < 0,d < 0
Từ đồ thi suy ra a<0, vậy loại C.
Từ đồ thị suy ra hàm số có 2 cực trị và hoành độ các điểm cực trị trái dấu
Tức y ' = 3ax 2 + 2bx + c có hai nghiệm phân biệt trái dấu ĐK là: a.c< 0 do a<0 suy
ra c>0
Từ đồ thị, Ta có hoành độ điểm uốn dương
b
Tức là y" = 6ax+ 2b có nghiệm dương hay: − > 0 , do a<0 suy ra b>0
3a

Vậy đáp án A.
Qua một số ví dụ trên, ta có các bước nhận biết về dấu hiệu để giải
các bài tập dạng trên:
Bước 1: Xác định dấu hệ số a và dựa vào: Khi a>0, từ trái qua phải đồ thị
bắt đầu đi lên. Khi a<0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi xuống để loại đi các
hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không phù hợp.
Bước 2: Xác định tương giao với Oy: y(0)=c, quan sát hàm số hoặc đồ thị
để loại tiếp các phương án không phù hợp

7


Bước 3: Xác định trên đồ thị sự tương giao với ox (nếu hoành độ điểm
tương giao x0 có giá trị nguyên) kiểm tra y( x0 )=0 cho ra đáp án đúng.
Chú ý: Nếu x0 không nguyên thì không xét bước 3.
Bước 4: Nếu bước 2, 3 không tìm được đáp án đúng khi đó ta xem xét
đến hàm số có cực trị hay không, kiểm tra hoành độ các điểm cực trị từ đó cho
ra đáp án đúng.
Bước 5: Nếu các yếu tố trên vẫn chưa tìm được đáp án đúng ta chú ý đến
điểm uốn của đồ thị hàm số, từ đó cho kết luận.

3.2. Các ví dụ về hàm số bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c
Ví dụ 1: Đồ thị hình bên là của hàm
2

số nào ?
A. y = − x 4 + 3x 2 + 1

1

B. y = x 4 − 2x 2 + 1
C. y = − x 4 + 2x 2 + 1

-2

D. y = x 4 + 3x 2 + 1
Từ đồ thị nhận thấy a<0 suy ra B, D bị loại.
Từ đồ thị, nhận thấy hàm số có 3 cực trị tức a.c<0 điều này đúng cho cả A và C
vậy không tìm được phương án đúng.
Nếu dựa vào y(0)=1 đều đúng cho cả A và C nên không tìm được phương án
đúng.
Trong trường hợp này ta dựa vào hoành độ các điểm cực trị. Nhìn vào đồ thi,
hàm số có các điểm cực trị là: x=0, x=1, x=-1. Vậy kiểm tra nhanh PT y’=0 ta
được đáp án là C.

8


Ví dụ 2: Đồ thị hình bên là của hàm
số nào ?
A. y = − x 4 + 4x 2 − 1

B. y = x 4 − 2x 2 − 1
C. y = x 4 − 2x 2 + 1
D. y = −x 4 + 4x 2 +1
Nhìn vào đồ thi suy ra a>0, vậy loại A, D.
Nhận thấy a.c<0 đều đúng cho cả B, C vậy không tìm được phương án đúng.
Từ đồ thị có y(0)= -1 điều này đúng cho B, vậy đáp án là B.
Ví dụ 3: Đồ thị hình bên là của hàm
số nào ?
A. y = x 4 + 2x 2 − 1
B. y = − x 4 − 2x 2 − 1
C. y = x 4 + 2x 2 + 1
D. y = − x 4 + 2x 2 − 1
Từ đồ thị suy ra a<0, vậy loại A, C.
Từ đồ thị, hàm số có 3 cực trị tức a.c<0 điều này đúng cho D. Vậy đáp án là D
Ví dụ 4: Đồ thị hình bên là của hàm số

4

nào ?
A. y = x 4 − 3x 2
1
4

B. y = − x 4 + 3x 2
C. y = − x 4 − 2x 2

2

2

-2
- 2

O

2

-2

D. y = − x 4 + 4x 2
Từ đồ thị suy ra a<0, vậy loại A.
Từ đồ thị ta có hàm số có 3 cực trị vậy a.c<0 suy ra loại C
Cả B và D đều thoã mãn có 3 cực trị, y(0)=0 vậy dựa vào các dấu hiệu này
9


không chọn được phương án đúng.
Trong trường hợp này, ta dựa vào tương giao giữa đồ thị hàm số và trục hoành.
Nhận thấy, đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ x=-2, x=0, x=2 điều này
chỉ có D thoả mãn. Vậy đáp án D.
Ví dụ 5: Đồ thị hình bên là của hàm
số nào ?

2

A. y = x 4 − 3x 2 − 1
1
4

-1

B. y = − x 4 + 3x 2 − 1

1

O

C. y = x 4 + 2x 2 − 1

-1
-2

D. y = x 4 − 2x 2 − 1

Nhìn vào đồ thi, hàm số có 1 cực trị tức a.c≥ 0 vậy chọn C
Ví dụ 6: Đồ thị hàm số y = −
A.

x4
+ 2x 2 − 1 có dạng:
4

B.

C.
y

y

y

3

3

3

2

2

2

2

1

1

x
-2

y

3

1
-3

D.

-1

1

2

3

1

x
-3

-1
-2
-3

-2

-1

1

2

3

x
-3

-2

-1

1

2

3

x
-3

-2

-1

1

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

2

Từ hàm số có y(0)=-1 vậy đáp án là C
Ví dụ 7: Đồ thị hàm số y = − x 4 + 2x 2 − 1 có dạng:
A.

B.

C.

D.

10

3


y

y

y

2

2

2

2

1

1

1

1

x
-2

y

-1

1

2

x
-2

-1

1

2

x
-2

-1

1

2

x
-2

-1

1

-1

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-2

2

Từ hàm số ta có:
y(0)=-1 vậy loại A, B.
a.c<0 vậy hàm số có 3 cực trị suy ra chọn D
Qua một số ví dụ trên, tuỳ vào từng bài tập khác nhau khi giải cần
kiểm tra nhanh các dấu hiệu sau:
- Kiểm tra nhanh y(0) để loại đi các hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không
phù hợp.
- Xác định dấu hệ số a và dựa vào: Khi a>0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu
đi xuống. Khi a<0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi lên để loại đi các hàm số
(hoặc đồ thị hàm số) không phù hợp.
- Xác định dấu a.c để loại đi các hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không phù
hợp.
- Nếu các yếu tố trên không loại được hết thi khi đó nghĩ đến tương giao
của đồ thị hàm số với Ox hoặc hoành độ các điểm cực trị.
4. Hiệu quả của sáng kiến
Trong quá trình giảng dạy, khi hướng dẫn học sinh làm bài tập theo các
bước trên, đối với học sinh có học lực yếu, trung bình, các em đã tự mình phân
tích các dấu hiệu và đưa ra được đáp án đúng cho tất cả các bài tập.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Qua hệ thống lí thuyết và một số bài tập về một lĩnh vực nhỏ của hàm số
bậc 3, hàm số bậc 4 dạng trùng phương; đó là tìm hàm số khi biết đồ thị và
ngược lại. Đối với học sinh có lực học yếu, trung bình, nếu nắm chắc các dấu

11


hiệu thì có thể giải quyết tốt các dạng bài tập trên.
Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi mà trong quá trình giảng dạy tôi đã
xây dựng nên, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để
tôi có thể dạy cho học sinh chuyên đề này có hiệu quả hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Nông cống, ngày 7 tháng 5 năm 2017
NGƯỜI THỰC HIỆN

NGỌ THỊ GIANG HÀ

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Nông Cống, ngày 7 tháng 5 năm 2017

ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

NGỌ THỊ GIANG HÀ

12