Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết các bài toán về tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất

MỤC LỤC
I.MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài………………………………….........................1
1.2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………..1
1.3.Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….1
1.4.Phương pháp nghiên cứu……………………………....................1
II.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………………2
2.1.Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………………2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……3
2.3.Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề………………………3
2.3.1.Nội dung hướng dẫn học sinh…………………………………..3
2.3.2.Bài tập củng cố…………………………………………………17
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ,
với bản thân,đồng nghiệp và nhà trường …………………………..19
III.KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ…………………………………………..20
3.1.Kết luận…………………………………………………………..20
3.2.Kiến nghị…………………………………………………………20
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………21

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Tr
ang 1


Ở các lớp dưới ,học sinh mới chỉ tính toán ,giải toán trên tập số
thực.Lên lớp 12 các em phải tính toán và giải toán trên tập số phức
Số phức là một nội dung mới trong các đề thi Đại học ,Cao đẳng và
thực sự gây không ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế.
Các bài toán về số phức liên quan đến nhiều kiến thức của lớp
dưới,đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức như giải phương trình,hệ

phương trình ,bài toán tìm GTLN,GTNN,bài toán hình giải tích trong mặt
phẳng và phải thấy được mối liên hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới ,từ
đó biết qui lạ thành quen.
Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng
biểu diễn số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh. Các em
chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun
của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình
đường thẳng, đường tròn, đường Elíp,... thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán
trên.Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơ
bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm,
lượng giác, bài toán cực trị trong hình học,.. để từ đó giải quyết được bài
toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho
trước”.
Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy
logíc của mình. Riêng bản thân, ở mỗi tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăn
trở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối
tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách
thụ động. Đồng thời nâng cáo trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh.
Trong những năm gần đây, bài toán có liên quan đến số phức đã có mặt
trong các đề thi THPT Quốc gia. Đặc biệt, năm học 2016- 2017, lần đầu tiên
Bộ giáo dục đào tạo chuyển hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm đối với
môn Toán, và số lượng bài toán tìm số phức z để môđun lớn ,nhất nhỏ nhất
đã xuất hiện nhiều hơn qua các đề minh họa và thử nghiệm của Bộ. Điều đó
không chỉ gây lúng túng, khó khăn cho học sinh mà còn gây trăn trở cho
giáo viên trong việc giảng dạy các dạng toán này. Bởi vậy, tôi mạnh dạn lựa
chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Lớp 12 giải quyết
các bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất’’.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích hướng tới giải quyết
các vấn đề sau:

-Định hướng giải và phân dạng các bài tập thường gặp
-Xây dựng một số bài toán trắc nghiệm ứng dụng trong quá trình học
tập và thi THPTQG của học sinh
-Rèn luyện kỹ năng làm toán thông qua hệ thống bài toán viết dưới
dạng trắc nghiệm có hướng dẫn và hệ thống bài tập tự rèn luyện
-Đề xuất một phương án khai thác trong dạy học ,nhằm góp phần gây
hứng thú học tập đối với học sinh
1.3.Đối tượng nghiên cứu
Tr
ang 2


- Học sinh khối 12 THPT ôn thi THPT quốc gia
- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT
1.4.Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích chọn đề tài ,trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử
dụng một số phương pháp sau:
1.4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình
nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài.
1.4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan.
+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và
khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn.
1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và
hiệu quả của giải pháp đề ra.

Tr
ang 3

II. NỘI DUNG
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Mục đích của dạy học toán là cung cấp cho học sinh những kiến
thức phổ thông,những kiến thức cơ bản từ đó rèn luyện tư duy logic, phát triển
năng lực tìm tòi sáng tạo góp phần tạo thế giới ,nhân sinh quan đối với học
sinh.
Bài toán “Tìm số phức để môđun đạt GTLN,GTNN” có nhiều
phương pháp giải ,yêu cầu cần phải từ giả thiết bằng những kiến thức đã học
có thể chuyển về những bài toán tìm GTLN,NN đã học ,rồi sử dụng các công
cụ đạo hàm ,khảo sát hàm số,lượng giác ,hình học phẳng…
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh bậc trung học
phổ thông hiện nay. Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất ít
tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng
bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa còn nhiều
hạn chế. Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh
gặp không ít những khó khăn.
Trước đây trong các đề thi ít đề cập đến phần tìm ra được môđun số
phức lớn nhất, nhỏ nhất.Đa phần giáo viên chỉ giới thiệu và hướng dẫn học
sinh một số ít bài tập .Học sinh cũng chỉ một số ít quan tâm và số đông các
em chỉ học những phần liên quan đến thi cử, các em khá lúng túng khi sử
dụng các kiến thức đã học để xử lý các bài toán này,
+ Nhận dạng và sử dụng kiến thức ứng dụng chưa nhanh nhạy
+ Chưa có thói quen tự nghiên cứu và kiểm tra lời giải
+ Chưa biết hệ thống và phân loại các loại bài tập nhằm rèn kỷ năng
Với hình thức trắc nghiệm trong kì thi THPTQG ta thấy một thực tế là dạng
toán tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất vẫn có trong các đề thi
Bên cạnh đó, bài toán tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn
số phức z và bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất có quan hệ

mật thiết vơi nhau. Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này tôi nhận thấy
vẫn còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểm
biểu diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thông thường là đường
thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol,...Nhiều học
sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán tìm số phức có môđun
lớn nhất, nhỏ nhât. Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm
được tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất
đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng: đường thẳng,
đường tròn, Elíp, ...để từ đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất.
Tra
ng 4


2.3. Các giải pháp.
Để hướng dẫn cho học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các
bài toán “Tìm số phức z để môđun lớn nhất, nhỏ nhất”tôi đã hướng dẫn học
sinh thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô
hình Toán học cho vấn đề đang xét
Đây là bước quan trọng,từ giả thiết của bài toán và các mối liên hệ ta
xây dựng,thiết lập và biểu diễn chúng dưới dạng các biến số,lập hàm số tìm
các điều kiện tồn tại của chúng
Bước 2: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài
toán ở bước 1
Với các kiến thức đã học ta vận dụng giải quyết bài toán như: sử
dụng công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số hoặc áp dụng công thức lượng
giác, giải phương trình, các bài toán hình học phẳng…và giải quyết bài toán
hình thành ở bước 1.Và đặc biệt tôi luôn lưu ý các em về các điều kiện ràng
buộc của biến số và hướng dẫn các em sử dụng CASIO để tính toán
nhanh,chính xác và tiết kiệm thời gian.

Bước 3:Kiểm tra kểt quả thu được ở bước 2 rồi rút ra kết luận
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Số phức
Định nghĩa: Sô phức là một biểu thức dạng a+bi,trong đó a,b là các số thực
và số i thoả mãn i 2 = −1
Kí hiệu: z=a+bi
i:đơn vị ảo
a:Phần thực
b:Phần ảo
Chú ý:
z=a+0i được gọi là số thực (a ∈ R)
z=0+bi được gọi là số ảo (b ∈ R)
0=0+0i vừa là số thực vừa là số ảo
Biểu diễn hình học của số phức:
M(a,b) biểu diẽn số phức z ⇔ z = a + bi
2.Hai số phức bằng nhau
Cho hai số phức z1 = a + bi; z2 = a '+ b ' i với a, b, a ', b ' ∈ R
a = a '
z1 = z2 ⇔ 
b = b '

Tra
ng 5


3.Cộng và trừ số phức
+Cho hai số phức z1 = a + bi; z2 = a '+ b ' i với a, b, a ', b ' ∈ R
z1 + z2 = (a + a ') + (b + b ')i
z1 − z2 = ( a − a ') + (b − b ')i

+Số đối của z = a + bi là − z = −a − bi
4.Nhân hai số phức
Cho hai số phức z = a + bi; z2 = a '+ b ' i với a, b, a ', b ' ∈ R
z.z ' = ( a.a '− b.b ') + (ab '+ a ' b)i
_

5.Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi
=

_

_

_

_

_

_

z = z ; z + z ' = z + z ' ; z.z ' = z . z '
_

_

z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z
6.Môđun của số phức z=a+bi
_
uuuu

r
| z |= a 2 + b 2 = z. z =| OM | ;| z |≥ 0 ∀z ∈ C ;| z |= 0 ⇔ z = 0
| z.z ' |=| z | . | z ' | ; | z + z ' |≤| z | + | z ' | ∀z, z ' ∈ C

7.Chia hai số phức khác 0
1

_

−1
Số phức nghịch đảo của z ( z ≠ 0) : z = | z |2 z

z'

z' z

z' z

−1
Thương của z’ chia cho z ( z ≠ 0) : z = z ' z = 2 = z z
z

Với

z'
= w ⇔ z ' = wz.
z

 z' 
z

,  =

z'
z'
=
z
z

z'
,
z

B. MỘT SỐ KIẾN THỨC ÁP DỤNG
1.Bất đẳng thức :Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực
Với 4 số thực a,b,c,d ta có : (ab + cd )2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
2.Định lý về dấu tam thức bậc hai
3.Sự đồng biến ,nghịch biến của hàm số và bảng biến thiên
4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng,đường thẳng và đường
tròn
5.Tính chất của hàm số lượng giác
6.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp
Tra
ng 6


+Phương trình đường thẳng :ax+by+c=0
+Phương trình đường tròn (x-a)2+(y-b)2=R2
+Phương trình đường Elip:

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

C. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT
Tìm số phức z có môđun lớn nhất(hoặc nhỏ nhất) thoả mãn điều
kiện cho trước
Phương pháp chung:
Bước 1:Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện
Bước 2:Tìm số phức z tương ứng với điểm M thuộc (G) sao cho OM có giá trị
lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
Ngoài ra ta xét ba bài toán sau:
Bài toán 1: Cho đường tròn (T) cố định có tâm I,bán kính R và điểm A cố
định .Điểm M di động trên đường tròn (T). Hãy xác định vị trí của điểm M
sao cho AM lớn nhất,nhỏ nhất
Bài giải:
• TH1:A thuộc đường tròn (T)
Ta có :AM đạt GTNN bằng 0 khi M trùng với A
AM đạt GTLN bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I
• TH2:A không thuộc đường tròn (T)
Gọi (d) là đường thẳng đi qua hai điểm
A và I. Gọi B,C là giao điểm của đường
thẳng d và đường tròn (T) ,giả sử AB+Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì
với điểm M bất kì trên (T) ta có:
AM ≥ AI − IM = AI − IB = AB .
Đẳng thức xáy ra khi M trùng B

AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC

.Đẳng thức xáy ra khi M trùng C
+Nếu A nằm trong đường tròn (T)
thì với điểm M bất kì trên (T) ,ta có
AM ≥ IM − IA = IB − IA = AB .
Đẳng thức xáy ra khi M trùng B
AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC .
Đẳng thức xáy ra khi M trùng C
Tra
ng 7


Vậy khi M trùng với B thì AM đạt GTNN
Khi M trùng với C thì AM đạt GTLN
Bài toán 2: Cho hai đường tròn (T1) có tâm I, bán kính R1; đường tròn (T2) có
tâm J, bán kính R2.Tìm ví trí của điểm M trên (T1), điểm N trên (T2) sao cho
MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài Giải
-Gọi d là đường thẳng đi qua I,J
d cắt đường tròn (T1) tại hai
điểm A,B ( giả sử JA > JB ),
d cắt (T2) tại hai điểm C,D
(giả sử ID > IC )
-Với điểm M bất kì trên (T1)
và điểm N bất kì trên (T2),ta có :
+ MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + JN = R1 + R2 + IJ = AD
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
+ MN ≥ | IM − IN | ≥ | IJ − IM − IN | = | IJ − R1 − R2 | = BC
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C

Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt GTLN, Khi M trùng với
B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất
Bài toán 3:Cho đường tròn (T) có tâm I,bán kính R,đường thẳng ∆ không có
điểm chung với (T). Tìm vị trí điểm M trên (T) ,điểm N trên ∆ sao cho MN
đạt giá trị nhỏ nhất
Giải :
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của I trên ∆ .Đoạn IH cắt (T) tại J
Với N thuộc đường thẳng ∆ ,M
thuộc đường tròn (T) ,ta có :
MN ≥ IN − IM ≥ IH − IJ = JH =const.
Đẳng thức xáy ra khi N trùng H,
M trùng J
Vậy khi M trùng H ,N trùng J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất
D. BÀI TẬP MINH HOẠ
Dạng 1:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn
Tra
ng 8


Bài 1: Cho số phức z thoả mãn | z − 3 + 4i |= 4 .Tìm số phức z có môđun lớn
nhất,nhỏ nhất
27 36
3 4
− i ;z = − i
5
5
5 5
27 36
3 4

C. z = − + i ; z = − i
5
5
5 5

A. z =

27 36
3 4
+ i ;z = − i
5
5
5 5
27 36
3 4
D. z = + i ; z = + i
5
5
5 5

B. z =

Bài giải
• Cách 1: Phương pháp lượng giác hoá
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) .
Khi đó | z − 3 + 4i |= 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 16
 x = 3 + 4sin t
. Khi đó
 y = −4 + 4cost

Đặt 

| z |2 = OM 2 = x 2 + y 2 = (3 + 4sin t ) 2 + (−4 + 4 cos t ) 2 = 41 + 8(3sin t − 4cost )
Vì −5 ≤ 3cost − 4sin t ≤ 5 nên 1 ≤| z |≤ 9
27 36
Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z = − i
5
5
3 4
Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi z = − i
5 5

Chọn phương án A
• Cách 2:Dùng bất đẳng thức Bun-nhi-a-cốp-xki
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) .Khi đó
| z − 3 + 4i |= 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 16

Mặt khác
| z |2 = OM 2 = x 2 + y 2 = ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 + 6 x − 8 y − 25 = [6( x − 3) − 8( y + 4)] + 41

Áp dụng bất đẳng thức Bun-nhi-a-cốp-xki,ta có
−40 ≤ [6( x − 3) − 8( y + 4)] ≤ 40 ⇔ 1 ≤| z |≤ 9

27 36
− i
5
5
3 4
Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi z = − i
5 5

Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z =

Chọn phương án A
• Cách 3:Qui về bài toán 1
Tra
ng 9


Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) .Khi đó
| z − 3 + 4i |= 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 16

Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm
I(3;-4),bán kính R=4
| z |= x 2 + y 2 = OM ; OI = 5 > R nên O nằm ngoài đường tròn (T)
|z| lớn nhất (nhỏ nhất) khi OM lớn nhất (nhỏ nhất)
Phương trình đường thẳng OI là 4x+3y=0
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm A,B có toạ độ là
nghiệm của hệ phương trình
27
36

x= ;y=−

( x − 3) + ( y + 4) = 16
3 4
27 36
5
5
⇔

⇒ A( ; − ); B( ; − )

5 5
5
5
x = 3 ; y = − 4
4 x + 3 y = 0

5
5
2

2

Với mọi điểm M thuộc đường tròn (T) thì OA ≤ OM ≤ OB ⇔ 1 ≤| z |≤ 9
27 36
− i
5
5
3 4
Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi z = − i
5 5

Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z =

Chọn phương án A
• Cách 4: Định lý về dấu tam thức bậc hai
Đặt t = x 2 + y 2 (t ≥ 0)
Ta có ( x − 3)2 + ( y + 4)2 = 16 ⇔ x 2 + y 2 + 9 = 6 x − 8 y
Vì | 6 x − 8 y |≤ 5t suy ra t 2 + 9 ≤ 10t ⇔ 1 ≤ t ≤ 9

27 36
− i
5
5
3 4
Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi z = − i
5 5

Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z =

Chọn phương án A
• Cách 5:Phương pháp hình học
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức
z = x + yi ( x, y ∈ R) .Khi đó
| z − 3 + 4i |= 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 4
⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 16

Tra
ng 10


Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc
đường tròn (T) có tâm I(3;-4),bán kính R=4
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai
điểm A,B như hình vẽ
Ta có | z |min ⇔ M trùng với A trên (T) gần O
nhất
Kẻ AH ⊥ Ox ,theo định lý Talet ta có

AH OA OI − R 1

4
3
=
=
= ⇒ AH = ⇒ OH =
4
OI
OI
5
5
5
3 4
Vậy z = − i
5 5

Tương tự M trùng với điểm B trên (T) ở xa O nhất suy ra z =

27 36
− i
5
5

27 36
− i
5
5
3 4
Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi z = − i
5 5

Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z =

Chọn phương án A
• Cách 6: Sử dụng bất đẳng thức tam giác
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) .
Gọi ω = 3 − 4i ⇒ A(3, −4) biểu diễn cho số phức ω
|z|=OM, | ω |= OA = 5;| z − ω |= AM ;| z − 3 + 4i |= 4 ⇔| z − ω |= 4 ⇔ AM = 4
Ta có
| OM − OA |≤ AM ⇔ −4 ≤ OM − OA ≤ 4 ⇔ −4 + OA ≤ OM ≤ 4 + OA ⇔ 1 ≤ OA ≤ 9
⇒ 1 ≤| z |≤ 9
27 36
− i
5
5
3 4
Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi z = − i
5 5

Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z =

Chọn phương án A

Bài 2: (Qui về bài toán 2)
Tra
ng 11


Cho các số phức z1 , z2 thoả mãn : | z1 − 1 − i |= 1;| z2 − 6 − 6i |= 6 ,tìm số phức z1 , z2
sao cho | z1 − z2 | đạt giá trị lớn nhất
2− 2 2− 2

+
i; z2 = 6 + 3 2 − (6 + 3 2)i
2
2
2− 2 2− 2
−
i; z2 = 6 + 3 2 + (6 + 3 2)i
B. z1 =
2
2
2− 2 2− 2
+
i; z2 = 6 + 3 2 − (6 + 3 2)i
C. z1 =
2
2
2− 2 2− 2
+
i; z2 = 6 + 3 2 + (6 + 3 2)i
D. z1 =
2
2

A. z1 = −

Bài giải
Gọi z1 = a + bi; z2 = c + di (a, b, c, d ∈ R )
z1 được biểu diễn bởi điểm M(a,b); z2 được biểu diễn bởi điểm N(c,d)
trong mặt phẳng toạ độ Oxy
| z1 − 1 − i |= 1 ⇔| z1 − 1 − i |2 = 1 ⇔ (a − 1) 2 + (b − 1) 2 = 1 suy ra M thuộc đường

tròn tâm I(1,1),bán kính R=1
| z2 − 6 − 6i |= 6 ⇔| z2 − 6 − 6i |2 = 36 ⇔ (c − 6) 2 + ( d − 6) 2 = 36 suy ra N thuộc
đường tròn tâm J(6,6),bán kính R’=6
| z1 − z 2 |= (c − a) 2 + ( d − b) 2 = MN

Đường thẳng IJ có phương trình y=x,đường thẳng IJ cắt đường tròn
tâm I tại hai điểm M 1 (

2− 2 2− 2
2+ 2 2+ 2
;
); M 2 (
;
)
2
2
2
2

Đường thẳng IJ có phương trình y=x,đường thẳng IJ cắt đường tròn
tâm J tại hai điểm N1 (6 − 3 2;6 − 3 2); N 2 (6 + 3 2;6 + 3 2)
M 2 N1 ≤ MN ≤ M 1 N 2 ⇔ 5 2 − 7 ≤| z1 − z2 |≤ 5 2 + 7
Max | z1 − z2 |= 5 2 + 7 ⇔ M ≡ M 1 ; N ≡ N 2

Vậy z1 =

2− 2 2− 2
+
i ; z2 = 6 + 3 2 + (6 + 3 2)i thì | z1 − z2 | đạt GTLN
2

2

Chọn phương án D

Bài 3(Qui về bài toán 3)
Tra
ng 12


_

Cho các số phức z1 , z2 thoả mãn : | z1 |= 1; z2 [ z2 − (1 − i )] − 6i + 2 là một số
_

_

thực .Tìm số phức z1 , z2 sao cho P =| z2 |2 −( z1 z2 + z1 z2 ) đạt giá trị nhỏ nhất
2
+
2
2
+
C. z1 =
2

A z1 = −

2
i; z2 = 3 + 3i
2

2
i; z2 = 3 + 3i
2

2
2
−
i; z2 = 3 − 3i
2
2
2
2
+
i; z2 = 3 − 3i
D. z1 =
2
2

B. z1 =

Bài giải
Gọi z1 = a + bi; z2 = c + di;(a, b, c, d ∈ R ) ⇒ M (a, b); N (c, d ) lần lượt biểu diễn
cho z1 , z2 trong hệ toạ độ Oxy
| z1 |= 1 ⇔ a 2 + b 2 = 1 ⇔ a 2 + b 2 = 1

suy ra M thuộc đường tròn (T) có tâm O,bán kính R=1
_

ω = z2 [ z2 − (1 − i )] − 6i + 2 = c(c − 1) + d (d + 1) + 2 + [c(d + 1) − d (c − 1) − 6]i
ω là một số thực

⇔ c(d + 1) − d (c − 1) − 6 = 0 ⇔ c + d − 6 = 0 ⇔ N ∈ ∆ : x + y − 6 = 0
Vì d (O; ∆) > 1 nên ∆ và (T) không có điểm chung
_

_

_

_

z1 z2 = ac + bd + (bc − ad )i; z1 z 2 = ac + bd + (−bc + ad )i ⇒ z1 z2 + z1 z 2 = 2(ac + bd )
P = c 2 + d 2 − 2(ac + bd ) = (c − a) 2 + (b − d ) 2 − 1 = MN 2 − 1 vì ( a 2 + b 2 = 1 )

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆ : x + y − 6 = 0 ⇒ H (3,3)
Đoạn OH cắt đường tròn (T) tại I (

2 2
;
)
2 2

Với N thuộc đường thẳng ∆ ,M thuộc đường tròn (T),ta có
MN ≥ ON − OM ≥ OH − OI = IH = 3 2 − 1 .Đẳng thức xảy ra khi
z1 =

2
2
+
i; z2 = 3 + 3i
2

2

Vậy P đạt GTNN bằng 18 − 3 2 ⇔ z1 =

2
2
+
i; z2 = 3 + 3i
2
2

Chọn phương án C

Dạng 2:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

Tra
ng 13


Bài 4:Trong các số phức z thoả mãn |z-2-4i|=|z-2i|.Tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất
A. z = 2 − 2i
B. z = 2 + 2i
C. z = −2 − 2i
D. z = −2 + 2i
Bài giải
• Cách 1:
Giả sử z = x + iy ( x, y ∈ R )
| z − 2 − 4i |=| z − 2i |⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = x 2 + ( y − 2) 2 ⇔ x + y − 4 = 0 ⇔ y = 4 − x
| z |= x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2 = 2 x 2 − 8 x + 16 = 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2

Đẳng thức xảy ra khi x=2,y=2
Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 khi z = 2 + 2i
Chọn phương án B
• Cách 2:
Giả sử z = x + iy ( x, y ∈ R )
| z − 2 − 4i |=| z − 2i |⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = x 2 + ( y − 2) 2 ⇔ x + y − 4 = 0 (d)
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z thì | z |min ⇔ OM min ⇔ OM ⊥ (d )
⇔ M (2, 2) ⇒ z = 2 + 2i
Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 khi z = 2 + 2i

Chọn phương án B
• Cách 3: Giả sử z = x + iy ( x, y ∈ R)
| z − 2 − 4i |=| z − 2i |⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = x 2 + ( y − 2) 2 ⇔ x + y − 4 = 0 ⇔ y = 4 − x
| z |= x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2 = 2 x 2 − 8 x + 16
2x − 4
2
=0⇒ x=2
Xét hàm số y = 2 x − 8 x + 16 ⇒ y ' =
2 x 2 − 8 x + 16
⇒ y = 2 ⇒ z = 2 + 2i
Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 khi z = 2 + 2i

Chọn phương án B
• Cách 4:Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi ( x; y ∈ R)
| z − 2 − 4i |=| z − 2i |⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = x 2 + ( y − 2) 2 ⇔ x + y − 4 = 0
⇔ 16 = ( x + y ) 2 ≤ 2( x 2 + y 2 ) ⇔ x 2 + y 2 ≥ 8 ⇔| z |min = 2 2 ⇔ z = 2 + 2i

Chọn phương án B

Dạng 3:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elip
Tra
ng 14


Bài 5:Trong các số phức z thoả mãn điều kiện | z − 3 | + | z + 3 |= 10 .Tìm số phức
z có môđun lớn nhất
A. z = 5i; z = −5
B. z = 5; z = −5i
C. z = −5i; z = 5i
D. z = 5; z = −5
Bài giải
Trong mặt phẳng Oxy,gọi các điểm M,F1,F2 lần lượt biểu diễn các số
phức z,3,-3 suy ra M(x,y);F1(3,0);F2(-3,0) , F1 ; F2 ∈ Ox
| z − 3 | + | z + 3 |= 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10; F1F2 = 6

Vậy tập hợp các điểm M là Elip có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài
trục bé bằng 4 suy ra phương trình Elip :
• Cách 1:
Ta có | z |= OM = x 2 + y 2 = 9 +

x2 y2
+
=1
25 16

16 2
x
25

1 2
16 2
x2 y2
x ≤1⇔ 0 ≤
x ≤ 16 ⇔ 3 ≤| z |≤ 5
+
= 1 nên 0 ≤
25
25
25 16
 x = 5 ⇒ y = 0 ⇒ M (5;0) ⇒ z = 5
2
Vậy | z |max = 5 ⇔ x = 25 ⇔ 
 x = −5 ⇒ y = 0 ⇒ M (−5;0) ⇒ z = −5

Vì

Chọn phương án D
• Cách 2:
x2 y 2
x2 y2
+ ) ≤ 25( + ) = 25 ⇔ OM ≤ 5
25 25
25 16
OM đạt GTLN bằng 5 khi y = 0 ⇒ x = ±5

OM 2 = x 2 + y 2 = 25(

 M (5;0) ⇒ z = 5
 M (−5;0) ⇒ z = −5

Vậy | z |max = 5 ⇔ 
Chọn phương án D
• Cách 3:

 x = 5sin t
⇒| z |= x 2 + y 2 = 25sin 2 t + 9cos 2t = 9 + 16sin 2 t
 y = 3cos t
Suy ra 3 ≤| z |≤ 5
 x = 5 ⇒ M (5;0) ⇒ z = 5
| z |max = 5 ⇔ sin 2 t = 1 ⇔ 
 x = −5 ⇒ M (−5;0) ⇒ z = −5

Đặt 

Chọn phương án D
E. BÀI TẬP CỦNG CỐ
Tra
ng 15


Bài 1: (Câu 23-Đề thi thử Trần Hưng Đạo-Ninh Bình-Lần 3)
Trong các số phức thoả mãn điều kiện | z + 3i |=| z + 2 − i | .Tìm số phức có môđun
nhỏ nhất ?
A. z = 1 − 2i

1
5

2

5

1
5

B. z = − + i

2
5

C. z = − i

D. z = −1 + 2i

Bài 2: ( Câu 48-Đề minh hoạ lần 3)
Xét số phức z thoả mãn: | z + 2 − i | + | z − 4 − 7i |= 6 2 .Gọi m,M lần lượt là
GTNN,GTLN của | z − 1 + i | .Tính P=m+M
5 2 + 2 73
2
5 2 + 73
D. P =
2

A. P = 13 + 73

B. P =

C. P = 5 2 + 73

Bài 3: (Câu 46-Đề THPT Chuyên-Trường Đại Học Vinh-Lần IV)

Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và w =

z
là số thực .Giá
2 + z2

trị lớn nhất của biểu thức M =| z + 1 − i | là:
A. 2 2
B. 2
C.2
D.8
Bài 4:Cho số phức z thoả mãn | z − 2 − 2i |=| z − 2i | .Tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất
A. z = −2 + i
B. z = −2 + 2i
C. z = 2 − 2i D. z = 2 + 2i
Bài 5: Cho số phức z thoả mãn điều kiện: | z − 1 − 2i |= 2 .Tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất
5 + 2 5 10 − 4 5
+
i
5
5
10 − 4 5 5 − 2 5
+
i
C. z =
5
5

5 − 2 5 10 − 4 5
+
i
5
5
5 − 2 5 10 − 4 5
−
i
D. z =
5
5
13 .Tìm số phức ω = z + 2 − 3i có

A. z =

B. z =

Bài 6:Trong các số phức z có môđun bằng
môđun lớn nhất
A. z = 3 − 2i
B. z = −3 + 2i
C. z = 2 − 3i
D. z = 2 + 3i
_
Bài 7:Cho số phức z thoả mãn | z |2 − z (1 + 2i ) + (−1 + 2i) z − 20 = 0 .Tìm số phức z
có môđun lớn nhất,nhỏ nhất
A. z1 = (1 + 5) + (2 + 2 5)i ; z2 = (1 − 5) + (−2 + 2 5)i
B. z1 = (1 − 5) + (−2 − 2 5)i ; z2 = (1 + 5) + ( −2 + 2 5)i
C. z1 = (−1 + 5) + (2 + 2 5)i ; z2 = (−1 + 5) + (2 − 2 5)i
D. z1 = (1 + 5) + (−2 − 2 5)i ; z2 = (1 − 5) + ( −2 + 2 5)i

Tra
ng 16


_

Bài 8:Trong các số phức z1 , z2 thoả mãn : ( z1 − 10)( z1 + 6i ) có phần thực bằng
-26; | z2 + 1 − 3i |2 + | z2 − 4 + 2i |2 = 58 .Tìm số phức z1 , z2 sao cho | z1 − z2 | đạt giá
trị nhỏ nhất,lớn nhất
Bài 9:Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất .Biết số phức z thoả mãn điều kiện
| z − 1| + | z + 1|= 4

A. z1 = 3i ; z2 = − 3i
B. z1 = 3; z2 = − 3
C. z1 = 3i ; z2 = −3i
D. z1 = 1 + 3i ; z2 = 1 − 3i
Bài 10:Trong các số phức z có môđun bằng 2 2 .Tìm số phức z sao cho biểu
thức P =| z + 1| + | z + i | đạt giá trị lớn nhất
A. z = 2 + 2i
B. z = −2 + 2i
C. z = 2 − 2i
D. z = −2 − 2i
Bài 11:Trong các số phức z có môđun bằng 2.Tìm số phức z sao cho biểu thức
P =| z − 1| + | z − 1 + 7i | đạt giá trị nhỏ nhất
A. 49
B. 7
C.4
D. 0
Bài 12: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện | z − 2 − 4i |= 5 .Tìm số phức
có môđun lớn nhất,nhỏ nhất

A. z1 = 3 + 6i; z2 = 1 + 2i
B. z1 = 1 + 2i; z2 = −1 − 2i
C. z1 = −3 − 6i; z2 = 1 + 2i
D. z1 = 3 + 6i; z2 = −1 − 2i
| z + 2−i |

Bài 13: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện | z + 1 − i | = 2 .Tìm số phức
có môđun lớn nhất,nhỏ nhất
A. z1 = 1 + 2; z2 = 1 − 2
B. z1 = (1 + 2)i; z2 = (1 − 2)i
C. z1 = 1 + 2; z2 = (1 − 2)i
D. z1 = (1 + 2)i; z2 = 1 − 2
Bài 14: Tìm z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất .Biết số phức z thoả
_
mãn các điều kiện sau u = ( z + 3 − i )( z − 1 − 3i ) là số thực
A. z = 1 + 2i
B. z = −1 − 2i
C. z = −1 + 2i
D. z = 1 − 2i
Bài 15: Tìm z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất .Biết số phức z thoả
| z + 2 − 3i |

mãn các điều kiện | z + 4 − i | = 1
1
2

1
2

A. z = + i

1
2

1
2

1
2

B. z = − i

1
2

C. z = − + i

1
2

1
2

D. z = − + i

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Tra
ng 17

Sau khi tiến hành thử nghiệm dạy lớp 12A10, lớp đối chứng là 12A6trường THPT Hoằng Hóa 4; hai lớp này có lực học là tương đương; qua quá
trình thiết kế bài soạn, thực nghiệm giảng dạy và kiểm tra đánh giá kết quả, tôi
thấy rằng:
- Học sinh lớp 12A10 rất hứng thú học tập và tiếp thu khá nhanh kiến
thức đưa ra. Các em có khả năng vận dụng các kiến thức đó để giải quyết và
làm bài toán có liên quan đến số phức . Từ đó tư duy toán học của các em
được nâng lên, chất lượng môn Toán được nâng lên đáng kể.
Qua đợt khảo sát chất lượng Lớp 12 của Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa,
đề thi hay, phù hợp và bám sát với thi THPT Quốc Gia, có 6 bài toán liên
quan đến số phức, 80% học sinh 12A10 làm đúng 6 bài toán đó
Kết quả thu được như sau :
Điểm

4-4.8

5-5.8

6-6.8

7-7.8

8-8.8

9-9.8

10

Lớp

Tổng

số

12A 6

6

8

10

9

7

2

0

42

12A10

2

3

4

12

15

8

1

45

Qua đây, học sinh có hứng thú hơn trong học tập nhất là cùng một bài toán
mà có thể tìm ra được nhiều phương pháp giải. Các em không còn thấy “xa lạ”
với các bài toán trắc nghiệm. Giáo viên sẽ tích cực giảng dạy, khai thác sâu
hơn các bài toán liên quan đến số phức

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Tra
ng 18


3.1. Kết luận.
Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất
cho gian đoạn hiện nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một
đất nước đang phát triển như Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáo
dục cần phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự
nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo
viên chúng ta nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được. Có như
vậy, tình trạng hổng kiến thức cơ bản mới hạn chế và dần khắc phục được.
Đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được một số phương pháp
giảng dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh.Chính vì vậy đã phần nào tạo
điều kiện thuận lợi cho giáo viên khi giảng dạy ở những tiết bài tập trong quá
trình ôn thi THPTQG.

Nêu bật được ứng dụng các phương pháp trong việc giải quyết một bài
toán kể cả dùng kiến thức của hình học phẳng.
Đề tài có thể là tài liệu tham khảo giảng dạy cho giáo viên Toán hoặc sử
dụng làm tài liệu liên môn, cũng như tài liệu học tập cho học sinh lớp 12.
Đề tài của tôi trên đây còn mang màu sắc chủ quan, chắc chắn còn
nhiều thiếu sót và hạn chế .Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quí
báu, phê bình, phản hồi của các thầy cô, các đồng nghiệp để càng hoàn thiện
hơn.
3.2. Kiến nghị.
-Từ kết quả nghiên cứu đã đạt được trên đây, tôi xin mạnh dạn đề xuất một số
kiến nghị như sau:
Một là, đối với Sở giáo dục và đào tạo: Cần tổ chức tập huấn cho giáo viên
nhiều hơn nữa về việc đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là tập huấn việc
ra đề trắc nghiệm.
Hai là, đối với nhà trường: cần tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, trang
thiết bị hỗ trợ giáo viên. Có chế độ khen thưởng kịp thời đối với giáo viên có
nhiều sáng kiến kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
Ba là, đối với giáo viên: Cần phối hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực
trong quá trình dạy học, đổi mới phương pháp theo hướng tích cực hóa người
học, tích cực soạn giáo án liên môn tích hợp và giảng dạy.
Đề tài này cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy 12.
Tuy nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc giả
Tra
ng 19


chắc chắn đề tài sẽ đem lại nhiều lợi ích . Ngoài ra phương pháp giải các ví dụ
có thể chưa tối ưu cần sự góp ý bổ sung của bạn đọc.
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

Hoằng Hóa, ngày 26 tháng 4 năm 2017.
cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
Người viết

Ngô Thị Hoài

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tra
ng 20


1. Lê Hoành Phò , Phân dạng và phương pháp giải toán số phức,nhà xuất bản
Đại học Quốc Gia Hà Nội.
2. Nguyễn Đức Nghị , phân loại toán Giải tích 12 theo chủ đề , NXB Gi¸o
dôc Việt Nam.
3. Trần Bá Hà, phân dạng và phương pháp giải toán Giải tích 12 theo chủ
đề , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
4. Đề minh họa, đề thử nghiệm môn Toán THPT Quốc Gia của Bộ giáo dục;
các đề thi thử của các Sở giáo dục, các trường THPT trên toàn quốc.
5. Các tài liệu tham khảo trên Internet.

DANH MỤC
Tra
ng 21


CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Ngô Thị Hoài
Chức vụ và đơn vị công tác:Giáo viên, trường THPT Hoằng Hoá 4

TT
1.

Tên đề tài SKKN

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

Sử dụng véc tơ và toạ độ để
giải một số bài toán sơ cấp

Sở GD_ĐT
C

2009-2010

thường gặp
----------------------------------------------------

Tra
ng 22