Bất phương trình vô tỉ-Ôn thi đại học

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I. Định nghĩa:
Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức.
II. Các phương pháp giải:
_ Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ cũng tương tự như phương
trình vô tỷ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cũng có điểm khác biệt.
_ Giải bất phương trình vô tỷ là một trong những bài toán không có công thức giải tổng
quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán.
_ Việc phân ra thành các phương pháp giải riêng biệt chỉ mang tính chất tương đối, tùy
quan điểm từng người làm toán.
_ Mỗi bất phương trình có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau nên người làm
toán cần cân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu quả. Mặt khác, có những bất
phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng
nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải.
1. Biến đổi tương đương:
_ Nâng lên lũy thừa, đưa về bất phương trình hoặc hệ bất phương trình đại số hữu tỉ.
Dạng 1.
n
)x(f
< g(x) (*) (Chỉ xét n chẵn)
(*)
⇔






<
>
≥

n
)]x(g[)x(f
0)x(g
0)x(f
Dạng 2.
n
)x(f

≥
g(x) (*) (n chẵn)
(*)
⇔











≥
≥



<
≥

n
)]x(g[)x(f
0)x(g
0)x(g
0)x(f
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
14x5x
2
−+
> x – 5
Giải.
bpt
⇔











−>−+
≥−



<−

≥−+
22
2
)5x(14x5x
05x
05x
014x5x

⇔
















>
≥






<



≥
−≤
15
39
x
5x
5x
2x
7x

⇔




−≤
≥
7x
2x
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
x
x411
2
−−

< 3
Giải.
_ Nếu x > 0: bpt
⇔

2
x41
−
> – 3x + 1
_ Nếu x < 0: bpt
⇔

2
x41
−
< 1 – 3x
Ví dụ 3. Giải và biện luận bất phương trình
4x
2
−

≥
m(x – 2) (*)
Giải.
Xét các trường hợp của tham số m:
+) m = 0:
(*)
⇔

4x

2
−

≥
0
⇔

2
x
– 4
≥
0
⇔
x
∈
(
∞−
; – 2]
∪
[2;
∞+
)
+) m > 0:
(*)
⇔












+−≥−
≥−



<−
≥−
)4x4x(m4x
0)2x(m
0)2x(m
04x
222
2

⇔










≥+−+−
≥
−≤
0)1m(4xm4x)m1(
2x
2x
2222
sau đó xét tiếp 0 < m
≤
1 hoặc m > 1
+) m < 0: xét tương tự m > 0
Kết luận nghiệm theo các trường hợp của m.
Chú ý. Trong trường hợp bất phương trình cần giải chứa nhiều dấu căn ta cần biến đổi
đưa về dạng (I) hoặc (II).
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
1x
+
+
2x
−
<
3x
+
(*)
Giải.
điều kiện: x
≥
2
Với điều kiện đó (*)
⇔

x + 1 + x – 2 + 2
)2x)(1x(
−+
< x + 3
⇔

)2x)(1x(
−+
<
2
1
(– x + 4)
Nhận xét. Phương pháp này ngắn gọn nhưng trong nhiều trường hợp phép nâng lũy
thừa sẽ dẫn đến những bất phương trình đại số bậc cao không giải được. Khi đó ta phải áp
dụng phương pháp khác.
Bài tập áp dụng:
1) Giải các bất phương trình:
a)
3x
+
–
1x −
<
2x
−
b)
( )
2
2
x293

x2
+−
< 21 + x
2) Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)
mx2
−

≥
x
b)
3x2
2
+
< x – m
c)
mx
−
–
m2x
−
>
m3x
−
2. Đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa):
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
2
x
+ 2
11x3x

2
+−

≤
3x + 4 (*)
Giải.
(*)
⇔
2
x
– 3x + 11 + 2
11x3x
2
+−
– 15
≤
0
Đặt t =
11x3x
2
+−
...
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
x +
2
x1
−
< x
2
x1

−
(1) trong đoạn [0; 1]
Giải.
Trong đoạn [0; 1], cả hai vế không âm nên:
(1)
⇔
1 + 2x
2
x1
−
<
2
x
(1 –
2
x
) (2)
Đặt t = x
2
x1
−
, 0
≤
t
≤

2
1
(2) trở thành:
2

t
– 2t – 1 > 0
⇔





+>
−<
21t
21t
so sánh với điều kiện 0
≤
t
≤

2
1
ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình
(
3
x
+ 1) + (
2
x
+ 1) + 3x
1x
+

> 0 (1)
Giải.
TXĐ: x
≥
– 1
_ nếu x
≥
0: VT
≥
2 > 0
⇒
bất phương trình nghiệm đúng
∀
x
≥
0
_ nếu – 1
≤
x < 0: (1) trở thành (
3
x
+
2
x
) – 3
23
xx
+
+ 2 > 0
Đặt t =

23
xx
+
, ta được:
2
t
– 3t + 2 > 0
⇔




>
<
2t
1t
Nhận xét x
∈
[– 1; 0)
⇒
t < 1
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là – 1
≤
x
Ví dụ 4. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
xa
+
+
xa
−

≤
2
Giải.
_ nếu a < 0: bất phương trình vô nghiệm
_ nếu a = 0: bất phương trình có nghiệm x = 0
_ nếu a > 0:
điều kiện



≤
≥
ax
0x

⇔
0
≤

a
x

≤
1
Đặt
a
x
= cosy, y
∈

[0;
2
π
]. Ta được:
)ycos1(a
+
+
)ycos1(a
−

≤
– 2
⇔
2a + 2asiny
≤
4
⇔
⇔
siny
≤

a2
a24
−
(*)
để (*) có nghiệm y
∈
[0;
2
π

] ta phải có 4 – 2a
≥
0
⇔
0 < a
≤
2
Kết luận: điều kiện của a là 0
≤
a
≤
2
Bài tập áp dụng:
1) Giải các bất phương trình:
a)
x3x31
428
−−+
−+
+
x31
2
−+
> 5
b)
2
1
x
−
+

4
1x
+
<
8
)1x(
1x2
2
+
+−
c)
x1
+
+
x1
−

≤
2 –
4
x
2
2) Tìm a để bất phương trình sau đúng với
∀
x
∈
[– 2; 4]:
– 4
)2x)(x4(
+−

≤

2
x
– 2x + a – 18
3. Phương pháp đánh giá (dùng đạo hàm):
Nhận xét.
Xét hàm số f(x), x
∈
D.
Đặt M =
fmax
D
, m =
fmin
D
. f(x)
≥

α
có nghiệm x
∈
D
⇔

α

≤
M

. f(x)
≥

α
đúng với
∀
x
∈
D
⇔

α

≤
m
. f(x)
≤

β
có nghiệm x
∈
D
⇔

β

≥
m
. f(x)
≤

β
đúng với
∀
x
∈
D
⇔

β

≥
M
Ví dụ 1. Giải bất phương trình:
5x
+
+
3x2
+
< 9
Giải.
Xét f(x) =
5x
+
+
3x2
+
– 9, x
≥

2
3
f ’(x) =
5x2
1
+
+
3x2
1
+
> 0, x >
2
3
f(11) = 0,






−
2
3
f
< 0
⇒
f(x) < 0
⇔

2

3
−

≤
x < 11
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là
2
3
−

≤
x < 11.
Ví dụ 2. Tim m để bất phương trình
x3
+
+
x6
−
–
)x6)(x3(
−+
(*) có
nghiệm.
Giải.
đk: – 3
≤
x
≤
6
Đặt u =

x3
+
+
x6
−
, u
∈
[3; 3
2
]
(*) trở thành:
2
u
2
−
+ u +
2
9

≤
m
Xét f(u) =
2
u
2
−
+ u +
2
9
, u

∈
[3; 3
2
]
)u(fmin
]23;3[u
∈
= f(3
2
) =
2
926
−
Vậy để bất phương trình đã cho có nghiệm ta phải có m
≥

2
926
−
.
Chú ý. Ngoài ra ta có thể dùng bất đẳng thức để đánh giá.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình
2x3x
2
+−
+
3x4x
2
+−

≤
2
4x5x
2
+−
(*)
Giải.
đk:



≥
≤
4x
1x
. nếu x < 1: (*)
⇔

x2
−
+
x3
−

≤
2
x4
−
đúng.
. nếu x = 1: (*) đúng.

. nếu x = 4: (*) đúng.
. nếu x > 4: (*)
⇔

2x
−
+
3x
−

≤
2
4x
−
vô nghiệm.
Vậy nghiệm của (*) là x
∈
(
∞−
; 1]
∪
{4}.