Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ XUÂN SANG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ XUÂN SANG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN - 2017


1

Mục lục

Lời cảm ơn

i

Mở đầu
1

1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3

1.1.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Véc tơ và tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Véc tơ trong không gian . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . .

7

1.3 Sơ lược về các phép biến hình . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1

Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2

Phép vị tự và phép đồng dạng . . . . . . . . 11

1.3.3

Một số ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . 12

2 Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không
gian

16

2.1 Phương pháp quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng trong không gian . . . 19
2.2.1

Quỹ tích phẳng trong không gian . . . . . . 19

2.2.2

Quỹ tích hình chiếu của điểm lên đường thẳng 23


2

2.2.3

Quỹ tích hình chiếu của điểm lên mặt phẳng . 27

2.3 Phương pháp véc tơ và tọa độ . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1

Tìm quỹ tích nhờ véc tơ . . . . . . . . . . . 31

2.3.2

Tìm quỹ tích nhờ tọa độ . . . . . . . . . . . 33

2.4 Phương pháp biến hình . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1

Ứng dụng các phép dời hình . . . . . . . . . 38

2.4.2

Ứng dụng phép vị tự và phép đồng dạng . . . 41

2.5 Một số bài toán quỹ tích nâng cao . . . . . . . . . . 44
2.5.1

Kết hợp các phương pháp giải . . . . . . . . 44

2.5.2

Một số cách giải đặc biệt . . . . . . . . . . . 49

Tài liệu tham khảo

59


3

Danh mục hình

1.1

Bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

Quỹ tích các điểm M, N, G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1

Quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Quỹ tích I, H, E, F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3

Quỹ tích trung điểm I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4

Quỹ tích I,K,H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5

Bài toán A: Quỹ tích H, E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.6

Bài toán A: quỹ tích E, N, H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.7

Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu H của A . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.8

Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu N của A . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.9

Quỹ tích hình chiếu của A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.10 Mặt phẳng trung trực và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.11 Phương pháp tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.12 Đối xứng tâm SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.13 Đối xứng trục SBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.14 Quỹ tích M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.15 Quỹ tích trọng tâm Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.16 Quỹ tích A , B , C , G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.17 Hai phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.18 Quỹ tích S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.19 Quỹ tích A, B, C, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.20 M nhìn mặt cầu dưới góc vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.21 Quỹ tích trọng tâm tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.22 Quỹ tích H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


i

Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học - Đại
Học Thái Nguyên, các thầy cô thuộc phòng Đào tạo sau đại học, các
cán bộ thuộc Trung tâm Nhiên cứu Giáo dục-Đào tạo Hải Phòng,... đã
tạo điều kiện tốt nhất để hoàn thành khóa học. Tôi xin chân thành cảm
ơn quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) nhà trường
đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành khóa học.
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận
được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải,
Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối
với những điều thầy đã dành cho tôi.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những
người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hải Phòng, tháng ... năm 2017
Tác giả

Vũ Xuân Sang


1

Mở đầu
Trong hình học phổ thông ta đã biết các bài toán quỹ tích được
gọi là bài toán tìm tập hợp điểm. Khi có kiến thức về tọa độ và các
phép biến hình thì loại toán này được gặp thường xuyên hơn. Luận văn

này muốn nghiên cứu một cách hệ thống các bài toán tìm quỹ tích điểm
trong không gian (đương nhiên có liên quan đến các quỹ tích trong mặt
phẳng). Ngoài cách phát biểu bài toán quỹ tích, nội dung chủ yếu của
luận văn là nêu các phương pháp hay dùng khi giải các bài toán quỹ
tích trong không gian. Đó là các phương pháp cơ bản và có hiệu quả
nếu biết sử dụng đúng chỗ.
Mục đích của đề tài là:
- Nghiên cứu bài toán quỹ tích trong hình học không gian và các
phương pháp giải.
- Trình bày cơ sở khoa học và các kỹ thuật áp dụng các phương pháp:
Phương pháp quỹ tích cơ bản, phương pháp quỹ tích phẳng trong không
gian, phương pháp véc tơ-tọa độ, phương pháp biến hình và một số vấn
đề liên quan.
- Các kiến thức về hình học không gian cũng như các kỹ thuật giải
toán hình học không gian được hệ thống và nâng cao qua các bài toán
quỹ tích hay và khó trong các kỳ thi học sinh giỏi.
- Người nghiên cứu có thêm kiến thức và năng lực bồi dưỡng học sinh
giỏi về các vấn đề khó của Hình học.

2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết
Trình bày hệ thống cách giải bài toán quỹ tích trong không gian.
Phần lý thuyết trình bày tóm tắt những cơ sở khoa học của các phương
pháp. Phần trọng tâm ở chương 2 nêu các kỹ thuật chi tiết khi áp dụng


2

các phương pháp giải. Đồng thời đưa ra các ví dụ điển hình để chứng
tỏ các phương pháp giải là thực sự hiệu quả.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Nhắc lại về bài toán quỹ tích, véc tơ và tọa độ trong không gian
và những vấn đề cơ bản của phép biến hình trong không gian. Nội dung
các phần này được chọn lọc đủ để áp dụng trong chương hai, bao gồm
các mục sau:
1.1. Bài toán quỹ tích trong mặt phẳng và trong không gian
1.2. Các quỹ tích cơ bản
1.3. Véc tơ, các phép toán trên các véc tơ
1.4. Tọa độ trong không gian
1.5. Sơ lược về các phép biến hình
Chương 2. Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không
gian
Lần lượt trình bày các phương pháp giải bài toán quỹ tích trong
không gian, mở đầu là phương pháp quỹ tích cơ bản. Mỗi phương pháp
đều có phân tích và bình luận về cách sử dụng, các ví dụ và các bài toán
mẫu được chọn lọc. Lưu ý cách giải các bài toán quỹ tích ở mức độ khó.
chương hai chia thành các mục sau:
2.1. Phương pháp quỹ tích cơ bản
2.2. Phương pháp quỹ tích phẳng trong không gian
2.3. Phương pháp véc tơ, tọa độ
2.4. Phương pháp biến hình
2.5. Một số bài toán quỹ tích nâng cao.
Tác giả.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán khó không những đối với người học mà
ngay cả đối với người dạy bởi bản thân nó là bài toán về chuyển động,
bài toán về hàm trong hình học. Về bản chất đây là bài toán về tập
hợp: "Tìm tập hợp (hay dựng tập hợp) khi cho biết tính chất đặc trưng
của các phần tử của nó". Về thuật ngữ chúng tôi chọn thuật ngữ "quỹ
tích" để thể hiện rõ bài toán đang nghiên cứu là bài toán hình học mà
không dùng thuật ngữ chung chung là "tập hợp". Hơn nữa, ở đây chỉ
xét phương pháp giải các bài toán quỹ tích điểm, các quỹ tích khác sẽ
được nghiên cứu ở một đề tài khác.
1.1.1

Khái niệm

Bài toán quỹ tích(điểm): Tìm tất cả những điểm (trên mặt phẳng hay
trong không gian) có chung tính chất α nào đó và chỉ những điểm ấy.
Nghiệm của bài toán là một hình (tập hợp điểm) gồm và chỉ gồm các
điểm có tính chất α. Nếu ta gọi H(α) là tập hợp tất cả các điểm M có
tính chất α, còn Φ là một hình nào đó. Ta nói hình Φ là nghiệm của bài
toán tức là ta phải chứng minh đẳng thức tập hợp

H(α) = Φ ⇐⇒ H(α) ⊆ Φ và Φ ⊆ H(α)
Mệnh đề "nếu M ∈ H(α) thì M ∈ Φ" được gọi là mệnh đề thuận; còn
mệnh đề "nếu M ∈ Φ thì M ∈ H(α)" được gọi là mệnh đề đảo. Hai
mệnh đề này được gọi là cặp thuận-đảo.


4

Áp dụng quy tắc lô gic, ngoài cặp "thuận-đảo" đó ta còn có thể giải
bài toán quỹ tích với các cặp mệnh đề tương đương sau:
-Cặp "thuận-phản":
Nếu M ∈ H(α) thì M ∈ Φ và nếu M ∈
/ H(α) thì M ∈
/ Φ;
-Cặp "phản đảo-đảo":
Nếu M ∈
/ Φ thì M ∈
/ H(α) và M ∈ Φ thì M ∈ H(α);
-Cặp "phản đảo-phản":
Nếu M ∈
/ Φ thì M ∈
/ H(α) và nếu M ∈
/ H(α) thì M ∈
/ Φ.
Chú ý.
i. Trong bài toán quỹ tích việc phát hiện ra hình Φ ⊇ Φ đóng vai
trò quan trọng nhất của bài toán. Cách phát hiện ra Φ vẫn phải
là tìm cách dự đoán hoặc từ cách làm phần thuận với kinh nghiệm
hình học sẵn có sẽ bật ra hình Φ .
ii. Quan điểm của chúng tôi khi trình bày lời giải bài toán quỹ tích
cần và chỉ cần có hai phần: phần thuận và phần đảo. Phần thuận
đảm bảo tính không thiếu và phần đảo đảm bảo tính không thừa
của quỹ tích. Chính vì thế "giới hạn (nếu có)" chỉ là một chi tiết
nhỏ trong phần đảo để loại đi phần thừa, quan điểm đó khác với
nhiều tác giả coi "giới hạn quỹ tích là cần thiết và là một mục nhất
thiết phải trình bày trong lời giải" (xem chẳng hạn [4]).
iii. Kỹ thuật lập mệnh đề đảo. Bản chất của chứng minh mệnh đề đảo
là chứng minh "từ M ∈ H(α) kéo theo M ∈ Φ" theo đúng nghĩa

chứng minh bao hàm thức H(α) ⊆ Φ. Trên thực tế tính chất α là
hội của các tính chất, chẳng hạn α1 , α2 , α3 , trong phần đảo ta phải
lấy bất kỳ M ∈ Φ và thỏa mãn α1 , α2 rồi chứng minh M thỏa mãn
α3 . Chính vì thế sau khi lấy M ∈ Φ ta phải tiến hành bài toán dựng
hình. Ở đây cần đến kỹ thuật tách α thành các tính chất α1 , α2 , α3 .
Từ đó cũng thấy có nhiều cách lập mệnh đề đảo, nếu khéo léo ta
có thể nhận được phép chứng minh phần đảo đơn giản hơn.
Để bắt đầu với bài toán quỹ tích ta phải liệt kê các quỹ tích cơ bản
(Xem chi tiết [2]).


5

1.1.2

Quỹ tích cơ bản

Các quỹ tích sau (thường đã chứng minh trong các sách giáo khoa)
được gọi là các quỹ tích cơ bản. Sau này các quỹ tích phải tìm sẽ được
quy về các quỹ tích cơ bản.
a. Trong mặt phẳng:
Quỹ tích 1: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm A, B cho trước là
đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Quỹ tích 2: Quỹ tích những điểm mà khoảng cách từ đó đến một đường
thẳng a cho trước bằng h không đổi là hai đường thẳng a , a song song
với a, cách a một khoảng bằng h.
Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều 2 cạnh của một góc là
đường phân giác của góc đó.
Quỹ tích 4: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một đường thẳng vuông góc với AB

k2
tại điểm H thỏa mãn: IH =
, với I là trung điểm của AB.
2AB
Quỹ tích 5: Quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước một
khoảng bằng R cho trước là đường tròn tâm O, bán kính R.
Quỹ tích 6: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc
γ là cung chứa góc γ dựng trên đoạn thẳng đó (hai cung đối xứng nhau
qua AB). Khi γ = 900 quỹ tích là đường tròn đường kính AB.
Quỹ tích 7: Quỹ tích những điểm mà tổng bình phương khoảng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là đường tròn tâm I, bán kính ρ với I
1
là trung điểm AB, ρ =
2k 2 − AB2
2
Quỹ tích 8: Quỹ tích những điểm mà tỷ số khoảng cách từ đó đến hai
điểm A, B bằng m là một đường tròn đường kính CD sao cho C, D chia
điều hòa AB (Đường tròn Apololiut).
b. Trong không gian:
Quỹ tích 9: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm A,B là mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB.
Quỹ tích 10: Quỹ tích những điểm mà khoảng cách từ đó đến một mặt
phẳng P cho trước bằng h không đổi là hai mặt phẳng P , P song song
với P và cách P một khoảng bằng h.
Quỹ tích 11: Quỹ tích những điểm cách đều 2 nửa mặt phẳng của nhị
diện là mặt phẳng phân giác trong của nhị diện đó.


6

Quỹ tích 12: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một mặt phẳng vuông góc với AB
k2
tại điểm H thỏa mãn: IH =
, với I là trung điểm của AB.
2AB
Quỹ tích 13: Quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước
một khoảng cách R là mặt cầu tâm O, bán kính R.
Quỹ tích 14: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc
vuông là mặt cầu đường kính AB.
Quỹ tích 15: Quỹ tích những điểm mà tổng bình phương khoảng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một mặt cầu tâm I, bán kính ρ với
1
I là trung điểm AB, ρ =
2k 2 − AB2 .
2
Quỹ tích 16: Quỹ tích những điểm mà tỷ số khoảng cách từ đó đến
hai điểm A, B bằng m là một mặt cầu đường kính CD sao cho C, D chia
điều hòa AB (Mặt cầu Apololiut).

1.2

Véc tơ và tọa độ

1.2.1

Véc tơ trong không gian

Các phép toán:
−−→ −→ −−→

Phép cộng: a + b = MA + AB = MB.
−→ −−→ −−→
Phân tích véc tơ theo quy tắc 3 điểm AB = AM + MB.
Phân tích véc tơ theo quy tắc n điểm
−→ −−→ −−−→
−−−−−→ −−→
AB = AM1 + M1 M2 + ... + Mn−1 Mn + Mn B.
Tổng hợp véc tơ theo quy tắc trung điểm
−−→ −−→
−
→
MA + MB = 2MI, I là trung điểm của AB.
Tổng hợp véc tơ theo quy tắc hình hộp
−−→ −−→ −−→
−−→
MA + MB + MC = 2MN, MN là đường chéo hình hộp.
Phép nhân véc tơ với một số thực: b = ka ⇐⇒ b a, |b| = |k||a|;
b, a cùng chiều nếu k > 0, b, a ngược chiều nếu k < 0.
Không gian véc tơ Euclid: Một không gian véc tơ E trên trường số thực
R được gọi là một không gian véc tơ Euclid thực nếu có một dạng


7

song tuyến tính đối xứng (a, b) : E × E → R thỏa mãn điều kiện:
(a, a) > 0 với mọi véc tơ a = 0.
Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là tích vô hướng của E.
Nói cách khác, tích vô hướng của hai véc tơ a, b ∈ E là số thực (a, b),
ký hiệu đơn giản là a.b, thỏa mãn 4 điều kiện:
(1) a.b = b.a; (2) (a + b).c = a.c + b.c; (3) k.(a.b) = (k.a).b với mọi

k ∈ R; (4) a.a = a2 , a.a = 0 ⇐⇒ a = 0.
Biểu diễn sự kiện hình học theo ngôn ngữ véc tơ
−−→ −→
−−→ −→ →
−−→ →
−
−
• M ≡ N ⇔ OM = ON ⇔ OM − ON = 0 ⇔ MN = 0 .

−
→ −
→
−
→ 1 −−→ −−→
• I-trung điểm AB ⇔ IA + IB = 0 ⇔ MI = (MA + MB), ∀M.
2
−→ −→ −→
• G-trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = 0
−−→ 1 −−→ −−→ −−→
⇔ MG = (MA + MB + MC), ∀M.
3
−→ −→ −→ −→
• G-trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = 0
−−→ 1 −−→ −−→ −−→ −−→
⇔ MG = (MA + MB + MC + MD), ∀M.
4
−→
−→
−→
−→

• Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB = αAC hoặc BC = β CA hoặc
−→
−→
−−→
−−→
−−→
CA = γ AB ⇔ ∃p, q ∈ R, p + q = 1|MC = p.MA + q.MB.
−→
−→
−→
−→
−→
−→
• Điểm D ∈ (ABC) ⇔ DA = αDB + β DC hoặc BA = α BC + β BD
−→
−→
−→
−→
⇔ ∃p, q, r ∈ R, p + q + r = 1|∀ O, OD = p.OA + q.OB + r.OC.
1.2.2

Tọa độ trong không gian

a. Tọa độ của điểm và véc tơ:
−−→
M(x, y, z) ⇐⇒ OM = x.e1 + y.e2 + z.e3 .
a = (a1 , a2 , a3 ) ⇐⇒ a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ;
b = (b1 , b2 , b3 ) ⇐⇒ b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 .
−→
Nếu A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) thì AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ).

a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ).
αa ± β b = (αa1 ± βb1 , αa2 ± βb2 , αa3 ± βb3 ).
b. Kỹ thuật chọn gốc tọa độ. Để giải bài toán hình học bằng phương
pháp tọa độ thì kỹ thuật chọn gốc tọa độ là kỹ thuật quan trọng nhất,
nó quyết định các tính toán về sau. Nhiều trường hợp bài giải khá dễ


8

dàng nếu ta chọn hệ toa độ phù hợp, các tính toán, các biểu diễn đơn
giản nhưng ta cũng sẽ gặp bế tắc trong tính toán và không xác định
được phương trình quỹ tích nếu ta chọn hệ tọa độ không phù hợp. Sau
đây là một số cách chọn hệ tọa độ khi đã có sẵn các hình không gian:
• Hình lập phương: Chọn hệ tọa độ sao cho A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0),
D(0,a,0), A (0, 0, a), B (a, 0, a), C (a, a, a), D (0, a, a). Tương tự cho hình
hộp chữ nhật. Tam diện vuông là một nửa hình hộp chữ nhật nên các
cạnh của tam diện cũng được chọn làm các trục tọa độ.
• Hình hộp đứng có đáy là hình thoi: Gốc tọa độ lấy trùng với giao
điểm O của hai đường chéo hình thoi ABCD. Trục Oz đi qua hai tâm
của đáy. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân cũng được đặt hệ tọa độ
tương tự.
• Hình chóp đều. Giả sử hình chóp S. ABC, AB=a, SH=h.
Cách 1. Chọn gốc O là trung điểm của BC, A∈ Ox, B∈ Oy.
Cách 2. Chọn gốc O là trực tâm H, Ox BC, A∈ Oy, S∈ Oz.
• Hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), SA=h. Nếu đáy là hình chữ
nhật ta chọn A=O, B∈Ox, D∈Oy,S∈Oz. Nếu đáy là hình thoi ta chọn
O là tâm của đáy, B∈Ox, C∈Oy, Oz SA.
• Hình chóp S.ABCD có (SAB)⊥(ABC), đường cao ∆SAB là đường
cao của chóp. Nếu ∆ABC vuông tại A ta chọn hệ tọa độ mà A=O,
B∈Oy, C∈ Ox, Oz SH (đường cao chóp). Nếu vuông tại B ta chọn

B=O, vuông tại C chọn C=O. Nếu tam giác ASB cân tại S, ∆ABC cân
tại C ta chọn H=O, C∈ Ox, B∈ Oy, S∈ Oz.
c. Tích vô hướng và độ dài.
a.b = |a||b| cos(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0.
|a| = a21 + a22 + a23 ; |b| = b21 + b22 + b23 .
|a ± b| = (a1 ± b1 )2 + (a2 ± b2 )2 + (a3 ± b3 )2 .
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
cos(a, b) =
.
( a21 + a22 + a23 )( b21 + b22 + b23 )
d. Tích có hướng của hai véc tơ.
a2 a3 a3 a1 a1 a2
,
.
[a, b] =
,
b2 b3 b3 b1 b1 b2


9

a, b ⊥ mp(a, b); a

b ⇔ [a, b] = 0; a, b, c đồng phẳng ⇔ (a, b, c) = 0.
2

|[a, b]| =

2

2

a2 a3
a a
a a
+ 3 1 + 1 2 .
b2 b3
b3 b1
b1 b2

e. Phương trình mặt phẳng.
•
Phương trình tham số của mặt phẳng:

 x = x0 + a1 u + b1 v
y = y0 + a2 u + b2 v , cặp véc tơ chỉ phương a, b; ∀u, v ∈ R.

 z = z +a u+b v
0
3
3
• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm, có cặp véc
tơ chỉ phương a, b:
a2 a3
a a
a a
(x − x0 ) + 3 1 (y − y0 ) + 1 2 (z − z0 ) = 0.

b2 b3
b3 b1
b1 b2
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm M1 , M2 , M3 :

x − x1 y − y1 z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
• Phương trình chùm mặt phẳng:
Cho mặt phẳng Π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 với n1 = (A1 , B1 , C1 )
và Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 với n2 = (A2 , B2 , C2 ) cắt nhau
theo đường thẳng d. Ta có phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi
Π1 , Π2 :
p(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + q(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 với p2 + q 2 > 0.
• Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho mặt phẳng Π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 với n1 = (A1 , B1 , C1 )
và Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 với n2 = (A2 , B2 , C2 )
+Nếu n1 , n2 không đồng phương thì Π1 cắt Π2 .
+Nếu n1 , n2 đồng phương Π1 , Π2 không có điểm chung Π1 Π2 .
+Nếu n1 , n2 đồng phương và Π1 , Π2 có điểm chung thì Π1 ≡ Π2 .
f. Phương trình đường thẳng trong không gian.
Phương trình tham số: Đường thẳng ∆ đi qua M0 (x0 , y0 , z0 ) và có
véc tơ chỉ phương a = (a1 , a2 , a3 ):


10



 x = x 0 + a1 t

y = y 0 + a2 t

 z = z +a t
0
3
Phương trình chính tắc:

x − x0
y − y0
z − z0
=
=
a1
a2
a3
Phương trình tổng quát

∆:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A21 + B21 + C21 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A22 + B22 + C22 = 0.

Tất cả các bài toán dạng lập phương trình đường thẳng, phương
trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu,... đều được coi là bài toán tìm
quỹ tích (tập hợp những điểm thỏa mãn phương trình hoặc hệ phương
trình). Trong chương 2 ta chỉ xét các bài toán quỹ tích trong hình học
không gian thuần túy được giải bằng phương pháp tọa độ.

1.3

Sơ lược về các phép biến hình

1.3.1

Phép dời hình

Định nghĩa 1.1. Một phép biến hình f trong không gian được gọi là
phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Sau đây ta xét một số phép dời hình đặc biệt.
-Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo véc tơ v là phép biến hình biến
−−→
−
mỗi điểm M thành điểm M sao cho MM = v . Ta ký hiêu T→
v (M) = M ,
−−→
nghĩa là MM = v .
- Phép đối xứng trục: Cho đường thẳng d. Phép đối xứng qua đường
thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và biến
mỗi điểm không thuộc d thành thành điểm M sao cho d là trung trực
của đoạn thẳng MM . Ký hiệu phép đối xứng qua đường thẳng d là Sd ,
d được gọi là trục đối xứng.
-Phép đối xứng tâm: Cho điểm O. Phép đối xứng qua tâm O là phép
biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho O là trung điểm của
đoạn MM .


11

→
−

-Phép quay xung quanh một trục. Cho trục X và một số α, phép
→
−
α
quay xung quanh trục X với góc quay α là phép biến hình Q→
− cho ứng
X
mỗi điểm M với điểm M trong không gian sao cho M nằm trong mặt
→
−
phẳng định hướng Π ⊥ X qua M và trong mặt phẳng định hướng Π,
→
−
M = QO
α , O = X ∩ Π.
Phép quay quanh một trục là một phép dời hình thuận. Dễ thấy
Sd = Qπd .
-Phép đối xứng qua mặt phẳng. Cho mặt phẳng P, phép đối xứng
qua P, ký hiệu là SP là phép biến hình biến M thành M trong không
gian sao cho: nếu M ∈ P thì M ≡ M, nếu M ∈
/ P thì P là mặt phẳng
trung trực của MM . Đây là một phép dời hình nghịch.
→
−
-Phép biến hình xoắn ốc. Phép biến hình xoắn ốc ký hiệu là X( X , α, v)
là tích giao hoán được của một phép quay QO
α và một phép tịnh tiến Tv
với phương tịnh tiến song song với trục quay:
→
−

O
X( X , α, v) = QO
α ◦ Tv = Tv ◦ Qα .
Ta chứng minh được: Tích hai phép biến hình xoắn ốc là một phép biến
hình xoắn ốc; Mọi phép dời hình trong không gian đều là một phép biến
hình xoắn ốc.
1.3.2

Phép vị tự và phép đồng dạng

Định nghĩa 1.2. Cho số k = 0 và điểm O cố định. Phép biến hình
−−→
−−→
trong không gian biến M thành M sao cho OM = k OM được gọi là
phép vị tự, O là tâm và k là tỷ số vị tự . Ta ký hiệu phép vị tự là HO
k.
Phép vị tự có các tính chất sau: (xem trong [2])
−−→
−−→
O
a. Nếu M = HO
k (M), N = Hk (N) thì M N = k MN và do đó, M N =
|k |MN. Phép vị tự là trường hợp đặc biệt của phép đồng dạng.
b. Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, biến
4 điểm đồng phẳng thành 4 điểm đồng phẳng. Từ đó suy ra phép
vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song, mặt phẳng
thành mặt phẳng song song.
c. Ảnh của đường tròn C(ω, R) qua HO
k là đường tròn C (ω , R ) với
−−→

−→
Oω = k Oω; R = |k|R. Ảnh của mặt cầu S(ω, R) qua HO
k là mặt
−−→
−→
cầu S (ω , R ) với Oω = k Oω; R = |k|R.


12

d. Tích hai phép vị tự
I
HO
k ◦ Hh =

HO
kh
Tv

nếu hk = 1
nếu hk = 1

Định nghĩa 1.3. Ánh xạ f biến M thành M được gọi là phép đồng
dạng nếu tỷ số giữa khoảng cách của hai điểm ảnh M , N với khoảng
cách của hai điểm tạo ảnh M, N là một hằng số k . Số k được gọi là tỷ
số đồng dạng của f .
Các phép dời hình hoặc vị tự đều là các phép đồng dạng. Tích của
phép dời hình (thuận, nghịch) với một phép vị tự là phép đồng dạng
(thuận, nghịch).
1.3.3

Một số ví dụ mở đầu

Ta xét một số ví dụ tìm quỹ tích đơn giản để minh họa cách lập cặp
mệnh đề thuận-đảo, cách áp dụng các kiến thức trên trình bày lời giải
theo nhiều cách. Những ví dụ này cũng có thể coi là các bài toán quỹ
tích cơ bản được sử dụng như các quỹ tích cơ bản.
Ví dụ 1.1. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b nhận AB làm đường
vuông góc chung, A ∈ a, B ∈ b. Các điểm E, F lần lượt di động trên a, b.
Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng EF.
Lời giải 1 (quỹ tích cơ bản).

Hình 1.1: Bài toán mở đầu


13

Phần thuận. Gọi O là trung điểm AB, qua O kẻ a a, b b. Gọi E , F
lần lượt là hình chiếu của E, F lên mặt phẳng (R) xác định bởi hai
đường thẳng a , b . Dễ thấy tứ giác EE FF là hình bình hành, M là giao
hai đường chéo nên M là trung điểm của E F . Suy ra M∈ (R). Đó là
mặt phẳng trung trực của AB (quỹ tích 7).
Phần đảo. Lấy bất kỳ M trên (R) ta cần dựng hai điểm E ∈ a, F ∈ b để
đoạn EF nhận M làm trung điểm.
Kẻ qua M một đường thẳng song song với b cắt a tại I (do a, b chéo
nhau nên có giao điểm I). Trên a lấy điểm E = O sao cho OI = IE .
Đường E M cắt b tại F . Theo cách dựng, ∆OE F nhận MI làm đường
trung bình nên M là trung điểm của E F . Dựng các hình bình hành
AOE E, BOF F, dễ chứng minh được E∈ a, F∈ b, EE FF và EE =
FF . Do đó tứ giác EE FF là hình bình hành, M là trung điểm của E F

nên M cũng là trung điểm của EF.
Kết luận. Quỹ tích các điểm M là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Lời giải 2 (véc tơ). Lấy a, b là các véc tơ chỉ phương của a và b. Giả
−→
−→
sử AE = ea, BF = f b với a không song song b. Gọi O là trung điểm của
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
AB, ta có OE + OF = OA + AE + OB + BF = AE + BF = ea + f b với
mọi e, f ∈ R.
−→ −→
−
→
−
→
1 −
I là trung điểm của EF ⇐⇒ OE + OF = 2OI ⇐⇒ OI = (e.→
a +
2
→
−
f. b ) với mọi e, f ∈ R. Ta kết luận quỹ tích các điểm I là mặt phẳng
qua O, nhận a, b làm cặp chỉ phương. Với giả thiết AB là đường vuông
góc chung của a, b thì mặt phẳng đó chính là mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB.
Lời giải 3 (tọa độ). Chọn hệ tọa độ Oxyz với O là trung điểm AB,
Ox a, Oy b (hệ tọa độ affine). Đặt AB = a = const, Ta tính được
tọa độ các điểm E, F, I. Từ đó viết được phương trình mặt phẳng quỹ
tích điểm I.
Ví dụ 1.2. Cho tứ diện ABCD. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho

MA2 + MB2 = MC2 + MD2 .


14

Lời giải. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó,
2

MA + MB

2

MC2 + MD2

AB2
= 2MI +
22 .
CD
= 2MJ2 +
2
2

Ta dùng sơ đồ "thuận-đảo song song": MA2 + MB2 = MC2 + MD2 ⇐⇒
CD2 − AB2
2
2
⇐⇒ quỹ tích của M là mặt phẳng vuông góc
MI − MJ =
4
với IJ tại H, H xác định bởi (theo quỹ tích cơ bản 12):

CD2 − AB2
CD2 − AB2
4
OH =
⇐⇒ IJ.OH =
8
2IJ

(O là trung điểm IJ).

Ví dụ 1.3. Cho điểm E cố định nằm trong mặt cầu S tâm O, bán kính
R. Một đường thẳng d luôn qua E cắt S tại hai điểm A, B. Tìm quỹ tích
trung điểm M của AB, trung điểm N của đoạn EA, trọng tâm G của
tam giác OEA.
Lời giải.
a. Vì M là trung điểm dây AB của mặt cầu S nên OM ⊥ AB. Điểm M
nhìn OE dưới một góc vuông nên M thuộc mặt cầu S1 đường kính OE
(quỹ tích 14).
Đảo lại, với mọi M ∈ S1 đường thẳng EM cắt S1 tại hai điểm A , B .
Ta có OM ⊥ A B nên M phải là trung điểm của A B .
Quỹ tích của M là mặt cầu S1 , đường kính OE.
b. Gọi I là trung điểm của OE. Tam giác OEA nhận IN là đường trung
1
R
R
bình nên IN = OA = . Vậy N thuộc mặt cầu S2 , tâm I bán kính .
2
2
2

R
Đảo lại, hiển nhiên. Quỹ tích của N là mặt cầu S2 tâm I bán kính .
2
IG 1
c. G là trọng tâm tam giác OEA nên G thuộc trung tuyến IA và
= .
IA
3
1
Như vậy, ta có đẳng thức: N = HIk (A), k = . Suy ra quỹ tích của N là
3
1
ảnh vị tự của mặt cầu S qua phép vị tự tâm I, tỷ số k = .
3
Nhận xét 1.1. Vì phép vị tự là song ánh nên khi có đẳng thức vị tự ta
coi như biến đổi tương đương, không cần chứng minh mệnh đề đảo.


15

Hình 1.2: Quỹ tích các điểm M, N, G

Chương một tóm tắt các kiến thức cơ bản được sử dụng khi giải bài
toán quỹ tích. Đứng trước bài toán quỹ tích việc thiết lập các mệnh
đề thuận-đảo (hoặc các cặp tương đương) là rất quan trọng. Tuy nhiên
cũng có nhiều bài toán quỹ tích trong không gian liên quan đến hệ thức,
đẳng thức véc tơ ta lại dùng biến đổi tương đương hoặc lập các đẳng
thức đặc trưng của phép biến hình. Các kỹ thuật chi tiết hơn sẽ được
trình bày trong chương hai.

16

Chương 2
Các phương pháp giải toán quỹ
tích trong không gian
2.1

Phương pháp quỹ tích cơ bản

Bài toán quỹ tích sẽ giải được nếu ta đưa quỹ tích cần tìm về các quỹ
tích cơ bản. Khi đó ta có ngay hình Φ nói trong phần đầu. Chủ yếu là
trong phần thuận ta tìm được mối quan hệ giữa điểm cần tìm quỹ tích
với các quỹ tích cơ bản.
Ví dụ 2.1. Cho M,N lần lượt chuyển động trên hai đường thẳng a
và b chéo nhau. Tìm quỹ tích những điểm I trên đoạn MN sao cho
IM
= k > 0.
IN
Lời giải.
Phần thuận. Gọi AB là đường vuông góc chung của a và b, C là điểm
CA
CA
IM
trên đoạn AB sao cho
= k . Khi đó C cố định. Vì
=
(= k)
CB
CB

IN
nên theo định lý Ta lét đảo ta có 3 đường thẳng a, b, CI cùng song song
với một mặt phẳng cố định. Suy ra CI nằm trong mặt phẳng α đi qua
C, song song với hai đường thẳng (chéo nhau) a, b. Như vậy ta đã chỉ ra
mặt phẳng α xác định chứa I.
Phần đảo.
Lấy bất kỳ I ∈ α ta phải dựng hai điểm M ∈ a, N ∈ b sao cho MN chứa
IM
= k.
I thỏa mãn
IN
Vì I ∈ α a nên I ∈
/ a, ta xác định được mặt phẳng (I, a). Tương


17

Hình 2.1: Quỹ tích cơ bản

tự như thế, xác định được mặt phẳng (I, b). Hai mặt phẳng có I chung
và không trùng nhau nên cắt nhau theo một giao tuyến d. Hai đường
thẳng d và a cùng nằm trong mặt phẳng (I, a), không trùng nhau nên
chúng song song hoặc cắt nhau.
Nếu d a thì vì d là giao của α và (I, b) nên d b, dẫn tới b a,
Mâu thuẫn. Vậy d cắt a và tương tự d cắt cả b.
Ta gọi M = d ∩ a, N = d ∩ b, dựng mặt phẳng P chứa a song song
với α, mặt phẳng Q chứa b song song với α thì ba mặt phẳng này cắt
AB tại A,C,B và cắt MN tại M, I, N (theo thứ tự đó).Theo định lý Ta
IM CA
=

= k . Mọi điểm của α đều thỏa mãn đề bài.
lét ta có:
IN
CB
Kết luận: Quỹ tích các điểm I là mặt phẳng α đi qua C, song song
với a và b.
Nhận xét 2.1. Khi k = 1, tức điểm I là trung điểm của MN, quỹ tích
của điểm I là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ví dụ 2.2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B.
Giả
√ sử AB=BC=a, AD=2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và có độ dài
a 2. Điểm M di động trên đoạn AB, α là mặt phẳng qua M, song song
với (SBC) cắt CD, SD, SA lần lượt tại N, P, Q.


18

a. Tìm quỹ tích điểm I = MQ ∩ NP.
b. Tìm quỹ tích hình chiếu H của A lên mặt phẳng α.
c. Tìm quỹ tích trung điểm E của MN và trung điểm F của IE.
Lời giải.

Hình 2.2: Quỹ tích I, H, E, F

a. Quỹ tích I.
Phần thuận. Gọi O là giao của AB và CD. Vì I ∈ MQ nên I∈ (SAB);
I∈ NP nên I∈ (SCD). Như thế I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng cố
định (SAB) và (SCD). Dễ thấy giao tuyến đó chính là đường thẳng SO.

19

Phần đảo. Lấy I trên SO, qua M ta phải dựng mặt phẳng cắt AB tại điểm
M. Để có giao điểm M thì không thể ở ngoài đoạn SI1 với I1 = SO ∩ At,
At qua A, song song với SB. Khi có M dễ thấy I là giao của MQ và NP,
thỏa mãn điều kiện bài toán. Chú ý rằng I có thể ở vị trí S nhưng không
ở vị trí của I1 được vì lúc đó không có tứ giác MNPQ. Vậy quỹ tích của
I là đoạn thẳng SI1 , bỏ điểm I1 .
b. Quỹ tích H.
Trong mặt phẳng (SAB) từ A hạ AG⊥SB, AG cắt MQ ở H . Ta có
AH ⊥ MQ, mặt khác QP ⊥ (SAB) nên QP ⊥ AH . Từ đó, AH ⊥ α
hay H ≡ H. Ta thu được H thuộc đường cao AG của tam giác SAB.
Phần đảo. Lấy mọi H trên đoạn AG. Qua H dựng MN SB, M ∈ AB, N ∈
CD. Từ đó dựng mặt phẳng α. Dễ thấy AH ⊥ α.
Quỹ tích các điểm H là đoạn đường cao AG của tam giác SAB.
c. Quỹ tích E.
Gọi E1 , E2 lần lượt là trung điểm của BC và AD. Theo kết quả đã biết
trong hình học phẳng, quỹ tích của E là đoạn thẳng E1 E2 .
Quỹ tích F. Đường thẳng E1 E2 đi qua O. Tứ giác SE1 E2 I1 là hình thang
hai đáy là SE1 , I1 E2 . Suy ra EI là đường trung bình của hình thang này,
từ đó quỹ tích trung điểm F của EI là đoạn F1 F2 với F1 là trung điểm
SE1 , F2 là trung điểm I1 E2 . Quỹ tích của F là đoạn thẳng F1 F2 .

2.2

Phương pháp quỹ tích phẳng trong không gian

2.2.1

Quỹ tích phẳng trong không gian

Những bài toán quỹ tích tuy trong giả thiết có mang các yếu tố không
gian nhưng điểm cần tìm quỹ tích được xác định là luôn ở trong một
mặt phẳng cố định. Ta gọi đó là các quỹ tích phẳng trong không gian.
Để giải các bài toán như vậy ta phải thiết lập các bước
Bước 1. Xác định mặt phẳng α chứa điểm cần tìm quỹ tích.
Bước 2. Trên mặt phẳng α giải bài toán quỹ tích phẳng.
Ví dụ 2.3. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, vuông góc với nhau
và cách nhau một khoảng bằng h. Các điểm M và N thứ tự chuyển động
trên a và b sao cho độ dài MN luôn bằng k không đổi. Tìm quỹ tích
trung điểm I của MN.