ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
**********************

ĐẶNG THỊ THÙY

ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
**********************

ĐẶNG THỊ THÙY

ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Th.s NGUYỄN VĂN VẠN

HÀ NỘI – 2012


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Th.s Nguyễn
Văn Vạn – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành
khóa luận này.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Đặng Thị Thùy


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo
Th.s Nguyễn Văn Vạn.

Hà nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Đặng Thị Thùy

MỤC LỤC
A-MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1
B-NỘI DUNG......................................................................................................... 3
Chương 1: Cơ sở lý luận ....................................................................................... 3
1.1. Đại cương về phép biến hình trong không gian .......................................... 3
1.2. Phép biến hình afin ..................................................................................... 4
1.3. Phép đẳng cự ............................................................................................... 5
1.4. Một số phép đẳng cự đặc biệt ..................................................................... 6
1.5. Phép đồng dạng ........................................................................................... 9
Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong
hình học không gian .............................................................................................. 13
2.1. Bài toán quỹ tích ......................................................................................... 13
2.2. Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học
không gian ................................................................................................... 13
2.3. Một số ví dụ ................................................................................................ 14
2.4. Bài tập đề nghị ............................................................................................ 31
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 34


1

A – MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Hình học có một vị trí rất quan trọng trong Toán học. Nó là một môn học

có tính hệ thống, chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác
của Toán học. Do vậy, Hình học được coi là một môn học khó, đặc biệt là

việc học hình học không gian cũng như học các phép biến hình trong không
gian.
Việc vận dụng các phép biến hình nói chung cũng như phép đồng dạng
nói riêng để giải quyết các bài toán hình học trong không gian, đặc biệt là bài
toán “quỹ tích” giúp cho quá trình thực hiện trở nên đơn giản, dễ hiểu mà
không phải khi nào phương pháp thông thường cũng giải quyết được.
Vì vậy từ niềm đam mê và cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy
giáo Th.s Nguyễn Văn Vạn, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Ứng dụng phép
đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian”.
2.

Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này nhằm:
Củng cố lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ hơn

và có thể áp dụng tốt hơn phép biến hình này vào giải toán.
Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng vào giải một số bài toán quỹ
tích.

3.

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phép đồng dạng.
Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích

của hình học không gian.


2

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong

không gian.
Nghiên cứu về ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong
hình học không gian.

5.

Phương pháp nghiên cứu
Cơ sở lí luận, sách giáo khoa, sách giáo trình, sách tham khảo và một số

tài liệu liên quan.

6.

Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc khóa luận gồm:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong

hình học không gian.


3

B – NỘI DUNG
Chương 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1.

Đại cương về phép biến hình trong không gian

1.1.1. Định nghĩa
Giả sử T(T ≠ ∅ ) là tập hợp mọi điểm trong không gian. Một song ánh f:
T→T được gọi là một phép biến hình của tập T.
f: T → T
M  M’
M’ được gọi là ảnh của M và M được gọi là tạo ảnh của M’ qua phép biến
hình f.
Ví dụ: Ánh xạ đồng nhất trên tập T là phép biến hình.
1.1.2. Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến hình
Định nghĩa: Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho, f: M
 M’ và g: M’  M’’. Khi đó, tích của hai phép biến hình f và g cũng

được gọi là phép biến hình. Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích
của f và g, kí hiệu g ∘ 𝑓: M  M’’ hoặc g(f): M  M’’.

Tóm lại tích của hai phép biến hình là một phép biến hình nhận được từ

việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến hình đã cho.
Cho n phép biến hình f1, f2, f3,… fn với n>2. Tích của n phép biến hình
đã cho là một phép biến hình F được thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác
định và được kí hiệu là F= fn ∘ fn-1 ∘ fn-2 ∘….∘ f2 ∘ f1. Trong đó ta thực hiện f1

trước, rồi tiếp đến là f2, f3,… fn .

1.1.3. Phép biến hình đảo ngược

Định nghĩa: Cho phép biến hình f: M  M’. Nếu tồn tại một phép biến
hình g : M '  M thì ta nói g là phép biến hình đảo ngược của f.
1.1.4. Phép biến hình đối hợp, phép biến hình đồng nhất


4

Định nghĩa: Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối
hợp nếu f 2 = Id, khi đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo của f là f −1
trùng nhau.
Định nghĩa: Phép biến hình f của tập T biến mọi điểm M trong không
gian thành chính nó được gọi là phép biến hình đồng nhất.
1.1.5. Điểm bất động (điểm kép), hình bất động, hình kép
Định nghĩa: Cho phép biến hình f của tập T. Điểm M của tập T được gọi
là điểm bất động (điểm kép) của phép biến hình f nếu f(M) = M.
Định nghĩa: Cho phép biến hình f của tập T. Hình H bộ phận của tập T
được gọi là hình kép của phép biến hình f nếu f(H) = H.
Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu ta có mọi
điểm của H bất động đối với f.
1.1.6. Hai hình trùng nhau
Ta nói hai hình không gian (F1) và (F2) trùng nhau nếu mọi điểm của
hình này đều thuộc hình kia và ngược lại. Hai hình trùng nhau được kí hiệu
là (F1) ≡ (F2). Nếu mọi điểm của (F1) đều thuộc (F2) thì ta nói (F1) là hình

con của (F2).

1.2.

Phép biến hình Afin

1.2.1. Định nghĩa:
Phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng được gọi là phép
biến hình afin hay gọi tắt là phép afin.
1.2.2. Định lí:
Định lí 1.1: Một phép biến hình f của không gian được gọi là một phép
afin khi và chỉ khi nó biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và
biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng.
1.2.3. Tính chất:


5

Tính chất 1: Phép afin biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
Tính chất 2: Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng.
Tính chất 3: Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định
hướng.
Tính chất 4: Phép afin biến véc tơ tổng thành tổng các véc tơ tương ứng.
Tính chất 5: Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
1.2.4. Định lí về sự xác định phép afin
Định lí 1.2: Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ khi đó
tồn tại duy nhất một phép afin biến A, B, C, D lần lượt thành A’, B’, C’, D’.
1.2.5. Hai tứ diện cùng chiều, ngược chiều
Định nghĩa: Trong không gian hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ được gọi
là cùng chiều (ngược chiều) nếu hai góc tam diện A.BCD và A’.B’C’D’ cùng
hướng (ngược hướng).
1.2.6. Phân loại phép afin
Định nghĩa: Phép afin trong không gian được gọi là phép afin loại 1 nếu
hai tứ diện xác định nó là cùng chiều. Ngược lại ta gọi là phép afin loại 2.
1.3.

Phép đẳng cự

1.3.1. Định nghĩa :
Phép biến hình trong không gian bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm
được gọi là phép đẳng cự.
1.3.2. Tính chất:
Tính chất 1: Phép đẳng cự là phép afin.
Tính chất 2: Phép đẳng cự biến mặt cầu thành mặt cầu.
1.3.3. Định lí về sự xác định


6

Định lí 1.3: Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng
nhau, khi đó tồn tại duy nhất một phép đẳng cự biến A, B, C, D lần lượt thành
A’, B’, C’, D’.
1.3.4. Phân loại phép đẳng cự
Định nghĩa: Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin
loại 1. Ngược lại, ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu.
1.3.5. Định lí 1.5:
Tích hai phép dời hình là phép dời hình.
Tích hai phép phản chiếu là phép dời hình.
Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là một phép
phản chiếu. Phép đảo ngược của dời hình ( phản chiếu ) là phép dời hình (
phản chiếu ).
1.3.6. Hai hình bằng nhau, hai hình đối xứng
Định nghĩa: Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình gọi là hai hình
bằng nhau. Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối
xứng.

1.4.

Một số phép đẳng cự đặc biệt

1.4.1. Phép tịnh tiến

a) Định nghĩa: Trong không gian cho véc tơ v là một véc tơ hằng (tức là

véc tơ có hướng, phương, modun không đổi). Phép biến hình trong không
 
gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến


theo véc tơ v và kí hiệu Tv : M  M ' , v được gọi là véc tơ tịnh tiến.
b) Tính chất:
Tính chất 1: Phép tịnh tiến Tv là một phép dời hình bảo tồn phương
 
M ' = Tv ( M ) ⇔ MM ' = v


7

Tính chất 2: Phép tịnh tiến Tv không có điểm bất động và có biến đổi
 
ngược. Nếu v = 0 thì phép tịnh tiến Tv là một phép đồng nhất.
 
Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua Tv thì AB = A ' B '
Tính chất 4: Phép tịnh tiến Tv biến 4 điểm nằm trong một mặt phẳng
thành 4 điểm nằm trong mặt phẳng.
1.4.2. Phép đối xứng qua tâm

a) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một điểm O. Phép biến hình


trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho OM ' = −OM được gọi
là phép đối xứng qua tâm O và kí hiệu Đ𝑂 : M  M ' , O được gọi là tâm đối

xứng.

b) Tính chất:
Tính chất 1: Phép đối xứng Đ𝑂 là phép phản chiếu, là phép đối hợp và có

O là điểm bất động duy nhất.



Tính chất 2: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua Đ𝑂 thì A ' B ' = − AB .

Tính chất 3: Phép đối xứng Đ𝑂 biến bốn điểm cùng nằm trong một phẳng

thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
1.4.3. Phép đối xứng qua một đường thẳng

a) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một đường thẳng (d). Phép
biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho (d) là đường
trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng và kí
hiệu Đ(𝑑) : M  M ' , đường thẳng (d) được gọi là trục đối xứng.
b) Tính chất:

Tính chất 1: Phép đối xứng Đ(𝑑) là phép dời hình, phép đối hợp và có một

đường thẳng bất động duy nhất là (d).

Tính chất 2: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua Đ(𝑑) thì AB = A’B’.


8

Tính chất 3: Phép đối xứng Đ(𝑑) biến bốn điểm cùng nằm trong một

phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
1.4.4. Phép đối xứng qua mặt phẳng

a) Định nghĩa: Cho trước một mặt phẳng (α). Phép biến hình trong
không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho (α) là mặt phẳng trung trực
của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua mặt phẳng và kí hiệu Đ(𝛼) :

M  M ' , mặt phẳng (α) được gọi là mặt phẳng đối xứng.
b) Tính chất:

Tính chất 1: Phép đối xứng Đ(𝛼) là phép phản chiếu, là phép đối hợp và

mặt phẳng (α) bất động duy nhất.

Tính chất 2: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua Đ(𝛼) thì A’B’=AB.

Tính chất 3: Phép đối xứng Đ(𝛼) biến bốn điểm cùng nằm trong một

phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
1.4.5. Phép quay quanh một trục trong không gian

a) Định nghĩa: Trong không gian cho đường thẳng (d) và góc phẳng
định hướng ϕ . Phép biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’
sao cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:
i) Các điểm M và M’ cùng nằm trong mặt phẳng (α) vuông góc với
đường thẳng (d) tại điểm O.
ii)OM = OM’.
iii)Nếu chiều dương của mặt phẳng (α) là chiều quay của vặn nút chai
 
tiến theo chiều dương của trục (d) thì (OM ', OM ) = ϕ .
Thì gọi là phép quay trong không gian quanh trục (d), góc quay ϕ .
Kí hiệu: Q(d ,ϕ ) hoặc Qdϕ : M  M '
b) Tính chất:


9

Tính chất 1: Phép quay Qdϕ là phép dời hình và trục quay (d) là đường
thẳng bất động của phép quay.
Nếu ϕ = 1800 thì phép quay là phép đối xứng qua (d).
Tính chất 2: Phép quay quanh (d) là phép đối hợp khi và chỉ khi

ϕ = k .1800 .
Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B trong Qdϕ thì A’B’=AB.
Tính chất 4: Phép quay quanh (d) biến bốn điểm cùng nằm trong một
phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
1.5.

Phép đồng dạng

1.5.1. Phép đồng dạng

a) Định nghĩa: Phép biến hình trong không gian biến cặp điểm M, N
thành cặp điểm M’, N’ tương ứng sao cho M’N’ = k.MN (k là một hằng số
dương cho trước) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k và kí hiệu Z k , k là tỉ số
đồng dạng.
b)Tính chất:
- Phép đồng dạng Z k là phép afin.
- Phép đồng dạng Z k biến mặt cầu thành mặt cầu.
c)Định lí xác định phép đồng dạng
Định lí 1.5: Nếu trong không gian cho hai hệ bốn điểm đồng phẳng

A ' B ' B 'C ' C ' D ' D ' A '
ABCD, A’B’C’D’ sao cho = = = = k (k > 0) thì tồn tai
AB
BC
CD
DA
duy nhất phép đồng dạng biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm
A’, B’, C’, D’.
Chứng minh:
Trên tia A’B’, A’C’, A’D’ tương ứng lấy các điểm B1 , C1 , D1 sao cho


10

=
A ' B1 AB
=
, A ' C1 AC
=
, A ' D1 AD

=
, B1C1 BC
=
, B1D1 BD
=
, C1D1 CD . Suy ra

tứ diện ABCD bằng tứ diện A ' B1C1D .
Từ đó theo định lý về sự xác định phép dời hình, tồn tại duy nhất phép dời
g, sao cho g : A  A ', g : B  B1 , g : C  C1 , g : D  D1 .
Thực hiện tiếp phép vị tự tâm A’ tỉ số k, sao cho VAk' : A '  A ', VAk' : B1  B ',

VAk' : C1  C ',VAk' : D1  D ' . Từ đó

VAk' .g = Z k ,

Z k : A  A ', Z k : B  B ',

Z k : C  C ', Z k : D  D ' . Do phép dời hình là duy nhất, nên phép đồng dạng

là duy nhất.
d)Định nghĩa hai hình đồng dạng.
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một phép đồng dạng
biến một trong hai hình thành hình còn lại.
e)Phân loại.
Phép đồng dạng Z k được gọi là phép đồng dạng thuận hay nghịch nếu nó
là phép afin loại 1 hay loại 2.
1.5.2. Phép vị tự
a) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm O và số thực k ≠ 0 . Phép



biến hình trong không gian biến mỗi M thành điểm M thỏa mãn OM ' = kOM
được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k và kí hiệu V (O, k ) hoặc VOk .
b) Tính chất:
- Phép vị tự VOk là phép đồng dạng .
- Phép vị tự VOk có duy nhất O là điểm bất động.
- Phép vị tự VOk bảo tồn phương của mặt phẳng.
Chú ý: VOk = Đ O .VO− k
c)Phép co – dãn


11

Định nghĩa 1: Trong không gian cho trước một đường thẳng (d) và một
số k > 0 . Phép biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao


cho IM ' = k IM , trong đó I là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (d) được
gọi là phép co – dãn về (d). Kí hiệu C (d , k ) : M  M '
Định nghĩa 2: Cho trước một mặt phẳng (α ) và một số k > 0 . Phép biến


hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho HM ' = k HM ,
trong đó H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (α ) được gọi là phép co –
dãn về (α ) . Kí hiệu C (α , k ) : M  M '
Nếu k > 1 thì C (α , k ) , C (d , k ) là một phép dãn.
Nếu k < 1 thì C (α , k ) , C (d , k ) là một phép co.
Nếu k = 1 thì C (α , k ) , C (d , k ) là một phép đồng nhất.
Định lý 1.6: Trong không gian cho hai đường thẳng (d), (d’) và một số

k > 0 . Khi đó, tích của hai phép co – dãn C (d , k ) và C (d ', k ) với hai trục (d),
(d’) vuông góc với nhau và cắt nhau tại O là một phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Chứng minh:
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy mà đường thẳng (d), (d’) là các trục tọa độ.
Với mỗi điểm M(x, y), C (d , k ) biến M thành M 1 ( x, ky ) , C (d ', k ) biến
M 1 thành M 2 (kx, ky ) .

Vậy tích của hai phép co – dãn đó biến điểm M thành M 2 thỏa mãn điều


kiện OM 2 = kOM .
Định lý 1.7: Cho ba mặt phẳng ( P1 ),( P2 ),( P3 ) đôi một vuông góc với
nhau và một số k > 0 . Khi đó, tích của ba phép co – dãn C ( P1 , k ), C ( P2 , k ),
C ( P3 , k ) là một phép vị tự.

Chứng minh: tương tự định lý 1.6, bạn đọc tự chứng minh.
1.5.3. Dạng chính tắc của phép đồng dạng.


12

• Định lí 1.7:
Trong không gian tích của một phép dời hình và một phép vị tự tỷ số
hoặc theo thứ tự ngược lại là một phép đồng dạng theo tỷ số k. Phép đồng
dạng là thuận hay nghịch tùy thuộc theo k âm hay dương.
Ngược lại, mọi phép đồng dạng tỷ số k trong không gian luôn có thể
được phân tích thành tích của một phép dời hình và một phép vị tự hoặc theo
thứ tự ngược lại mà tâm vị tự là tùy ý, tỷ số vị tự là k hoặc –k tùy theo phép
đồng dạng là thuận hay nghịch.
Chú ý: k>0 thì Z k thuận.

k<0 thì Z k nghịch.
• Định lý 1.8:
Trong không gian một phép đồng dạng Z k bao giờ cũng có thể phân tích
bằng vô số cách thành tích của một phép vị tự và một phép quay quanh trục
với tỷ số vị tự là k hoặc –k tùy theo Z k là phép đồng dạng thuận hay nghịch.
• Định lí 1.9:
Một phép đồng dạng khác đẳng cự trong không gian nếu không là phép
vị tự thì có thể biểu diễn duy nhất thành tích giao hoán được của một phép
quay quanh trục và một phép vị tự.


13

Chương 2: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2.1. Bài toán quỹ tích
2.1.1. Định nghĩa quỹ tích
Một hình (H) được gọi là quỹ tích của các điểm M có tính chất T (hay
tập hợp các điểm M có tính chất T) khi và chỉ khi nó chứa các điểm có tính
chất T.
2.1.2. Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là
một hình (H) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
a)Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình (H).
b)Phần đảo:Mọi điểm thuộc hình (H) (hoặc hình (H’)) đều có tính chất
T.
Giới hạn quỹ tích (nếu có)
Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta rút ra kết luận: Quỹ tích những
điểm M thỏa mãn tính chất T là hình (H).
2.2.

Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học

không gian.
Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích là dựa vào các tính
chất cơ bản, các dạng chính tắc của phép đồng dạng để tìm mối liên hệ giữa
các yếu tố cố định, yếu tố không đổi với điều kiện cần tìm của quỹ tích.
Phương pháp chung: Để tìm quỹ tích của điểm M’, ta sử dụng phép đồng
dạng thích hợp Z k : M  M ' , mà điểm M thuộc hình (H) đã biết trước nên
điểm M’ thuộc hình (H’) là ảnh của hình (H) qua phép đồng dạng Z k .


14

Do phép đồng dạng là một phép biến hình nên khi giải bài toán quỹ tích,
phần mà sử dụng phép đồng dạng ta không cần phải chứng minh phần đảo của
nó.
2.3. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau và vuông
góc với nhau. Với mỗi điểm A thuộc (d) ta xác định hình chiếu B của
A trên (d’) và điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và nằm
trong mặt phẳng (α) vuông góc với (d’). Tìm quỹ tích điểm C khi A
thay đổi trên (d).
_Lời giải_

Do (d ) ⊥ (d ') ⇒ tồn tại duy nhất mặt phẳng (α ) chứa (d) và vuông góc
với (d’).
 A ∈ (d )
Ta có: 
(d ') ⊥ (α )

⇒ hình chiếu B của A lên (d’) là giao điểm của (d’) và (α).

Do (d’) và (α) cố định nên B cố định với mọi A ∈ (d ) .


15

2 BA (do ∆ ABC vuông cân tại A)


Trên BA lấy B’ sao cho BB ' = 2 BA . Mặt khác, B cố định nên

Ta có BC =

VB 2 : A  B’

(1)

B’ và C đều thuộc (α),

Do 


hoặc
0

Qd45' : B’  C

Nên ta có:

(2)

Hoặc: Qd−45
' : B’  C
0

Từ (1) và (2) suy ra :

Z

= Q(45d ') .VB 2 : A  C hoặc Z

2

= Q(−d45') .VB 2 : A  C
0

0

2

Mà A ∈ (d ) do đó quỹ tích điểm C là một trong hai đường thẳng
(d’’) là ảnh của (d) qua phép đồng dạng thuận Z 2 .
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng (d1 ) , (d 2 ) và một đường tròn (O).
Trên (d) ta lấy điểm A. Hãy tìm quỹ tích điểm B trên (d 2 ) và C trên
(O) sao cho tam giác ABC vuông cân tại B và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với (d1 )
_Lời giải_

16

*)Quỹ tích điểm C

 A ∈ (d1 )

Do (d1 ) ⊥ (α ) ⇒ { A} = (d1 ) ∩ (α )
 A ∈ (α )

(d1 ),(α ) cố định ⇒ A cố định

Ta có ∆ ABC vuông cân tại B ⇒ AC = 2 AB


Trên AB lấy B’ sao cho AB ' = 2 AB
Vậy

VA 2 : B  B '



Vì 
 B và C thuộc


hoặc

0

⇒ Q(45d1 ) : B '  C (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Z

(1)

hoặc

Q(−d451 ) : B '  C
0

= Q(45d1 ) .VA 2 : B  C hoặc Z
0

2

= Q(−d451 ) .VA 2 : B  C
0

2

Mà B∈ (d 2 ) nên C thuộc một trong hai đường thẳng (d’) là ảnh của (d 2 )
qua phép đồng dạng thuận Z 2 .
Mặt khác, C ∈ (O) . Do đó quỹ tích điểm C là giao điểm của (O) và một
trong hai đường thẳng (d’). Như vậy, bài toán chỉ có nghiệm khi (d’) và
đường tròn (O) có điểm chung.
*) Quỹ tích điểm B
Để tìm quỹ tích điểm B ta cần tiến hành làm ngược lại quá trình tìm C.
Bạn đọc tự giải.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau và vuông

góc với nhau. Với mỗi điểm A thuộc (d) ta xác định hình chiếu B của
A trên (d’) và điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và nằm


17

trong mặt phẳng (α) vuông góc với (d’). Tìm quỹ tích trung điểm của
các cạnh của tam giác ABC khi A thay đổi.
_Lời giải_

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA.
*) Quỹ tích điểm I
 1 
Vì I là trung điểm của AB ⇒ BI = BA .
2
1
2
B

Mà B cố định nên ta có: V : A  I
Mặt khác, A thuộc (d), do đó quỹ tích điểm I là đường thẳng (a)
song song với (d).
*) Quỹ tích điểm J
Ta có: BC = 2 BA (do ∆ ABC vuông cân tại A)

2
Vì J là trung điểm của BC ⇒ BJ = BA .Trên BA lấy A1 sao cho
2
2


2 
2
BA1 =
BA . Mà B cố định nên VB : A  A1 . (1).
2


18

 BJ =

Do 
 B và J thuộc

Vậy:

hoặc

0

Q(45d ') : A1  J (2) hoặc Q(−d45') : A1  J
0

Từ (1) và (2) ⇒ Z

2
2

2
2

=
Q .VB : A  J hoặc Z
450
( d ')

2
2

−450
( d ')

=Q

2
2

.VB : A  J

Mà A thuộc (d), do đó quỹ tích điểm J là một trong hai đường
thẳng (b) là ảnh của (d) qua phép đồng dạng thuận Z 2 .
2

*) Quỹ tích điểm K

AB 2
5
=
AB
Xét ∆AKB vuông tại A có: BK= AB + AK = AB +

4
2
2

2

2

√5 �����⃗
Trên BA lấy M sao cho ������⃗
𝐵𝑀= . 𝐵𝐴
. Vì B cố định nên
2

√5
2

𝑉𝐵 : A⟼ 𝑀

(3)

�����⃗, 𝐵𝐾
� =(𝐵𝐴
������⃗ ) ( β không đổi)
Ta có: ∆ AKB vuông tại A, gọi β =𝐴𝐵𝐾
⟹ 𝑡𝑎𝑛 𝛽=

𝐴𝐾
𝐴𝐵

1

= ⟹ 𝛽=arctg
2

 BK = BM

hoặc
Do 
 K và M thuộc

Vậy Q(βd ') : M  K

(4)

Từ (3) và (4) ⇒ Z

β

5
2

1
2

hoặc Q(−dβ') : M  K
5
2

= Q( d ') .VB : A  K hoặc Z

5
2

−β
( d ')

5
2

= Q .VB : A  K

Mà A thuộc (d), do đó quỹ tích điểm K là một trong hai đường
thẳng (c) là ảnh của (d) qua phép đồng dạng thuận 𝑍√5 .
2


19

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và
cạnh bên SA vuông góc với (ABCD). M là một điểm thuộc đường tròn
(O;R) nội tiếp ∆SBC. Gọi N là giao điểm của mặt phẳng (α) qua M và

vuông góc với BC, M’N là giao điểm của (ABCD) và (α) sao cho
∆MNM’ cân tại N. Tìm quỹ tích trung điểm AM’ khi M di động trên
đường tròn nội tiếp ∆SBC.
_Lời giải_

 AB BC (do ABCD là hình vuông)
Ta có: 

 SA BC (do SA (ABCD))

 SA, AB cắt nhau tại A

⇒

BC ⊥ (𝑆𝐴𝐵)

Mặt khác, BC ⊥ (α) ⇒ BC ⊥ MN

⇒

MN // SB

(1)


20

Vì AB ⊥ BC (do ABCD là hình vuông) và BC ⊥ M’N (do BC ⊥ (α))

⇒

M’N // AB

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(NM, NM’) = (BS, BA) = λ.

(λ không đổi)

Mà ∆NMM’ cân tại N ⟹ NM=NM’.

Mặt khác, M và M’ thuộc mặt phẳng (α) ⊥ BC.

Do đó, ta có: Q(λBC ) : M  M ' (3) hoặc

λ
Q(−BC
) :M  M '

1 ��������⃗
𝐴𝐼 = . 𝐴𝑀′
.
Gọi I là trung điểm của AM’ ⇒ ����⃗

Mặt khác A cố định nên ta có:

2

1
2

𝑉𝐴 : M’ ⟼ I. (4)
1
2

λ

( BC )

VA .Q
Từ (3) và (4) ⇒ Z 1 =
2

1
2

λ
: M  I hoặc ⇒ Z 1 =
VA .Q(−BC
) :M  I
2

Mà M thuộc đường tròn (O;R), do đó quỹ tích trung điểm I của
R

AM’ thuộc đường tròn  O ';  là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép
2


đồng dạng Z 1 . Với O’ là ảnh của O qua phép đồng dạng thuận Z 1 .
2

2

Ví dụ 5: cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và
cạnh bên SA ⊥ (ABCD) . Với mỗi điểm M thuộc đường tròn (O;R) nội tiếp

∆ SBC , ta xác định M 1 là hình chiếu của M trên (ABCD) và M 2 là hình
chiếu của M 1 trên (SCD). Tìm quỹ tích điểm M 2 khi M biến thiên trên
(O;R).
_Lời giải_