Toán nâng cao Chuyên đề IX CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC

Chuyên đề IX: CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG
HÌNH HỌC

GVHD:
Đặng Văn Thuận

SVTH:

MSSV:

Tạ Hồng Mơ

B1200029

Châu Thị Kim Thuyền

B1200068

Nguyễn Thị Thảo Sương

B1200050

Ngô Thị Thảo Quyên

B1200048


NỘI DUNG

Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình

Dạng 2: Các bài toán về chu vi và diện tích các hình

Dạng 3: Các bài toán về cắt và ghép hình


Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình

Một số kiến thức cần nhớ:
1. Nối 2 điểm A, B ta được đoạn thẳng AB.
A

B

2. Hình tam giác có 3 đỉnh, 3 góc và 3 cạnh.
A

B

C


Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình

3. Hình tứ giác có 4 đỉnh, 4 cạnh và 4 góc.
B

C

A
D

4. Hình vuông có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.
A

C

B

D


Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình

5. Hình chữ nhật ABCD có 4 góc vuông, hai cạnh BC và AD là chiều dài, hai cạnh AB và DC là chiều rộng.

B

A

C

D


Dạng 1:

1

2

3

4

5

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC ta lấy 6 điểm. Nối đỉnh A với mỗi điểm vừa chọn. Hỏi đếm được bao nhiêu hình
tam giác?
Cách 1: Phương pháp lắp ghép

•
•

A
Có 7 tam giác ghép đơn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Có 6 tam giác ghép đôi: 1 + 2, 2 + 3, 3 + 4,

4 + 5, 5 + 6 và 6 + 7.

•

Lập luận tương tự ta được 5 tam giác ghép 3,

4 tam giác ghép 4, 3 tam giác ghép 5, 2 tam giác
ghép 6 và 1 tam giác ghép 7.Vậy số tam giác đếm được là:
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 (tam giác).

B

1

D

2

E

3

5

4

P

G

6

H

7

I

C


Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình

Bài tập 2/tr.86: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC ta lấy:

c) 100 điểm.
Ta có quy luật: Nếu trên cạnh đáy BC ta lấy n điểm và nối chúng với đỉnh A thì ta sẽ đếm được (n + 1) tam giác đơn và số
tam giác đếm được là:
1 + 2 + 3 +…+ (n + 1) = (n + 2) x (n + 1) : 2 (tam giác).
Áp dụng: Trên cạnh đáy BC lấy 100 điểm thì số tam giác đơn đếm được là 101 và số tam giác đếm được là: (100 + 2) x 101
: 2 = 5151 (tam giác).


Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình

Bài tập 3/tr.86: Cần ít nhất bao nhiêu điểm để nối lại ta được:

a) 4 hình tam giác?
•) Nếu ta có 3 điểm (3 điểm này không cùng nằm trên một đoạn thẳng) thì tạo thành một tam giác.
•) Nếu ta có 4 điểm, chẳng hạn A, B, C, D (trong đó không có 3 điểm nào cùng nằm trên một đoạn thẳng) thì khi nối lại ta
sẽ được 4 hình tam giác.
=> Vậy ta cần 4 điểm để khi nối lại ta sẽ được 4 hình tam giác.


Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình

Bài tập 1/tr.86: Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 3 điểm nào nằm trên cùng một đoạn thẳng. Hỏi khi nối các điểm trên ta được
bao nhiêu đoạn thẳng?

Giải

+ Nối điểm A với 4 điểm còn lại (B, C, D , E) ta được 4 đoạn thẳng có chung đầu mút A.
+ Nối điểm B với 3 điểm còn lại (C, D, E) (không kể điểm đã nối rồi) ta được 3 đoạn thẳng có chung đầu mút B. Tương tự như vậy ta được 2
đoạn thẳng có chung đầu mút C và 1 đoạn thẳng có chung đầu mút E.
=> Vậy số đoạn thẳng nối được là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng).

- Nếu có 6 điểm thì ta nối được: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 đoạn thẳng.
- Nếu có 10 điểm thì ta nối được: 9 + 8 + ….. 4 + 3 + 2 + 1 = 45 đoạn thẳng.


Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình
Bài tập 5/tr.87 (Tương tự ví dụ 2): Cho hình thang ABCD. Chia cạnh đáy BC và AD thành 3 phần bằng nhau và các cạnh bên AB, CD
thành 4 phần bằng nhau như hình vẽ. Ta đếm được được bao nhiêu hình thang trên hình vẽ?
Giải
- Trước hết ta xét các hình thang tạo bởi 2 đoạn thẳng
AB và EP. Bằng cách tương tự như ở ví dụ 1
E

B

ta tính được 10 hình thang. (4 hình thang ghép đơn, 3

1

hình thang ghép đôi, 2 hình thang ghép 3 và 1 hình
2

thang ghép 4).
3

- Tương tự như vậy ta tính được số hình thang tạo thành

EP và CD; AB và CD. Mỗi cặp đoạn thẳng sẽ đếm được
10 hình thang. => Vậy số hình thang đếm được trên hình vẽ là 60 (hình).

A

5
6

C
9
10
11

7

4

từ các cặp đoạn thẳng: EP và MN; MN và CD; AB và MN;

M

12

8

P

N

D


Dạng 2: Các bài toán về chu vi và diện tích của các hình

HÌNH

CÔNG THỨC CẦN NHỚ

1. Hình vuông

Chu vi: P = a x 4
Diện tích: S = a x a
a

a

2. Hình chữ nhật

Chu vi : P = (a + b) x 2
Diện tích: S = a x b

b

3. Hình tròn

Chu vi hình tròn bán kính r: P = r x 2 x 3,14
Diện tích hình tròn bán kính r: S = r x r x 3,14
r


Dạng 2: Các bài toán về chu vi và diện tích của các hình
HÌNH

CÔNG THỨC CẦN NHỚ

4. Tam giác

Diện tích hình tam giác có đường cao h và cạnh đáy a:
S=axh:2

h

5. Hình thang

Diện tích hình thang có đáy nhỏ a, đáy lớn b và đường cao h
là:
a

S = (a + b) x h : 2

h
b


6

Dạng 2:

13

,

26

29

Bài tập 7/87 : Cho hình thang ABCD có góc A và góc D vuông. Cạnh AB = 50cm, CD = 60cm, AM = 40cm, DM = 10cm. Tính diện tích hình
thang ABNM, biết MN song song với AB.
Giải
A

2
SABCD = (AB + CD) x AD : 2 = (50 + 60) x (40 + 10) : 2 = 2750 (cm )

50cm

B

 

40cm

SAND = SABCD – (SABN + SNDC) = 2750 – ( x 50 x 40) + ( x 60 x 10) =
2
1450 (cm )
SAND = x AD x MN => MN = 2 x SAND : AD = 2 x 1450 : 50 = 58 (cm)
SABMN = (50 + 58) x 40 : 2 = 2160 (cm2)

N

M
10cm
D

C
60cm


Bài tập 6/trang 87: Một cái ao hình vuông. Nay người ta mở rộng về bốn phía
2
mỗi phía thêm 4m. Vì vậy diện tích ao tăng thêm 192m . Hỏi diện tích ao lúc đầu
bằng bao nhiêu?
Giải
4m

Xem hình vẽ, ta có phần diện tích ao tăng thêm bằng diện tích 4 hình chữ nhật bằng nhau, nên

4m

2
diện tích một hình chữ nhật có diện tích là: 192 : 4 = 48 (m )
Hình chữ nhật này có chiều rộng bằng 4m, nên chiều dài của hình chữ nhật là : 48 : 4 = 12 (m)
4m

Cạnh ao ban đầu là : 12 – 4 = 8 (m)
Diện tích của ao là: 8 x 8 = 64 (m

2)

4m


Bài tập 9/trang 87: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm M, trên AB lấy điểm N sao cho BM = CM và AN = NB. Nối AM và CN cắt
nhau tại O. Cho biết độ dài AM = 24cm. Tính độ dài đoạn OA.

Giải

A

Ta có:
SMOB = SMOC

SCOM =

1
2

SABC – SBNOM

N
O

SNOB = SNOA
SAMB =

S1
ABC

SBCN =

S1
ABC

2

2

SNOA =

1
SABC – SBNOM
2

Vậy: SCOM = SNOA

B

C
M

=> SCOM = SABC=> SCOA = 2SCOM
=> OA = 2OM = 2 x 8 = 16 (cm)


Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

Bài tập 10/tr.87: Cho tam giác ABC có cạnh đáy BC = 10cm. Trên AB lấy điểm M, trên AC lấy điểm N sao cho AM =
MB và AN = NC. Tính độ dài MN, biết rằng chiều cao tam giác AMN bằng nửa chiều cao tam giác ABC.
Giải:
A
 

Ta có : S ABC = 2 S AMC Mà S AMC = 2 S AMN

⇒ SABC = 4 SAMN Mà SABC = BC x h

N

M

SAMN = MN x => BC x h = 4 x MN x
=> BC = 2MN
=> MN = 5 (cm)

B

C
10cm


Bài tập 29/tr.89: Cho tam giác ABC có góc A vuông và cạnh AB = 6cm, cạnh AC = 9cm. Trên AB lấy AM = MN = NB và
trên AC lấy AK = KH = HC. Tính diện tích tứ giác MNHK.
Giải

B
 

Ta có : SMNHK = SANH SAMK
2
SANH = x 4 x 6 = 12 (cm )
2

SAMK = x 2 x 3 = 3 (cm )
2
=> SMNHK = 12 - 3 = 9 (cm )

N
M

A

C
K

H


Dạng 3: Các bài toán về cắt và ghép hình

14

Thường gặp dưới 2 dạng:
1) Bằng một nét kẻ hãy chia một hình cho trước ra thành những phần có diện tích tỉ lệ với các số cho trước.
2) Bằng một số nhát cắt hãy chia một hình cho trước thành những mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình có
hình dạng cho trước.

25


Dạng 3: Các bài toán về cắt và ghép hình

Nhận xét:

-

Hai tam giác có cùng chiều cao và số đo của đáy bằng nhau thì diện tích bằng nhau.
Hai tam giác có chung đáy và số đo của đường cao bằng nhau thì diện tích cũng bằng nhau.


Dạng 3: Các bài toán về cắt và ghép hình

Bài tập 16/trang 88: Hãy cắt mảnh bìa hình chữ nhật thành hai mảnh để ghép lại ta được một hình thang có:
b) Đáy lớn gấp 5 lần đáy nhỏ.

A

D

B

C


Dạng 3: Các bài toán về cắt và ghép hình

Bài tập 16/trang 88

- Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho: AM =
- Nối DM.
A

D

2
3

AB.

M

B

C


Dạng 3: Các bài toán về cắt và ghép hình

Bài tập 16/trang 88

- Cắt theo DM ta được tam giác AMD.
- Ghép tam giác AMD vào vị trí tam giác BCN, ta sẽ được một hình thang thỏa yêu cầu của đề bài.
A

M

B

N
D

C

Dạng 3: Các bài toán về cắt và ghép hình

Bài tập 19/trang 88: Cho hình thang có kích thước như hình vẽ. Hãy vẽ một đoạn
thẳng để chia hình thang thành 2 phần, phần này có diện tích gấp 2 lần phần kia.

1cm

2cm

2cm


Dạng 3: Các bài toán về cắt và ghép hình

Bài tập 19/trang 88:

- Ta có:

1cm

A

B

2
SBCD = SABCD - SABD = 3 – 1 = 2 (cm )

- Ta nhận thấy:

2cm

SBCD = 2SABD
Vậy BD chính là đoạn thẳng cần vẽ.

C

D
2cm


Dạng 3: Các bài toán về cắt và ghép hình

Bài tập 19/trang 88:
- Gọi A, B, C, D lần lượt là tên các đỉnh của hình thang đã cho.

- Diện tích của hình thang ABCD là:

1cm

A

B

2
(3 x 2) : 2 = 3 (cm )

- Nối BD.
- Diện tích tam giác ABD là:
2

(2 x 1) : 2 = 1 (cm )

2cm

C

D
2cm