bai tap giai he phuong trinh tuyen tinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (134.39 KB, 10 trang )
BÀI TẬP MÔN TOÁN CAO
CẤP
Phần một: Giải hệ phương trình tuyến tính
Bài 1
x1 − 5x2 + 4x3 = −7(1)
2x1 − 9x2 − x3 = 4(2)
3x − 11x − 7x = 17(3)
1
2
3
Giải
Cách 1 (Phương pháp thông thường)
Nhân hai vế của phương trình (1) lần lượt với - 2, - 3 rồi cộng lần lượt vào phương
trình (2) và phương trình (3), ta được hệ:
x − 5x2 + 4x3 = −7(1)
1
x2 − 9x3 = 18(4)
4x − 19x = 38(5)
2
3
Nhân hai vế của phương trình (4) với - 4 rồi cộng vào phương trình (5) được:
x − 5x2 + 4x3 = −7(1)
1
x2 − 9x3 = 18(4)
17x = −34(6)
3
Từ(6) suy ra x3 = −2. Thay x3 = −2 vào phương trình (4) ta tính được x2 = 0.
Thay x2 = 0, x3 = −2 Vào phương trình (1) ta tìm được x1 = 1.
Hệ có nghiệm duy nhất (1, 0, -2).
Cách 2: Phương pháp Gauss
1 − 5 4 −7
1 − 5 4 −7
d3 −4d2
d2 −2d1
0 1 − 9 18
0 1 − 9 18 −
2−9−1 4 −
−
−
−
→
−
−
−
→
d3 −3d1
0 0 17 −34
0 4 − 19 38
3 − 11 − 7 17
1−5 4
−7
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
x − 5x2 + 4x3 = −7
1
x2 − 9x3 = 18
17x3 = −34
x =1
1
⇔ x2 = 0
x3 = −2
Bài 2
2x1 − 2x2 − 1x3 = −1(1)
x2 + x3 = 1(2)
−x + x + x = −1(3)
1
2
3
Cách 1 (Phương pháp thông thường)
Nhân hai vế của phương trình (3) với 2, ta được hệ:
2x1 − 2x2 − 1x3 = −1(1)
x2 + x3 = 1(2)
−2x + 2x + 2x = −2(4)
1
2
3
cộng phương trình (1) vào phương trình (4) ta được:
2x − 2x2 − 1x3 = −1(1)
1
x2 +
x3 = 1(2)
x3 = −3(5)
Từ(5) suy ra x3 = −3. Thay x3 = −3 vào phương trình (2) ta tính được x2 = 4.
Thay x2 = 4, x3 = −3 Vào phương trình (1) ta tìm được x1 = 5.
Hệ có nghiệm duy nhất (5, 4, -3).
Giải: Phương pháp Gauss
2
−2
0
1
1
1
1
−1
− 1 −1
2 −2
− 1 −1
2d3 +d1
1
−−−−→ 0
1
1
0
0
1
−1
1
−3
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
2x − 2x2 − x3 = −1
1
x2 + x3 = 1
x3 = − 3
x =5
1
⇔ x2 = 4
x3 = −3
Bài 3
x1 − x 2 + x3 = 1
2x1 + x2 + x3 = 2
3x + x + 2x = 0
1
2
3
Giải: Phương pháp Gauss
1
−1
2
3
1
1
1 −1
1 1
1 −1
1 1
1 1
3d3 −4d2
d2 −2d1
0 3 −1 0
0 3 −1 0 −
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
1 2
d3 −3d1
−9
0 0 1
0 4
− 1 −3
2 0
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
x − x2 + x3 = 1
1
3x2 − x3 = 0
x3 = − 9
x =7
1
⇔ x2 = −3
x3 = −9
Bài 4
2x1 − x2 − x3 = 4
3x1 + 4x2 − 2x3 = 11
3x − 2x + 4x = 11
1
2
3
Giải
2
3
3
−1
4
−2
−1 4
−2
4
2 −1
2d2 −3d1
−−−→ 0
11
−−
d3 −d2
11
0
11
−6
−1
−1
6
4
2 −1
11d3 +6d2
10
−−−−−−→ 0
0
0
11
0
−1
−1
60
4
10
60
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
2x − x2 − x3 = 4
1
11x2 − x3 = 10
60x3 = 60
x =3
1
⇔ x2 = 1
x3 = 1
Bài 5
3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x + x + 3x = 11
1
2
3
Giải
3 2 1
2 3
2 1
5
2
1
3
2
3d2 −2d1
−−−→ 0
1 1
−−
d3 −d2
3 11
0
5
5d3 +2d2
1 −7
−−−−−→ 0
2 10
0
5
1
0
12 36
−2
5
3
1
5
−7
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
3x + 2x2 + x3 = 5
1
5x2 + x3 = −7
12x3 = 36
x =2
1
⇔ x2 = −2
x3 = 3
Bài 6
x1 + x2 + x3 = 1
x1 + 2x2 + 3x3 = −1
x + 4x + 9x = −9
1
2
3
Giải
1
1
1
1
1
1
1
d2 −d1
1 2 3 −1 −
−→ 0
d−3−
−d2
0
1 4 9 −9
1
d3 −2d2
2 −2
−−−−→ 0
0
6 −8
1
2
−2
1 1 1
1
2
1
0
−4
2
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
x + x2 + x3 = 1
1
x2 + 2x3 = −2
2x3 = −4
x =1
1
⇔ x2 = 2
x3 = −2
Bài 7
2x1 + 5x2 − 8x3 = 8
4x1 + 3x2 − 9x3 = 9
2x + 3x − 5x = 7
1
2
3
Giải
2 5
4 3
2 3
−8 8
d2 −2d1
2
5
−8
8
− 9 9
−−−−→ 0
−7
7
−5 7
−2
3 −1
d3 −d1
0
7d3 −2d2
2
−7
−−−−−→ 0
0
5
−7
0
−8
8
7 −7
7 7
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
2x + 5x2 − 8x3 = 8
1
−7x2 + 7x3 = −7
7x3 = 7
x =3
1
⇔ x2 = 2
x3 = 1
Bài 8
x1 + x3 = 2
−x1 + 2x2 + x3 = 2
2x − x + 2x = 3
1
2
3
Giải
1
2
d2 +d1
−1 2 1 2 −−−−→ 0
d3 −2d1
0
2 −1 2 3
1
0 1
0 1 2
2d3 +d2
0 2 2 4
−
−
−
−
→
2 2
4
0 0 2 2
− 1 0 −1
0
1
2
1
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
x + 0 x2 + x3 = 2
1
2x2 + 2x3 = 4
2x3 = 2
x =1
1
⇔ x2 = 1
x3 = 1
Bài 9
x1 + 2 x3 = 3
2x1 + 3x2 − 4x3 = 1
7x − 2x − 5x = 0
1
2
3
Giải
1
3
d2 −2d1
−−−→ 0
3 − 4 1
−
d3 −7d1
0
−2 −5 0
1
0
2
7
2
1
0
2
3
3
−8
3d3 +2d2
−5
−−−−−→ 0
2
3 −8
0 0
− 19 −21
−2
0
3
−5
− 73 −73
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
x + 0 x2 + 2 x3 = 3
1
3x2 − 8x3 = −5
−73x3 = −73
x =1
1
⇔ x2 = 1
x3 = 1
Bài 10
3x1 + x2 − 5x3 = 11
x1 + 7x2 − 13x3 = 15
x − 3x + 4x = 2
1
2
3
Giải
3
1
1
11
3
3d2 −d1
−−−→ 0
7 − 13 15
−
3d3 −d1
−3
4 2
0
1
−5
11
2d3 +d2
0 20 − 34 34
−
−
−
−
→
20 − 34 34
− 10 17 −5
0 0
0
24
1
−5
11
3
1
−5
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
3x + x2 − 5x3 = 11
1
20x2 − 34x3 = 34
0x3 = 24
Phương trình vô nghiệm.
Các bài tập tham khảo:
Bài 11
Giải hệ phương trình tuyến tính sau
−3x1 − x2 + 5x3 = 1
x1 + 7x2 − 13x3 = 15
2x − 6x + 8x = 4
1
2
3
Bài 12
Giải hệ phương trình tuyến tính sau
3x1 + x2 − 5x3 = 11
x1 + 7x2 − 13x3 = 15
−x + 3x + −4x = −2
1
2
3
Bài 13
Giải hệ phương trình tuyến tính sau
−3x1 − x2 + 5x3 = 1
−x1 − 7x2 + 13x3 = −15
2x − 6x + 8x = 4
1
2
3
