MỘT số bài TOÁN BIÊN và bài TOÁN CAUCHY CHO các PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC và PARABOLIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRẦN THANH BÌNH

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ BÀI TOÁN CAUCHY CHO CÁC
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH - NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN THANH BÌNH

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ BÀI TOÁN CAUCHY CHO
CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số chuyên ngành: 62 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Nguyễn Bích Huy
PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn

TP. HỒ CHÍ MINH - THÁNG 6 NĂM 2017


1

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy và
PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả được trình bày
trong luận án là mới và chưa từng được ai công bố trước đó.

Tác giả


2

MỤC LỤC
Lời cam đoan

1

Mục lục

2

Một số ký hiệu dùng trong luận án

4

Lời nói đầu

5

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

11

1.1

Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Bài toán chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov . . . . . . . . . . 13

Chương 2. Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic
15
2.1

Bài toán xác định hàm nguồn với hệ số phụ thuộc thời gian không
bị nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1

Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2

Chỉnh hóa Tikhonov dưới cách chọn tham số chỉnh hóa
tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian bị nhiễu . . 29

2.3

Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chương 3. Bài toán parabolic ngược thời gian với nguồn Lipschitz
địa phương
3.1

34

Kết quả thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1

Chứng minh Định lí 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2

Chứng minh Định lí 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


3
3.2

Kết quả thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3

Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Chương 4. Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic dạng phi
tuyến

63

4.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2

Các kết quả chính

4.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1

Chứng minh Định lí 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.2

Chứng minh Định lí 4.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Kết luận chung và kiến nghị

84

Danh mục công trình của nghiên cứu sinh có liên quan đến luận án

85

Tài liệu tham khảo

86


4

MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

R

: Tập hợp số thực.

C [0, 1], R

: Tập hợp các hàm liên tục trên [0, 1] và nhận giá trị trên R.

C [0, T ]

: Tập hợp các hàm liên tục trên [0, T ] và nhận giá trị trên R.

C [0, 1], H

: Tập hợp các hàm liên tục trên [0, 1] và nhận giá trị trên
không gian Hilbert H .

C 1 [0, 1], H

: Tập hợp các hàm khả vi liên tục trên [0, 1] và nhận giá trị trên
không gian Hilbert H .

·,·
·
u

: Tích vô hướng trong không gian Hilbert.
H

: Chuẩn trong không gian Hilbert.
: Đạo hàm của hàm u ∈ C 1 [0, 1], H .


5

LỜI NÓI ĐẦU

Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của toán học và có nhiều ý nghĩa trong khoa học kỹ

thuật. Hiện nay, các loại bài toán này được nhiều nhà toán học quan tâm và
nghiên cứu. Theo chúng tôi tìm kiếm trên Mathscinet, có khoảng hơn 10.000
công trình về chủ đề này. Số lượng các tạp chí công bố về chủ đề này rất lớn,
và có nhiều tạp chí có uy tín của các nhà xuất bản lớn như: Springer, Elsevier,
Taylor Francis... Trong luận án này, chúng tôi sẽ tập trung trình bày ba chủ đề
chính về bài toán Cauchy cho phương trình parabolic và elliptic.
Chủ đề 1: Bài toán Cauchy cho phương trình parabolic.
Chủ đề 2: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến.
Chủ đề 3: Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến.
Đối với chủ đề 1, chủ đề 2 và chủ đề 3, bài toán Cauchy cho phương trình
parabolic và elliptic thì có rất nhiều dạng nghiên cứu khác nhau, nhưng chúng
tôi tập trung nghiên cứu về tính không chỉnh của các loại bài toán này. Bài toán
không chỉnh theo nghĩa của Hadamard là bài toán không thỏa ít nhất một trong
ba tính chất: tồn tại, duy nhất và ổn định nghiệm. Chúng ta có thể liệt kê một
số bài toán không chỉnh hiện nay được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước
quan tâm như sau
• Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic.
• Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic.
• Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình elliptic.

Do chủ đề về các loại bài toán không chỉnh cho phương trình parabolic và elliptic
khá nhiều nên chúng tôi chỉ chọn vài chủ đề để nghiên cứu trong luận án.
Chúng ta sơ lược qua lịch sử của các chủ đề chính trong luận án này.


6

CHỦ ĐỀ 1
Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic lôi cuốn nhiều nhà
toán học quan tâm, nghiên cứu. Luận án khảo sát bài toán như sau


∂u


(x, t) ∈ (0, π) × (0, T ) ,
− ∂ a (t) ∂u

∂x = F (x, t),
 ∂t ∂x
u (0, t) = u (π, t) = 0,




 u (x, 0) = 0,

(0.1)

u (x, T ) = g (x) , x ∈ (0, π) ,

trong đó a(t) > 0, a ∈ C ([0, T ]) , g ∈ L2 (0, π) là những hàm cho trước. Bài toán
xác định hàm nguồn là bài toán tìm hàm F khi biết trước các dữ liệu a(t) và
g(x). Bài toán này là không chỉnh theo nghĩa của Hadamard. Một sai số nhỏ

của dữ liệu (a, g) có thể dẫn đến sai số lớn của F . Hiện nay, đa số các kết quả
chỉ khảo sát cho trường hợp F chỉ phụ thuộc vào một biến không gian (biến x).
Các kết quả khi F phụ thuộc cả hai biến có dạng F (x, t) = ϕ(t)f (x) còn hạn chế.
Ta lược sơ qua các kết quả đã khảo sát về bài toán xác định hàm nguồn khi
F (x, t) = F (x).
• Năm 2010, Chu Li Fu và Fan Yang [43] đã dùng phương pháp Tikhonov để

chỉnh hóa bài toán trong trường hợp F (x, t) = F (x).
• Năm 2014, Chu Li Fu và Fan Yang [42] đã dùng phương pháp làm nhuyễn

(molification) để chỉnh hóa bài toán trong trường hợp ϕ = 1.
• Năm 2014, Chu Li Fu và Fan Yang [45] đã sử dụng phương pháp tựa biên

(quasi-boundary value method) để chỉnh hóa bài toán.
CHỦ ĐỀ 2
Chúng tôi xét bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến,
nhằm tìm hàm u : [0, 1] → H thỏa mãn

 ut + A(t)u = f (t, u(t)),
 u (1)
= ϕ,

t ∈ (0, 1) ,

(0.2)


7
trong đó, A(t) là toán tử tuyến tính, xác định dương sao cho A−1 compact trên
không gian Hilbert H . Hàm f : [0, 1] × H → H là hàm nguồn và ϕ ∈ H là giá trị
cuối được xác định trước.
• Với toán tử A(t) = − , bài toán (0.2) trở thành bài toán ngược cho phương

trình truyền nhiệt với hệ số hằng số như sau

 ut (x, t) − uxx (x, t) = f (x, t, u),



t ∈ [0, 1),

(0.3)

u(x, 1) = ϕ(x).

Bài toán (0.3) đã được khảo sát nhiều gần đây bởi nhiều tác giả Đặng Đức Trọng,
Nguyễn Huy Tuấn, Phạm Hoàng Quân, Đinh Nho Hào, Nguyễn Văn Đức, Phan
Thành Nam, Rashidinia, Wang, Qian,...
• Gần đây nhất, với trường hợp toán tử A trong bài toán (0.2) không phụ thuộc

thời gian, nghĩa là A(t) ≡ A và f là hàm số thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa
phương, bài toán (0.2) trở thành

 ut + Au = f t, u(t) ,

u(1) = ϕ.

t ∈ (0, 1),

(0.4)

Bài toán (0.4) được các tác giả Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn nghiên
cứu trong bài báo [35]. Trong đó, tác giả đã dùng phương pháp Quasi-reversibility
có điều chỉnh để chỉnh hóa bài toán (0.4).
• Từ những liệt kê trên, các bài toán liên quan đến phương trình parabolic đã

được khảo sát rất nhiều từ trước đến nay tuy nhiên số lượng công trình nghiên

cứu trong trường hợp hàm thỏa điều kiện Lipschitz địa phương là rất ít và hạn
chế nên vấn đề mà chúng tôi khảo sát là có tính mới mẻ. Hơn nữa, trong thực tế
sự truyền nhiệt của một vật phụ thuộc vào nhiều yếu tố trong đó có yếu tố quan
trọng nhất là vật liệu. Ngoài ra, mỗi vật liệu thì có hệ số dẫn nhiệt khác nhau và
các vật liệu cũng có sự biến đổi theo thời gian do các yếu tố khác nhau như hao
mòn, oxy hóa,...nên hệ số đó sẽ phụ thuộc vào môi trường (không gian) và thời
gian. Mục đích chính của chúng tôi khi khảo sát bài toán là nghiên cứu chỉnh


8
hóa bài toán ngược cho phương trình parabolic với A(t) = a(t)A biến thiên theo
t và nguồn f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trong hai trường hợp:
◦ Hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương.
◦ Hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương dạng tổng quát.

CHỦ ĐỀ 3
Cho T là số thực dương, H là không gian Hilbert với tích vô hướng · , · ,
chuẩn

·

và A : D(A) ⊂ H −→ H là toán tử tự liên hợp, xác định dương sao

cho A−1 compact trên H . Xét bài toán tìm hàm u : [0 , T ] −→ H thỏa mãn



u = Au + f (t, u(t)), t ∈ (0 , T ),

 tt

u(0) = ϕ,

(0.5)




 u (0) = g,
t
trong đó ϕ, g là các hàm cho trước trong H.
• Đối với trường hợp tuyến tính không thuần nhất, đã có một số kết quả đã

được công bố như:
◦ Năm 2006, các tác giả Hans-Jurgen Reinhardt, Houde Han và Dinh Nho

Hao trong [15] đã đưa ra sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa của
bài toán:



∆u = f (x, y),




(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1],

u(0, y) = γ0 (y), u(1, y) = γ1 (y),

y ∈ [0, 1],

(0.6)



∂


u(x, 0) = f2 (x), x ∈ [0, 1].
 u(x, 0) = f1 (x),
∂y

◦ Năm 2008, các tác giả Zhi Qian, Chu-Li Fu và Zhen-Ping Li trong [21]

đã dùng phương pháp chỉnh hóa bậc 4 để khảo sát bài toán tuyến tính không
thuần nhất sau



u + uyy = f (x, y),

 xx

0 < x < π, 0 < y < 1,

u(x, 0) = ϕ (x), u (x, 0) = ϕ (x), 0 ≤ x ≤ π,

0
y
1




 u(0, y) = g (y), u(π, y) = g (y),
0
1

0 ≤ y ≤ 1.

(0.7)


9
Phương trình ở bài toán (0.6) và (0.7) là một dạng của phương trình Poisson, có
nhiều ứng dụng khá quan trọng trong nhiều ngành khoa học như điện từ trường,
thiên văn học, cơ chất lỏng, ... Hiện nay, có nhiều công trình khảo sát bài toán
Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính, nhưng kết quả cho trường hợp phi
tuyến vẫn còn hạn chế vì độ khó của bài toán này. Khi hàm nguồn phụ thuộc
vào u thì ta có nhiều dạng phương trình phi tuyến có nhiều ứng dụng trong thực
tiễn như
• Nếu f (u) := sin u, thì phương trình (0.5) gọi là phương trình elliptic-sine

Gordan có nhiều ứng dụng trong vật lý, cơ học,..
• Nếu f (u) := u − u3 , thì phương trình (0.5) gọi là phương trình Allen-Cahn

có nhiều ứng dụng trong vật lý, cơ học, sinh học..
Do tính thời sự của bài toán phi tuyến mà trong luận án chúng tôi tập trung
khảo sát và trình bày bài toán phi tuyến. Chúng tôi điểm sơ qua một số công
trình khảo sát về bài toán phi tuyến như sau
◦ Năm 2014, các tác giả Nguyễn Huy Tuấn, Đặng Đức Trọng, Lê Đức

Thắng, Võ Anh Khoa trong [32] đã xét bài toán:

∂2
∂2



u(x,
t)
+
u(x, t) = f (x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ (0, π) × (0, 1),

 ∂t2
∂x2
u(0, t) = u(π, t) = 0,




 u(x, 0) = ϕ(x), ∂ u(x, 0) = g(x),
∂t

t ∈ (0, 1),

(0.8)

x ∈ (0, π).

◦ Năm 2015, các tác giả Nguyễn Huy Tuấn, Lê Đức Thắng và Daniel

Lesnic trong [37] đã xét bài toán sau với hàm nguồn phi tuyến thỏa Lipschitz
địa phương:

d2



u(z) = Au(z) + G(z, u(z)), z ∈ (0, L),

 dz 2
u(0) = f,




 du (0) = h.
dz

(0.9)


10
Các công trình trên đưa ra các phương pháp chỉnh hóa khá tốt, nhưng điều kiện
cho nghiệm chính xác u phải thuộc không gian Gevrey. Tính trơn của nghiệm
chính xác trong không gian này còn là bài toán mở. Ta thấy rằng với giả thiết
như vậy, ứng dụng của bài toán phi tuyến sẽ hạn chế. Để khắc phục nhược điểm
đã nêu, trong luận án này, chúng tôi sẽ đưa ra một phương pháp chỉnh hóa mới,
và dùng phương pháp này, chúng tôi thiết lập được sai số hội tụ khi nghiệm
chính xác chỉ cần thuộc không gian Hilbert H .

Bố cục luận án được chia làm các nội dung chính sau:
Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, giải tích thực, khái niệm
bài toán không chỉnh, vấn đề chỉnh hóa và một số kết quả cần biết.
Chương 2: Trình bày bài toán tìm hàm nguồn cho phương trình parabolic
trong trường hợp hệ số phụ thuộc thời gian bị nhiễu và không bị nhiễu. Áp dụng
phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để chỉnh hóa bài toán. Từ đó đưa ra đánh giá
sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác dưới cách chọn tham số chỉnh
hóa tiên nghiệm.
Chương 3: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến.
Chương này trình bày bài toán liên quan đến phương trình parabolic trong
trường hợp hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương. Mục đích của chương
này là nghiên cứu chỉnh hóa bài toán ngược cho phương trình parabolic với hệ
số dẫn nhiệt biến thiên theo thời gian.
Chương 4: Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic dạng phi tuyến. Nội dung
này trình bày phép chỉnh hóa mới cho bài toán Cauchy dạng phi tuyến và dùng
phương pháp này thiết lập được sai số hội tụ khi nghiệm chính xác chỉ cần thuộc
không gian Hilbert.


11

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Một số không gian hàm

Cho X là không gian Banach với chuẩn . và T là số thực dương.
Định nghĩa 1.1.1.

Không gian Lp (0, T ; X)

Không gian Lp (0, T ; X) gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X với chuẩn
 T
 p1
u

= 

Lp (0,T ;X)

u(t)

p
dt
X

< ∞, ∀p ≥ 1, p ∈ N

0

Định nghĩa 1.1.2.

Không gian C m [0, T ]; X

Không gian C m [0, T ]; X là không gian gồm tất cả các hàm liên tục f : [0, T ] → X
có đạo hàm đến cấp m, tức là f , f , ..., f (m) : [0, T ] → X là các hàm liên tục.
Khi đó, C m [0, T ]; X là không gian Banach với chuẩn sau
m

f

C m ([0,T ];X)

=

sup

f (i) (t)

X

i=0 t∈[0,T ]

, ∀f ∈ C m [0, T ]; X .

Không gian C [0, T ]; X bao gồm tất cả các hàm liên tục f : [0, T ] → X với
f

1.2

C([0,T ];X)

= max

0≤t≤T

f (t)

X

< ∞.

Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier

Cho không gian Hilbert H với chuẩn

·

H

, tích vô hướng · , · và toán tử

A : D(A) ⊂ H −→ H là toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H

với D(A) = H , với D(A) là miền xác định của A.
Khi đó, toán tử A∗ : D(A∗ ) ⊂ H −→ H được xác định bởi
u, Av = A∗ u, v .


12
Ta nói u ∈ D(A∗ ) nếu u ∈ H và tồn tại f ∈ H sao cho
u, Av = f, v ,

∀v ∈ D(A),

trong đó
A∗ u = f.

Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu A = A∗ .

Định nghĩa 1.2.1. Hệ trực giao − Hệ trực chuẩn
Cho không gian Hilbert H với tích vô hướng trong · , · và chuẩn
Hệ {φp } ⊂ H gọi là hệ trực giao, nếu

 1, nếu p = q,
φp , φq H =
 0, nếu p = q,

·

H

.

với p, q ∈ N∗ .

Hệ {φp } là hệ trực chuẩn nếu hệ {φp } trực giao và φp

H

= 1 với mọi p ∈ N∗ .

Cho {φp } là hệ trực chuẩn trong H . Với mọi u ∈ H ta có khai triển u(t)
dưới dạng chuỗi Fourier như sau
∞

u(t), φp φp .

u(t) =
p=1

Định lý 1.2.1. Cho {φp } là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H . Khi
đó các mệnh đề sau là tương đương
i) {φp } là hệ trực chuẩn đầy đủ,
∞

ii) ∀u ∈ H : u =

u, φp φp , (khai triển chuỗi Fourier),
p=1

iii) ∀u ∈ H : u

2
H

∞

=

ξp2 , với ξp = u, φp , (đẳng thức Parseval),

p=1
∞

iv) ∀u, v ∈ H : u, v =

ξp θp , với ξp = u, φp , θp = v, φp ,
p=1

Cho toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ H −→ H tự liên hợp trong không gian
Hilbert H và giả sử A−1 compact. Khi đó, A có hệ trực chuẩn đầy đủ các vectơ
riêng {φp } trong H tương ứng với các giá trị riêng {λp }, nghĩa là Aφp = λp φp .


13
Định lý 1.2.2. Với mọi u ∈ D(A), ta có
∞

Au =

λp u, φp φp .
p=1

Hơn nữa, các mệnh đề sau là tương đương
i) u ∈ D(A),
∞

ii)

λp u, φp φp hội tụ,
p=1
∞

iii)

λ2p | u, φp |2 < ∞.

p=1

1.3

Bài toán chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov

Định nghĩa 1.3.1. (Tính chỉnh và không chỉnh theo nghĩa Hadamard )
Giả sử U, V là các không gian định chuẩn và một ánh xạ K : U −→ V (tuyến tính
hoặc phi tuyến). Bài toán Ku = v gọi là chỉnh, nếu thỏa các tính chất sau
i) Tính tồn tại (existence): Với mọi v ∈ V tồn tại u ∈ U sao cho Ku = v,
ii) Tính duy nhất (uniqueness): Với mọi v ∈ V có không quá một u ∈ U sao
cho Ku = v,
iii) Tính ổn định (stability): Nghiệm u phụ thuộc liên tục vào v , nghĩa là với
mọi dãy {un } ⊂ U và Kun −→ v thì un −→ u.
Nếu bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên thì bài toán
đó được gọi là không chỉnh (ill-posed).
Sự chỉnh hóa, nghĩa là ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (ứng với dữ
liệu chính xác) và nghiệm chỉnh hóa (ứng với dữ liệu nhiễu). Một sự chỉnh hóa
được gọi là tốt nếu sai số xấp xỉ càng nhỏ.
Định lý 1.3.1. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và U là tập mở trong
X . Nếu K : U −→ Y compact và X vô hạn chiều thì K −1 không liên tục; nghĩa

là, phương trình Kf = g không chỉnh.


14
Định nghĩa 1.3.2. Một sơ đồ chỉnh hóa là một họ các toán tử tuyến tính, bị
chặn Rα : Y −→ X, α > 0 sao cho
lim Rα Kx = x, ∀x ∈ X.

α→0

Định nghĩa 1.3.3. Cho toán tử tuyến tính, bị chặn K : X −→ Y và y ∈ Y . Khi
đó
Jα (x) = Kx − y

2

+α x

2

, x ∈ X,

được gọi là phiếm hàm Tikhonov.
Định lý 1.3.2. Cho X, Y là hai không gian Hilbert. K : X −→ Y là toán tử
tuyến tính compact, bị chặn và α > 0. Khi đó phiếm hàm Tikhonov Jα có một
cực tiểu là xα ∈ X . Cực tiểu xα này là nghiệm duy nhất của phương trình
αxα + K ∗ Kxα = K ∗ y.

Chứng minh.
(Xem [20]).
Bổ đề 1.3.1. (Bất đẳng thức Gronwall) Giả sử u(t) là hàm không âm, liên tục
với mọi t ∈ [0 , T ] và a, b là các hằng số thực dương. Khi đó,

(i) Nếu
t

u(t) ≤ a + b

u(s)ds,
0

thì
u(t) ≤ aebt

(ii) Nếu
T

u(t) ≤ a + b

u(s)ds,
t

thì
u(t) ≤ aeb(T −t)t .


15

Chương 2
BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM NGUỒN CHO PHƯƠNG
TRÌNH PARABOLIC
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán tìm hàm nguồn f (x) = u(x, t) thỏa

∂u
∂
∂u


 ∂t − ∂x a (t) ∂x = ϕ (t) f (x) , (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ) ,


(2.1)
u (0, t) = u (π, t) = 0,




u (x, 0) = 0,

u (x, T ) = g (x) ,

x ∈ (0, π) ,

trong đó a(t) > 0, a ∈ C ([0, T ]) , ϕ ∈ L2 [0, T ], g ∈ L2 (0, π) là những hàm cho trước
và bị nhiễu. Như ta đã nêu trong Lời nói đầu, trường hợp a(t) phụ thuộc vào t
thì bài toán này chưa được nghiên cứu. Kết quả khảo sát trường hợp này là mới
mẻ và được chúng tôi công bố trên tạp chí Boundary Value Problems. [N1]
2.1

Bài toán xác định hàm nguồn với hệ số phụ thuộc thời gian không bị
nhiễu

2.1.1

Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov

Đặt
a, ϕ, ϕε : [0, T ] → R,

là các hàm liên tục. Giả sử tồn tại các hằng số B1 , B2 , C1 , C2 , D1 , D2 > 0 sao cho
B1 ≤ ϕ(t) ≤ B2 , C1 ≤ ϕε (t) ≤ C2 , D1 ≤ a(t) ≤ D2 .

Bổ đề 2.1.1. Với mọi hàm liên tục h ∈ [E1 , E2 ], ta có

k
 E k p−2k D−k 1 − e−p2 D2 T , k ≥ 0,
2
1
(φ(p, h))k ≤
 E k p−2k D−k 1 − e−D1 T k , k < 0,
1
2

∀p ∈ N.

(2.2)

(2.3)


16
Để áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, trước tiên, chúng ta biểu diễn
mối liên hệ giữa hàm nguồn f và giá trị cuối g thông qua phương trình toán tử,
thể hiện ở định lý sau.
2
sin px
π

Định lý 2.1.1. Chọn {φp (x)} =

là cơ sở trực chuẩn của L2 (0, π).

p∈N

Khi đó, bài toán (2.1) được viết lại dưới dạng phương trình toán tử sau
(2.4)

Kf = g
π

trong đó Kf (x) =

k(x, ξ)f (ξ)dξ , với
0
∞

T

ep

k(x, ξ) =

2

B(t)

ϕ(t)dt

φp (x)φp (ξ).

0

p=1
T

và B(t) = −

a(s)ds.
t

Chứng minh.
Bằng phương pháp tách biến và do φp (x) = −p2 φp (x), phương trình (2.1) được
đưa về phương trình vi phân dạng thường như sau
up (t) + p2 a(t)up (t) = ϕ(t) f (x), φp (x) ,

(2.5)

trong đó up (t) = u(x, t), φp (x) .
t

Đặt A(t) =

a(s)ds.
0

Nhân hai vế của phương trình (2.5) với ep
up (t)ep

2

A(t)

+ p2 a(t)ep

2

A(t)

2

A(t) ,

ta thu được

up (t) = ϕ(t)ep

2

A(t)

f (x), φp (x) .

Lấy tích phân hai vế phương trình (2.6) trên đoạn [0, T ], ta có
T

up (t)e
0

p2 A(t)

T

ϕ(t)ep

dt =

2

A(t)

f (x), φp (x) dt.

0

Do cách đặt up (t), ta có
up (0) = u(x, 0), φp (x) = 0,
up (T ) = u(x, T ), φp (x) = g(x), φp (x) .

(2.6)


17
Từ đó, ta thu được
ep

2

T
A(T )

ϕ(t)ep

g(x), φp (x) =

2

A(t)

dt f (x), φp (x) .

0

Do đó
g(x), φp (x) = e

T

−p2 A(T )

ϕ(t)ep

2

A(t)

f (x), φp (x) .

(2.7)

f (x), φp (x) φp (x),

(2.8)

g(x), φp (x) φp (x).

(2.9)

dt

0

Dẫn đến
∞

T

−p2 A(T )

g(x) =

ϕ(t)ep

e

2

A(t)

dt

0

p=1

và
∞

e

f (x) =

−1

T

p2 A(T )

ϕ(t)e

p2 A(t)

dt

0

p=1

Như vậy, ta có thể định nghĩa toán tử K : L2 (0, π) → L2 (0, π) như sau:
∞

T

ep

Kf (x) =

2

π
B(t)

ϕ(t)dt

f (x), φp (x) φp (x) =

k(x, ξ)f (ξ)dξ,

0

p=1

T

∞

ep

trong đó k(x, ξ) =
p=1

(2.10)

0
2

T
B(t)

ϕ(t)dt

φp (x)φp (ξ) và B(t) = −

0

a(s)ds.
t

Tiếp theo, để áp dụng được phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, chúng ta khảo
sát các tính chất của toán tử K . Ta phải đi chứng minh toán tử K tuyến tính,
compact và tự liên hợp.
Định lý 2.1.2. Toán tử K tuyến tính, compact và tự liên hợp. Hơn nữa, (σp , φp , φp )
T

ep

là hệ kì dị của K , với giá trị kỳ dị σp =

2

B(t)

ϕ(t)dt.

0

Chứng minh.
• Chứng minh K tuyến tính.

Với mọi f1 , f2 ∈ L2 (0, π) và λ ∈ R, ta có
π

K (f1 + λf2 ) (x) =

k(x, ξ) (f1 + λf2 ) (ξ)dξ
0

=

π

π

k(x, ξ)f1 (ξ)dξ + λ
0

= Kf1 (x) + λKf2 (x).

k(x, ξ)f2 (ξ)dξ
0


18

Vậy K là toán tử tuyến tính.
• Chứng minh K bị chặn.

Với mọi f ∈ L2 (0, π), ta có
∞

Kf

2

2

T

ep

=

≤

B22 1 − e−p

fp2

ϕ(t)dt

2

2

D2 T

∞

fp2

p4 D12

p=1

Do đó Kf ≤

B(t)

0

p=1
∞

2

≤
p=1

B22 2 B22
f = 2 f
D12 p
D1

2

.

(2.11)

B2
B2
f , ∀f ∈ L2 (0, π). Từ đó suy ra K ≤
.
D1
D1

Vậy K là toán tử bị chặn.
• Chứng minh K compact.

Đặt
Km : L2 (0, π) → L2 (0, π)

T

m

ep

f (x) → Km f (x) =
p=1

2

B(t)

ϕ(t)dt f (x), φp (x) φp (x).

0

Dễ thấy Km là toán tử hữu hạn chiều. Tương tự, ta cũng chứng minh được
Km tuyến tính và bị chặn.

Mặt khác, ta cũng có
∞

Km f − Kf

2

=

e

p2 B(t)

B22 1 − e−p

∞

≤

fp2

ϕ(t)dt

0

p=m+1

2

D2 T

B22
≤
(m + 1)4 D12
B22
(m + 1)4 D12

fp2
f

2

∞

B22 2
f
D12 n4 p

≤
p=m+1

∞

p=m+1

2

fp2

p4 D12

p=m+1

=

2

T

B22
≤
(m + 1)4 D12

∞

fp2
p=1

,

do đó
Km f − Kf ≤

B2
f , ∀f ∈ L2 (0, π).
2
(m + 1) D1


19
Suy ra
Km − K

L(L2 (0,π))

≤

B2
→ 0 khi m → ∞.
(m + 1)2 D1

Vậy K là toán tử compact.
Vì k(x, ξ) = k(ξ, x) nên với mọi f, g ∈ L2 (0, π), ta có
π

Kf (x), g(x) =

π

g(x)Kf (x)dx =
0

π

g(x)
0

π

π

=

π

π

g(x)k(x, ξ)f (ξ)dξdx =
0

0

=

f (ξ)k(ξ, x)g(x)dxdξ
0

π

0
π

π

f (ξ)

π

k(ξ, x)g(x)dx dξ =

0

dx

k(x, ξ)f (ξ)dξ
0

0

f (x)
0

k(x, ξ)g(ξ)dξ
0

π

=

f (x),

k(x, ξ)g(ξ)dξ

.

0

Mặt khác, vì Kf (x), g(x) = f (x), K ∗ g(x) nên
π

k(x, ξ)g(ξ)dξ − K ∗ g(x)

f (x),

= 0.

0

Chọn
π

k(x, ξ)g(ξ)dξ − K ∗ g(x) ∈ L2 (0, π).

f (x) =
0

Khi đó, ta có
π

π
∗

k(x, ξ)g(ξ)dξ − K ∗ g(x)

k(x, ξ)g(ξ)dξ − K g(x),
0

= 0.

0

Suy ra
π
∗

k(x, ξ)g(ξ)dξ = Kg(x), ∀g ∈ L2 (0, π).

K g(x) =
0

Do đó

K∗

= K hay K là toán tử tự liên hợp.

Xét bài toán (2.4), ta có
T
∗

K Kf =

2
p2 B(t)

e

ϕ(t)dt

f

0
T

ep

nên suy ra σp =

2

B(t)

ϕ(t)dt là giá trị kỳ dị của K .

0

Mặt khác, do {φp (x)}p∈N∗ là cơ sở trực chuẩn trong L2 (0, π) nên
∞

T

ep

Kφm =
p=1

0

2

B(T )

ϕ(t)dt φm (x), φp (x) φp (x) = σp φm ,

dx


20
và
∞

T

∗

ep

K φm =
p=1

2

B(T )

ϕ(t)dt φm (x), φp (x) φp (x) = σp φm ,

0

do đó (σp , φp , φp ) là hệ kì dị của K .
Nhìn chung, các bài toán trên thường đặt không chỉnh. Chẳng hạn, ta xét ví dụ
sau, xét bài toán tìm hàm nguồn f thỏa

2
∂u


− ∂∂xu2 = f (x) ,

∂t


(x, t) ∈ (0, π) × (0, 1) ,

u (x, 0) = 0, u (x, 1) = 1 − e−1 sin x,




 u (0, t) = u (π, t) = 0,

x ∈ (0, π) ,
t ∈ (0, 1) .

Tương ứng, ta có T = 1, a(t) = 1, ϕ(t) = 1 và g(x) = 1 − e−1 sin x. Bằng phương
pháp tách biến, ta có f (x) = sin x là nghiệm chính xác của bài toán Kf = g .
Giả sử g bị nhiễu bởi gm ∈ L2 (0, π) thỏa
√
gm (x) = g(x) +

2
sin(mx), với m ∈ N∗ .
m

Khi đó, ứng với gm , phương trình Kf = gm có nghiệm là
√

fm (x) = f (x) +

2m
2 sin(mx).
1 − e−m

Bằng tính toán trực tiếp, ta được
gm − g

L2 (0,π)

fm − f

L2 (0,π)

√

π
=
,
m √
m π
=
2.
1 − e−m

Khi m → ∞, ta có
gm − g

L2 (0,π)

→0

fm − f

L2 (0,π)

→∞

Điều này chứng tỏ nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện
đã cho. Do đó, bài toán trên đặt không chỉnh.


21
Vì bài toán (2.4) đặt không chỉnh nên ta không thể xấp xỉ nghiệm f thông qua
toán tử ngược K −1 , do đó cần phải chỉnh hóa để xây dựng nghiệm xấp xỉ của
bài toán. Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov được ứng dụng rộng rãi cho các bài

toán đặt không chỉnh, có nhiều nghiên cứu liên quan đến việc sử dụng phương
pháp này, chẳng hạn như Franklin (1974) ([12]), Tikhonov (1977) ([28]). Trong
phần này, chúng tôi sẽ dùng phương pháp này để khảo sát bài toán (2.4).
Tikhonov đã đưa ra một phương pháp chỉnh hóa bằng cách tìm cực tiểu của
phiếm hàm
Kf − g

2

+ µ2 f

2

,

(2.12)

trong đó µ là tham số chỉnh hóa thích hợp. Theo Kirsch (2011) [20], phiếm hàm
(2.12) đạt cực tiểu tại fµ . Hơn nữa, fµ là nghiệm của phương trình
K ∗ Kfµ (x) + µ2 fµ (x) = K ∗ g(x).

(2.13)

Nhân hai vế của phương trình (2.13) với φp rồi lấy tích vô hướng, ta được
K ∗ Kfµ , φp + µ2 fµ , φp = K ∗ g, φp .

Do K ∗ = K và Kf, g = f, K ∗ g nên
Kfµ , Kφp + µ2 fµ , φp = g, Kφp .

Mặt khác, vì Kφp = σp φp nên phương trình trên trở thành

σp2 fµ , φp + µ2 fµ , φp = σp g, φp .

Suy ra
fµ , φp =

Do đó

µ2

∞

fµ =

σp
g, φp .
+ σp2
∞

fµ , φp φp =
p=1

p=1

σp
g, φp φp .
µ2 + σp2


22
T

ep

Thay σp =

2

B(t)

ϕ(t)dt, ta thu được

0
∞


µ2 +

fµ (x) =

2

T

e

p2 B(t)

ϕ(t)dt

−1

T

ep



B(t)

ϕ(t)dt g, φp φp .

(2.14)

0

0

p=1

2

Trường hợp dữ liệu đầu vào bị nhiễu, ta cũng có
−1

∞

2

T

 µ2 +

fµε (x) =

ep

2

B(t)

ϕε (t)dt

T

ep



B(t)

ϕε (t)dt gε , φp φp . (2.15)

0

0

p=1

2

Kết hợp (2.14) và (2.15), ta được
∞

φ(p, ϕ)

fµ (x) =
p=1
∞

fµε (x) =
p=1

µ2

+ (φ(p, ϕ))2

(2.16)

g(x), φp (x) φp (x),

φ(p, ϕε )
µ2 + (φ(p, ϕε ))2

(2.17)

gε (x), φp (x) φp (x),
T

ep

trong đó φ có công thức được xác định bởi φ(p, ϕ) =

2

B(t)

ϕ(t)dt.

0

Định lý 2.1.3. Giả sử tồn tại M ≥ 0 sao cho f
f ≤

D2
B1 (1 − e−D1 T )

H k (0,π)

k
k+2

2

M k+2 g

≤ M . Khi đó

k
k+2

.

Chứng minh.
Ta có
∞

f

2

−2

T

p2 B(t)

e

=
0

p=1
∞

−2

T

=

p2 B(t)

e
∞

−2

T

ep

=



B(t)

4

ϕ(t)dt

2k

gp2+k gp2+k
− k+2
2

T

ep


p=1

2

0

p=1

=

4+2k

gp2+k

ϕ(t)dt

0

p=1

∞

gp2

ϕ(t)dt

0

2

B(t)

ϕ(t)dt

4
 2+k
2k

gp 

gp2+k .


23
Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta được
2


f

2

≤

∞





T

ep


p=1

0

∞

T



2

B(t)

ϕ(t)dt

2
 k+2

−(k+2)

ep

=

 k+2
4
 2+k
. k+2
2

gp 


− k+2
2

2

B(t)

p=1

∞

2

T

ep

≤

2

B(t)

≤

.

gp2
p=1

2
k+2

D2k p2k
fp2
k
k
−D1 T )
p=1 B1 (1 − e
D2
B1 (1 − e−D1 T )
D2
B1 (1 − e−D1 T )

k
k+2

∞

fp2 

ϕ(t)dt

∞

=

2
 k+2

−k

0

p=1

≤

k
k+2

p=1

Tiếp theo, áp dụng (2.3) và (2.7), ta có

f

k
k+2

p=1

gp2

0

2k k+2
. k
k+2

gp

∞

gp2 

ϕ(t)dt

∞

2k
k+2

k
k+2

∞

gp2

p=1
2
k+2

∞

gp2

p2k fp2
p=1

p=1
2k
k+2

4

M k+2 g

k
k+2

∞

2k
k+2

.

Suy ra

D2
f ≤
B1 (1 − e−D1 T )

k
k+2

2

M k+2 g

k
k+2

.

Ta chứng minh xong định lý.
2.1.2

Chỉnh hóa Tikhonov dưới cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm

Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra đánh giá sai số cho f − fµε bằng việc chọn
một tham số chỉnh hóa thích hợp. Rõ ràng ta có
f − fµε ≤ f − fµ + fµ − fµε .

(2.18)

Để thu được đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa, ta
thực hiện đánh giá lần lượt các số hạng trong vế phải của (2.18) thông qua việc
chứng minh hai bổ đề sau: