Bộ công thức giải nhanh toán

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/>Bài 6. Các công thức đặc biệt
/>1. Các công thức phần Hàm số và các dạng toán liên quan
/>Đơn vị
kiến
Công thức và bài tập tự luyện
/>thức
Đạo hàm cấp n của một số hàm số hay gặp
/>
n 
(cos x)  cos  x 
 ,n  N
/>2 



/>(sin x)  sin  x  n  ,n  N
2

/> 1 
( 1) .a .n!

 
(a x  b)
 ax  b 
/>Đạo hàm
Ví dụ 1. Cho hàm số y  a cos x  bsin x . Mệnh đề đúng l{:
/>A. y' y  0
B. y' y  
/>C. y' y  A  B

D. y' y  A.B
/>Hướng dẫn giải
y '  a sin x  b cos x
/>y ''  a cosx  b sinx
/>y  a sin x  b cos x  y ' y  0
/>Đ|p |n: A.
Ví dụ 2. Cho y  xe . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
/>A. y'  y  e
B. y''  y  2e
/>C. y'''  y  3e
D. y'' y'  y'''
/>Hướng dẫn giải
y '  e  x.e ; y ''  e  e  x.e
/>y ''  y  2e  B sai
/>Đ|p |n: B.
/>1
/>(n)

(n)

(n)

n

n

n 1

(3)

(3)

(3)

(3)

3

(3)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Đường thẳng đi qua 2 điểm cưc trị : Cho hàm số y=f(x) bậc 3 khi
/>đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị được x|c định :
y = Ax + B với: f(x)  f'(x).G(x)  (Ax  B)
/>ax  bx  c
Cho hàm số y 
khi đó đường thẳng đi qua hai điểm
/>ex  d
u ' 2ax  b
/>cực trị của hàm số có phương trình y  
Cực trị
v'
e
/>Ví dụ 1. Cho hàm số y  x  mx  1; m  0 luôn tồn tại đường
thẳng (d) đi qua hai điểm cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số và
/>(d) có phương trình là:
2m
2m
/>x1
A. y  
B. y  
x1
3
9
/>2m
2m

x 1
C. y 
D. y 
x 1
3
9
/>Hướng dẫn giải
y '  3x  2mx
/>1  2
1
y '   3x  2mx  .  x  m   m x  1
/>9  9
3
2m
/>d:y
x  1. Đ|p |n: B.
9
/>Ví dụ 2. Cho hàm số y  x  mx  7 x  3 . Tìm m để đường
thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với
/>3
đường thẳng y  x  2012 .
10
/>A. m  6
B. m  2
C. m  3
D. m  4
/>Hướng dẫn giải
y '  3x  2mx  7
/>Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là :
7

/> 14 2 
y    m  x  3  m d 
9
 3 9 
/>6
Vì  d  vuông góc với đường thẳng : y  x  2012
10
/>2
/>2

3

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/> 14 2  3
   m  .  1  m  6
 3 9  10
/>Đ|p |n: A.
/>Điểm uốn
+ Hàm bậc ba: điểm đối xứng của đồ thị hàm số chính là điểm
uốn
/>x
 3m x  2m , (C ) với m = 1 và
Ví dụ. Cho hàm số y 
m
/>m =  1 thì t}m đối xứng của (C ) lần lượt là:
/>A. (1; 0) và (1; 0)
B. (1; 0) và (  1; 2)
C. (  1; 2) và (0;1)
D. (  1; 2) và (1; 0)
/>Hướng dẫn giải
3
y' 
x  6m x  2m
/>m

6
/>y 
x  6m  0  x  m
m
/> Với m  1  x  1  y  0
 Với m  1  1  y  0
/>Đ|p |n: A.
/>Đồ thị hàm
ax  b ax  bx  c
+ Hàm phân thức có dạng
;
: điểm đối xứng của
phân thức
cx  d
px  q
/>đồ thị hàm số chính là giao điểm hai đường tiệm cận
2x  7x  7
/>Ví dụ 1. Cho hàm số y 
;(H) T}m đối xứng của (H) là
x2
/>A. (2; 1)
B. (0; 3)
C. (1; -2)
D. (2; 5)
Hướng dẫn giải
/>Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là : x  2; y  2 x  3
Khi đó t}m đx của ( H ) là :  2;1
/>Đ|p |n: A.
/>m m2
Ví dụ 2. Cho hàm số  C  : y  (m  1)x  m 

trong
x

m
/>đó  m  1 .Với giá trị nào của m thì t}m đối xứng của  C 
/>nằm trên đường thẳng y  2x  1
A. m  2
B. m  1
C. m  3
D. m  1
/>3
/>2

3

4

2

2

m

2

m

2

4

2

2

u

u

6

2

2

2

2

m

m

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Hướng dẫn giải
Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là :

/>x  m và y   m  1 x  m
/> T}m đối xứng : I(m; m  2m)
/>Mà I  đường thẳng y  2 x  1 nên m  2m  2m  1
 m  1
/>* Cho đồ thị hàm phân thức (bậc nhất trên bậc nhất và bậc hai
trên bậc nhất).
/>- Bài toán 1: Tìm 2 điểm A, B trên 2 nhánh của đồ thị sao cho AB
ngắn nhất?
/>- Bài toán 2: Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tổng khoảng cách
/>từ M đến 2 tiệm cận là ngắn nhất?
- Cách làm: A, B, M chính l{ giao điểm của đồ thị hàm số với
/>phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận
ax  b
/>- Với hàm y 
 a,c  0  ta có công thức đặc biệt sau:
cx  d
1. Phương trình đường thẳng là phân giác cặp góc tạo bởi 2
/>ad
tiệm cận là: y   x 
/>c
2 2 ad  bc
/>2. Độ dài AB là
c
/>3. Điểm M sẽ có ho{nh độ thỏa mãn
y'(x )  1  (c.x  d)  ad  bc . Sau khi x|c định được tọa
/>độ M(x ; y ) thì:
/>+ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục là : x  y
/>+ Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:
cx  d
a

d
bc  ad
/>d y   x  

c
c
c(cx  d)
c
/>ad  bc
ad  bc
ad  bc


2
c
c
c
/>Từ đó ta cũng thấy rằng tại điểm M thỏa mãn tổng khoảng cách
/>từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất thì nó cũng thỏa mãn
4
/>2

2

2

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/>tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất v{ ngược
lại. Hơn nữa M nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai
/>đường tiệm cận.
2x  2
/>Ví dụ 1. Cho hàm số y 
(C). Tìm trên 2 nhánh của (C)
x1
/>hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.
A. (1;0),( 3; 4)

B. (1;0),(3; 2)
/>C. (5; 3),( 3; 4)
D. ( 5; 3),(3; 2)
Hướng dẫn giải
/> AB l{ giao điểm của ph}n gi|c 2 đường tiệm cận với (C )
/> C  có 2 đường tiệm cận  d  : y  2,  d  : x  1
 là phân giác của d ; d
/> y  2  x 1
/>x  y  3  0

 x  y 1  0
/> : y  x  3 không cắt (C )
/> : y   x  1 cắt  C  tại 1, 0  ,  3, 4 
2x  2
/>Ví dụ 2. Cho hàm số y 
(H). M thuộc nhánh phải của (H)
x 1
sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất. Tọa
/>độ của điểm M là:
A. M(3; 4)
B. M(3; 4)
C. M( 3; 4)
D. M( 3; 4)
/>Hướng dẫn giải
/>Áp dụng công thức
y '  x   1
/> x  3  M (3; 4)
4
4


 1 
 1  
/> x  1
 x  1
 x  1  M (1;0)
x
/>Ví dụ 3. Cho hàm số y 
(H). Điểm M trên (H) sao cho
x1
khoảng c|ch đến hai tiệm cận nhỏ nhất, khoảng c|ch đó l{:
/>A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
/>Áp dụng công thức ở phần trên ta được khoảng cách từ M tới
/>hai tiệm cận nhỏ nhất bằng 2.
5
/>1

1

2

2

1

2

M

M

2

M

2

M

M

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>+ Một số kết quả quan trọng khác về đồ thị của hàm nhất biến, ta
quy ước chung là (C):
/>o (C ) nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
o (C) nhận hai đường phân giác của các cặp góc tạo bởi hai
/>đường tiệm cận làm trục đối xứng
/>o Tiếp tuyến của (C) tại một điểm M bất kì cắt hai tiệm cận lần
lượt là A và B tạo thành một tam giác có diện tích không phụ
/>thuộc vào vị trí của M, ngoài ra M là trung điểm đoạn AB
o Nếu đường thẳng y = kx + m (k  0) cắt đồ thị (C) tại hai điểm
/>A, B và cắt hai đường tiệm cận tại M và N thì hai đoạn AB, MN
có cùng trung điểm.

/>Ví dụ 4. Đồ thị n{o sau đ}y không có t}m đối xứng
/>A. y  ln( x  1  x)
B. y  tan 5x
x 1
/>C. 16x  9y  144
D. y 
x 1
Đ|p |n: D.
/>2x  1
Ví dụ 5. Đường thẳng y   x  m luôn cắt đồ thị y 
tại
/>x1
hai điểm P v{ Q. Để độ d{i đoạn PQ ngắn nhất, giá trị thích hợp
/>cho m là:
A. m =  1
B. m = 1
C. m =  2
D. m = 2
/>Hướng dẫn giải
Ta có d cắt  C  tại 2 điểm P, Q thuộc 2 nh|nh đồ thị.
/> PQ min  d qua t}m đối xứng I  1; 2  của  C 
/> m 1
/>2x  1
(C). Tìm trên đồ thị hàm số điểm
Ví dụ 6. Cho hàm số y 
x 1
/>M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là
nhỏ nhất
/>A. (1  3; 2  3)
B. (1  3;  3)

/>C. ( 3  1; 3)
D. (1  3; 3)
Hướng dẫn giải
/>(C ) có 2 đường tiệm cận d : x  1, d : y  2
/>6
/>2

2

2

2

2

1

2

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/> 2x 1 
Gọi M  x ,

/>x 1 

2x 1

3
/>2 
d  M , d   x 1 ; d  M , d  
x 1
x 1
/>3
A  d  M , d   d  M , d   x 1 
2 3
x 1
/>"  "   x  1  3  x   3  1
/>Đến đ}y ta thay x v{o phương trình ban đầu để tìm ra y thấy
/>chỉ có đ|p |n A thỏa mãn.
1
/>Ví dụ 7. Cho hàm số y  x  .
x
Trong
các
mệnh
đề
sau,
mệnh
đề sai là:
/>A. Hàm số có hai tiệm cận: một tiệm cận xiên, một tiệm cận đứng
/>B. Hàm số có t}m đối xứng I 1;1
C. Hàm số có hai cực trị
/>D. lim f  x   
/>Hướng dẫn giải
1
Ta có y  x  . Xét lần lượt c|c đ|p |n:
/>x

A. Đồ thị hàm số có TCX: y  x, TCĐ : x  0
/>B. Đồ thị có t}m đối xứng O  0;0   B sai
/>C. y '  0  x  1  đồ thị hàm số có 2 cực trị
/>D. lim f ( x)  
2sin x  cos x  1
/>y 
  y  2  sin x   2 y  1 cos x  3 y  1  0
sin x  2cos x  3
/>Phương trình có nghiệm  a  b  c
( y  2)  (2 y  1)  (3 y 1)  4 y  6 y  4  0
/>1
   y  2.
/>2
Đ|p |n: D.
/>7
/>o

o

o

o

1

2

o

o

1

2

o

o

o

2

o

o

o

o

x0

x  0

2

2

2

2

2

2

2

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>2. Các công thức phần hình không gian Oxyz
Đơn vị
Công thức và bài tập
/>kiến thức
/>1
  AB,AC
Diện tích đa gi|c  Tam giác: S

2
/> Hình bình hành: S
  AB,AD


/>Dữ kiện sau dùng cho ví dụ 1, 2: Trong không gian Oxyz cho
A(4; 2;6),B(10; 2; 4),C(4; 4;0),D(2;0; 2)
/>Ví dụ 1. Khẳng định n{o sau đ}y l{ đúng :

A. ABCD là hình thoi
/>B. A, B, C, D không đồng phẳng
C. A, B, C, D là hình thang
/>D. ABCD là hình bình hành
Hướng dẫn giải
/>Ta có AB   6; 4; 2  , DC   6; 4; 2 
/> AB  DC  loại B , C
AD   6; 2; 4   AB  AD
/> ABCD là hình thoi
Ví dụ 2. Diện tích của tứ giác ABCD là:
/> 12. 19 (đvdt)
 24 19 (đvdt)
A. S
C. S
/>B. S
D. S
 6 38 (đvdt)
 12 38 (đvdt)
Hướng dẫn giải
/>S
  AB, AD   12  36  (36)  12 19
/>*Dữ kiện sau dùng cho ví dụ 3, 4: Trong không gian Oxyz
cho bốn điểm đồng phẳng A, B, C, D lần lượt có tọa độ
/> 5  5 3   3  9 5 
 2; ;1  ,  ; ;0  ,  5; ; 3  ,  ; ; 4 
 2  2 2   2  2 2 
/>Ví dụ 3. Dạng của tứ giác ABCD là:
/>A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hình vuông

D. Hình chữ nhật
/>Hướng dẫn giải
1

1

5

Ta có AB   ; 1; 1 , DC   ; 1; 1 , AD   ;0;3  .
/>2

2

2

 AB  AD  ABCD là hình bình hành.
/>8
/>ABC

ABCD

ABCD

ABCD

ABCD

ABCD

2

2

2

ABCD

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/>Ví dụ 4. Diện tích của tứ giác ABCD là:
25 5
5 5
/>A. S 
(đvdt)
B. S 
(đvdt)
2
4
/>5
5 5
C. S 
(đvdt)
D. S 
(đvdt)
4
2
/>Hướng dẫn giải

5 5
/>Ta có S
Đ|p |n: D.
  AB; AD  
2
Thể tích khối
1
/>  AB,AC  AD
 Tứ diện: V

đa diện
6
/>1
 Hình lăng trụ tam giác V
  AB; AC  . AA
2
/> Hình hộp: V
  AB,AD AA'


/>Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có
A(2; 3;1), B(4;1; 2), C(6; 3;7), D(1; 2; 2) . Độ d{i đường cao
/>AH của tứ diện là:
/>A. 2 2 (đvđd)
B. 2 (đvđd)
C. 4 (đvđd)
D. 4 2 (đvđd)
/>Hướng dẫn giải
/>BC   2; 2;9  ; BD   3; 3; 4  ; BA   2; 2;3
1

/>3.  BC.BD  .BA
AH  6
 2 2. Đ|p |n: A.
1
/>BC.BD 
2
Ví dụ 2. Tính thể tích hình lập phương biết hai mặt nằm
/>trên là hai mặt phẳng
/>   :x  2y  2z  4  0;  :x  2y  2z  5  0
A. V  27 (đvtt)
B. V  8 (đvtt)
/>C. V  125 (đvtt)
D. V  64 (đvtt)
/>Đ|p |n: A.
Khoảng cách
 AB,CD  .BD
/>

+ AB và CD (chéo nhau): d( AB,CD ) 
 AB,CD 


/>9
/>ABCD

ABCD

'

ABC . A' B'C '

ABCD.A ' B' C ' D'

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>+ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
/> AB, AC  .AS
3V


d(S;(ABC)) 

/>S
 AB; AC 


Ví dụ. Cho 4 điểm A(1; 2; 3), B(1;0; 2), C(0;1;7), D(2;0; 5).
/>Khoảng cách giữa AB và CD là:
/>A. 4
B. 5
C. 6
D. 3
Hướng dẫn giải
/> AB.CD  .BD


d  AB, CD  

3
/> AB.CD 


Các công thức + Góc giữa hai đường thẳng :
/>khác
u .u
cos(a; b)  cos(u ; u ) 
/>u .u
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
/>u.n
/>sin(a;(P))  cos(u; n ) 
u.n
/>+ Góc giữa hai mặt phẳng:
n .n
/>cos((P);(Q))  cos( n ; n ) 
n .n
/>Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' với
A(0;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), a  0
/>Góc giữa hai đường thẳng AD’ v{ DC’ l{:
/>A.   30
B.   60
C.   90
D.   45
Hướng dẫn giải
/>AD  1; 2; 2  , DC   2;1; 2 
AD.DC
/> cos  AD, DC  
 0  AD  DC
AD.DC

/>3. Công thức phần số phức
3.1 />Công thức De-moivre dạng 1
(cos   isin ).( cos  isin)  cos(  )  isin(  )
/>10
/>SABC

ABC

a

a

b

b

a

b

P

P

P

P

P

P

0

0

Q

Q

Q

0

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

0


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/>Ví dụ 1. Cho hai số phức z  (cos  isin ); z  (sin  icos )
/>Lựa chọn phương |n đúng:
A. z z 
B. (z + z ) l{ số thực
/>C. z - z l{ số thuần ảo
D. z + z l{ số thuần ảo
Hướng dẫn giải
/>Cách 1 :
/>




z  cos      i sin     . Xét từng đ|p |n:
2
2




/>A. Sai
B.  z  z    cos   sin     sin   cos    2  cos   sin   i
/> 2  cos   sin   i là số thuần ảo  sai
/>C. z  z  cos 2  i sin 2  cos   2   i sin   2 
/> 2cos 2 là số thực  sai
D. z  z  2i sin 2 là số thuần ảo (đúng)
/>Đ|p |n: D.
Cách 2 : Cho  một giá trị cụ thể ta sẽ làm việc với số phức cụ thể và có thể sử
/>dụng máy tính Casio để giải.
Ví dụ 2. Cho c|c số phức
/>

13
13 


z  2  cos  i sin  ; z  2  cos
 i sin

/>12

12 
12
12 


  

7
7
/>z  4 cos     i sin  ; z  2 sin
 2i cos
6
12
12
  6
/>  k.2
  k.2 

z  r cos
 i sin
n
n 

/>Kết luận sai là:

/>A. z  z  4 cos
B. z .z  z
C. z  z  0
D. z  z
12

Hướng dẫn giải
/>Xét c|c đ|p |n:

/>A. z  z  6  2  4cos
( đúng )
12
/>B. z .z  2 3  2i   z ( sai )
C. z  z  0 ( đúng )
/>11
/>1

1,

2

2

12

22

1

2 2

12

22

2

2

1

2

2

2

2

2

2
1

2

2

2
1

2

2

1

2

3

4

n

k

1

1

4

1

2

3

1

2

4

1

2

1

3

2

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

2

4


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>6 2
6 2
D. z  

i  z (đúng)
2
2
/>Đ|p |n: B.
/>3.2. Tìm căn bậc n của số phức
 Ghi nhớ : Cho số phức z  r(cos  isin). Với n là số nguyên dương, có
/>đúng k căn bậc n của số phức z với k  0; n  1
/>Ví dụ. Tìm căn bậc 2 của số phức z= 15-8i.

A. 4 – i
B. 4+i
C. 2+3i
D. 2-3i
/>Hướng dẫn :
Đưa về chế độ mặc định ( MODE 1)
/>Bước 1: Dùng Pol ( SHIFT+ “ +”) (15,-8)
/> />Bước 2: Dùng REC ( SHIFT+“ -”) (
/> /> />Vậy z= 4  i. Đ|p |n : A.
/>Chú ý : Nếu tìm căn bậc n thì đến bước 2 nhập
3.3Phương pháp giải đặc biệt tìm số phức có dạng bậc nhất đối với z.
/>2i
 (2  i)z. Mođun cua so
Ví dụ. Cho so phưc z thoa man he thưc (i  3)z 
i
/>phưc w  z  i là:
/>23
26
26
A. 5
B.
C.
D.
5
5
4
/>Hướng dẫn giải
/>2i
 (2  i)z  (i  3)(x  yi)  (2  i)(x  yi)  1  2i (*)
Có (i  3)z 

i
/>a x  b y  c
Khi đó x, y là nghiệm của hệ 
(**)
/>a x  b y  c
Cách tìm các hệ số a ,a , b , b ,c ,c như sau:
/>12
/>4

2

( X , Y : 2)

REC( n X , Y : n)

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/>+) c  1, c  2 (Từ  1 + 2i )
+) Gán x = 1, y = 0 vào vế trái của (*) được kết quả 1 + 2i = a  a i
/> a  1,a  2
/>+) Gán x = 0, y = 1 vào vế trái của (*) được kết quả 0+5i = b  b i
 b  0, b  5
/>Sau khi tìm được các hệ số trên, ta tiến hành giải hệ (**) được nghiệm
/>4
4
1
26
 Đ|p |n C
x  1, y   z  1  i  w  z  i  1  i  w 
5
5
5
5

/>4. Công thức phần tích phân
4.1. Dạng 1: Dùng bất đẳng thức để ước lượng
/>*Phương pháp chung:
/>m  f(x)  M  m  dx   f(x)dx  M dx  m(a  b)   f(x)dx  M(a  b)
/>Ví dụ 1. Tích phân  e xdx là:
/>1
1
1
1
A. (e  1)
B. (e  1)
C. (e  1)
D. (e  1)
/>2
3
4
5
Hướng dẫn giải
/>3
Áp dụng bất đẳng thức: e  x  1  I  . Đ|p |n: A.
4
/>x 1
Ví dụ 2. Gọi I  
dx thì khẳng định đúng l{:
x 1
/>

A. I = 0
B. I = 1
C. I =

D. I =
/>4
3
Nhận xét: I  1 . Đ|p |n: D.
/>4.2.
Dạng 2: Lớp các tích phân đặc biệt
Tính
chất 1: Nếu f (x) liên tục và là hàm lẻ trên [ -a ; a ] thì  f(x)dx  0
/> /> 1 x 
Ví dụ 1. Tích phân I   cos x.ln 
 dx là:
/> 1 x 

/>A. 0
B.
C. 
D. 3
2
/>Hướng dẫn giải
13
/>1

2

1

1

2

1

1

2

2

a

a

a

a

b

b

b

b

1

x2

0

x

1

4

6

0

a

a

1
2

1
2

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

2


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> 1 x 
Nhận xét: Hàm số f(x)  cos x.ln 


 1 x 
/> 1 1 
 Liên tục trên  ; 
/> 2 2
 f(x) + f(  x) = 0
/>Đ|p |n: A.
 1 x 
/>Ví dụ 2. Cho tích phân I   cos x.ln 
 dx. Số giá trị của a thỏa mãn I = 0 là :
 1 x 
A. 1
B. 2
C. 0
D. Vô số
/>Ví dụ 3. Tích phân I   (tan x  cot 2x)dx là
/>A. 0
B. 1
C. 
D. 
/>Ví dụ 4. Cho tích phân I   (tan x  cot 2x )dx . Cặp giá trị của a, b thỏa mãn
/>đẳng thức I = 0 là:
A. a  , b  
B. a  2, b  
/>3



,b 
C. a 
D. a  , b 

/>2
2
3
4
x  x1  x x1
/>dx là:
Ví dụ 5. Tích phân I  
x
A. 0
B. 1
C.  1
D. 2
/>sin 2x
dx là
Ví dụ 6. Tích phân I  
/>x 1
A. 0
B. 
C. 
D. 1
/>x1
dx thì khẳng định đúng l{:
Ví
dụ 7. Nếu gọi I   ln
/>x 1
/>A. I = 0
B. I = 1
C. I = 2
D. I = 3
/>x1

dx. Giá trị của a để I = 0 là:
Ví dụ 8. Cho I   ln
x 1
/>1
A. a  0
B. a = 1
C. a = 2
D. a  
2
/>Áp dụng tính chất 1 ta có c|c đ|p |n như sau
VD1.
A VD2. D VD3. A VD4. A VD5. A VD6. A VD7. A VD8. D
/>14
/>a

a





a

b

1

2

2

4

1




2

1
2



1
2

1
2

a

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/>Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên
thì

f(x)
/>I 
dx   f(x)dx với m  0, a 
m 1
/>x x
dx là:
Ví dụ 1. Tích phân I  
/>e 1
/>5
23
1
A.
B.
C. 2
D.
120
480
16
/>1 x
dx
Ví dụ 2. Tích phân I  
/>1 2
2

/>A.
B. 0
C. 
D.
3
3

Đ|p |n ví dụ 1,2: A.
/>Tính chất 3: Cho f(x) liên tục và f(a + b  x) =  f(x) thì:
/>I   f(x)dx   f(x)dx 0 (mở rộng tính chất 1)
/> 1  sin x 
/>Ví dụ. Tích phân I   ln 
 dx là:
 1  cos x 
/>
A. 0
B. e
C.
D. 1
3
/>Đ|p |n: A.
5. Công thức phần cấp số
/>5.1 Cấp số cộng
(U ) là cấp số cộng  U  U  d, n 
/> Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (U ) có số hạng đầu U và cộng sai
/>d thì số hạng tổng quát U được x|c định bởi công thức:
U  U  (n  1)d, n  và n  2
/> Tính chất các số hạng của cấp số cộng: Trong một cặp số cộng, mỗi số
/>hàng ( trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình công của hai số hạng
đứng kế với nó, nghĩa l{:
/>U U
U 
, n  và n  2
2
/>15
/>a

a



x

a

0

1
2

4

2

x



1
2

1

1

b

2

x

a

b

a


2

0

n

n1

n

n

1

n

n

1

n 1

n 1

n

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: Cho cấp số cộng (U ) đặt
n(u  u )
/>hay
S  U  U  U  ...  U , khi đó S 
2
/>n  2u  (n  1)d 
S  
2
/>Ví dụ 1. Nếu 7  a ,(3  a) và (5  a) lập thành một cấp số cộng thì công sai
/>của cấp số cộng này là:
A. 56
B. 54
C. 44
D. 7
/>Hướng dẫn giải
/>7  a ,  3  a  ,  5  a  lập thành 1 cấp số cộng  2(3  a)   7  a  5  a 
a7
/> d  44.

Đ|p |n: C.
/>Ví dụ 2. Số hạng đầu của một cấp số cộng là u , công sai d  2u . Tổng 20 số
/>hạng đầu tiên của cấp số cộng này bằng:
A. 200u
B. 300u
C. 350u
D. Đ|p |n kh|c
/>Hướng dẫn giải
/>20  2U  19d 
S 
 10.40U  400U
2
/>Đ|p |n: D.
/>Ví dụ 3. Một cấp số cộng có u  8 và d  3, số hạng thứ ba của cập số cộng
này là:
/>A.  19
B. 35
C.  22
D. 38
Hướng dẫn giải
/>Có U  U  10d  U  U  10.d  38
/>Đ|p |n: D.
5.2
Cấp số nhân
/>a. Định nghĩa
/>Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng
thứ hai trở đi, mỗi số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
/>Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
u  u .q
( n  )

/>16
/>n

1

n

1

2

3

n

n

n

1

n

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

20

1

1

13

13

3

3

13

*

n 1

n

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/>b. Số hạng tổng quát của một cấp số nhân
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u và công bội q thì số hạng tổng quát u
/>được x|c định bởi công thức:
/>u  u .q
( n  2 )
c. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
/>Trong một cấp số nh}n, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và
cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa l{:
/>u  u .u
( k  2 )
/>d. Tổng số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân (u ) với công bội q≠1, đặt: S  u  u  ...  u .

/>u (1 q )
Khi đó: S 
1 q
/>Ví dụ 1. Một cấp số nhân có u  4 và q  2 thì tổng tám số hạng đầu tiên
/>của cấp số nhân này bằng:
A. 1024
B.  256
C.  1020
D. 340
/>Hướng dẫn giải
4 1  (2) 
/>S  
 340
1  (2)
/>Đ|p |n: D.
Ví dụ 2. Một cấp số nhân có u  3 và u  48. Nếu các số hạng liền kề có dấu
/>trái nhau thì công bội q và số hạng thứ ba là bằng:
/>A. 2 và 12
B.  2 và  24
C.  2 và  12
D.  2 và 24
Hướng dẫn giải
/>Các số hạng liền kề trái dấu  q  0
Có : U  U .q  q  2
/>U  U .q  3.(2)  12
/>Đ|p |n: C.
6.Các công thức đặc biệt về lãi suất
/>a) L~i đơn: Tiền lãi của kì trước không được tính vào vốn của kì tiếp theo,
đến kì hạn người gửi không rút lãi ra.
/>Số tiền lãi nhận được nếu gửi theo hình thức l~i đơn sau n kì hạn gửi là

n. A.r , số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là
/>C A n.Ar A(1 n.r )
/>17
/>1

n

n 1

1

n

2
k

k 1

k 1

n

n

1

2

n

n

1

n

1

8

8

1

5

4

5

1

2

3

2

1

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>b) L~i kép: Đến kì hạn người gửi không rút tiền lãi ra thì tiền l~i được tính
vào vốn của kì tiếp theo
/>Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi với hình thức lãi kép là
/>A(1 r ) , số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là C A (1 r ) 1
- Trường hợp mỗi th|ng người đó gửi vào một lượng A và vẫn tính theo
/>hình thức lãi kép thì số tiền nhận dc sau n kì hạn là:
/>A  A(1  r )  A(1  r )  ...  A(1  r )  A(1  r ) (1  r )  ...(1  r )  1
/>(1  r )  1
(1  r )  1
 A(r  1)
 A(r  1)
(r  1)  1
r
/>Bạn có thể tham khảo thêm các phương pháp tư duy giải nhanh Toán
/>trắc nghiệm sau:
B{i 1. C|c yếu tố cốt lõi khi sử dụng m|y tính bỏ túi
/>B{i 2. Phương ph|p biến đổi v{ ước lượn
B{i 3. Phương ph|p tư duy đặc biệt hóa - tổng qu|t hóa
/>B{i 4. Phương ph|p tư duy loại 50 : 50
B{i 5. Phương ph|p tư duy truy hồi
/>B{i 6. C|c công thức đặc biêt
/>Tất cả chỉ có tại cuốn sách “Tuyển tập đề thi và phương pháp giải
/>nhanh Toán trắc nghiệm” tác giải Nguyễn Bá Tuấn – NXB
/>ĐHQGHN
Link đặt sách: /> /> /> /> /> /> /> />18

/>n

n

n

n 1

n 1

n

n

n

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Đặt mua tại: />
/>Cuốn sách nằm trong bộ sách Toán trắc nghiệm của thầy Nguyễn
Bá Tuấn do NXB Đại học Quốc gia Hà Nội phát hành gồm 3 cuốn:
/> />Cuốn 1: Phương pháp tư duy giải nhanh Toán trắc nghiệm lớp 12.
Bao gồm các phương pháp tư duy giải nhanh Toán trắc nghiệm và
/>toàn bộ các chuyên đề kiến thức lớp 12 từ lý thuyết, phương pháp tới
/>các bài tập trắc nghiệm được giải chi tiết.
>>> Đọc thử: /> /> />Cuốn 3: Tuyển tập đề thi và Phương pháp giải nhanh Toán trắc
nghiệm phục vụ cho ôn luyện thi THPT quốc gia với các phương
/>pháp tư duy Toán trắc nghiệm đặc trưng, các công thức đặc biệt và bộ

/>đề thi theo cấu trúc đề minh họa THPT quốc gia được giải chi tiết.
>>> Đọc thử: />nhanh-toan-trac-nghiem
/>Cuốn 2: Phương pháp tư duy giải nhanh Toán trắc nghiệm lớp 10
/>& 11. Bao gồm các phương pháp tư duy giải nhanh Toán trắc nghiệm
đặc trưng của lớp 10, 11 như bất đẳng thức, hình OXY,… và toàn bộ
/>các chuyên đề kiến thức lớp 10, 11 từ lý thuyết, phương pháp tới bài
/>tập tự luyện trắc nghiệm được giải chi tiết.
>>> Đọc thử: />11
/>Đặt mua tại: /> /> /> /> /> />19
/>Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>NGUYỄN BÁ TUẤN
/> /> /> /> /> />TUYỂN TẬP ĐỀ THI & PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH
/>TOÁN TRẮC NGHIỆM
/> /> /> Gồm c|c phương ph|p tư duy giải Toán trắc nghiệm và 20
/>đề thi Toán trắc nghiệm có đ|p |n, hướng dẫn giải theo
hướng áp dụng c|c phương ph|p giải nhanh.
/> /> /> /> /> /> /> />NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
/>20
/>Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3