Các PHƯƠNG PHÁP tư DUY GIẢI NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY GIẢI NHANH ĐIỂN HÌNH
GV: NGUYỄN BÁ TUẤN

1. Kĩ năng dùng MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO HOẶC VINACAL
1.1 Ứng dụng MODE 7:

Chức năng của phím MODE 7 ( TABLE) là một bảng giá trị của hàm số f(x). Từ bảng đó ta
quan sát có thể :
+ Tìm nghiệm phương trình khi các đáp án cách nhau một khoảng không đổi
+ Dự đoán tính đơn điệu của hàm số
+ Tình giới hạn

+ Dự đoán được min, max hàm số nếu có

Lưu ý: máy casio 570vnplus chỉ chạy được 10 đoạn trong khi es chạy dc 29 đoạn. nguyên
nhân do 570vn chạy với 2 hàm là f(x) và g(x) còn es chỉ có f(x). Ta có thể chuyển vn sang
dạng es bằng phím S, mode, mũi tên xuống, 5, 1 (lựa chọn f(x))
+step =(b-a)/n với n là số đoạn muốn máy chạy. Đoạn càng nhiều sự khảo sát càng tỉ mỉ.
VD1: Tìm m để phương trình 3 21  4 x  x 2  m  4 x  2 có nghiệm
A. 35  x  15

B. 40  x  15

C. 30  x  15

D. 20  x  15

Hướng dẫn

Giá trị của m là miền giá trị của f ( x)  3 21  4 x  x 2  4 x  2

Dùng MODE 7 nhập hàm số trên với khởi tạo START = -10, END = 10, STEP = 1 được miền
giá trị là (-30;15)
VD2: Hàm số y  x 4  2 x 2  3 nghịch biến trên khoảng:
A. ( ; 1)

B. ( 1;0)

C. (1; )

D. R

Hướng dẫn

Nhập hàm số vào MODE 7 với khởi tạo START= -10, END = 10, STEP = 1 thấy trong khoảng
( ; 1) giá trị giảm dần, còn các khoảng trong các đáp án còn loại không giảm dần. Do đó
chọn đáp án A.

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> 
/>m  2 3
m2 3
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

VD3: ( Đề Sở GD Hà Nội) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y  2 x3  mx2  2 x đồng biến trên khoảng 2;0 .

A. m   13

B. m  13

2

2

C.

D.

Hướng dẫn

Thay m = 0 vào hàm số rồi khảo sát hàm số trên trong MODE 7 với khởi tạo START = -

10, END = 10, STEP = 1 thấy các giá trị ở cột f(x) tăng dần nên hàm số đồng biến. Do đó
m = 0 thỏa mãn, loại đáp án B.

Tương tự thử với m = -4 thấy không thỏa mãn nên loại đáp án A, C

VD4: (Đề Minh họa 01)Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 

tan x  2
tan x  m

 
đồng biến trên khoảng  0;  .
 4
A. m  0 hoặc 1  m  2

B. m  0

C. 1  m  2

D. m  2

Hướng dẫn giải:

Dùng tư duy điểm biên điển thuận lợi để chọn m=0 và m=1 ta được hàm
tan x  2
tan x  2
bấm mode7 và nhập hai hàm trên đối với máy 570vn plus
f ( x) 
; g ( x) 
tan x
tan x  1

0

ba 4

(vinacal) với START =0; END =
; STEP=
thấy cả hai hàm đều tăng. Từ



4
n
20
80
đó, f(x) đồng biến nên m=0 thỏa mãn từ đó loại C,D. Còn lại A, B mà g(x) đồng biến nên m=1
thỏa mãn từ đó loại B.
Vậy Chọn A.

1.2. Ứng dụng phím CALC :



GÁN GIÁ TRỊ

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

VD1: (Đề chuyên Hưng Yên) Hàm số nào trong các hàm số sau có tập xác định D=(-1;3)

A. y  2 x

2

 2 x 3

B. y  log2 ( x 2  2 x  3)
D. y  x 2  2 x  3

C. y  ( x 2  2 x  3)2
Hướng dẫn :

Lấy 1 giá trị ngoài D thay vào các đáp án. Nếu không báo MATH ERROR thì loại đáp án đó vì
khi đó hàm số có tập giá trị lớn hơn D.
Nhập các hàm số rồi CALC x= 5 thì đáp án A, B, C đều ra kết quả.

VD2 : Nghiệm của phương trình log4 (log2 x)  log2 (log4 x)  2 là:
A. x = 2



B. x = 4

C. x = 8

D. x = 16

TÍNH LIM

VD1: Đồ thị hàm số y 

x 3
có:
5 x

A. một đường tiệm cận đứng x  5 và một đường tiệm cận ngang y  1 .

B. một đường tiệm cận đứng x  5 và một đường tiệm cận ngang y  1 .

C. một đường tiệm cận đứng x  5 và một đường tiện cận ngang y  1 .

D. một đường tiệm cận đứng x  5 và một đường tiệm cận ngang y  1 .
Hướng dẫn

+ Tìm tiệm cận đứng: Nhập

X 3
sau đó nhấn CALC x= 5,00001 và x = 4,99999 được một
5 X

số rất lớn nên x = 5 là TCĐ

+ Tìm tiệm cận ngang: Nhập

X 3
sau đó nhấn CALC x = 105 được xấp xỉ - 1 nên TCN y = -1
5 X

(lưu ý: Trong quá trình tính giới hạn sử dụng CALC ta không nên lấy các giá trị lớn quá đối
với bài toán x ra vô cùng và không nên lấy giá trị sát quá đối với giới hạn tại một điểm).

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)



TÌM NGHIỆM ( SHIFT + CALC)

VD1: Giao điểm M của đường thẳng (d ) :

x  4 5  y 2z  1
và ( P) : 2 x  4 y  3z  8 là:


1
2
5

Hướng dẫn
Ta có (d ) :

x  4 5  y 2z  1
5t  1


 t  M (t  4;5  2 t;
)
1
2
5
2

5X  1

 8  0 sau đó nhấn SHIFT+CALC với giá trị
2
khởi tạo X = 0 được nghiệm x =1 hay ns cách khác t =1
Nhập vào ( P) : 2(X  4)  4(5  2 X )  3.

Kinh nghiệm: kết hợp MODE 7 để tìm ra khoảng nghiệm, từ đó nhập giá trị khởi tạo chuẩn
hơn
VD2: Biết phương trình 9 x  2

x

1
2

2

x

3
2

 32 x 1 có nghiệm a. Tính giá trị biểu thức

1
P  a  log 9 2
2
2

A. P 

1
2

1
C. P  1  log 9 2
2
2

B. P = 1

D. P  1  log 9 2
2

Hướng dẫn

Cách tìm giá trị a:

Bước 1: Nhập f ( x)  9  2
X

X

1
2

2

X

3

2

 32 X 1

Bước 2: Nhấn SHIFT + CALC cho x bằng giá trị bất kì , máy sẽ tự tìm ra nghiệm a nhưng rất
lâu.

Kết hợp MODE 7 thì biết được nghiệm nằm trong khoảng (0,7 ; 0,8) nên sẽ cho giá trị bắt
đầu x= 0,75. Tìm được nghiệm x  0,7695. Gán ( SHIFT+RCL) nghiệm đó với A rồi tính giá
trị P

 TÍNH ĐẠO HÀM CẤP 1, 2
+) Tính đạo hàm cấp 1

Tính đạo hàm hàm số tại 1 điểm ( SHIFT+ tích phân )

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

VD1 : ( Đề minh họa) Tính đạo hàm của hàm số y  ln(1  x  1)
A. y ' 

1
2 x  1(1  x  1)

B. y ' 

C. y ' 

1
x  1(1  x  1)

D. y ' 

1
1 x 1

2
x  1(1  x  1)

Hướng dẫn

Ta tính đạo hàm hàm số tại một điểm bất kì x0 bằng SHIFT + TÍCH PHÂN. Sau đó so sánh với
y’(x0) ở các đáp án xem có bằng nhau hay không .

+) Tính đạo hàm cấp 2

VD1. Hàm số y  3 3x  2 có đạo hàm cấp 2 là:

2

A.

3

2

B.

(3x  2)5

3

5

C.

(3x  2)5

3

(3x  2) 4

D.

2

3 3 (3x  2)5

Hướng dẫn giải

Bấm SHIFT 



d
dx

x

rồi nhập hàm cần tính đạo hàm và giá trị cần tính đạo

hàm cấp 1 tại điểm.

f '(x 0  A)  f'(x 0 )
A 0
A
Để tính đạo hàm cấp 2 :
df
df

dx X  ( x0  A) dx X  x0

 CALC A  0, 001;...  f ''( x0 )
A
Áp dụng : tính f’’(2) của hàm số. Tính giá trị tại 2 của các hàm số ở đáp án A, B, C, D. So
sánh để tìm kết quả bằng với f’’(2). Từ đó chọn được đáp án A.
f ''( x0 )  lim



TÌM NGUYÊN HÀM

VD1: Với giá trị nào của a, b, c thì f (x)  x 3  2 x có một nguyên hàm là

F ( x)  (ax 2  bx  c) 3  2 x

A. a  2, b  1, c  3

2
1
3
B. a  , b  , c 
5
5
5

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>





 
/> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

2

1
1
C. a  , b  , c 
3
2
3

1
2
2
,c 
D. a  , b 
3
5
3

Hướng dẫn

Nhập hàm và CALC (ở đây lúc CALC máy vẫn hỏi giá trị X nhưng khi thực hiện tính đạo hàm
thì nó vẫn hiểu tính đạo hàm tại x=1 mặc dù lúc đầu cho giá trị khác của X)

2. Các phương pháp tư duy giải nhanh

2.1. Phương pháp tư duy loại dùng điểm biên và điểm thuận lợi

VD1: ( Đề chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội )

Tìm tập nghiệm của bất phương trình log e ( x 2  2 x )  log e ( x  4)




A. S  (4; 1)  (4; )

B. S  (; 1)  (4; )

C. S  (;0)  (2; )

D. S  

Hướng dẫn

Để x  x0 là nghiệm của bất phương trình thì log e ( x 2  2 x )  log e ( x  4)  0




Nhập vào máy tính biểu thức log e (X 2  2 X)  log e (X  4) sau đó CALC




x = -4,0001 máy báo MATH ERROR nên loại được đáp án A, C.

Ta nhập tiếp x = -3,999 ta được f(x) = -85,59.. < 0 nên x = -3,999 thỏa mãn. Do đó loại nốt
được đáp án D.

VD2: Giải bất phương trình 3x
A. D  2; 

2

4

B. D  ; 2

 x 2  4 3x 2  1 có nghiệm :

C. D  ; 2  2;  D.

D=[-2;2]

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 
 
/> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

Hướng dẫn:

Nghiệm của phương trình thỏa mãn khi thay vào biểu thức 3X

2

4

 ( X 2  4).3X 2  1 ra giá trị

lớn hơn hoặc bằng 0.
Nhập 3X

2

4

 ( X 2  4).3X 2  1 sau đó CALC x = 2 thấy thỏa mãn nên loại được đáp án A, B.

Sau đó CALC x = 1,9999 thấy không thỏa mãn nên loại được đáp án D.

VD3:Cho hàm số y  x 3  6 x 2  mx  1 , tìm m để hàm số đồng biến trên (0; )
A. m  0

B. m  12

C. m  12

D. m  0

Hướng dẫn

Ta lấy f(0)= 1 mà f(1) = m – 2. Vì hàm số đồng biến trên (0; ) nên f(1)> f(0) hay m > 3.

Từ đó loại được ngay đáp án A, B, D.

2.2. Phương pháp tư duy đặc biệt hóa

Ví dụ 1: Hệ thức đúng trong các hệ thức sau là:

B. log 1 (a  b)  1  log a b

A. log a (a 2 b)  1  loga b2

a

C. log a (ab3 ) 
b

1
3

1  log a b log b a  1

Ví dụ 2: Cho a, b  0,a, b  1,n  N* . Cho P 

a
D. log a2    2  2 log a b
b

1
1
1
. Khi đó biểu

 ... 
log a b log a2 b
log an b

thức P bằng

A. n  1 n log a b

B. n log b a

C. n loga b

D. n  1 n log b a

Chọn giá trị đặc biệt của a, b , n rồi thay vào biểu thức để so sánh với đáp án.

Ví dụ 3: Cho họ đường thẳng (dm) : (1  m)2 x  2my  m2  4m  1  0 . Khi tham số m thay

đổi thì (dm) luôn tiếp xúc với một đường tròn (C) cố định. Phương trình của đường tròn (C)
là :
A. ( x  1)2  y 2  1

B. x 2  ( y  1)2  1

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

C. x 2  ( y  2)2  1

D. ( x  1)2  y 2  1

Hướng dẫn

Trước hết ta thấy 4 đáp án đều là đường tròn có bán kính bằng 1 nên d(I,dm)= 1.
Vì tham số m thay đổi nên chọn m là những giá trị đặc biệt.

Chọn m = 0 ta được dm: x +1 = 0. Tới đây ta kiểm tra các đáp án xem d(I,dm)= 1 hay không
thì loại được đáp án B, C.
Chọn tiếp m = 1 ta được dm : y – 1 = 0. Tiếp tục xét d(I,dm)= 1 ta loại được đáp án B.

Ví dụ 4 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x + m(sinx + cosx) đồng
biến trên R ( Đề chuyên Lê Hồng Phong)
A. m  ( ;

C.

1
1
)(
; )
2
2

B. 3  m 

1
1
m
2
2

1
2

1   1


D. m   ;

;  

2  2



Hướng dẫn

Chọn m = 0 ta được y = x, hàm số này đồng biến trên
A, D.

nên m = 0 thỏa mãn. Vậy loại đáp án

Chọn m = -2 ta được y  x  2(sinx  cosx) . Dùng MODE 7 khảo sát thấy hàm số không đồng
biến nên m = -2 không thỏa mãn. Vậy chọn B.

(lưu ý nếu chúng ta không chọn chế độ radian trong bài này thì sẽ bị nhầm trường hợp m=2 là hàm số đồng biến và chọn đáp án B)
Ví dụ 5 : (Chuyên Lê Quý Đôn ) Cho x, y là các số thực thỏa mãn

x  y  x  1  2 y  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

P  x 2  y 2  2( x  1)( y  1)  8 4  x  y . Khi đó M + m có giá trị là :

A. 44

B. 41

C. 43

Hướng dẫn

Từ đề bài ta có điều kiện 0  x  y  4 .

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

D. 42


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> />

/> /> /> /> /> /> /> />

/> /> /> />


/> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

4  x  y phải là các số nguyên.

Ta thấy đáp án đều là các số nguyên nên
Do đó xét x  y  0;3;4

 x  y  0
x  1

 P  18
TH1 : Xét 
 x  y  x  1  2 y  2
 y  1
 x  y  3
x  2

 P  25
TH2 : Xét 
y 1
 x  y  x  1  2 y  2
 x  y  4
TH3 : Xét 
. Hệ vô nghiệm
 x  y  x  1  2 y  2

Vậy từ 3 trường hợp trên ta có M + m = 18 + 25 = 43
2.3. Phương pháp tư duy tổng quát hóa

VD1 : Nguyên hàm của hàm số f ( x )  x 3  2 x là :
A.

1
3

2
3  2 x  x2  x  
5
5
5

B.

3  2 x 2 x 2  1x  3

C.

1
1
2
3  2 x  x2  x  
2
3
3

D.

4
1

3  2 x  x2  x  2 
5
3


Hướng dẫn

Nhận thấy các đáp án đều có dạng

3  2 x (ax 2  bx  c) nên ta sẽ sử dụng CALC và tính năng

tính đạo hàm hàm số tại 1 điểm để kiểm tra các đáp án.
Nhập vào máy tính

d
dx

3  2 x AX 2  BX  C

x 1

để tính đạo hàm hàm số tại 1.

Sau đó nhập CALC, máy hỏi các giá trị của X,A,B,C thì ta nhập A,B,C tương đương với các đáp
án và X là giá trị khác 1. Nếu ra giá trị bằng f(1)=1 thì đáp án đó đúng.

2.4. Tư duy truy hồi

VD1 : GTNN và GTLN của hàm số f ( x)  2 x 3  12 x 2  18x  10 trên đoạn [0 ;4] là :

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> />y  x 1
 
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

A. -10 và -2

B. 1 và 3

C. -10 và 8

D. 1 và 8

Hướng dẫn

Sắp xếp các giá trị ứng với GTNN theo thứ tự tăng dần là -10, 1

x  0
Xét f ( x )  10  
đều thuộc [0 ;4] nên giá trị -10 thỏa mãn là GTNN
x  3
Do đó loại được đáp án B, D.

Sắp xếp các giá trị ứng với GTLN theo thứ tự giảm dần là 8, -2

Xét f ( x)  8  x  4,4 [0;4] nên giá trị 8 không thỏa mãn là GTLN. Vậy loại đáp án C.
VD2 : ( Đề Sở GD Hà Nội) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. min y  3
 3;2

B. min y  8

 3;2

C. min y  1
 3;2

2

trên đoạn 3; 2 .

D. min y  3
 3;2

Hướng dẫn

Ta sắp xếp các đáp án theo thứ tự tăng dần được -3; -1; 3; 8.
Xét x 2  1  3  x 2  2 ( vô nghiệm)

Xét x 2  1  1  x  0  [  3;2] . Vậy y = -1 là giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Câu 3: Một công ty bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn
hộ với giá 3 triệu đồng một tháng thì căn hộ nào cũng có người thuê. Nếu cứ tăng giá

cho thuê lên 300.000 một tháng thì sẽ có 1 căn hộ không được thuê. Hỏi muốn có thu
nhập cao nhất thì công ty đó cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?
A. 3 triệu 300 nghìn

B. 3 triệu 900 nghìn

C. 4 triệu 500 nghìn

D. 4 triệu 800 nghìn

Hướng dẫn

Cách 1 :Thử giá trị ở đáp án rồi tính ra tiền, từ đó chọn giá trị lớn nhất( chú ý số căn
hộ cho thuê phải nằm trong khoảng từ 0 đến 20)

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 0986427986 (công thức liên tục cập nhật…)

Cách 2 : Gọi số lần tăng tiền lên là n . Số tiền mà công ty đó thu nhập được là:

f (n)  (30  3n)(20  n) (trăm nghìn). Có max f (n)  f (5)  45 . Vậy công ty cần cho thuê
n 0;20 

với giá 4 triệu 500 nghìn.
2.5. Tư duy ước lượng

VD1 : Cho hình trụ có chiều cao h nội tiếp mặt cầu bán kính R biết h = kR. Tỉ số thể tích của
hình trụ và hình cầu là :
A.

3
(4  k 2 )k
16

C.

3
(2  k 2 )k
16

B.

5
(4  k 2 )(k  1)
7

D.

3
(4  k 2 )(k  1)
16

Hướng dẫn

Khi ta kéo hình trụ theo chiều cao thì chiều cao dần đến đường kính mặt cầu bằng 2R hay k
= 2. Lúc đó V dần tới 0.
Nếu ta kéo cho chiều cao dần tới 0 thì đường kính mặt đáy cũng dần tới đường kính mặt
cầu. Vậy h dần tới 0 tức k dần tới 0 khi đó V dần tới 0.
Từ hai trường hợp trên ta thấy khi k xấp xỉ 2 và 0 thì V gần bằng 0. Chỉ có đáp án A thỏa
mãn.

VD2(Câu 9 Đề Minh họa 02) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
y  ln( x2  1)  mx  1 đồng biến trên khoảng (; )
A. (; 1]

B. (; 1)

C. [  1;1]

D. [1;+)

Đạo hàm và chuyển vế ta được dạng m  g ( x) khi đó ta chọn đáp án phải lấy dấu đoạn và
không có đáp án dạng m lớn hơn giá trị nào đó. Từ đó loại các đáp án còn mỗi A.

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3