Câu hỏi vận DỤNG NGUYÊN TÍCH PHÂN

ều tài liệu hơn

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
1

 3  2 f  x dx  5 . Tính

Câu 1: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 có

0

A. 1
B. 2

1

 f  x  dx .
0

C. 1
D. 2
Giải:

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

 3  2 f  x dx  5   3dx  2 f  x dx  5  3  2 f  x  dx  5   f  x   1
Câu 2: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  là các hàm liên tục trên đoạn  0;1 liên tục
trên đoạn  0;1 có

1



1

f  x dx  4 ,

1

 g  x  dx  2 . Tính I    f  x   3g  x  dx .

0

0

0

A. 10
B. 10

C. 2
D. 2
Giải:

1

1

1

0

0

0

  f  x   3g  x  dx   f  x dx  3 g  x dx  4  3.2  10
Câu 3: Cho hàm số y  f  x  dương có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn  3; 4  và
4
f '  x
f  3   2, f  4   8 . Tính I  
.
3 f  x

A. 2 ln 2
B.  ln 2

C. ln 2
D. 2 ln 2
Giải:





Đặt u  ln f  x   du 

f '  x
f  x

dx  I 

ln 8

 du  u

ln 8
ln 2

 ln 8  ln 2  2 ln 2

ln 2

Câu 4: Cho hàm số y  f  x  dương có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn  0;1 và

1
f '  x
dx .
f  0   1, f  1  2 . Tính I  
2
0  f  x 


A. 
B.

1
2

C.

1
2

3
2

D. 
Giải:

Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cảm

3
2

ều tài liệu hơn

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
1

2
1
f '  x
1
1
1
2  
 du  
dx

I


du


u

1

Đặt u 

2

1
2
2
f  x
 f  x  
1

Câu 5: Cho hàm số y  f  x  dương có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn 1; 2  và
2
f ' x
f  1  1, f  2   9 . Tính I  
dx .
f  x
1
C. 2
D. 4

A. 2
B. 4
Giải:
Đặt u 

f  x   du 

f '  x
2 f  x

3

dx  I  2  du  2u 1  6  2  4

3

1

1

Câu 6: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn   f  x   dx  1 ,
2

0

1

1

 f  x  dx  1

và. Tính

0

I    f  x   1 dx .
2

0

C. 1
D. 4

A. 0

B. 2
Giải:
1

1

1

0

0

I    f  x   dx  2  f  x dx   dx  1  2  1  0
0

2

Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn  0;1 và f  1  2 ,
1


0

1

f  x  dx  1 . Tính I   xf '  x dx .
0

A. 1
B. 1

C. 3
D. 3
Giải:

1

1
u  x
du  dx
Đặt 

 I  xf  x    f  x  dx  f  1  1  2  1  1
0

0
dv  f '  x  
v  f  x

Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cảm


ều tài liệu hơn

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn 1; 2  và
f  1  1, f  2   2 ,

2

2

1

1

 f  x  dx  3 . Tính I   xf '  x dx .

A. 6
B. 4

C. 0
D. 2
Giải:

2

2
u  x
du  dx
Đặt 

 I  xf  x    f  x  dx  2 f  2   f  1  3  2.2  1  3  0
1

1
dv  f '  x  
v  f  x

Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn 0; 2  và
f  2   0  f  0  . Biết

2

 f '  x  f  x   a , hãy tính f  2  .
0

A.

 f  0    2a

C.

 f  0    2 a

B.

 f  0    a

D.

 f  0    a

2

2

2

2

Giải:
Đặt :
u   f  x    du  2 f '  x  . f  x  dx  I 
2

1
2

 f  2 





 f  0 



2





2
2
1  f  2  2 1
du  u  2   f  2    f  0   a

2  f  0 
2
2

Suy ra f  2    f  0    2 a
2

Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn 
 2;1 thỏa mãn
f '  x  .  f  x   3x2  4 x  2 và  f  1   3 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
3
3
trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn 
 2;1 . Tính M  n  ? .
2

3

A. 3
B. 19

C. 27
D. 21
Giải:

Ta có:







f '  x  .  f  x  dx   3x 2  4 x  2 dx 
2

Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cảm



3
1
 f  x   x 3  2 x 2  2 x  C  f  x   3 3 x 3  2x 2  2x  C
3




ều tài liệu hơn

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Theo đề:  f 1  3  15  3C  3  C  4
3


max f  x   3 3

Vậy f  x   3 3 x  2 x  2 x  4  
3


min f  x   2 3



3



2

Câu 11: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa
1

mãn  f '  x g  x  dx  1 ,
0

1

1

0

0

 f  x g '  x  dx  1 . Tính I    f  x  g  x  ' dx .

A. 2
B. 0

C. 3
D. 2
Giải:

1

1

0

0

I    f  x  g  x   ' dx    f '  x  g  x   f  x  g '  x dx  1  1  0
1

Câu 12: Cho hàm số y  f  x  xác định và liện tục trên

thỏa mãn

 f  x  dx  1 . Tính
0


4





I   tan 2 x  1 f  tan x  dx .

0



A. 1

C.

B. 1

D. 

4


4

Giải:





1

Đặt u  tan x  du  tan x  1 dx  I   f  u  1
2

0

Câu 13: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng  0;   và
thỏa mãn f  1  1 , f  x   f '  x  . 3x  1 , với x  0 . Tính f  5  .
A. e
B. e

1
3

C. e



4
3

4

1

3

D. e 3
Giải:

Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cảm


ều tài liệu hơn

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Theo đề:
f  x   f '  x  . 3x  1 

 f  x  e

f '  x
f  x

1



3x  1



f '  x
f  x

dx  

1
3x  1

dx  ln f  x  

2
3x  1  C
3

2
3 x 1 C
3

4
4
Mặc khác: f  1  1  C    f  5   e 3
3

Câu 14: Giả sử hàm số y  f  x  thỏa mãn

1

  x  1 f '  x dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . Tính
0

1

I   f  x dx .
0

C. 8
D. 12

A. 8
B. 12
Giải:

1

1

du  dx
1
u  x  1
Đặt 

 10   x  1 f  x    f  x  dx   f  x dx  8
0
dv  f '  x  dx 
v  f  x 
0
0


Câu 15: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và thỏa mãn f  x   f  x   2  2 cos 2x ,

3
2

x  . Tính I 



 f  x dx .
3
2

A. 6
B. 2

C. 0
D. 6
Giải:

Theo đề: f  x   f   x   2  2 cos 2 x 

3
2

Vì


3
2

3
2

3
2

3
2

3

2

3

2

3

2

 f  x  dx   f  x  dx  

3
2

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  6
3
2



3
2



3
2

Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cảm

2  2 cos 2 xdx  12


ều tài liệu hơn

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu 16: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
2

Tính I  
1
2

f  x
dx .
x

1
và thỏa mãn f  x   2 f    3x , x  .
x

9
2
3
B.
2

9
2

3
D. 
2

C. 

A.

Giải:
1
f 
2
2
f  x
f  x
x
1
2   3 
dx  2 
Theo đề: f  x   2 f    3x 
x
x
x
x
1
1
2

Đặt t 

2

1
1
 dt   2 dx  
x
x
1
2


1
2

2

2

1
1
f 
2
2
2 f t
x
  dx     dt  f  t  dx  f  x dx
2 t
1 t
1 x
x

2

Suy ra

1
f 
2
 x dx  3dx  9
1
x
2

2

2

2
2
f  x
f  x
f  x
9
3
dx  2 
dx   
dx 
x
x
2

x
2
1
1
2

2

Câu 17: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng  0;   và
f x
thỏa mãn f  3   4 , 2  . f '  x  

x1
, với x  0 . Tính f  8  .
ln 2

56
3
23
B. log 2
6

86
3
72
D. log 2
5

A. log 2

C. log 2

Giải:
f x
Theo đề: 2  . f '  x  

2
f x
2   
3

 x  1

3

x1
f x
f x
 2  . f '  x  .ln 2  x  1   2  . f '  x  .ln 2dx   x  1dx
ln 2

2
 C  f  x   log 2 
3

Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cảm

 x  1

3


 C



ều tài liệu hơn

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
 16

32
86
Mặc khác: f  3   4  log 2   C   4  C 
 f  8   log 2
3
3
3


Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn
f '  x
 6 x2  2 x  1 và f  1  1 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
2
3 
 f  x  
nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn 1; 2  . Tính M  n  ? .
A. 245
C. 564

B. 924
D. 344
Giải:



f '  x
3

 f  x  

2

dx  



 2 x3  x2  x  C 
6 x  2 x  1 dx  3 3 f  x   2 x  x  x  C  f  x   

3





2

3

2

3

 4C 
Mặc khác: f  1  1  
  1  C  1
 3 

 2x3  x2  x  1 
max f  x   f  2   343
Vậy f  x   
 
3



min f  x   f 1  1
3

Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cảm

3