cac bai tap ve BDT cuc tri on thi vao 10

Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6)

VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC
Bài 1: ∀ x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx , b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz
c) x 2 + y 2 + z 2 +3 ≥ 2 (x + y + z)
1
2

Giải:a) Ta xét hiệu x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx)
=

[

]

1
( x − y ) 2 + ( x −z ) 2 + ( y − z ) 2 ≥ 0 đúng với mọi x;y;z ∈ R Vì (x-y)2 ≥ 0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi
2

x=y
(x-z)2 ≥ 0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z, (y-z)2 ≥ 0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
2
2
2
b)Ta xét hiệux + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz )= x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) 2 ≥ 0 đúng
với mọi x;y;z ∈ R Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z ∈ R Dấu bằng xảy ra khi
x+y=z
c) Xét hiệu x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1
= (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2 ≥ 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

2
2
a2 + b2 + c2  a + b + c 
a2 + b2  a + b 
≥
Bài 2: chứng minh rằng :
a)
b)
≥


2
3
3
 2 


Giảia) Ta xét hiệu
=

a2 + b2  a + b 
−

2
 2 

2

=

(

)

(

1
2 a 2 + b 2 a 2 + 2ab + b 2
−
= 2a 2 + 2b 2 − a 2 − b 2 − 2ab
4
4
4

)

2

a2 + b2  a + b 
≥
 Dấu bằng xảy ra khi a=b
2
 2 
2
1
a2 + b2 + c2  a + b + c 
2
2
2
−

= ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ≥ 0

9
3
3



1
( a − b) 2 ≥ 0
4

Vậy

[

b)Ta xét hiệu

]

2

a2 + b2 + c2  a + b + c 
Vậy
≥
 Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
3
3



Bài 3: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
b2
a) a 2 + ≥ ab
b) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b
c) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a( b + c + d + e )
4
b2
Giải:a) a 2 + ≥ ab ⇔ 4a 2 + b 2 ≥ 4ab ⇔ 4a 2 − 4a + b 2 ≥ 0 ⇔ ( 2a − b ) 2 ≥ 0 (bất đẳng thức này luôn đúng)
4
2
b
Vậy a 2 + ≥ ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
4
2
b) a + b 2 + 1 ≥ ab + a + b ⇔ 2(a 2 + b 2 + 1 ) > 2(ab + a + b) ⇔ a 2 − 2ab + b 2 + a 2 − 2a + 1 + b 2 − 2b + 1 ≥ 0
⇔ (a − b) 2 + (a − 1) 2 + (b − 1) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a( b + c + d + e ) ⇔ 4( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ) ≥ 4a( b + c + d + e )
c)
⇔ ( a 2 − 4ab + 4b 2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) + ( a 2 − 4ad + 4d 2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) ≥ 0
⇔ ( a − 2b ) 2 + ( a − 2c ) 2 + ( a − 2d ) 2 + ( a − 2c ) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 4: Chứng minh rằng: ( a 10 + b10 )( a 2 + b 2 ) ≥ ( a 8 + b 8 )( a 4 + b 4 )
Giải:

(a

)(

) (

)

)(

)

+ b10 a 2 + b 2 ≥ a 8 + b 8 a 4 + b 4 ⇔ a 12 + a 10 b 2 + a 2 b10 + b12 ≥ a 12 + a 8 b 4 + a 4 b 8 + b12
⇔ a 8 b 2 a 2 − b 2 + a 2 b 8 b 2 − a 2 ≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) ≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ 0

10

(

(

)

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh.
Toán 9- Hải Ninh Sưu tầm và biên soạn-2013

1


Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6)

Bài 5: Cho x.y =1 và x.y

x2 + y2
≥2 2
Chứng minh

x− y

Giải:
x +y
≥ 2 2 vì :x 〉 y nên x- y 〉 0 ⇒ x2+y2 ≥ 2 2 ( x-y)
x− y
⇒ x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y ≥ 0 ⇔ x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2 ≥ 0
⇔ x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy ≥ 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
⇒ (x-y- 2 )2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
2

2

• Sử dụng một số bất đẳng thức cổ điển thông dụng:
2
2
a) x 2 + y 2 ≥ 2 xy
b) x + y ≥ xy dấu( = ) khi x = y = 0

a b
≥2
b a
a + a + a + .... + a n n
≥ a1 a 2 a3 ....a n
2)Bất đẳng thức Cauchy (Cosi): 1 2 3
Với ai > 0
n
2
2
a2 + a22 + .... + an2 . x12 + x22 + .... + 2n ≥ ( a1 x1 + a2 x2 + .... + an xn )

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS)

c) ( x + y ) 2 ≥ 4 xy

d) +

(

)(

)

4) Bất đẳng thức Trê- Bư-Sép:
 a≤b≤c
aA + bB + cC a + b + c A + B + C
⇒
≥
.
3
3
3
A ≤ B ≤ C
 a≤b≤c
 a=b=c
aA + bB + cC a + b + c A + B + C
⇒
≤
.
Nếu 
Dấu bằng xảy ra khi 

3
3
3
A ≥ B ≥ C
A = B = C
Bài 6: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc
2
Giải:
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x + y ) ≥ 4 xy

Nếu 

( a + b ) 2 ≥ 4ab ; ( b + c ) 2 ≥ 4bc ; ( c + a ) 2 ≥ 4ac
⇒ ( a + b ) 2 ( b + c ) 2 ( c + a ) 2 ≥ 64a 2 b 2 c 2 = ( 8abc ) 2 ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Vậy a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) ≥ 10
Tacó

a3
b3
c3
1
+
+
≥
b+c a+c a+b 2
2
2

a ≥ b ≥ c2

Do a,b,c đối xứng ,giả sử a ≥ b ≥ c ⇒  a ≥ b ≥ c
 b + c a + c a + b

Bài 7: Cho a>b>c>0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 chứng minh rằng
Giải:

áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
a
b
c
a2 + b2 + c2  a
b
c  1 3 1
+ b2.
+ c2.
≥
.
+
+
= . =
b+c
a+c
a+b
3
b+c a+c a+b 3 2 2
1
a3
b3
c3
1

+
+
≥
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
3
b+c a+c a+b 2
2
2
2
Bài 8: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1.Chứng minh rằng : a + b + c + d 2 + a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) ≥ 10
1
Giải:Ta có a 2 + b 2 ≥ 2ab , c 2 + d 2 ≥ 2cd Do abcd =1 nên cd =
ab
1
2
2
2
Ta có a + b + c ≥ 2(ab + cd ) = 2(ab + ) ≥ 4 (1)
ab
Mặt khác: a ( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
1  
1  
1 

=  ab +  +  ac +  +  bc +  ≥ 2 + 2 + 2 = 6 (2)
ab  
ac  
bc 


a2.

Cộng (1), (2) ta được điều cần chứng minh.
Toán 9- Hải Ninh Sưu tầm và biên soạn-2013

2


Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6)

( a + c) 2 + (b + d ) 2 ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2

Bài 9: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

Giải:Ta có: ( a + c ) 2 + ( b + d ) 2 = a 2 + b 2 + 2( ac + bd ) + c 2 + d 2 ≤ ( a 2 + b 2 ) + 2 a 2 + b 2 . c 2 + d 2 + c 2 + d 2
Tacó ac+bd ≤ a 2 + b 2 . c 2 + d 2

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

⇒ (a + c) 2 + (b + d ) 2 ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2

Bài 10: Chứng minh rằng
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac
Giải:Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có:

(1 + 1 + 1 )(a + b + c ) ≥ (1.a + 1.b + 1.c )
3 ( a + b + c ) ≥ a + b + c + 2( ab + bc + ac )
2

⇒

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac

2

Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

a

b
c
d
+
+
+
<2
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b
a
a
a+d
<1⇒
<
Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
(1)
a+b+c
a+b+c a+b+c+d
a
a
a
a
a+d
>
Mặt khác :
(2) Từ (1) và (2) ta có
<
<
(3)
a+b+c+d
a+b+c a+b+c+d

a+b+c a+b+c+d

Bài 11: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng

1<

Tương tự ta có

b
b
b+a
c
c
b+c
<
<
<
<
(4)
(5)
a+b+c+d b+c+d a+b+c+d
a+b+c+d c+d +a a+b+c+d
d
d
d +c
<
<
(6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có
a+b+c+d d +a+b a+b+c+d
a

b
c
d
1<
+
+
+
< 2 điều phải chứng minh
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

Bài 11: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

a 2 < a (b + c)
 2
⇒ b < b( a + c)
 c 2 < c ( a + b)


0 < a < b + c

Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có 0 < b < a + c
0 < c < a + b


Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) Đcm
b) Ta có a > b-c  ⇒ a 2 > a 2 − (b − c) 2 > 0
b > a-c  ⇒ b 2 > b 2 − (c − a ) 2 > 0
c > a-b 

⇒ c 2 > c 2 − ( a − b) 2 > 0

[

][

⇒ a 2b 2 c 2 > a 2 − ( b − c ) b 2 − ( c − a )
2

2

][c

2

− ( a − b)

2

]

⇒ a b c > ( a + b − c) (b + c − a) ( c + a −b)
⇒ abc > ( a + b − c ).( b + c − a ).( c + a − b )
a
b
c
3
+
+
≥ (1)

Bài 12: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
b+c c+a a+b 2
y+z−x
z+x− y
x+ y−z
Giải :Đặt x = b+c ; y = c+a ;z = a+b ta có a =
; b=
;c=
2
2
2
y+z−x z+x− y x+ y−z
3
+
+
≥
ta có (1) ⇔
2x
2y
2z
2
y z
x z
x y
y x
z x
z y
+ −1+ + −1+ + −1 ≥ 3 ⇔ ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6
⇔
x x

y y
z z
x y
x z
y z
y x
z y
z x
+ ≥ 2 nên ta có điều phải chứng minh
+ ≥ 2;
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2;
x y
y z
x z

Nhân vế các bất đẳng thức ta được

2

2

2

Toán 9- Hải Ninh Sưu tầm và biên soạn-2013

2

2

2

3


Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6)

1
1
1
+ 2
+ 2
≥ 9 (1)
a + 2bc b + 2ac c + 2ab

Bài 13: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1 Chứng minh rằng:

2

Giải:Đặt x = a 2 + 2bc ; y = b 2 + 2ac ; z = c 2 + 2ab
Ta có x + y + z = ( a + b + c ) 2 < 1

( x + y + z ). 1 + 1 + 1  ≥ 9
x

y

1 1 1
+ + ≥9
x y z

z

Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
1 1 1
1
+ + ≥ 3. . 3
x y z
xyz

x + y + z ≥ 3. 3 xyz ,

Theo bất đẳng thức Côsi ta có
⇒

(1) ⇔

1 1 1
+ + ≥ 9 (đpcm)
x y z

Mà x+y+z < 1 Vậy

Bài 14: Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng

(x

x 2 + y 2 = ( x − y ) + 2 xy = ( x − y ) + 2

(vì xy = 1) ⇒

2

Giải :Ta có

2

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với
⇔

( x − y ) 4 − 4( x − y ) 2 + 4 ≥ 0 ⇔

[( x − y )

2

]

)

2

+ y2
≥8
( x − y) 2
2

(x

2

+ y2

) = ( x − y)
2

4

( x − y ) 4 + 4( x − y ) 2 + 4 ≥ 8.( x − y ) 2

+ 4.( x − y ) + 4
2

2

− 2 ≥ 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
1
1
2
+
≥
Bài 15: Cho xy ≥ 1 .Chứng minh rằng
2
2
1+ x 1+ y
1 + xy
1
1
2
 1
1   1

1 
+
≥
+
 ≥ 0
⇔ 
−
−
Giải :Ta có
2
2
2
2  
2
1+ x 1+ y
1 + xy
 1 + x 1 + y   1 + y 1 + xy 
x ( y − x)
y( x − y)
xy − x 2
xy − y 2
+
≥0
⇔
⇔
+
≥0
2
2
2

1 + x .(1 + xy ) 1 + y 2 .(1 + xy )
1 + x .(1 + xy ) 1 + y .(1 + xy )

(

⇔

)

(

)

(

)

(

)

( y − x ) ( xy − 1) ≥ 0
(1 + x 2 ).(1 + y 2 ).(1 + xy ) BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh.
2

Bài 16: a. Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1

Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥

b. Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng

1
3

( a + b + c ). 1 + 1 + 1  ≥ 9
a

b

c

Giải : a. áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
⇔ ( a + b + c ) 2 ≤ 3.( a 2 + b 2 + c 2 )
(1.a + 1.b + 1.c ) 2 ≤ (1 + 1 + 1).( a 2 + b 2 + c 2 )
Ta có
⇔
1
a

a2 + b2 + c2 ≥

1
3

(vì a+b+c =1 ) (đpcm)

1
a a b
b c c
a b a

c
b c a
c a a
b a c
x y
áp dụng BĐT phụ + ≥ 2 Với x,y > 0 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
y x
1 1 1
Vậy ( a + b + c ). + +  ≥ 9
(đpcm)
a b c
1
b

c  b
a c

c
b

b. ( a + b + c ). + +  ≥ 9 ⇔ 1 + + + + 1 + + + + 1 ≥ 9 ⇔ 3 +  +  +  +  +  +  ≥ 9

Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Giải : Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = 3
(1)
Và x − 2 + x − 3 = x − 2 + 3 − x ≥ x − 2 + 3 − x = 1
Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ 1+3 = 4
Ta có từ (1) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4
(2) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3
Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

Toán 9- Hải Ninh Sưu tầm và biên soạn-2013

(2)

4


Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6)

Bài 18:

Tìm giá trị lớn nhất của

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x)

với x,y,z > 0 và x+y+z =1

1
1
3
27
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có ( x + y ) . ( y + z ) . ( z + x ) ≥ 3 3 ( x + y ) . ( y + z ) . ( x + z )

Giải : Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có

⇒ 2 ≥ 3 3 ( x + y ) .( y + z ) .( z + x )

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=

8 1

8
. =
27 27 729

Vậy S ≤

x+ y + z ≥ 3 3 xyz ⇒ 3 xyz ≤ ⇒ xyz ≤
1
3

Vậy S có giá trị lớn nhất là

8
1
khi x=y=z=
729
3

Bài 19:Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x 4 + y 4 + z 4
Giải : áp dụng BĐTBunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta có ( xy + yz + zx ) ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ 1 ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 ) (1)
2

2

2

Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x 2 , y 2 , z 2 ) và (1,1,1)
Ta có ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ≤ (12 + 12 + 12 )( x 4 + y 4 + z 4 ) → ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ≤ 3( x 4 + y 4 + z 4 )
4

4
4
Từ (1) và (2) ⇒ 1 ≤ 3( x 4 + y 4 + z 4 ) ⇒ x + y + z ≤

1
3

1
3
khi x=y=z= ±
3
3
2
2
2
Bài 20: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn x + y + z ≤ xy + 3 y + 2 z − 3
Giải : Vì x,y,z là các số nguyên nên: x 2 + y 2 + z 2 ≤ xy + 3 y + 2 z − 3

Vậy x 4 + y 4 + z 4 có giá trị nhỏ nhất là



y2   3y2
⇔ x 2 + y 2 + z 2 − xy − 3 y − 2 z + 3 ≤ 0 ⇔  x 2 − xy + ÷+ 
− 3 y + 3 ÷+ z 2 − 2 z + 1 ≤ 0
4   4



(

2

2

y
2

y 
⇔  x − ÷ + 3  − 1÷ + ( z − 1) ≤ 0
2

2 
2

)

(*)

2

y
2

y 
Mà  x − ÷ + 3  − 1÷ + ( z − 1) ≥ 0 ∀x, y ∈ R
2

2 
y


x − 2 = 0
 x =1

y

⇔  −1 = 0 ⇔  y = 2
2
 z =1

 z −1 = 0



2

2

y
2

y 
⇔  x − ÷ + 3  − 1÷ + ( z − 1) = 0
2

2 

 x =1

Các số x,y,z phải tìm là  y = 2

 z =1


II-CÁC BÀI VỀ BĐT- CỰC TRỊ BIỂU THỨC ( MỨC ĐỘ, YÊU CẦU, BIỂU ĐIỂM ) THI VÀO LỚP 10 : 2012-2013

Câu 5 (1,0 điểm).Hải Dương 2011Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3.
Chứng minh rằng:

x
y
z
+
+
≤ 1.
x + 3 x + yz y + 3 y + zx z + 3z + xy

Từ ( x − yz ) ≥ 0 ⇔ x 2 + yz ≥ 2x yz
2

(*)

Dấu “=” khi x2 = yz

Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) ≥ x(y + z) + 2x yz
Suy ra 3x + yz ≥ x(y + z) + 2x yz = x ( y + z ) (Áp dụng (*))
x + 3x + yz ≥ x ( x + y + z ) ⇒

x
≤
x + 3x + yz

x
x+ y+ z

(1)

Toán 9- Hải Ninh Sưu tầm và biên soạn-2013

5


Ơn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6)

y
y
z
z
≤
≤
(2),
(3)
y + 3y + zx
x+ y+ z
z + 3z + xy
x+ y+ z
x
y
z
Từ (1), (2), (3) ta có x + 3x + yz + y + 3y + zx + z + 3z + xy ≤ 1 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

Tương tự ta có:

Câu 5(1,0 điểm): HDương . 2- 2012

Khơng dùng máy tính cầm tay, tìm số ngun lớn nhất khơng vượt q S, trong đó S = ( 2 + 3 ) .
6

Khơng dùng máy tính cầm tay, tìm số ngun lớn nhất khơng vượt q S, trong đó S=( 2+ 3)

6

Đặt x1 = 2 + 3; x2 = 2− 3 thì x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 − 4x + 1 = 0
2
n+ 2
n+1
n
Suy ra x1 − 4x1 + 1= 0 ⇒ x1 − 4x 1 + x 1 = 0(∀n∈ N )
n+ 2
n+1
n
Tương tự có x1 − 4x 1 + x 1 = 0(∀n∈ N )
k
k
Do đó Sn+ 2 − 4Sn+1 + Sn = 0(∀n∈ N ) Trong đó Sk = x1 + x2 (∀k∈ N )
2
Có S1 = x1 + x2 = 4; S2 = (x1 + x2 ) − 2x1x2 = 16 − 2 = 14
Từ đó S3 = 4S2 − S1 = 52; S4 = 4S3 − S2 = 194; S5 = 724; S6 = 2702
Vì 0< 2 − 3 < 1 nên 0< (2− 3)6 < 1 hay
27016

Bài 5: (1,0 điểm) ĐăkLăk2011
Cho x, y, z lµ ba sè thùc t ý. Chøng minh: x 2 + y 2 + z 2 − yz − 4 x − 3 y ≥ −7.

1
3
1
 3
Ta cã: x 2 + y 2 + z 2 − yz − 4 x − 3 y = ( x 2 − 4 x + 4 ) +  y 2 − 2. y.z + z 2 ÷+  y 2 − 2.
y. 3 + 3 ÷
÷− 4 − 3
2
2
4
 4

2

2

1
  3
= ( x − 2 ) +  y − z ÷ + 
y − 3÷
÷ − 7 ≥ −7, ∀x, y , z ∈ ¡
2
  2

2

Câu 5 ( 1điểm) Hà Tĩnh 2011 Cho các số a, b, c đều lớn hơn

Q=

25
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

a
b
c
25
+
+
.Do a, b, c >
(*) nên suy ra: 2 a − 5 > 0 , 2 b − 5 > 0 , 2 c − 5 > 0
2 b−5 2 c−5 2 a−5
4

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho 2 số dương, ta có:

a
b
+ 2 b − 5 ≥ 2 a (1),
+ 2 c − 5 ≥ 2 b (2)
2 b −5
2 c −5

c
+ 2 a − 5 ≥ 2 c (3)Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q ≥ 5.3 = 15 .

2 a −5
Dấu “=” xẩy ra

⇔ a = b = c = 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 ⇔ a = b = c = 25

Bài 5: (1,0 điểm) Tìm giátrònhỏnhấ
t củ
a biể
u thứ
cA =
∙ Bài 5: Tìm giátrònhỏnhấ
t củ
a biể
u thứ
cA =

x2 − 2x + 2011
x2

(với x ≠ 0)

x2 − 2x + 2011
(với x ≠ 0)
x2

* Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)

Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm và biên soạn-2013

6

Ơn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6)
2

2

 1
x − 2x + 2011
1
1
A=
vớ
i x ≠ 0) =1− 2× + 2011× ÷ =2011.t2 − 2t +1 (vớ
i t = ≠ 0)
(
2
x
x
x
 x

1
1 
1
=2011 t2 − 2×t ×
+
+ 1−
2÷
2011 2011 

2011

2



1  2010 2010 
1
=2011 t −
≥
u"=" ⇔ t =
⇔ x = 2011 ; thõ
a x ≠ 0÷
÷ +
 dấ
2011
 2011 2011 2011 

2010
y MinA =
⇔ x =2011.
* Vậ
2011
* Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9)
x2 − 2x + 2011
A=
( vớix ≠ 0)
x2
⇒ A.x2 = x2 − 2x + 2011⇔ ( A − 1) x2 + 2x − 2011= 0 ( * ) ( coi đâ
y làphương trình ẩ

n x)
2011
(1)
2
Nế
u A − 1≠ 0 thì (*) luô
n làphương trình bậ
c hai đố
i vớ
i ẩ
n x.
x tồn tại khi phương trình (*) có nghiệm.
⇔ ∆ / ≥ 0 ⇔ 12 + 2011( A − 1) ≥ 0
Từ(*): A − 1 =0 ⇔ A =1 ⇔ x =



÷
2010 
− b/
−1
−1
⇔A≥
u "=" ⇔ (*) cónghiệ
m ké
px =
=
=
= 2011 ; thõ
a x ≠ 0÷ (2)

 dấ
2011 
a
A − 1 2010 − 1
÷

2011

So sánh (1) và (2) thì 1 không phải là giá trò nhỏ nhất của A mà:
2010
MinA =
⇔ x =2011.
2011
Bµi 5 : ( 1 ®iĨm ) Thanh Hóa-2011
Cho c¸c sè d¬ng x, y , z . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc :
x
y
z
+
+
>2
y+z
x+z
x+ y
Áp dơng B§T Cosi ta cã :
y+z
+1
y+z
x+ y+z
x

2x
x
.1 ≤
=
=>
≥
x
2
2x
y+z x+ y+z
x+z
+1
x+z
x+ y+z
y
2y
y
.1 ≤
=
=>
≥
y
2
2y
x+z x+ y+z
y+x
+1
y+x
x+ y+z
z

2z
z
.1 ≤
=
=>
≥
z
2
2z
y+x x+ y+z

Céng vÕ víi vÕ ta cã :

x
+
y+z

y+ z = x
x+ z = y

y
+
x+z

z
2( x + y + z )
≥
= 2 dÊu b»ng x¶y ra
y+x
x+ y+z

x+y+z= 0
Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm và biên soạn-2013

7


ễn thi vo 10 -Bi tp v Bt ng thc, cc tr ( Phc v chuyờn 6)

y+ x = z
Vì x, y ,z > 0 nên x + y + z > 0 vậy dấu bằng không thể xảy ra .
x
y
z
+
+
> 2 với mọi x, y , z > 0 ( Đpcm )
=>
y+z
x+z
y+x
Câu 5: (0,5 điểm) Bc Giang 2011
Cho hai số thực dơng x, y thoả mãn:
x 3 + y 3 3 xy x 2 + y 2 + 4 x 2 y 2 ( x + y ) 4 x 3 y 3 = 0 .

(

)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.

Cõu 5:
Đặt a = x+y = M; b = xy; a 2 4b Từ giả thiết có:

a = 2b
2
2
a 3 3ab 3a 2b + 6b 2 + 4ab 2 4b3 = (a 2b)( a ab + 2b 3b) = 0 2
2
a ab + 2b 3b = 0
+) Nếu a =2b
Thì: x+y = 2xy. Mà (x+y)2 4xy nên (x+y)2 2( x + y ) M = x + y 2;" = " khi : x = y = 1.
a 2 ab + 2b 2 3b = 0 2b 2 (a + 3)b + a 2 = 0 (1)
+) Nếu
a 2 ab + 2b 2 3b = 0
Giả sử

= (1) có nghiệm b thoả mãn b

a2
thì
4

b=

(*)

a + 3 a2

2
4

a 2 2a 6 0 a 1 + 7;( Do : a > 0) và
(a + 3) 2 8a 2 0 ... (a + 3 + 2a 2)( a + 3 2a 2) 0 a

3
2 2 1

Vậy a 1 + 7 (**)
Từ (*) và (**) suy ra a = M có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y =1.
2

Bi V (0,5 im) H Ni 2011.Vi x > 0, tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: M = 4x 3x +

1
+ 2011 .
4x

Bi 5:
2
Cỏch 1: M = 4 x 3 x +

Vỡ (2 x 1) 2 0 v x > 0
M = (2 x 1) 2 + ( x +

1
1
1
+ 2011 = 4 x 2 4 x + 1 + x +
+ 2010 = (2 x 1) 2 + ( x + ) + 2010
4x

4x
4x

1
1
1
1
> 0 , p dng bdt Cosi cho 2 s dng ta cú: x +
2 x.
= 2. = 1
4x
4x
4x
2

1
) + 2010 0 + 1 + 2010 = 2011
4x

1

x=

2
1


x=

2 x 1 = 0

2



1
1
1



1
x 2 = x =
M 2011 ; Du = xy ra x =
x =
4x
4
2
2



x > 0
x > 0

1

x = 2


x > 0

Vy Mmin = 2011 t c khi x =

1
2

Bi 5: Cỏch 2:
Toỏn 9- Hi Ninh Su tm v biờn son-2013

8


Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6)

M = 4 x2 − 3x +

1
1
1
1
1

+ 2011 = 3  x 2 − x + ÷+ x 2 + + + 2010 +
4x
4
8x 8x
4


2

1
1
1 1

M = 3  x − ÷ + x 2 + + + + 2010
2
8x 8x 4

1
2 1
Áp dụng cô si cho ba số x , ,
ta có
8x 8x
1
1
1 1
3
x2 +
+
≥ 33 x 2 . .
= Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2
8x 8x
8x 8x 4
1

mà  x −  ≥ 0 Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2
2

3 1
Vậy M ≥ 0 + + + 2010 = 2011

4 4
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi M =
2

 2 1 
 3 1 
<
2
x − 3 ÷.
÷

x2 
x 


 2 1 
 3 1
1) Chứng minh rằng : Với mọi x > 1, ta luôn có 3  x − 2 ÷ < 2  x − 3 ÷ (1)
x 
x 


1 
1 
1 
1
1 
1






3  x 2 − 2 ÷ < 2  x 3 − 3 ÷ ⇔ 3  x − ÷ x + ÷ < 2  x − ÷ x 2 + 2 + 1÷
x 
x 
x 
x
x 
x





1
1
1



⇔ 3  x + ÷< 2  x 2 + 2 + 1 ÷
(vì x > 1 nên x − > 0) (2)
x
x
x




1
1
2
2
2
Đặt x + = t thì x + 2 = t − 2 , ta có (2) ⇔ 2t − 3t − 2 > 0 ⇔ ( t − 2 ) ( 2t + 1) > 0 (3)
x
x
1
2
2
Vì x > 1 nên ( x − 1) > 0 ⇔ x + 1 > 2x ⇔ x + > 2 hay t > 2 => (3) đúng . Vậy ta có đpcm
x
Nam Định 2011 ( 0,5đ)Chứng minh rằng : Với mọi x > 1, ta luôn có 3  x −

----------------------------------

Toán 9- Hải Ninh Sưu tầm và biên soạn-2013

9