Chuyen de HSG toan 7

DÃY SỐ THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau
a. 2, 5, 10, 17, 26,...
b. 6, 14, 24, 36, 50,...
c. 4, 28, 70, 130, 208,...
d. 2, 5, 9, 14, 20,...
e. 3, 6, 10, 15, 21,...
g. 6, 12, 60, 120, 210,...
Đáp số:
a. 1 + n²
b. n(n + 5)
c. (3n – 2)(3n + 1)
d. n(n + 3)/2 e. (n + 1)(n + 2)/2
g. n(n + 1)(n + 3)
Bài 2: Tính
a. A = 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n
b. A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100
Đáp số:
a. n(n + 1)/2 b. A = 333300
Bài 3: Tính A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
Hướng dẫn:
A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + ... + 99(100 + 1)
A = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ... + 99.100 + 99
A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99)
A = 333300 + 4950 = 338250
Bài 4: Tính A = 1.4 + 4.7 + 7.10 + ... + 97.100
Bài 5: Tính A = 4 + 12 + 24 + 40 + ... + 19800
Bài 6: Tính A = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + 4950
Hướng dẫn: nhân 2
Bài 7: Tính A = 6 + 16 + 30 + 48 + ... + 19998
Bài 8: Tính A = 2 + 5 + 9 + 14 + ... + 4949 + 5049

Bài 9: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 98.99.100
Hướng dẫn:
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + ... + 98.99.100.(101 – 97)
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + ... + 98.99.100.101 – 97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
A = 2449755
Bài 10: Tính A = 1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²
Hướng dẫn:
A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + ... + 99(98 + 1) + 100(99 + 1)
A = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + ... + 98.99 + 99 + 99.100 + 100
A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100)
A = 333300 + 5050
A = 338050
Tổng quát: 1² + 2² + 3² + ... + (n – 1)² + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
Bài 11: Tính A = 2² + 4² + 6² + ... + 98² + 100²
Bài 12: Tính A = 1² + 3² + 5² + ... + 97² + 99²
Hướng dẫn:
A = (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²) – (2² + 4² + 6² + ... + 98² + 100²)
A = (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²) – 2²(1² + 2² + 3² + ... + 49² + 50²)
Bài 13: Tính A = 1² – 2² + 3² – ... + 99² – 100²
Hướng dẫn:
A = (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²) – 2(2² + 4² + 6² + ... + 98² + 100²)
Bài 14: Tính A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + ... + 98.99²
Hướng dẫn:
A = 1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + ... + 98.99(100 – 1)
A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + ... + 98.99.100 – 98.99
A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99)
Bài 15: Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 97.99 + 99.101
Hướng dẫn:
A = 1(1 + 2) + 3(3 + 2) + 5(5 + 2) + ... + 97(97 + 2) + 99(99 + 2)

A = (1² + 3² + 5² + ... + 97² + 99²) + 2(1 + 3 + 5 + ... + 97 + 99)
Bài 16: Tính A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + ... + 98.100 + 100.102


Hướng dẫn:
A = 2(2 + 2) + 4(4 + 2) + 6(6 + 2) + ... + 98(98 + 2) + 100(100 + 2)
A = (2² + 4² + 6² + ... + 98² + 100²) + 4(1 + 2 + 3 + ... + 49 + 50)
Bài 17: Tính A = 1³ + 2³ + 3³ + ... + 99³ + 100³
Hướng dẫn:
A = 1²(1 + 0) + 2²(1 + 1) + 3²(2 + 1) + ... + 99²(98 + 1) + 100²(99 + 1)
A = (1.2² + 2.3² + 3.4² + ... + 98.99² + 99.100²) + (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²)
A = [1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + ... + 98.99(100 – 1)] + (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²)
A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + ... + 98.99.100 – 98.99 + (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²)
A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99) (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²)
Bài 18: Tính A = 2³ + 4³ + 6³ + ... + 98³ + 100³
Bài 19: Tính A = 1³ + 3³ + 5³ + ... + 99³
Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Tính chất:
a c
Tính chất 1: Nếu = thì ad = bc
b d
Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau
a c a b d c d b
= , = , = , =
b d c d b a c a
a c a +c a −c
=
Tính chất 3: = =
b d b+d b−d
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC

x y y z
Ví dụ 1: Tìm ba số x, y, z biết = ; = và 2x – 3y + z = 6
3 4 3 5
x y
z
=
Theo đề ta suy ra =
9 12 20
x y
z 2x 3y z
2x − 3y + z 6
=
=
=
=
=
= =3
→ =
9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2
Do đó: x = 27, y = 36, z = 60
x y
Ví dụ 2: Tìm hai số x, y biết = và xy = 40.
2 5
Hiển nhiên x ≠ 0
x y
x 2 xy 40
Nhân cả hai vế của = với x =>
=
=
=8

2 5
2
5
5
Suy ra x² = 16 nên x = 2 hoặc x = –2
+ Với x = 4 ta có y = 10
+ Với x = –4 ta có y = –10
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng
x y z
x y y z
= =
a.
và 5x + y – 2z = 28
b. = ; = và 2x + 3y – z = 124
10 6 21
3 4 5 7
2x 3y 4z
x y z
=
=
c.
và x + y + z = 49
d. = = và xyz = 192
3
4
5
2 3 4
x y z
e. = = và x² – y² + z² = 80

5 3 2
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng
x −1 y − 2 z − 3
=
=
a. 3x = 2y, 7y = 5z, x – y + z = 32
b.
và 2x + 3y – z = 50
2
3
4
x y z
= và xyz = 810
c. 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95
d. =
2 −3 5
y + z +1 z + x + 2 x + y − 3
1
=
=
=
e.
g. 10x = 6y và 2x² – y² = –28
x
y
z
x + y+z


1 + 2y 1 + 4y 1 + 6y

=
=
18
24
6x
a
b
c
d
=
=
=
Bài 4: Cho a + b + c + d ≠ 0 và
. Tìm giá trị của biểu thức
b+c+d a +c+d a +b+d a +b+c
a +b b+c c+d d+a
+
+
+
A=
c+d a +d a +b b+c
Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng
x 3 y3
z3
a. 3x = 7y = 9z và xy + yz + zx = 399
b.
và x² + y² + z² = 14.
=
=
8 64 216

2x + 1 3y − 2 2x + 3y − 1
=
=
c.
d. 4x = 3y = 5z và x² + (2y – 3z)² = 836
5
7
6x
Bài 6: Tìm các số a, b, c biết rằng 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 7: Tìm x, y, z thỏa mãn
a. x : y : z = 3 : 4 : 5 và 3x² + 2y² – 5z² = –594.
b. x + y = x : y = 3(x – y)
Bài 8. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng
a
b
c
=
=
Bài 9: Cho
. Biết a + b + c ≠ 0. Tìm giá trị mỗi tỉ số đó.
b+c c+a a +b
Bài 10. Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9; 10; 11; 8. Biết rằng số học sinh
khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó.
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
a c
2a + 3b 2c + 3d
=
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức = . Chứng minh
b d
2a − 3b 2c − 3d

a c
a b 2a 3b 2a + 3b 2a − 3b
=
=
=
Ta có = => = =
b d
c d 2c 3d 2c + 3d 2c − 3d
2a + 3b 2c + 3d
=
Vậy
2a − 3b 2c − 3d
a c
ab a 2 − b 2
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức = . Chứng minh
=
b d
cd c 2 − d 2
a c
a b
ab a 2 b 2 a 2 − b 2
Từ giả thiết: = => = =>
=
=
=
b d
c d
cb c 2 d 2 c 2 − d 2
ab a 2 − b2
Vậy

=
cd c 2 − d 2
BÀI TẬP VẬN DỤNG
a c
Bài 1: Cho = . Chứng minh các tỉ lệ thức
b d
3a + 5b 3c + 5d
(a + b) 2 a 2 + b 2
2a + 5b 2c + 5d
7a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd
=
=
=
a.
b.
c.
d.
=
3a − 5b 3c − 5d
(c + d) 2 c 2 + d 2
3a − 4b 3c − 4d
7a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd
a b c
a+b+c 3 a
) =
Bài 2: Cho = = . Chứng minh rằng (
b c d
b+c+d
d
a

b
c
=
=
Bài 3: Cho
. Chứng minh 4(a – b)(b – c) = (c – a)²
2016 2017 2018
a
a + a + a + ... + a 2017 2017
a1 a 2 a 3
a
=
=
= ... = 2017 . Chứng minh 1 = ( 1 2 3
)
Bài 4: Cho
a2 a3 a4
a 2018
a 2018
a 2 + a 3 + a 4 + ... + a 2018
a
a
a1 a 2
=
= ... = 8 = 9 và a1 + a2 + ... + a9 ≠ 0. Chứng minh a1 = a2 = ... = a9.
Bài 5: Cho
a 2 a3
a 9 a1
Bài 3: Tìm x, y biết rằng

Bài 6: Chứng minh nếu ac = b² thì

a 2 + b2 a
=
b2 + c2 c


a +b c+a
=
thì a² = bc.
a −b c−a
3a + 4b 3c + 4d
=
Bài 8: Cho tỉ lệ thức
. Chứng minh ad = bc
5a + 6b 5c + 6d
a +b c+d
=
Bài 9: Chứng minh rằng nếu
thì ad = bc
a −b c−d
Bài 10: Cho bc(y + z) = ca(z + x) = ab(x + y) trong đó a, b, c đôi một khác nhau và khác 0.
y−z z−x x−y
=
=
Chứng minh
c−b a −c b−a
xa + yb xc + yd
=
Bài 11: Cho ad = bc. Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0. Chứng minh

za + tb zc + td
Bài 12: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn b² = ac; c² = bd và b³ + c³ + d³ ≠ 0. Chứng minh
a 3 + b3 + c3 a
=
b 3 + c3 + d 3 d
a b' b c'
Bài 13: Cho + = + = 1. Chứng minh abc + a’b’c’ = 0
a ' b b' c
bz − cy cx − az ay − bx
x y z
=
=
Bài 14: Cho Cho dãy tỉ số
. Chứng minh = =
a
b
c
a b c
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Nếu a ≥ 0 → |a| = a
Nếu a < 0 → |a| = –a
Nếu x ≥ a => |x – a| = x – a; và x ≤ a => |x – a| = a – x
* Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
|a| = 0 <=> a = 0
|a| ≠ 0 <=> a ≠ 0
|a| = |b| <=> a = b or a = –b
–|a| ≤ a ≤ |a|
|a| = –a <=> a ≤ 0; |a| = a <=> a ≥ 0
Nếu a < b < 0 → |a| > |b|
Nếu 0 < a < b → |a| < |b|

|ab| = |a||b|
|a/b| = |a|/|b|
|A|² = A²
|a| + |b| ≥ |a + b| và |a| + |b| = |a + b| <=> ab ≥ 0
Nếu k > 0 thì |A(x)| = k <=> A(x) = k hoặc A(x) = –k
Bài 1: Tìm x, biết
a. |2x – 5| – 4 = 0
b. 1/3 – |5/4 – 2x| = 1/4
c. 1/2 – |x + 4/3| = –1/3
d. 3 – 4|2x + 1| = 7
Bài 2: Tìm x, biết
a. 2|2x – 3| = 1/2
b. 7,5 – 3|5 – 2x| = –4,5
c. |x + 0,25| – |–3,75| = –2
Bài 3: Tìm x, biết
a. 2|3x – 1| + 1 = 5
b. |x/2 – 1| = 3/2
c. |–x + 2/5| + 1/2 = 3,5
Bài 4: Tìm x, biết
a. 2 – |1,5.x – 0,25| = |–1,25|
b. 3/2 + |2x – 3/4| = 7/4
c. 4/3 – 2|x + 5/4| = 5/6
Bài 5: Tìm x, biết
9
a. 6,5 –
: |x + 1| = 2
b. 11/4 + |(3/2) : 4x – 1/5| = 7/2
4
Bài 6: Tìm x, biết
a. |5x – 4| = |x + 2|

b. |2x – 3| – |3x + 2| = 0
c. |2 + 3x| = |4x – 3| d. |7x + 1| – |5x + 6| = 0
Bài 7: Tìm x, biết |3x + 8| = |4x – 1|
Bài 8: Tìm x, biết
a. |x + 2| = 3 – 2x
b. 2|x| – 3x + 15 = 0 c. |7 – x| = 5x + 1
Bài 9: Tìm x, biết
a. |9 + x| – 2x = 0
b. |5x| – 3x – 2 = 0
c. |x + 6| – 9 = 2x
d. |2x – 3| + x = 21
Bài 10: Tìm x, biết
a. |3x – 1| + 2 = x
b. |x + 15| + 1 = 3x c. |2x – 5| + x = 2
Bài 11: Tìm x, biết
a. |2x – 5| = x + 1
b. |3x – 2| – 1 = x
c. |3x – 7| = 2x + 1
Bài 12: Tìm x, biết
Bài 7: Chứng minh nếu


a. |x – 5| + 5 = x
b. |x + 7| – x = 7
c. |3x – 4| + 4 = 3x
Ví dụ: Tìm x biết rằng |x – 1| + |x – 3| = 2x – 1
(1)
Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không
chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ đó sẽ tìm được x.
x – 1 = 0 <=> x = 1

x – 3 = 0 <=> x = 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x – 1 và x – 3 dưới đây
x
1
3
x–1 –
0
+
|
+
x–3 –
|
–
0
+
Xét x < 1 ta có: (1 – x) + (3 – x) = 2x – 1
<=> x = 5/4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Xét 1 ≤ x ≤ 3 ta có (x – 1) + (3 – x) = 2x – 1 <=> x = 3/2 (giá trị này thuộc khoảng đang xét)
Xét x > 3 ta có: (x – 1) + (x – 3) = 2x – 1
<=> –4 = –1
Vậy x = 3/2
Bài 13: Tìm x, biết
a. |x| + 2|x – 5| = 8
b. 3|x + 4| – 5|x + 3| + |x – 9| = 9
Bài 14: Tìm x, biết
a. |x + 5| + |x – 3| = 9
b. |x – 2| + 2|x – 3| + |x – 4| = 2
c. |x + 1| + |x + 3| + |2x – 1| = 7
d. 2|x + 2| + |4 – x| = 11
Bài 15: Tìm x, biết

a. |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = 9
b. |x + 1| – |x + 2| – 1 = 0
c. |x – 1| + 3|x – 3| – 2|x – 2| = 4
d. |x + 5| – |1 – 2x| – |3x + 4| = 0
e. |x| – |2x + 3| – x + 1 = 0
f. |x| + |1 – x| = x + |x – 3|
Bài 16: Tìm x, biết
a. |x – 3| + |x + 5| – 8 = 0
b. |2x – 1| + |2x – 5| – 4 = 0
c. |x – 3| + |3x + 4| + |2x – 1| = 8
Bài 17: Tìm x, biết
a. |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 4x – 4
b. |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x
c. |x + 2| + |x + 3/5| + |x + 2/5| = 4x – 3
d. |x + 1,1| + |x + 1,2| + |x + 1,3| + |x + 1,4| = 5x + 5,5
Bài 18: Tìm x, biết
a. |x + 1/101| + |x + 2/101| + |x + 3/101| + |x + 4/101| + ... + |x + 100/101| = 101x
b. |x + 1/2| + |x + 1/6| + |x + 1/12| + |x + 1/20| + ... + |x + 1/9900| = 100x
1
1
1
1
|+|x+
|+|x+
| +...+ | x +
| = 50x
c. | x +
1.3
3.5
5.7

97.99
Bài 19: Tìm x, biết
a. ||2x – 1| + 1/2| = 3
b. |4x² + |2x + 1|| = 4x² + 2
c. |x²|x + 3/4|| = x²
Bài 20: Tìm x, biết
a. |2|2x – 1| – 1| – 2/5 = 0
b. |2|x + 2| – 3| = 8/5
c. |x|x² + 3/4|| = x
Bài 21: Tìm x, biết
a. |x(x² – 3/4)| = x
b. |(x + 1/2)|2x – 3/4|| = 2x – 3/4
c. ||x – 1/2||2x – 3/4|| = 2x – 3/4
Bài 22: Tìm x, biết
a. ||2x – 3| – x + 1| = 4x – 1 b. ||x – 1| – 1| = 2
c. ||3x + 1| – 5| = 2
Bài 23: Tìm x, y thỏa mãn
a. |3x – 4| + |3y + 5| = 0
b. |x – 2y| + |y + 1,5| = 0
c. |3 – 2x| + |4y + 5| = 0
Bài 24: Tìm x, y thỏa mãn
a. |15 – x| + (y – 12)² = 0
b. |2/3 + 5x/3| + |1,5 + 5y/6| = 0
c. |2x – 2014| + |5y – 2015| = 0
Bài 25: Tìm x, y thỏa mãn
a. |5x + 10| + |6y – 9| ≤ 0
b. |x + 2y| + |2y – 3| ≤ 0
c. |x – y + 2| + |2y + 4| ≤ 0
Bài 26: Tìm x, y thỏa mãn
a. |12x + 8| + |11y – 5| ≤ 0

b. |3x + 2y| + |4y – 1| ≤ 0
c. |x – 2| + |xy – 10| ≤ 0
Bài 27: Tìm x, y thỏa mãn
a. |x – 3y|11 + (y + 4)12 = 0
b. (x + y)2016 + 2017|y – 1|³ = 0
c. |x – y – 5| + 2015(y – 3)2016 = 0
Bài 28: Tìm x, y thỏa mãn
a. (x – 1)² + (y + 3)4 = 0
b. 2(x – 5)6 + 5|2y – 7|5 = 0
c. |x + 3y – 1| + (3y – 2)2016 = 0
Bài 29: Tìm x, y thỏa mãn


a. 3|x – y|5 + 10|y + 2|7 ≤ 0

1 2016 12
b. (x − ) + |4y – 6/5| ≤ 0
2
13

Bài 30: Tìm x, biết
a. |x + 5| + |3 – x| – 8 = 0
b. |x – 2| + |x – 5| – 3 = 0
c. |x – 5| + |x + 1| – 6 = 0
d. 2|x + 3| + |2x + 5| = 11
e. |x + 1| + |2x – 3| = |3x – 2| f. |x – 3| + |5 – x| + 2|x – 3| = 2.
g. |x – 4| + |x – 6| – 2 = 0
h. |x + 1| + |x + 5| – 4 = 0
i. |3x + 7| + 3|2 – x| = 13
j. |5x + 1| + |3 – 2x| – |4 + 3x| = 0

k. |x + 2| | |3x – 1| + |x – 1| = 3
ℓ. |x – 2| + |x – 7| – 4 = 0
Bài 31: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. |x – y – 2| + |y + 3| = 0
b. (x + y)² + 2|y – 1| = 0
Bài 32: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. |x – 3y|5 + |y + 4| = 0
b. |x – y – 5| + (y – 3)4 = 0
c. |x + 3y – 1| + 3|y + 2| = 0
Bài 33: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. |x + 4| + |y – 2| – 3 = 0
b. |2x + 1| + |y – 1| – 4 = 0
c. |3x| + |y + 5| = 5
d. |5x| + |2y + 3| = 7
Bài 34: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. 3|x – 5| + |y + 4| – 5 = 0
b. |x + 6| + 4|2y – 1| = 12
c. 6|x| + |y + 3| = 10 d. 12|x + 1| + |2y + 3| = 21
Bài 35: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. y² = 3 – |2x – 3|
b. y² = 5 – |x – 1|
c. 2y² = 3 – |x + 4|
d. 3(2y + 1)² = 12 – |x – 1|
Bài 36: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. |x| + |y| ≤ 3
b. |x + 5| + |y – 2| ≤ 4 c. |2x + 1| + |y – 4| – 3 ≤ 0
d. |3x| + |y + 5| ≤ 4.
Bài 37: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. 5|x + 1| + |y – 2| – 7 ≤ 0
b. 4|2x + 5| + |y + 3| ≤ 5

c. 3|x + 5| + 2|y – 1| ≤ 3
d. 3|2x + 1| + 4|2y – 1| ≤ 7
Bài 38: Tìm số nguyên x thỏa mãn
a. |x – 1| + |4 – x| = 3 b. |x + 2| + |x – 3| = 5 c. |x + 1| + |x – 6| = 7 d. |2x + 5| + |2x – 3| = 8.
Bài 39: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn các điều kiện sau
a. x + y = 4; |x + 2| + |y| = 6
b. x + y = 4; |2x + 1| + |y – x| = 5
c. x – y = 3; |x| + |y| = 3
d. x – 2y = 5 và |x| + |2y – 1| = 6
Bài 40: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đồng thời
a. x + y = 5 và |x + 1| + |y – 2| = 4
b. x – y = 3 và |x – 6| + |y – 1| = 4
c. x – y = 2 và |2x + 1| + |2y + 1| – 4 = 0
d. 2x + y = 3 và |2x + 3| + |y + 2| – 8 = 0
Bài 41: Tìm số nguyên x thỏa mãn
a. (x + 2)(x – 3) < 0
b. 3(2x – 1)(2x – 3) < 0
c. 4(3x + 1)(5 – 2x) > 0
Bài 42: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. (2 – x)(x + 1) = |y + 1|
b. (x + 3)(1 – x) – 2|y| = 0
c. (x – 2)(5 – x) – |y – 1| – 2 = 0
Bài 43: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. (x + 1)(3 – x) = 2|y| + 1
b. (x – 2)(5 – x) – |y + 1| = 1 c. (x – 3)(5 – x) = |y + 2|
Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
30
a. |x + 2| + |x – 1| = 3 – 2(y + 2)²
b. |3x + y + 2| + 5 =
(y + 5) 2 + 6

10
6
c. |y – 4| + 5 =
d. |x – 1| + |3 – x| =
2
(x + 1) + 2
| 2y − 8 | +3
3
12
e. |2x + 3| + |2x – 1| =
g. |3x + 1| + |3x – 5| =
2
(y − 5) + 2
(y + 3) 2 + 2
6
20
h. (x + 1)² + |y – 2| + 3 =
i. (x – 2)² + 4 =
| y − 1| + | y − 3 |
3 | y + 2 | + | 3y + 1|
Bài 45: Tính giá trị của biểu thức
a. A = 2x + 2xy – y với |x| = 2,5; y = –3/4 b. B = 3a – 3ab – b với |a| = 1/3; |b| = 0,25
c. C = 3x² – 2x + 1 với |x| = 1/2.
Bài 46: Tính giá trị của biểu thức
a. A = 6x³ – 3x² + 2|x| + 4 với x = –2/3
b. B = 2|x| – 3|y| với x = 1/2; y = –3
c. C = 2|x – 2| – 3|1 – x| với x = 4
Bài 47: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a. A = 0,5 – |x – 3,5|

b. B = –|1,4 – x| – 2

c. C =

3 | x | +2
4 | x | −5

2 | x | +3
e. E = 5 – |2x – 1,5|
g. G = 10 – |5x – 2| – (3y + 12)²
3 | x | −1
12
1
h. H =
i. I =
| x + 2 | +4
| x − 2 | +3
Bài 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a. A = 1,7 + |3,4 – x|
b. B = |x + 2,8| – 3,5
c. C = |3x + 8,4| – 14,2
d. D = |4x – 3| + |5y + 7| + 7 e. E = 2(3x – 1)² – 4
Bài 49: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
15
4
24
2
21

a. A = 5 +
b. B = +
c. C = +
2
4 | 3x − 6 | +3
5 | x − 1| + | y + 2 | +15
3 (x + 3y) + 5 | x + 5 | +14
Bài 50: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 | x + 3 | +11
| y − 4 | +13
15 | x + 1| +32
a. A =
b. B =
c. C =
| x + 3 | +4
2 | 4 − y | +6
6 | x + 1| +8
Bài 51: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a. A = |x + 5| + 2 – x
b. B = |2x – 1| + 2x + 6
c. C = |4x + 3| + 4x – 5
d. D = 2|x – 3| + 2x + 5
e. E = 5|x – 1| + 4 – 5x
f. F = 4|x + 5| + 4x
Bài 52: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a. A = –|x – 5| + x + 12
b. B = –|2x + 3| + 2x + 4
c. C = –|3x – 1| + 7 – 3x
d. D = –2|x – 5| + 2x + 1
e. E = –3|x – 4| + 8 – 3x

f. F = –5|5 – x| + 5x + 7
Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a. A = |x + 1| + |x – 5| + 1
b. B = |x – 2| + |x – 6| + 5
c. C = |2x – 4| + |2x + 1|
d. D = |x + 2| + |x – 3| – 1
e. E = |2x – 4| + |2x + 5|
d. F = 3|x – 2| + |3x + 1|
Bài 54: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a. A = |x + 3| + |2x – 5| + |x – 7|
b. B = |x + 1| + |3x| + |x – 1| + 5
c. C = |x + 2| + 4|2x – 5| + |x – 3|
d. D = |2x + 3| + 5|x + 1| + 2|x – 1| + 3
Bài 55: Cho x + y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1| + |y – 2|
Bài 56: Cho x – 2y = 3, tìm giá trị của biểu thức B = |x – 6| + |2y + 1|
Bài 57: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 2|x + 1| + |1 – 2y|
Bài 58: Cho 2x + y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = |2x + 3| + |y + 2| + 12
DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tính tổng S = 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012
Bài 2: Cho biểu thức A = 1 – 2 + 3 – 4 + ... + 99 – 100.
a. Tính A.
b. A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?
Bài 3: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 + ...
a. Biết rằng A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng?
b. Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n
Bài 4: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 + ...
a. Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b. Tìm số hạng thứ 2012 của A.
Bài 5: Tìm giá trị của x biết (x + 2) + (x + 7) + (x + 12) + ... + (x + 47) = 655
Bài 6: Tìm x biết x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 2017) = 2017.2018

Bài 7: Tính M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2017. 2018
Bài 8: Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3100. Tìm số tự nhiên n biết 2A + 1 = 3n.
Bài 9: Cho A = 3 + 3² + 3³ + ... + 32016.
a. Tính A
b. Chứng minh A chia hết cho 130.
c. A có phải là số chính phương không? Vì sao?
Bài 10: Cho A = 1 – 3 + 3² – 3³ + ... – 32015 + 32016. Chứng minh 4A – 1 = 32017.
Bài 11: Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 260. Chứng minh rằng A chia hết cho 315.
Bài 12: Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 299 + 2100. Chứng minh A chia hết cho 31.
d. D =


Bài 13: Cho S = 5 + 5² + 5³ + .... + 596.
a. Chứng minh S chia hết cho 126
b. Tìm chữ số tận cùng của tổng S
Bài 14: Cho A = 1.2.3...29.30 và B = 31.32.33...59.60
a. Chứng minh B chia hết cho 230.
b. Chứng minh B – A chia hết cho 61.
2015
Bài 15: Cho A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2 và B = 22016. So sánh A và B.
Bài 16: Cho M = 3 + 3² + 3³ + ... + 3100.
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không? Vì sao?
b. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M + 3 = 3ⁿ.
Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3119.
a. Thu gọn biểu thức M.
b. Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
1 1 1
2
2015
=

Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: + + + ... +
3 6 10
n(n + 1) 2016
3
3
3
3
+
+
+ ... +
Bài 19: Tính S =
với n là số tự nhiên. Chứng minh S < 1
1.4 4.7 7.10
n(n + 3)
2
2
2
5
5
5
+
+ ... +
+
+ ... +
Bài 20: So sánh A =
và B =
60.63 63.66
117.120
40.44 44.48
76.80

Bài 21: Tính
1 1
1
1
1
1
1
1
1
+
+ +
+
+
+
+ ...... +
a. A =
b. B =
10 40 88 154 238 340
1.2.3 2.3.4
98.99.100
1 1 1
1
Bài 22: So sánh A = 1 + + 2 + 3 + ... + 100 và B = 2.
2 2 2
2
3
3
3
3
+

+
+ ... +
Bài 23: Tính A = 3 +
1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4
1 + 2 + ... + 100
1 1
1
1 + + + ... +
3 5
99
Bài 24: Tính giá trị các biểu thức A =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.99 3.97 5.95
99.1
1 1 1
1
+ + + ... +
100
Bài 25: Tính B = 2 3 4
99 98 97
1
+ + + ... +
1
2

3
99
1 1
1
1 2 3
99
) = + + + ... +
Bài 26: Chứng minh 100 – (1 + + + ... +
2 3
100
2 3 4
100
1 1 1
1
1
2
3
198 199
+
+
+ ... +
+
Bài 27: Tính B/A biết A = + + + ... +
và B =
2 3 4
200
199 198 197
2
1
1 1 1

1
1
Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy số 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;...
3 8 15 24 35
1 1 1
1
;
;...
Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số ; ;
6 66 176 336
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
17.18 19.20
Bài 30: Tính A = 1.2 3.4 5.6
1 1 1
1 1
+ + + ... + +
11 12 13
19 20
1
1
1
1

1
1
+
+ ... +
)x =
+
+ .... +
Bài 31: Tìm x, biết (
1.101 2.102
10.110
1.11 2.12
100.110
Bài 32: Tính
a. S = 1 + a + a² + a³ + ... + aⁿ, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
b. S1 = 1 + a² + a4 + ... + a2n, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
c. S2 = a + a³ +a5 + ... + a2n+1, với a ≥ 2, n là số nguyên dương


Bài 33: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 499, B = 4100. Chứng minh rằng 3A < B.
Bài 34: Tính giá trị của biểu thức:
a. A = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
b. B = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
(50 chữ số)
(200 chữ số)
Bài 35: Tính |x| biết
1
1
1
1
1

1
1
x
+
+ ... +
=
+
+ ..... +
=
a.
b.
1.3 3.5
47.49 x
1.4 4.7
97.100 2
4
4
4
2x + 5
1
1
1
1
1
+
+ ... +
=
)+x = 2
c.
d. (1 − )(1 − )(1 − )...(1 −

1.5 5.9
97.101
101
2
3
4
100
5
g. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100 = 11x – 1
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI
Bài 1: Viết các số thập phân dưới dạng phân số tối giản
0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)
Bài 2: Tính
a. 10,(3) + 0,(4) – 8,(6)
b. [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21)
c. 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2)
Bài 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ tối thiểu khi biểu diễn số 116/99 dưới dạng số thập phân vô hạn
tuần hoàn.
Bài 4: Tính tổng tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12)
0,5 + 0, (3) − 0,1(6)
Bài 5: Rút gọn biểu thức M =
2,5 + 1, (6) − 0,8(3)
Bài 6: Tìm x biết
3
0,1(6) + 0, (3)
0, (3) + 0, (384615) + x
x = 0, (2)
a.
b.
13 = 50

0, (3) + 1,1(6)
0, 0(3)
85
c. [0,(37) + 0,(62)]x = 10
d. 0,(12) : 1,(6) = x : 0,(4)
3
m + 3m 2 + 2m + 5
Bài 7: Cho biểu thức A =
(m là số tự nhiên)
m(m + 1)(m + 2) + 6
a. Chứng minh rằng A là phân số tối giản.
b. Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?
Bài 8: Chứng minh với a, b > 0 thì a + b < a + b
Bài 9: Tìm x biết
a. (x – 3)² = |3 – x|
b. (x – 1)² + |2 – 2x| = 0
Bài 10: Tìm x biết
a. 2 x = x
b. 16(x – 1)² = 9
x +1
. Tìm x để A = 7
x −1
Bài 12: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên
7
x − 13
2 x +7
a. A =
b. B =
c. D =
x

x +1
x −3
Bài 11: Cho A =

x +4
Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
2 x
Bài 14: Chứng minh rằng x, y đều là số hữu tỉ nếu x + y và x – y là các số hữu tỉ
1
1
1
Bài 15: Tính A = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + 3 + ... + 16)
2
3
16
Bài 16: Tìm x biết
a. 0,8(72) – 0,56(81).x = 0,5(09)
b. 0,8(3) + 0,20(45) : x = 0,(15)
1
1
1
1
Bài 17: So sánh A = ( − 1)( − 1)( − 1)...( − 1) và B = –0,(1).
2
3
4
10
1
1
1

1
− 1) và B = –0,(5). So sánh A và B
Bài 18: Cho A = ( − 1)( − 1)( − 1)...(
4
9
16
100
Bài 13: Cho A =


Bài 19: So sánh A =

1 3 5 119
. . ...
và B = 0,(09).
2 4 6 120

Bài 20: Tìm x, biết
a. (x + 3)² = –|x + 3|
b. |x² – 3x| + |(x + 1)(x – 3)| = 0
Bài 21. Tìm số nguyên x sao cho
a. |2x – 5| < 6
b. |10x + 7| < 37
c. |4x + 3| + 4|x – 1| < 8
Bài 22. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện
a. 2|x| + 3|y| = 8
b. 2|x| + 3|y| < 4
c. 4x² + 5|y| = 13
Chuyên đề: CHỨNG MINH TAM GIÁC
Bài 1. Cho ΔABC có AC > AB. Vẽ tia phân giác AD, D thuộc BC. Chứng minh góc ADC – ADB = B – C.

Bài 2. Cho ΔABC có góc A = 60°. Vẽ tia phân giác BD và CE (D tuộc AC; E thuộc AB) cắt nhau tại O.
a. Tính góc BOC.
b. Vẽ phân giác ngoài tại B và C cắt nhau tại I. Tính góc BIC.
Bài 3. Tính các góc của tam giác ABC. Biết góc A – B = B – C = 20°.
Bài 4. Cho tam giác ABC có góc A = 80°, góc B = 60°. Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ
tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D. Chứng minh rằng góc BDC = góc ACB.
Bài 5. Cho tam giác ABC có góc A gấp 2 lần góc B và góc B gấp 2 lần góc C.
a. Tính góc A; B; C.
b. Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại C. Tính góc AEC.
Bài 6. Cho ΔABC có các góc A; B; C lần lượt tỷ lệ với 3; 2; 1. Hỏi ΔABC là tam giác như thế nào?
Bài 7. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm. Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA. Tìm độ
dài 3 cạnh của tam giác ABC.
Bài 8. Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE, OF, OG thứ tự vuông góc
với AC, AB, BC.
a. Chứng minh OE = OF = OG.
b. Tia AO cắt BC tại D. Chứng minh góc BOD = COG
Bài 9. Cho tam giác ABC. Biết AB = 3 cm, BC = 5 cm và CA = 4 cm. Gọi đường thẳng qua A và song song
với BC là a. Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c. Gọi M, N,
P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c; a và c; a và b. Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP.
Bài 10. Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC, kẻ BH vuông góc với AM và CK vuông góc với AM.
Chứng minh
a. BH // CK
b. M là trung điểm của HK
c. HC // BK
Bài 11. Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn. Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA;
MNB và NLC. Chứng minh LB = MC = NA.
Bài 12. Cho tam giác ABC có góc A = 90°; góc B = 60°. Phân giác góc B và phân giác góc C cắt nhau tại I
và AI cắt BC tại M.
a. Chứng minh góc BIC là góc tù.
b. Tính góc BIC.

Bài 13. Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20°. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính số đo các góc
ADC và góc ADB.
Bài 14. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB (D và C khác phía đối
với AB). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC (E và B khác phía đối với AC). Chứng minh
a. DC = BE
b. DC vuông góc với BE.
Bài 15. Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối BD lấy
điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AE = AK.
Bài 16. Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC. Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao
cho KM = KC. Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh A là trung điểm của MN.
Bài 17. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ΔADB; ΔACE. Kẻ
AH vuông góc BC; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH. Chứng minh
a. DM = AH
b. MN đi qua trung điểm của DE.
Bài 18. Cho tam giác ABC. Gọi D trung điểm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm
của DF. Chứng minh rằng
a. DB = CF
b. ΔDBC = ΔFCD
c. 2DE = BC.
Bài 19. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D; E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ các đường song
song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh DM + EN = BC.
Bài 20. Cho tam giác ABC có góc A = 60°. Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại I và cắt AC; AB theo
thứ tự D; E. Chứng minh ID = IE


Bài 21. Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Các tia phân giác góc ACE và DBE cắt nhau ở K.
Chứng minh rằng góc BKC = (góc BAC + góc BDC)/2.
Bài 22. Cho tam giác ABC với M trung điểm BC. Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông
góc AB và lấy D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy
AE = AC. Chứng minh

a. AM = ED / 2
b. AM vuông góc với DE
Bài 23. Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho góc xOz = (1/2)yÔz. Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông
góc Ox cắt Oz ở B. Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA. Chứng minh rằng tam giác AOD cân.
Bài 24. Cho góc xÔz = 120°. Oy là tia phân giác xÔz; Ot là tia phân giác của góc xÔy. M là điểm miền
trong góc yOz. Vẽ MA, MB, MC lần lượt vuông góc với Ox, Oy, Ot. Chứng minh OC = MA – MB.
Bài 25. Cho tam giác cân ABC có Â = 100°. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Chứng minh BC = BD + AD.
Bài 26. Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD, CE. Trên tia đối BD lấy điểm I. Trên tia đối CE lấy
điểm K sao cho BI = AC, CK = AB. Chứng minh rằng ΔAIK vuông cân
Bài 27. Cho góc xÔy = 90°. Lấy điểm A trên Ox và điểm B trên Oy. Lấy điểm E trên tia đối Ox và điểm F
trên tia Oy sao cho OE = OB và OF = OA.
a. Chứng minh AB = EF và AB vuông góc với EF.
b. Gọi M, N là trung điểm AB, EF. Chứng minh tam giác OMN vuông cân.
Bài 28. Cho tam giác đều ABC. Trên 2 cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN. Gọi O
là giao điểm CM và BN. Chứng ninh rằng
a. CM = BN
b. Số đo góc BOC không thay đổi
Bài 29. Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45°. Vẽ phân giác AD. Trên tia đối AD lấy AE = BC.
Trên tia đối CA lấy CF = AB. Chứng minh
a. BE = CF
b. BE = BF
Bài 30. Cho tam giác ABC có BC = 2AB. M trung điểm BC; D trung điểm BM. Chứng minh AC = 2AD.
Bài 31. Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B = 60°. Vẽ tia Cx vuông góc với BC và lấy CE = CA (CE và
CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA. Chứng minh
a. ΔACE đều
b. Ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 32. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường song song
BC, cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng minh rằng
a. Góc BOC không đổi.
b. DE = DB + EC

Bài 33. Cho tam giác ABC có góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Trên tia đối BA lấy BE
= BH. Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh: FH = FA = FC.
Bài 34. Cho tam giác ABC có góc A = 90°. Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD tại B,
ACF tại C.
a. Chứng minh rằng D, A, F thẳng hàng.
b. Từ D và F kẻ các đường DD’, FF’ vuông góc xuống BC. Chứng minh DD’ + FF’ = BC.
Bài 35. Cho ΔABC có góc BAC = 120°. Kẻ AD phân giác góc A. Từ D hạ DE vuông góc với AB tại E; DF
vuông góc với AC tại F.
a. Tam giác DEF là tam giác gì?
b. Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M, ACM là tam giác gì?
Bài 36. Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác
góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh
1
a. BE = CF
b. 2AE = AB + AC và 2BE = AB – AC
c. góc BME = (góc ACB – góc ABC)
2
Bài 37. Cho tam giác nhọn ABC có góc  = 60°. Đường cao BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB; AC.
a. Xác định dạng của tam giác BMD và tam giác AMD
b. Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AN. Chứng minh CE vuông góc AB.
Bài 38. Cho ΔABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M, N sao cho BM = BA; CN = CA. Tính số đo
góc MAN.
Bài 49. Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau.
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b. Tam giác ABM là tam giác đều.
Gợi ý: a. Vẽ MI vuông góc AC.
Bài 40. Cho ΔABC có góc B = 75°, C = 60°. Kéo dài BC thêm một đoạn CD sao cho CD = (1/2)BC. Tính
góc ADB.
Gợi ý: Kẻ BH vuông góc với AC.

Bài 41. Cho tam giác ABC có AB = 24 cm; BC = 40 cm và AC = 32 cm. Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =
7 cm. Chứng minh rằng
a. Tam giác ABC vuông
b. góc AMB = 2 góc ACB
Bài 42. Cho tam giác ABC có AB = 25 cm; AC = 26 cm. Đường cao AH = 24 cm. Tính BC trong hai trường
hợp góc B là góc nhọn và góc B là góc tù.
Bài 43. Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền 51 cm. Tính độ dài 2 cạnh
góc vuông.
Bài 44. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E sao cho
HE = AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh EB vuông góc EF
Bài 45. Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cách gốc 3m. Hỏi điểm gãy cách gốc
bao nhiêu?
Bài 46. Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5; 4); B(2; 3) và C(6; 1). Tính các góc ΔABC.
Bài 47. Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác.
a. Chứng minh tam giác ABC cân.
b. Cho biết AB = 37 cm; AM = 35 cm. Tính độ dài BC.
Bài 48. Cho tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau.
a. Chứng minh tam giác đó đều.
b. Cho biết mỗi đường cao có độ dài 3 . Tính độ dài mỗi cạnh tam giác đó.
Bài 49. Cho tam giác ABC cân tại A và A = 80°. Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC = 30°;
góc OCB = 10°. Chứng minh tam giác COA cân.
Gợi ý: Vẽ thêm tam giác đều BCM sao cho M, A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC.
Bài 50. Cho tam giác ABC cân tại A và góc A = 100°. Gọi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho
góc CBO = 30°. Tính góc CAO.
Gợi ý: Vẽ tam giác đều BCM sao cho M, A cùng nửa mặt phẳng bờ BC.
Bài 51. Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C. Hai
đường này cắt nhau tại D.
a. Chứng minh AD là phân giác góc A.
b. Hãy so sánh AD và CD.

Bài 52. Cho tam giác cân ABC có AB = AC. D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho
AD = AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng minh BM = CN.
Bài 53. Cho góc xÔy trên Ox lấy điểm A. Trên Oy lấy điểm B. Gọi M trung điểm AB. Từ A, B hạ đường
thẳng AE; BF cùng vuông góc với tia OM. Chứng minh AE = BF
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
4x − 9 4y + 9
−
Bài 1: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức B =
(x ≠ –3y; y ≠ –3x)
3x + y 3y + x
x 2 (x 2 + 2y)(x 2 − 2y)(x 4 + 2y 4 )(x 8 + 2y8 )
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức A =
với x = 4; y = 8
x16 + 2y16
Bài 3: Tìm các giá trị của biến để
a. A = (x + 1)(y² – 6) có giá trị bằng 0
b. B = x² – 12x + 7 có giá trị bằng 7
2
5x + 3y 2
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức A =
biết 5x = 3y
10x 2 − 3y 2
z
x
y
Bài 5: Cho x, y, z ≠ 0 và x = y + z. Tính giá trị của biểu thức B = (1 − )(1 − )(1 + )
x
y
z
5−x

Bài 6: Cho biểu thức E =
. Tìm các giá trị nguyên của x để E có
x−2
a. giá trị nguyên
b. giá trị nhỏ nhất
Bài 7: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b là các số nguyên. Chứng minh không thể đồng thời có f(17) = 71 và
f(12) = 35.
Bài 8: Cho f(x) = ax² + bx + c. Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) = 1 khi
x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000.
Bài 9: Chứng minh biểu thức P = x8 – x5 + x² – x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x.
Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức x² + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x.
Bài 11: Tìm x, y là các số hữu tỷ thỏa mãn


a. x 3 + 3 = y 3 − x b. (x – 2) 25n 2 + 5 + y – 2 = 0 (n là số tự nhiên)
Bài 12: Tìm x, y là các số nguyên sao cho
x+2
2x − 3
a. y =
b. y =
x −1
x +1
Bài 13: Cộng và trừ các đơn thức
a. 3a²b + (–a²b) + 2a²b – (–6a²b)
b. (–7y²) + (–y²) – (–8y²)
c. (–4,2p²) + (–0,3p²) + 0,5p² + 3p² d. 5an + (–2an) + 6an.
Bài 14: Cho các đơn thức A = x²y và B = xy². Chứng tỏ rằng nếu x, y nguyên và x + y chia hết cho 13 thì A
+ B chia hết cho 13.
Bài 15: Cho biểu thức P = 2a 2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1 (n là số tự nhiên). Với giá trị nào của a thì P >
0.

Bài 16: Cho biểu thức Q = 5x k+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk (k là số tự nhiên). Với giá trị nào của x và k
thì Q < 0.
Bài 17: Tìm x biết: xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 (n là số nguyên dương)
Bài 18: Rút gọn biểu thức
a. 2n+3 + 2n+2 – 2n+1 + 2n.
b. 90.10k – 10k+2 + 10k+1.
c. 2,5.5n–3.10 + 5n – 6.5n–1.
Bài 19: Cho biểu thức M = 3a²x² + 4b²x² – 2a²x² – 3b²x² + 19 (a ≠ 0; b ≠ 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 20: Cho A = 8x5y³; B = –2x6y³; C = –6x7y³. Chứng minh rằng: Ax² + Bx + C = 0
Bài 21: Chứng minh rằng với n nguyên dương
a. 8.2n + 2n+1 có tận cùng bằng 0.
b. 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25.
c. 4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300.
Bài 22: Cho A = (– 3x5y³)4 và B = (2x²z4)5. Tìm x, y, z biết A + B = 0
Bài 23: Rút gọn
a. M + N – P với M = 2a² – 3a + 1, N = 5a² + a, P = a² – 4
b. 2y – x – {2x – y – [y + 3x – (5y – x)]} với x = a² + 2ab + b², y = a² – 2ab + b²
Bài 24: Tìm x, biết (0,4x – 2) – (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6
Bài 25: Tìm số tự nhiên abc (a > b > c) sao cho abc + bca + cab = 666
Bài 26: Có số tự nhiên abc mà tổng abc + bca + cab là một số chính phương không?
Bài 27: Tìm x, biết
a. x + 2x + 3x + 4x + ….. + 100x = –213
b. 3|x – 2| + |4x – 8| = 2
x − 6 x − 7 x − 8 x − 9 x − 10 x − 11
x + 32 x + 23 x + 38 x + 27
+
+
=
+
+

+
−
−
c.
d.
=0
7
8
9
10
11
12
11
12
13
14
e. (x – 1)³ = (x – 1) g. (x + 3)y+1 = (2x – 1)y+1 với y là số tự nhiên.