Chuyên đề HSG:Toán cực trị

Chuyên đề 6:
Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất
A- Tóm tắt kiến thức cơ bản
I. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định với x

D.
Nếu có hằng số M sao cho:



=

MxfDx
DxMxf
)(:
,)(
00
thì M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x)
Kí hiệu: M = max f(x).
Nếu có hằng số m sao cho:



=

mxfDx
Dxmxf
)(:
,)(
00

thì m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x)
Kí hiệu: m = min f(x)
Ghi chú: Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa
II. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số
1) Dùng tính chất
AA

. Dấu = xãy ra

0

A
.
Ta có:
+
A

0. Dấu = xãy ra khi A = 0
+
yx
+

x
+
y
. Dấu = xãy ra khi xy

0
+
yx

x
-
y
. Dấu = xãy ra khi x = y
2) Giả sử A, B là các hằng số, B > 0 và g(x) > 0.
+ Cho f(x) = A +
)(xg
B
Khi đó: * f(x) lớn nhất

g(x) nhỏ nhất
* f(x) nhỏ nhất

g(x) lớn nhất.
+ Cho f(x) = A -
)(xg
B
.
Khi đó: * f(x) lớn nhất

g(x) lớn nhất
* f(x) nhỏ nhất

g(x) nhỏ nhất.
3) Phơng pháp luỹ thừa bậc chẵn
Ta có
[ ]
F(x)

2n


0 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định D, n

N
Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ta biến đổi sao cho:
+ y = M -
[ ]
g(x)
2n
, n

Z+

y

M
Do đó y
max
= M

g(x) = 0
1
+ y = m +
[ ]
h(x)
2k
, k

Z+

y

M
Do đó y
min
= m

h(x) = 0
4) Dựa vào các bất đẳng thức đã biết
+ Luỹ thừa bậc chẳn:
A
2k


0 với mọi k

Z+, dấu = xãy ra

A = 0
+ Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm
Với a,b

0, ta có
2
ba
+

ab
. Dấu = xãy ra

a=b
+ Bất đẳng thức Bunhiacốpski
Với các số a,b,c,d ta có: (ac + bd)
2


(a
2
+ b
2
) (c
2
+ d
2
)
Dấu = xãy ra

ad bc = 0
5) Dựa vào tập giá trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
Nếu phơng trình y = f(x) có nghiệm thuộc D

a

y

b thì min f(x) = a và

max f(x) = b
B- bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a) A = 3,7 +
x

3,4
b) B =
4,83
+
x
- 14,2
c) C =
34

x
+
5,75
+
y
+ 17,5
Giải
a) Vì
x

3,4


0 với

x, do đó A

3,7 với

x
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3,7 khi
x

3,4
= 0 hay x = 4,3
b) Vì
4,83
+
x


0 với

x, do đó B

-14,2 với

x
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -14,2 khi
4,83
+
x
= 0 hay x = - 2,8
c) Vì
34

x

0 với

x và
5,75
+
y

0 với

y


34

x
+
5,75
+
y


0 với

x, y

C

17,5 với

x,y
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 17,5 khi
34

x
= 0 và
5,75
+
y
= 0
hay x= 0,75 và y = -1,5
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) D = 5,5 -
5,12

x
b) E = -
x32,10

- 14
c) F = 4 -
25

x
-
123
+
y

Giải
a) Vì
5,12

x


0 với

x nên D = 5,5 -
5,12

x

5,5 với

x
Vậy giá trị lớn nhất của D là 5,5 khi
5,12

x
= 0 hay x = 0,75
b) Vì
x32,10



0 với

x nên E = -

x32,10

- 14 = -14 -
x32,10


-14
với

x.
Vậy giá trị lớn nhất của E là -14 khi
x32,10

= 0 hay x = 3,4
c) Ta có F = 4 -
25

x
-
123
+
y
= 4 - [
25

x
+
123
+
y

]
Vì
25

x
+
123
+
y


0 với

x,y nên F

4 với

x,y
2
Vậy giá trị lớn nhất của F là 4 khi
25

x
+
123
+
y
= 0

=+
=
0123
025
y
x




=
=
4
4,0
y
x
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =
2002

x
+
2001

x
Giải

Ta có
M =
2002

x
+
2001

x
=
2002

x
+
x

2001

xx
+
20012002
=1
(áp dụng tính chất
yx
+

x
+
y
)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi x 2002 và 2001 x cùng dấu nhĩa là
2001

x

2002
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A= (x-3)
2
+ (y-1)
2
+ 5
b) B =
3

x
+ x
2
+ y
2
+ 1
c) C =
100

x
+ (x - y)
2
+100
Giải
a) Ta có (x-3)

2


0 với

x
(y-1)
2


0 với

y

(x-3)
2
+ (y-1)
2


0 với

x,y

A = (x-3)
2
+ (y-1)
2
+5

5 với

x,y
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi





=
=
0)1(
0)3(
2
2
y
x





=
=
1
3
y
x
b) Ta có
3

x

0 với

x; x
2


0 với

x; y
2


0 với

y


3

x
+ x
2
+ y
2


0 với

x, y


3

x
+ x
2
+ y
2
+ 1

1 với

x, y

Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất là 1 nếu







=
=
=
0
0

03
2
2
y
x
x






=
=
=
0
0
3
y
x
x


không tồn tại x
thoả mãn.
Vậy biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất.
c) Ta có
100

x

0 với

x; (x - y)
2


0 với

x, y

100

x
+(x - y)
2


0 với

x, y

100

x
+(x - y)
2
+ 100

100 với

x,
y
Vậy biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất là 100 khi





=
=
0)(
0100
2
yx
x





=
=
yx
x 100
3

x = y = 100
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:
a) A = 100 (y

2
25)
4

b) B = - 125 (x 4)
2
(y - 5)
2
Giải
a) Vì (y
2
25)
4


0 với

y nên 100 (y
2
25)
4


100 với

y
Vậy giá trị lớn lớn nhất của biểu thức A là 100 khi (y
2
25)
4

= 0

y
2
25 = 0

y =

5
b) Ta có B = -125 {(x - 4)
2
+ (y 5)
2
}.
Vì (x - 4)
2


0 với

x , (y 5)
2


0 với

y nên B

-125 với

x,y
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -125 khi





=
=
0)5(
0)4(
2
2
y
x





=
=
5
4
y
x
Bài 6:
a) Tìm các số nguyên để biểu thức
A =
1

x
+
2

x
đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm giá trị của x để biểu thức
B = 10 - 3
5

x
đạt giá trị lớn nhất
c) Tìm các cặp số nguyên x, y để biểu thức
C = -15 -
42

x
-
93
+
y
đạt giá trị lớn nhất
Giải
a) Xét các trờng hợp sau:
+ Nếu x < 1 thì A = 1 x + 2 x = 3 2x. Do x < 1
vì thế A = 3 2x > 3 2 = 1 (*)
+ Nếu 1

x

2 thì A = x 1 + 2 x = 1 (**)
+ Nế x > 2 thì A = x 1 + x 2 = 2x 3 > 4 3 = 1 (***)
Từ (*), (**) và (***) suy ra A có giá trị nhỏ nhất là 1

1

x

2
Vì x

Z nên x = 1; 2
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x = 1 hoặc x = 2
b) Giá trị lớn nhất của B là 10 khi và chỉ khi x = 5
c) Giá trị lớn nhất của C là -15 khi và chỉ khi x = 2; y = -3
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 2x
2
+ 2xy + y
2
2x + 2y + 1
Giải
Ta có thể viết A = (x + y + 1)
2
+ (x 2)
2
4

- 4

A
min
= - 4






=
=++
0)2(
0)1(
2
2
x
yx





=
=
3
2(
y
x
4

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y =
x

6
+
2
+
x
Giải
Điều kiện: 6 x

0, x + 2

0

-2

x

6
Ta có y
2
= (
x

6
+
2

+
x
)
2
, y > 0
Chọn a = 1, c =
x

6
, b = 1 , d =
2
+
x
áp dụng bất đẳng thức (ac + bd)
2


(a
2
+ b
2
) ( c
2
+ d
2
)
Ta có y
2

(1 + 1) ( 6 x + x + 2) = 2.8 = 16


y

4

- 4

y

4
Do y > 0 nên ta có 0

y

4
Vậy y
max
= 4
Bài 8: Cho y =
1
4
2
+
x
x
.
Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó.
Giải

Ta có a
2
+ b
2


2ab nên suy ra x
4
+ 1 = (x
2
)
2
+ 1
2


2x
2

1


1
2
4
2
+
x
x
= 2y

Xét
1
2
4
2
+
x
x
= 1

x
4
2x
2
+ 1 = 0


(x
2
- 1)
2
= 0

x
2
= 1

x =

1

Do đó x =

1 thì y
max
=
2
1
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x
20
5x
4
+ 9
Giải
Ta có y = (x
20
x
4
) 4(x
4
1) + 5 = x
4
(x
16
1) 4(x
4
1) + 5
= x
4
{(x
4

)
4
1} 4(x
4
1) + 5 = (x
4
1)(x
16
+ x
12
+ x
8
+ x
4
4) + 5
Với
x


1 thì x
16

x
12


x
8

x
4


1

x
4
1

0 và x
16
+ x
12
+ x
8
+ x
4
4

0

y

5
Với
x
< 1 thì x
16
< x

12
< x
8
< x
4
< 1

x
4
1

0 nên x
16
+ x
12
+ x
8
+ x
4
4 nên y > 5
Do đó y
min
= 1 khi
x
= 1
c. Bài tập về nhà
Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
A =
41
+

xx

B =
xx
+
8
Bài 2: Với giá trị nào nguyên của x thì biểu thức D =
x
x


4
14
có giá trị lớn nhất? Tìm
giá trị đó?
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5