xu ly so tin hieu SO LUONG DUY KHANH







+
−
−
−
=
∑






−






==
N
N
N
NN
k

j
k
j
enxFTe
N
k
N
kX
N
X
π
ω
ω
π
ω
ω
2
)1(
1
0
.
sin
sin
)(
1
])([)(
2
2
[4.2-25]
Các biểu thức [4.2-24] và [4.2-25] là công thức nội suy để tìm dạng gần đúng của X(e

j
ω
) từ N mẫu của
[ ]
NN
nxDFT
kX
)()(
=
. Khi cho N → ∞ , sẽ nhận được hàm tần số X(e
j
ω
) chính xác của dãy x(n).
4.3 phép dịch vòng, tích chập vòng
và các tính chất của DFT

4.3.1 Phép dịch vòng và tích chập vòng của DFT
4.3.1a Phép dịch vòng
Chương một đã định nghĩa y(n) = x(n - n
0
) là phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi n
0
mẫu, và gọi vắn tắt là phép dịch.
Đồ thị hình 4.8a cho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính dãy x(n) đi n
0
mẫu, sẽ thấy n
0
mẫu
bên mép phải bị đẩy ra khỏi cửa sổ, còn n
0

mẫu ở bên ngoài được đẩy vào mép trái cửa sổ.
x(n)
5
x
p
(n)
x(n-2)
5
x
p
(n-2)
a. Đối với dãy x(n)
5
b.

Đối với dãy tuần hoàn x
p
(n)

Hình 4.8 : Quan sát sự dịch trễ tuyến tính các dãy x(n)
5
và x
p
(n).
Đồ thị hình 4.8b cho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính dãy tuần hoàn x
p
(n) đi n
0
mẫu, sẽ
thấy như là n

0
mẫu bên mép phải bị đẩy ra khỏi cửa sổ lại được đẩy trở vào mép trái cửa sổ.
Vì DFT được xây dựng trên cơ sở coi dãy không tuần hoàn x(n)
N
là một chu kỳ của dãy tuần hoàn x
p
(n) có chu kỳ
N, vì thế phép dịch tuyến tính dãy x(n)
N
sẽ phải tương tự như phép dịch dãy tuần hoàn x
p
(n). Từ đó, đối với DFT, có khái
niệm phép dịch vòng.
Định nghĩa phép dịch vòng : Dãy hữu hạn y(n)
N
= x(n - n
0
)
N
là dịch vòng n
0
mẫu của dãy x(n)
N
, khi n
0
mẫu bị
đẩy ra khỏi đoạn [0 , (N - 1)] sẽ quay vòng trở lại đầu kia.
Các dãy y(n)
N
và x(n)

N
xác định trong đoạn [0 , (N - 1)]. Khi n
0
> 0 là dịch trễ (dịch vòng phải). Khi n
0
< 0 là dịch
sớm (dịch vòng trái).
Chú ý : Để phân biệt phép dịch vòng với phép dịch tuyến tính, người ta ký hiệu chỉ số độ dài N của dãy dịch
vòng ở phía sau tên dãy.
Như vậy, về bản chất phép dịch vòng dãy hữu hạn x(n - n
0
)
N
chính là sự quan sát trên cửa sổ cố định rect
N
(n) phép
dịch tuyến tính dãy hữu hạn x(n)
N
khi coi nó là một chu kỳ của dãy tuần hoàn x
p
(n) có chu kỳ N .
Khi dịch vòng N lần dãy hữu hạn x(n)
N
sang trái hoặc sang phải thì sẽ nhận được đúng dãy x(n)
N

, do đó :
NN
nxnx
N

)()(
=−
[4.3-1]
Vì dãy hữu hạn x(n)
N
chỉ xác định trong đoạn [0 , (N-1)], nên khi dịch vòng, mẫu x(N)
N
chính là mẫu x(0)
N

:
NN
xx
N
)()(
0
=
. [4.3-2]
Các mẫu của dãy dịch vòng
NN
nnxny )()(
0
−=
được tìm theo nguyên tắc :
NNN
nxnxy
N
)()()(
00
00

−=−=
NNN
nxnxy
N
)()()(
00
111
−+=−=
...........
154
32- 1- 2 0 1 765- 3- 4
20 5- 1 7- 3 - 2- 4 631
20 5- 1 7631
2 71
3
650- 1 3
n
n
n
n
3
4
11
3
4
3
4
3
2
1 1

2 2 2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
3
4
1
2
NNNN
NN
xnnxnnxny )()()()(
1111
00000
−=−−+=−−=−
NNNNN
xxnnxnnxny
NN
)()()()()(
0
00000
==−+=−=
NNN

xnnxny )()()(
111
000
=−+=+
..........
NN
nxy
NN
)()(
0
11
−−=−
Ví dụ, đối với trường hợp
55
)()(
2
−=
nxny
thì n
0
= 2 và N = 5, nhận được :
5555
)()()()(
325200
xxxy
=−=−=
5555
)()()()(
4215211
xxxy

=−+=−=
55555
)()()()()(
05225222
xxxxy
==−+=−=
555
)()()(
1233
xxy
=−=
555
)()()(
2244
xxy
=−=
Dãy biến đảo
N
nx )(
−
của phép dich vòng là dãy
N
nx )(
0
−
, do đó có biểu thức :
NN
nxnx
N
)()(

−=−
[4.3-3]
Ví dụ 4.4 : Hãy xác định dãy
55
)()( nxny
−=
của dãy
)()(
55
2
nrectnx
n
=
.
Giải : Có :
12000
0
555
)()()(
===−=
xxy
N
1624151
4
555
)()()(
===−=
xxy
823252
3

555
)()()(
===−=
xxy
422353
2
555
)()()(
===−=
xxy
221454
1
555
)()()(
===−=
xxy
Như vậy, dãy biến đảo y(n)
N
= x(-n)
N
có mẫu y(0)
N
= x(0)
N
, còn các mẫu từ y(1)
N
đến y(N - 1)
N
là đảo của các mẫu từ
x(1)

N
đến x(N - 1)
N
, tức là có : y(1)
N
= x(N - 1)
N
; y(2)
N
= x(N - 2)
N
; ..... ; y(N - 1)
N
= x(1)
N

.
Ví dụ 4.5 : Cho dãy
)()()(
5
.25,01
nrectnnx
−=
. Hãy biểu diễn dưới dạng mảng và đồ thị dãy
5
)(nx
, và các dãy
dịch vòng
5
)(

2
−
nx
,
5
)(
1
+
nx
.
Giải : Theo nguyên tắc dịch vòng đã nêu trên, có biểu diễn dạng mảng và đồ thị của các dãy
5
)(nx
, và
5
)(
2
−
nx
,
5
)(
1
+
nx
như trên hình 4.9.
5
)(nx







=
↑
0,25,0,5,0,75,0,1
5
)(nx

5
)(
2
−
nx






=−
↑
5,0,75,0,1,0,25,0
5
)2(nx



5

)(
1
+
nx






=+
↑
1,0,25,0,5,0,75,0
5
)1(nx

155
0 , 2 5
1- 1
2
4
1
32
0 , 5
4
1
0
4
0
1

- 1 2
0
0 , 5
1
3
3- 1
1
n
n
n
0 , 2 5
0 , 2 5
0 7 5
0 7 5
0 7 5
0 , 5
Hình 4.9 : Biểu diễn dạng mảng và đồ thị dịch vòng dãy
5
)(nx
4.3.1b Tích chập vòng
Trên cơ sở phép dịch vòng, có định nghĩa tích chập vòng của hai dãy có độ dài hữu hạn.
Định nghĩa tích chập vòng : Tích chập vòng của hai dãy hữu hạn
L
nx )(
1
và
M
nx )(
2
là dãy hữu hạn

N
ny )(
được tính theo biểu thức :
∑
−
=
−=
1
0
21
)(.)()(
N
NNN
m
mnxmxny
[4.3-4]
Với
],max[
ML
N
≥
. Các dãy
N
mx )(
1
và
N
nx )(
2
là

L
mx )(
1
và
M
nx )(
2
được thêm vào các mẫu có giá trị
bằng 0 để có độ dài N. Dãy
N
mnx )(
2
−
là dịch vòng trễ m mẫu của
N
nx )(
2
.
Tích chập vòng [4.3-4] được ký hiệu như sau :
MLN
nxnxny )(*)()(
21
=
[4.3-5]
Chú ý : Để phân biệt tích chập vòng với tích chập tuyến tính (vẫn được gọi vắn tắt là tích chập), người ta ký hiệu
chỉ số độ dài của dãy tích chập vòng ở phía sau tên dãy.
Tích chập vòng có các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối. Để tính trực tiếp tích chập vòng, cũng phải tính
từng giá trị của
N
ny )(

như khi tính tích chập. Theo biểu thức tích chập vòng [4.3-4] có :
∑
−
=
−=
1
0
21
)(.)()(
0
N
NNN
m
mxmxy
∑
−
=
−=
1
0
21
)(.)()(
11
N
NNN
m
mxmxy
...........
∑
−

=
−−=−
1
0
21
)(.)()(
11
N
NNN
m
mNN
xmxy
Trong đó,
N
mx )(
2
−
là dãy đảo của
N
mx )(
2
, còn
N
mx )(
1
2
−
là dãy dịch vòng trễ 1 mẫu của
N
mx )(

2
−
, ... , và
N
mx
N
)(
1
2
−−
là dịch vòng trễ (N - 1) mẫu của
N
mx )(
2
−
.
Ví dụ 4.6 : Hãy tính tích chập vòng
)(*)()(
35
nnrectny
δ
=
Giải : Để thuận tiện tính toán, biểu diễn các dãy ở bảng 4.1 :
Bảng 4.1
m
0 1 2 3 4
53
)(nrect
1 1 1 0 0
5

)(m
δ
1 0 0 0 0
5
)( m
−
δ
1 0 0 0 0
5
)(
1
m
−
δ
0 1 0 0 0
5
)(
2
m
−
δ
0 0 1 0 0
5
)(
3
m
−
δ
0 0 0 1 0
5

)(
4
m
−
δ
0 0 0 0 1
Dựa vào bảng trên, tính được :
10.00.00.10.11.10
4
0
52515
)(.)()(
=++++=−=
∑
=
m
mxmxy
10.00.00.11.10.111
4
0
52515
)(.)()(
=++++=−=
∑
=
m
mxmxy
10.00.01.10.10.122
4
0

52515
)(.)()(
=++++=−=
∑
=
m
mxmxy
034
55
)()(
==
yy
Vậy :
)()(*)()(
335
nrectnnrectny
==
δ
[4.3-6]
Biểu thức [4.3-6] là một ví dụ cho thấy, tích chập vòng của dãy bất kỳ với dãy xung đơn vị
δ
(n) cũng bằng chính
dãy đó.
Khi sử dụng các hệ xử lý số có bộ vi xử lý hoặc máy tính, bài toán tính tích chập vòng trên chỉ là một chương
trình con khá đơn giản.
156
Chương một đã chứng minh, tích chập tuyến tính của hai dãy hữu hạn có độ dài L và M là dãy hữu hạn có độ dài
)(
1
−+=

MLN
. Dưới đây sẽ xét quan hệ giữa tích chập tuyến tính và tích chập vòng của hai dãy hữu hạn có độ dài L và M
qua một ví dụ cụ thể.
Ví dụ 4.7 : Cho hai dãy
)()(
21
2
nrectnx
n
=
và
)()(
32
nrectnx
=
. Hãy tính tích chập
)(*)()(
21
nxnxny
=
và
tích chập vòng
)(*)()(
214
nxnxny
=
.
Giải : Để ý rằng ở đây,
)(
1

nx
có độ dài
2
=
L
,
)(
2
nx
có độ dài
3
=
M
, còn độ dài tính tích chập vòng là
11324
−+=−+==
MLN
, tức là dãy tích chập tuyến tính
)(ny
và dãy tích chập vòng
4
)(ny
có độ dài bằng
nhau. Để tiện tính toán, biểu diễn các dãy ở bảng 4.2 :
Bảng 4.2
Dịch tuyến tính Dịch vòng
m
-2 -1 0 1 2 3 4
m
0 1 2 3

)(
1
mx
0 0 1 2 0 0 0
41
)(mx
1 2 0 0
)(
2
mx
0 0 1 1 1 0 0
42
)(mx
1 1 1 0
)(
2
mx
−
1 1 1 0 0 0 0
42
)( mx
−
1 0 1 1
)(
1
2
mx
−
0 1 1 1 0 0 0
42

)(
1
mx
−
1 1 0 1
)(
2
2
mx
−
0 0 1 1 1 0 0
42
)(
2
mx
−
1 1 1 0
)(
3
2
mx
−
0 0 0 1 1 1 0
42
)(
3
mx
−
0 1 1 1
Dựa vào bảng trên, tính được tích chập tuyến tính :

10.00.21.10
1
0
21
)().()(
=++=−=
∑
=
m
mxmxy
30.01.21.111
1
0
21
)().()(
=++=−=
∑
=
m
mxmxy
31.01.21.122
1
0
21
)().()(
=++=−=
∑
=
m
mxmxy

21.01.20.133
1
0
21
)().()(
=++=−=
∑
=
m
mxmxy
0
)(
=
ny
với mọi
4
≥
n
Tính tích chập vòng :
11.01.00.21.10
3
0
42414
)(.)()(
=+++=−=
∑
=
m
mxmxy
31.00.01.21.111

3
0
42414
)(.)()(
=+++=−=
∑
=
m
mxmxy
30.01.01.21.122
3
0
42414
)(.)()(
=+++=−=
∑
=
m
mxmxy
21.01.01.20.133
3
0
42414
)(.)()(
=+++=−=
∑
=
m
mxmxy
Như vậy, tích chập vòng và tích chập tuyến tính của hai dãy đã cho là bằng nhau. Ví dụ trên là một minh chứng

cho định lý sau :
Định lý : Trong đoạn
)]([
1,0
−
N
, tích chập vòng
MLN
nxnxny )(*)()(
21
=
với
)(
1
−+=
MLN
đúng bằng tích
chập tuyến tính
MN
nxnxny )(*)()(
21
=
.
Định lý trên được sử dụng để tính tích chập tuyến tính thông qua tích chập vòng.
4.3.2 Các tính chất của DFT
4.3.2a Tính chất tuần hoàn : Dãy ảnh X(k)
N
của DFT là dãy tuần hoàn với chu kỳ N. Với a là hằng số nguyên có :
Nếu :
])([)(

NN
nxDFT
kX
=
Thì :
NN
kXNkX
a )()(
=+
[4.3-7]
157
Chứng minh : Vì hàm mũ có tính tuần hoàn :
njknakj
ee
N
11
)(
ωω
−+−
=
Nên theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :
N
N
N
N
N
NN
kXNkX
n
njk

n
nakj
enxenxa )(.)(.)()(
1
0
1
0
)(
11
===+
∑∑
−
=
−
−
=
+−
ωω
Ví dụ 4.8 : Hãy vẽ đồ thị của dãy
][
33
)()( nrect
DFTkX
=
.
Giải : Theo [4.2-16] với N = 3, có
3333
)(.)()(
3][ kDFTkX
nrect

δ
==
. Sử dụng tính chất tuần hoàn của DFT, vẽ
được đồ thị
)(
kX
như hình 4.10.

)(
kX
Hình 4.10 : Đồ thị dãy
3333
)(.)()(
3][ kDFTkX
nrect
δ
==
.
4.3.2b Tính chất tuyến tính : DFT của tổ hợp tuyến tính các dãy hữu hạn
N
nx
i
)(
bằng tổ hợp tuyến tính các DFT
thành phần.
Nếu :
])([)(
NN
nxDFT
ii

kX
=
Thì :
NNNN
kXkY
i
i
i
i
ii
AnxAnyDFT )(.)(.)()(
∑∑
=






==
[4.3-8]
Nếu các dãy
N
nx
i
)(
có độ dài N
i
khác nhau thì phải tính DFT với độ dài
N

≥
max[N
i
], bằng cách thêm các mẫu 0 vào các dãy có độ dài ngắn hơn N.
Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :
∑∑∑
−
=
−
=






=
1
0
1
.)(.)(.)(
N
NNN
n i
njk
ii
i
ii
enxAnxADFT
kY

ω
N
N
NNN
kXkY
i
i
i
n
njk
i
i
i
i
ii
AenxAnxADFT )(..)()(.)(
1
0
1
∑∑∑∑
==






=
−
=

−
ω
Ví dụ 4.9 : Cho các dãy
)()(
21
nrectnx
=
và
)()(
2
nnx
δ
=
.
Hãy tìm :
])()([)(
222
.2
nnrectDFT
kY
δ
+=
.
Giải : Theo tính chất tuyến tính có :
])([)]([)(
222
.2
nDFTnrectDFT
kY
δ

+=
Sử dụng [4.2-18] và [4.2-16] với N = 2 , nhận được :
)()()(
222
.22 kkkY
rect
+=
δ
4.3.2c DFT của dãy dịch vòng : Khi dịch vòng dãy x(n)
N
đi n
0
mẫu thì dãy biên độ tần số X(k)
N
 không thay đổi, chỉ
có dãy pha tần số ϕ(k) bị dịch đi một lượng k
ω
1
n
0
tương ứng.
Nếu :
)(
.)()(])([
kj
enxDFT
kXkX
NNN
ϕ
==

Thì :
[ ]
])([
0
0101
.)()()(
nkkjnjk
eennxDFT
NNN
kXkX
ωϕω
−−
==−
[4.3-9]
Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :
[ ]
∑∑
−
=
−
−
−
=
−
−=−=−
1
0
0
1
0

00
0101
11
)()()(
N
N
N
NN
n
njknjk
njk
n
njk
eeennxennxnnxDFT
ωω
ωω
[ ]
010101
)()()(
1
0
)(
00
njk
n
nnjknjk
eennxennxDFT
N
N
NN

kX
ωωω
−
−
=
−−−
=−=−
∑
Ví dụ 4.10 : Hãy tìm
)]([)(
0
nnrectDFT
NN
kY
−=
.
Giải : Sử dụng biểu thức [4.2-18] và tính chất dịch vòng có :
01
)()]([)(
.
0
njk
ennrectDFT
NNN
kNkY
ω
δ
−
=
−=

4.3.2d Dịch vòng tần số : Khi nhân dãy x(n)
N
với hàm mũ
njk
e
10
ω
, với k
0
là hằng số, thì DFT của nó bị dịch vòng k
0
mẫu tương ứng.
Nếu :
)(
.)()(])([
kj
enxDFT
kXkX
NNN
ϕ
==
Thì :
[ ]
NN
kkX
njk
enxDFT )()(
0
10
−=

ω
[4.3-10]
Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :
158
4- 5 6
. . .
- 3- 4 1 2 3 5
3
- 6 - 2 - 1 0
. . .
n