xu ly so tin hieu SO LUONG DUY KHANH

Hay :
[ ]
{ } { }
N
N
N
N
NN
kX
n
nkj
n
njk
enxenxnxDFT )()()()(
*
1
0
*
)(
1
0
*
*
11
−===
∑∑
−
=
−−
−
=

ωω
4.3.2k Tính đối ngẫu của DFT : DFT có tính đối ngẫu, nghĩa là các tính chất và các dãy trong miền thời gian rời rạc n
và miền tần số rời rạc k của DFT là hoán vị cho nhau.
Có thể thấy rất rõ điều đó ở các tính chất dịch vòng thời gian và dịch vòng tần số, tích chập trong miền thời gian là
tích thường trong miền tần số và ngược lại. Biểu thức
)(])([
k
NN
rectnDFT
=
δ
và biểu thức
NNN
kNDFT
nrect )(.)(
][
δ
=
cũng là thể hiện tính đối ngẫu của DFT đối với các dãy trong miền thời gian và miền tần số.
4.4 tính trực tiếp DFT và IDFT

DFT được sử dụng rất nhiều trong thực tế, đặc biệt là để phân tích phổ tín hiệu khi xử lý tiếng nói, xử lý ảnh, và tổng
hợp mạch lọc số.
4.4.1 Số lượng phép toán khi tính trực tiếp DFT và IDFT
4.4.1a Số lượng phép toán của DFT
Nếu x(n)
N
là dãy số thực, có thể tính trực tiếp DFT theo [4.2-3] :
NN
N

NN
kXkXkX
IR
n
njk
jenx )()()()(
1
0
1
+==
∑
−
=
−
ω
Hay :
[ ]
)()(
.)()()()(
kjkj
eeAnxDFT
NNNN
kXkkX
ϕθ
===
[4.4-1]
Trong đó :
N
π
ω

2
1
=
[4.4-2]
Nên :
∑
−
=












−






=
1
0

.sin)(.cos)()(
..
22
N
NNN
n
k
N
k
N
kX
n
njx
n
nx
ππ
[4.4-3]
Dãy phần thực :
∑
−
=






=
1
0

.cos.)()(
.
2
N
NN
n
R
k
N
kX
n
nx
π
[4.4-4]
Dãy phần ảo :
∑
−
=






−=
1
0
.sin.)()(
.
2

N
NN
n
I
k
N
kX
n
nx
π
[4.4-5]
Dãy mô đun :
NNN
kXkXkX
IR
)()()(
22
+=
[4.4-6]
Dãy Argumen :






=
N
N
kX

kX
k
R
I
arctg
)(
)(
)(
ϕ
[4.4-7]
Như vậy, để tìm X(k)
N
, cần phải tính các dãy phần thực và phần ảo, để từ đó tính được mô đun và argumen của X(k)
N
,
hoặc độ lớn A(k)
N
và pha
θ
(k). Tại mỗi mẫu của X(k)
N
cần phải tính N lần cos(k
ω
1
n) và sin(k
ω
1
n) , 2N phép nhân số thực, 2(N -
1) phép cộng số thực, 2 phép bình phương, 1 phép khai căn, 1 phép chia, và 1 phép tính artg. Để nhận được N mẫu của X(k)
N

phải thực hiện gấp N lần số phép toán trên. Tức là, để tính trực tiếp DFT độ dài N cần :
- 2N
2
phép tính hàm số lượng giác.
- 2 N
2
phép nhân số thực.
- 2 N(N - 1)

phép cộng số thực.
- Ngoài ra còn, 2N phép bình phương, N phép khai căn, N phép chia, và N phép tính artg.
Trong trường hợp x(n)
N
là dãy phức :
NNN
njxnxnx )()()(
21
+=
, thì số lượng các phép toán trên phải tăng gấp
đôi. Như vậy, số lượng các phép toán để tính DFT là rất lớn, nên khi N lớn thì tính DFT bằng máy tính cũng tốn rất nhiều thời
gian.
4.4.1b Số lượng các phép toán khi tính trực tiếp IDFT
Tính trực tiếp IDFT thực hiện theo biểu thức [4.2-4] :
[ ]
∑
−
=
==
1
0

1
)()()(
1
N
NNN
n
njk
eIDFTnx
kX
N
kX
ω
Hay :
∑
−
=












+







=
1
0
.sin)(.cos)()(
..
221
N
NNN
n
k
N
kXk
N
kX
N
n
j
n
nx
ππ
[4.4-8]
163
So sánh các biểu thức [4.4-3] và [4.4-8] thấy rằng, biểu thức tính DFT và IDFT chỉ khác nhau dấu của phần ảo và hệ số
chia N. Do đó, số lượng các phép tính và thuật toán để tính DFT và IDFT về cơ bản là giống nhau. Sau đây sẽ xét một số
trường hợp thực tế thường gặp.

4.4.2 Tính DFT và IDFT của dãy x(n)
N
thực, đối xứng, N lẻ
4.4.2a Tính DFT
Dãy x(n)
N
thực, đối xứng có :
NN
nxnx
N
)()(
1
=−−
Do N lẻ, nên trục đối xứng ở mẫu
n = (N - 1)/2 . Ví dụ, dãy đối xứng x(n)
5
trên hình 4.11 có N = 5 , nên trục đối xứng
ở mẫu n = 2 .
Theo biểu thức DFT [4.2-3] có :

Hình 4.11 : Dãy x(n)
5
đối xứng.
∑
−
=
−
==
1
0

1
)(])([)(
N
NNN
n
njk
enxnxDFT
kX
ω
Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
(
)










+













+










=
∑∑
−
+
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−

1
1
2
1
1
2
1
0
12
1
1
1
)()()(
2
1
N
N
N
N
N
NN
n
njk
jk
n
njk
enxexenx
N
N
kX

ω
ω
ω
Đổi biến thành phần thứ ba, đặt m = (N - 1 - n) => n = (N - 1 - m),
khi






+=
−
1
2
1N
n
thì






−
−
=
1
2
1N

m
, khi
)(
1
−
=
N
n
thì
0
=
m
:
∑∑
−
−
=
−−−
−
+
−
=
−
−−
=
0
1
2
1
)1(

1
1
2
1
11
)()(
1
N
N
N
N
N
N
m
mjk
n
njk
emxenx
N
ωω
Đổi lại biến m về n và đảo cận của tổng trên, nhận được X(k)
N
có dạng :
( )
+













+










=
−
−
−
−
=
−
−
∑
2
1
1

1
2
1
1
2
1
0
)()(
N
jk
n
njk
exenx
N
N
NN
N
kX
ω
ω











−+
∑
−
−
=
−−−
−
1
2
1
0
)1(
1
)(
1
N
N
N
n
njk
enx
N
ω
Vì dãy x(n)
N
đối xứng có
)()(
1
nxnx
N

−=
−
nên nhận được :
(
)
[ ]
∑
−
−
=
−−−−
−
++






=
−
−
1
2
1
0
)1(
112
1
1

)()(
2
1
N
N
N
N
N
n
njknjk
jk
eenxex
N
N
kX
ωω
ω
[4.4-9]
Trong đó :
[ ]








+=+







−
−
−






−
−






−
−
−−−−
njknjkjk
njknjk
NNN
N
eeeee

2
1
2
1
2
1
)1(
111
11
ωωω
ωω
Hay :
[ ]












−
−
=+







−
−
−−−−
neee
N
k
N
N
jk
njknjk
2
1
.2
1
2
1
)1(
cos
1
11
ω
ω
ωω
Do đó [4.4-9] được đưa về dạng :
164
(

)






−
−
−
−
=
−
∑












−
−
+







=
−
−
2
1
1
2
1
0
1
1
2
1
1
.cos)()(
2
1
.2
2
1
N
N
N
N
N

jk
n
jk
ennxex
N
k
N
kX
N
ω
ω
ω
Đổi biến, đặt






−=
−
nm
N
2
1
=>







−=
−
mn
N
2
1
, khi
0
=
n
thì







−
=
2
1N
m
, khi







=
−
−
1
2
1N
n
thì
1
=
m
, đồng thời thay
N
π
ω
2
1
=
:






−
−
−

=






















−
−
+







=
∑
−
2
12
1
2
1
.cos)(
2
2
1
.2
2
1
N
N
N
N
N
N
jk
m
emmxx
N
kN
N
kX

π
π
Đổi biến m trở về n và đảo cận của dấu tổng, nhận được :
kj
n
N
N
N
N
N
N
e
n
nxx
k
N
N
N
kX
.
)1(
2
1
1
..cos)(
.
2
2
1
.2

2
1
π
π
−
−
−
=




















−
−

+






=
∑
−
[4.4-10]
165
Dãy độ lớn :
∑
−
=












−
−

+






=
−
2
1
1
.cos)(
.
2
2
1
.2
2
1
N
N
N
N
n
k
N
N
N
k

n
nxxA
π
[4.4-11]
Dãy pha :
k
N
N
k
.
)(
)(
1
π
θ
−
−=
[4.4-12]
Theo [4.4-12], X(k)
N
có pha
θ
(k) tuyến tính . Theo [4.4-11], số phép toán để tính A(k)
N
tại mỗi điểm giảm gần một nửa.
Hơn nữa, A(k)
N
là dãy đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) , nên để nhận được A(k)
N
, chỉ cần tính A(0)

N
và A(1)
N
đến A[(N-
1)/2]
N
rồi lấy đối xứng. Vậy khi x(n)
N
là dãy thực đối xứng, N lẻ thì số phép toán tính DFT giảm còn khoảng 1/4 .
Ví dụ 4.13 : Tính DFT của dãy x(n)
5
thực, đối xứng, với N lẻ ở hình 4.11 .
Giải : Để tiện tính toán, theo giá trị của x(n)
5
ở hình 4.11 , lập bảng 4.3 :
Bảng 4.3 : Các giá trị của dãy x(n)
5
đối xứng.
n
0 1 2 3 4
x(n)
5
0,25 0,50 1,00 0,50 0,25

Với N = 5 thì
2
2
15
2
1

)()(
=
−
=
−
N
, theo [4.4-12] có :
kk
5
4
)(
π
θ
−=
Theo [4.4-11] có :
( )
∑
=






−+=
2
1
5
55
.cos)()(

5
2
2.22
.
n
kk
n
nxxA
π
Vậy :






+






+=
kkk
xxxA
5
4
0.2
5

2
1.22
cos)(cos)()()(
5555
ππ
Theo bảng 4.3 có :






+






+=
kkk
A
5
4
5,0
5
2
1
coscos)(
5

ππ
Vậy :
5,25,0110
5
4
5,00
5
2
10
coscos)(
5
=++=






+






+=
ππ
A
9,08,0.5,03,01
5

4
5,0
5
2
11
)(coscos)(
5
=−++=






+






+=
ππ
A
35,03,0.5,08,012
5
4
5,02
5
2

12
)(coscos)(
5
=+−+=






+






+=
ππ
A
35,03,0.5,08,013
5
4
5,03
5
2
13
)(coscos)(
5
=+−+=







+






+=
ππ
A
9,08,0.5,03,014
5
4
5,04
5
2
14
)(coscos)(
5
=−++=







+






+=
ππ
A
Do tính đối xứng của A(k)
5
trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), nên có thể suy ra ngay :
35,023
55
)()(
==
AA
;
9,014
55
)()(
==
AA
Theo các giá trị đã tính được của A(k)
5
, lập bảng 4.4 .
Bảng 4.4 : Các giá trị A(k)

5
và
θ
(k) của ví dụ 4.13
k
0 1 2 3 4
A(k)
5
2,5 0,9 0,35 0,35 0,9
θ
(k)
0,0
-2,5 -5,0 -7,5 -10

Theo bảng 4.4 , xây dựng được đồ thị của A(k)
5
và
θ
(k) trên hình 4.12 .
A(k)
5

θ
(k)
166
41 30 2- 1
k
0 , 9
2 , 5
0 , 9

0 , 3 5
5
- 1 0
- 5 , 0
k
- 7 , 5
- 2 , 5
3 521 40
Hình 4.12 : Đồ thị DFT của dãy x(n)
5
thực, đối xứng, N lẻ
4.4.2b Tính IDFT khi x(n)
N
là dãy thực, đối xứng, N lẻ
Mục 4.4.2a ở trên cho thấy, khi X(k)
N
có N lẻ,
θ
(k) tuyến tính theo [4.4-12] và A(k)
N
đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N -
1) , thì x(n)
N
là dãy thực đối xứng. Theo biểu thức IDFT [4.2-4] có :
∑∑
−
=
−
=
==

1
0
)(
1
0
11
.)(
1
)(
1
)(
N
N
N
NN
k
njk
kj
k
njk
eeAenx
k
N
kX
N
ω
θ
ω
Theo [4.4-12] có :
)21(

2
.
.
)1(
.
)(
.
1
n
k
j
k
j
nkj
kj
njk
kj
NN
N
N
N
N
eeeeee
+−







−
−
==
ππ
π
π
ω
θ
Vậy :
∑
−
=
+
−
=
1
0
)12(
.)(
1
)(
N
N
NN
k
n
k
j
jk
eeAnx

k
N
π
π
Khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
++=
∑
−
=
+
−
2
1
1
)12(
.)(
)(
)(
1
0
N
N
N
N
N
k
n
k
j
jk

eeA
A
nx
k
NN
π
π
∑
−
+
−
=
+
−
+
1
1
2
1
)12(
.)(
1
N
N
N
N
k
n
k
j

jk
eeA
k
N
π
π
[4.4-13]
Đổi biến thành phần thứ ba, đặt m = (N - k) ⇒ k = (N - m) . Khi
1
2
1
+
−
=
N
k
thì
2
1
−
=
N
m
, còn khi k = (N - 1) thì m = 1 , do đó có :
∑∑
−
=
+
−
−−

−
+
−
=
+
−
−=
1
2
1
)12(
)
)
1
1
2
1
)12(
(
(
.)(
1
.)(
1
N
N
N
N
N
N

N
N
N
m
n
m
j
mj
k
n
k
j
jk
eemAeeA
N
N
k
N
π
π
π
π
Trong đó, vì N lẻ và (2n + 1) lẻ nên :
)12()12()12()12(
)
)
)()(
11
.(
(

+−+−+
−
+
−
−−
−−==
n
m
j
jm
n
m
jnj
jmj
n
m
j
mj
NNN
N
N
N
N
N
eeeeeeee
π
π
ππ
ππ
π

π
Đổi biến m trở về k và đổi cận của dấu tổng, nhận được :
∑∑
−
=
+−
−
+
−
=
+
−
−=
2
1
1
)12(
1
1
2
1
)12(
.)(
1
.)(
1
N
N
N
N

N
N
N
k
n
k
j
jk
k
n
k
j
jk
eeAeeA
kN
N
k
N
π
π
π
π
Do đó biểu thức [4.4-13] của x(n)
N
có dạng :
∑∑
−
=
+−
−

=
+
−
−++=
2
1
1
)12(
2
1
1
)12(
.)(
1
.)(
1
)(
)(
0
N
N
N
N
N
N
N
N
k
n
k

j
jk
k
n
k
j
jk
eeAeeA
A
nx
kN
N
k
NN
π
π
π
π
∑∑
−
=
+−
−
=
+
−−+−+=
2
1
1
)12(

2
1
1
)12(
).()(
1
).()(
1
)(
)(
11
0
N
N
N
N
N
N
N
N
k
n
k
j
k
k
n
k
j
k

eAeA
A
nx
kN
N
k
NN
ππ
Vì A(k)
N
đối xứng trong khoảng
1 ≤ k ≤ (N - 1) , nên A(k)
N
= A(N- k)
N
:
∑
−
=
+−+








+−+=
2

1
1
)12()12(
.)()(
)(
)(
1
1
0
N
NN
N
N
N
k
n
k
jn
k
j
k
eeA
A
nx
k
NN
ππ
Vậy :
∑
−

=






+−+=
2
1
1
)(cos.)()(
)(
)(
121
2
0
N
N
N
N
k
k
nA
A
nx
N
k
k
NN

π
[4.4-14]
167