xu ly so tin hieu SO LUONG DUY KHANH















)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
3,32,31,30,3
3,22,21,20,2
3,12,11,10,1
3,02,01,00,0
XXXX
XXXX
XXXX
XXXX
⇔















)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
15141312
111098
7654
3210
XXXX
XXXX
XXXX
XXXX
Trên đây chỉ là những ví dụ mang tính chất minh họa cho việc thực hiện thuật toán FFT phân chia theo thời gian. Để
nghiên cứu sâu hơn về các thuật toán FFT, có thể tìm hiểu ở các tài liệu tham khảo 3,6,12 (xem ở cuối sách).
4.6 Một số ứng dụng của DFT
4.6.1 Xấp xỉ hàm tần số của dãy vô hạn hoặc có độ dài rất lớn
DFT thường được sử dụng để nghiên cứu phổ tín hiệu, cũng như tổng hợp bộ lọc số. Bằng công thức nội suy [4.2-25]
cho phép xác định gần đúng hàm tần số X
N
(e

j
ω
) = FT[x(n)
N
] qua dãy phức X(k)
N
= DFT[x(n)
N
]. Tuy nhiên, không thể dùng DFT
để xác định hàm tần số của dãy x(n) vô hạn. Nếu dãy x(n)
N
hữu hạn, nhưng có N rất lớn thì việc tính DFT để tìm X(k)
N
và
X
N
(e
j
ω
) cũng rất khó khăn do khối lượng và thời gian tính quá lớn. Từ đó có yêu cầu xấp xỉ hàm tần số X(e
j
ω
) của dãy x(n) vô
hạn hoặc có độ dài N rất lớn bằng hàm tần số X
N
(e
j
ω
) của dãy hữu hạn x(n)
N

với N không quá lớn. Để thực hiện điều đó, cần
"chặt" lấy một đoạn thích hợp của dãy x(n), biến nó thành dãy hữu hạn x(n)
N
, sau đó tính X(k)
N
= DFT[x(n)
N
], từ đó xấp xỉ
hàm tần số X
N
(e
j
ω
) bằng công thức nội suy [4.2-25].
4.6.1a Các yếu tố ảnh hưởng đến sai số xấp xỉ hàm tần số
Việc "chặt" dãy vô hạn x(n) thành dãy hữu hạn x(n - n
0
)
N
, tương đương nhân nó với hàm cửa sổ w(n - n
0
)
N
có dạng :




−+∉
−+∈≠

=−
)]1(,[0
)]1(,[0
)(
00
00
0
N
N
nnnKhi
nnnKhi
nnw
N
[4.6-1]
Tức là :
NN
nnwnxnnx )().()(
00
−=−
Khi đó phổ rời rạc của dãy hữu hạn x(n- n
0
)
N
có thể tìm được bằng DFT :
∑
−+
=
−
−=−=
1

00
0
0
1
.)().(])([)(
N
NNN
n
nn
njk
ennwnxnnxDFT
kX
ω
Sai số xấp xỉ hàm tần số X(e
j
ω
) của dãy x(n) vô hạn khi dùng hàm cửa sổ w(n - n
0
)
N
và tính qua DFT sẽ phụ thuộc vào
3 yếu tố sau :
1. Dạng hàm cửa sổ w(n - n
0
)
N
.
2. Vị trí đặt cửa sổ, tức là giá trị của n
0
.

3. Độ dài của cửa sổ, tức là giá trị của N.
Để giảm sai số xấp xỉ, cần chọn dạng hàm cửa sổ w(n), vị trí đặt cửa sổ n
0
và độ dài của cửa sổ N thích hợp.
4.6.1b Các phương pháp giảm sai số xấp xỉ hàm tần số
1. Chọn vị trí đặt cửa sổ n
0
Nguyên tắc chung là chọn cửa sổ trùm lên vùng quan trọng của dãy x(n), bỏ qua các vùng ít quan trọng. Vì thế, để
chọn vị trí đặt cửa sổ n
0
, cần biết dạng cụ thể của dãy x(n). Thông thường người ta chọn cửa sổ ở vùng x(n) có giá trị lớn, và
bỏ qua các vùng x(n) có giá trị nhỏ.
Ví dụ với dãy
)()(
2
nunx
n
−
=
thì các mẫu có giá trị lớn nằm ở gần gốc tọa độ, vì thế vị trí cửa sổ cần được chọn
với n
0
= 0.
2. Chọn độ dài của cửa sổ N
Sai số xấp xỉ sẽ phụ thuộc rất lớn vào việc chọn độ dài hàm cửa sổ N, hay chính là độ dài N của dãy x(n)
N
. Tất nhiên,
N càng lớn thì sai số xấp xỉ càng nhỏ, nhưng thời gian tính DFT sẽ càng lớn. Tuy nhiên, có những trường hợp do dạng cụ thể
của dãy x(n) mà việc tăng lớn N sẽ không ảnh hưởng nhiều đến độ chính xác của hàm tần số được xấp xỉ. Vì thế, giá trị của N
để xấp xỉ phải được chọn tối ưu theo các yêu cầu sau :

- Sai số cho phép của hàm tần số được xấp xỉ X
N
(e
j
ω
) so với X(e
j
ω
).
- Dạng cụ thể của dãy x(n)
- Hạn chế về thời gian tính DFT.
3. Chọn hàm cửa sổ w(n)
Dạng hàm cửa sổ ảnh hưởng rất lớn đến độ chính xác của việc xấp xỉ hàm tần số. Việc chọn hàm cửa sổ nào để xấp
xỉ hóa hàm tần số, không chỉ phụ thuộc vào độ chính xác yêu cầu, mà còn phụ thuộc vào hạn chế về thời gian tính toán, vì
183
hàm cửa sổ cho độ chính xác càng cao thì việc tính toán sẽ càng phức tạp, và thời gian tính sẽ càng lớn. Do đó việc chọn hàm
cửa sổ phụ thuộc vào sự tối ưu giữa độ chính xác yêu cầu và thời gian tính.
4.6.2 Một số hàm cửa sổ thường dùng
4.6.2a Cửa sổ chữ nhật w
R
(n)
N
= rect
N
(n)



−+∉
−+∈

=−=−
)](,[
)](,[
)()(
10
11
00
00
00
N
N
nnnKhi
nnnKhi
nnrectnnw
NNR
[4.6-1]
Theo [3.1-9] , đặc tính tần số của cửa sổ chữ nhật w
R
(n)
N
có dạng :
( )
( )
2
).1(
2
2
1
1
sin

sin
)]([)(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
−
−
=
−
−
==
N
N
NR
j
j
j
j
e
e
e
nrectFTe
N
W
[4.6-2]

Các tham số của đặc tính tần số các hàm cửa sổ là bề rộng đỉnh trung tâm ∆Ω và tỷ số giữa biên độ đỉnh trung tâm và
đỉnh thứ cấp đầu tiên. Đối với cửa sổ chữ nhật có :
- Bề rộng đỉnh trung tâm:
N
R
π
4
=∆Ω
[4.6-3]
- Tỷ số giữa biên độ đỉnh trung tâm và đỉnh thứ cấp đầu tiên :












==
2
3
3
.sin
sin.
)(
)(

3
0
N
N
N
N
W
W
N
R
R
R
j
j
e
e
π
π
π
η
[4.6-4]
Với N = 6 ,
η

≈
4,285 ; Với N = 50 ,
η

≈
4,705 ;

Với N = 9 ,
η

≈
4,5 ; Với N = 100 ,
η

≈
4,711
Khi N
→

∞
thì
712,4
2
3
==
π
η
Như vậy, khi N tăng lớn,
η
thay đổi không nhiều và giới hạn của
η
khi N
→

∞
là
η

max
= 4,712.
Trên thực tế người ta thường tính tham số này theo dexiben (dB) và ký hiệu là
λ
:
dB
R
13
712,4
1
20
1
20
1010
loglog
−===
η
λ
[4.6-5]
Khi N lớn cửa sổ chữ nhật có các tham số :
-
∆ω
R

= 4π/N
-
λ
R
= -13 dB
Đồ thị cửa sổ chữ nhật w

R
(n)
10
và đặc tính biên độ tần số W
R
(e
j
ω
)tương ứng trên hình 4.22.

w
R
(n)
10

Hình 4.22 : Đồ thị cửa sổ w
R
(n)
10
và hàm W
R
(e
j
ω
) tương ứng .
Khi xấp xỉ hàm tần số bằng cửa sổ chữ nhật, độ chính xác ở búp sóng chính cao, nhưng độ gợn sóng của ở cả búp
sóng chính và các búp sóng phụ đều lớn.
4.6.2b Cửa sổ tam giác w
T
(n)

N






<−
−
=−
−
kh¸c mäi Víi
Khi
n
nn
nn
nnw
N
N
NT
0
2
||2
1
||
)(
0
0
0
[4.6-6]

184
9
n
0 1 2- 1 3 4 5 6 7 8
1
Cửa sổ tam giác w
T
(n)
N
là dãy đối xứng. Có thể chứng minh được, cửa sổ tam giác w
T
(n)
N
là tích chập của hai cửa sổ
chữ nhật :
2222
)(*)()(*)()(
1
2
1
2
NNNN
nwnwnrectnrectnw
RRNT
NN
−=−=
Từ đó tìm được đặc tính tần số của cửa sổ tam giác :
( )
( )
ωωωωω

ω
ω
jNjjjj
eeeee
N
N
WW
N
W
RRT
−−
==
4
4
.
2
.
2
2
2
sin
sin
).().()(
[4.6-7]
Đồ thị của cửa sổ tam giác w
T
(n - 5)
10
với n
0

= 5 , N = 10 , và đồ thị đặc tính biên độ tần số W
T
(e
j
ω
) tương ứng trên
hình 4.23 .

w
T
(n - 5)
10

Hình 4.23 : Đồ thị cửa sổ w
T
(n - 5)
10
và hàm W
T
(e
j
ω
).
Khi N lớn, cửa sổ tam giác có các tham số :
-
∆ω
T

= 8π/N
-

λ
T
= -26 dB
So sánh hàm biên độ tần số của cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật :
- Vì
∆ω
T

= 2
∆ω
R

nên X
T
(e
j
ω
) có đỉnh trung tâm rộng hơn, với hai sườn ít dốc hơn X
R
(e
j
ω
) . Hàm tần số được xấp
xỉ bằng cửa sổ tam giác có sai số ở búp chính lớn hơn dùng cửa sổ chữ nhật .
- Vì
λ
T
= 0,5
λ
R

nên X
T
(e
j
ω
)có độ gợn sóng ở búp chính và các búp phụ thấp hơn X
R
(e
j
ω
). Hàm tần số được xấp xỉ
bằng cửa sổ tam giác có độ gợn sóng nhỏ hơn dùng cửa sổ chữ nhật.
4.6.2c Cửa sổ cosin w
C
(n)
N





≤−









−
=−
kh¸c mäi Víi
Khi
N0
2
||
)(
cos
)(
0
0
0
N
N
nn
nn
nnw
NC
π
[4.6-8]
Cửa sổ cosin w
C
(n)
N
là dãy đối xứng. Khi biểu diễn dãy w
C
(n)
N
dưới dạng :

2
.
cos)(
nn
NN
ee
n
nw
N
NC
ππ
π
−
−
=






=
Theo đó tìm được đặc tính tần số của cửa sổ cosin :
185
0 , 8
0 , 6
0 , 4
n
0 , 2
0 , 8

0 , 6
0 , 4
0 , 2
0 1 2 43 865 7 9 1 0 1 1- 1
1






−
−
















+







+
+






−






−
=
2
1
.
sin2
sin
sin2
sin

)(
2
2
2
2
2
2
2
2
N
C
j
j
ee
N
N
N
N
W
π
π
π
π
ω
ω
ω
ω
ω
[4.6-9]
W

C
(e
j
ω
) là xếp chồng của hai cửa sổ chữ nhật W
R
(e
j
ω
) ngược pha nhau.
Đồ thị của cửa sổ cosin w
C
(n - 5)
10
với n
0
= 5 , N = 10 , và hàm biên độ tần số W
C
(e
j
ω
) tương ứng trên hình 4.24.
w
C
(N - 5)
10

Hình 4.24 : Đồ thị cửa sổ w
C
(n - 5)

10
và hàm W
C
(e
j
ω
) tương ứng.
Khi N lớn, cửa sổ cosin có các tham số :
-
∆ω
C

= 3π/N
-
λ

C
= -24 dB
So sánh cửa sổ cosin với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật :
-
∆ω
C

<
∆ω
R

<
∆ω
T

, xấp xỉ hàm tần số dùng cửa sổ cosin có sai số ở búp chính lớn hơn dùng cửa sổ chữ nhật,
nhưng nhỏ hơn dùng cửa sổ tam giác.
- Vì
λ
T
<
λ
C
<
λ
R
nên độ gợn sóng của hàm tần số xấp xỉ bằng cửa sổ cosin thấp hơn dùng cửa sổ chữ nhật, lớn hơn
dùng cửa sổ tam giác.
6.6.2d Các cửa sổ Hanning w
H
n
(n)
N
và Hamming w
Hm
(n)
N
- Hàm cửa sổ Hamming tổng quát có dạng :





−≤≤







−+
=
kh¸cnmäiVíi
Khi
0
10
2
1
)(
..
cos)(
)(
N
N
n
n
nw
NH
π
αα
[4.6-10]
- Khi
α
= 1 chính là cửa sổ dạng chữ nhật w

R
(n)
N
.
Đặc tính biên độ tần số của cửa sổ Hamming tổng quát :






+






+
−
+






−







−
−
+












=
N
N
N
NN
W
j
e
H
22
22

22
22
2
2
sin4
sin
2
)1(
sin4
sin
2
)1(
sin
sin
)(
π
π
π
π
ω
ω
α
ω
ω
α
ω
ω
α
ω
Đặc tính pha tần số của cửa sổ Hamming tổng quát :

186
0 , 8 1
6 1 0
0 , 9 5
5 9
0 , 5 9
3
0 , 3 1
7
n
0 , 8 1
0 , 5 9
4
0 , 3 1
8
1
2
0 , 9 5
0 1






−
−
=
2
1

)(
N
H
j
e
ω
ωϕ
1. Cửa sổ Hanning w
H
n
(n)
N

Theo [4.6-10] khi
α
= 0,5 có cửa sổ Hanning :





−≤≤






+
=

kh¸cnmäiVíi
Khi
0
10
2
5,05,0
)(
..
cos
)(
N
N
n
n
nW
NH
n
π
[4.6-11]
Đặc tính tần số của cửa sổ Hanning :






−
−



















+






+
+







−






−
+












=
2
1
.
sin4
sin
sin4
sin

sin2
sin
)(
22
22
22
22
2
2
N
H
j
j
n
ee
N
N
N
NN
W
ω
ω
π
π
π
π
ω
ω
ω
ω

ω
ω
[4.6-12]
Đồ thị cửa sổ Hanning w
H
n
(n)
10
và hàm biên độ tần số X
Hn
(e
j
ω
) tương ứng trên hình 4.25.
w
H
n
(n)
10
Hình 4.25 : Đồ thị cửa sổ w
H
n
(n)
10
và hàm X
H
n
(e
j
ω

).
Khi N lớn, cửa sổ Hanning có các tham số :
-
∆ω
H
n

= 2,3π/N
-
λ

H
n
= -32 dB
So sánh cửa sổ Hanning với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật :
- Vì
∆ω
R

<
∆ω
H
n
<

∆ω
T
nên búp chính của cửa sổ Hanning lớn hơn cửa sổ chữ nhật và nhỏ hơn cửa sổ tam giác.
- Vì
λ

H
n
>
λ
C
>
λ
R
nên độ gợn sóng ở cả búp chính và các búp phụ của cửa sổ Hanning thấp hơn các cửa sổ chữ nhật,
tam giác, và cosin.
2. Cửa sổ Hamming w
H
m
(n)
N

Theo [4-88] khi α = 0,54 có hàm cửa sổ Hamming :
187
0 , 9 0
4
0 , 6 5
n
1
0 , 1 0
0 , 3 5
0 , 9 0
1
5 1 06
0 , 1 0
0 , 3 5

0 , 6 5
730 2 98