cac dang bat phuong trinh vo ti va phuong phap giai doc dao

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình chứa căn cơ bản
 g ( x ) ≥ 0 ∨ f ( x) ≥ 0
a. f ( x) = g ( x ) ⇔ 
 f ( x) = g ( x)
b.

c.

 g ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
2
 f ( x) = g ( x)

 g ( x) ≥ 0

f ( x) + g ( x ) = h( x) Điều kiện  f ( x) ≥ 0
 h( x ) ≥ 0


Với điều kiện trên , bình phương 2 vế phương trình ta có :
f ( x) + g ( x ) + 2 f ( x) g ( x) = h( x) ⇔ 2 f ( x ) g ( x) = h( x) − f ( x) − g ( x) (*) quay trở
về dạng b.
2. Các phương pháp giải phương trình chứa căn
- Phương pháp biến đổi tương đương .
- Phương pháp đặt ẩn phụ : lựa chọn ẩn t = u(x) hoặc x = v(t) , đặt đk cho ẩn mới t,
viết lai phương trình đã cho theo ẩn mới t, giải phương trình tìm t ⇒ x
- Phương pháp đánh giá bằng các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki,BĐT tam giác ,..
- Phương pháp sử dụng tính chất hàm số : sử dụng tính biến thiên, gía trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất .Các bài toán về phương pháp hàm số thường dùng có các dạng :
1/ Phương trình f(x) = g(x) trong đó f(x), g(x) là hai hàm số khác tính biến thiên

trên D và xo là một nghiệm của phương trình thì xo là nghiệm duy nhất trên D
2/ Phương trình có dạng : f(u(x)) = f(v(x)) với f(t) là hàm số đơn điệu trên D thì
phương trình tương đương u(x) = v(x)
3/ Phương trình có dạng f(x) = m có nghiệm x ∈ D khi và chỉ khi :
min f(x) ≤ m ≤ maxf(x) với x ∈ D
4/ Phương trình f(x) = 0 trong đó f(x) liên tục trên D và có n cực trị thì phương
trình có tối đa (n +1) nghiệm ,do đó nếu ta nhẩm được (n +1) nghiệm của
phương trình thì ta đã giải được phương trình đó .
B. VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP TRÊN LỚP
1. Giải các phương trình sau :
x −3
a.
c. 3x 2 + 6 x − 2 = 4 x − 3
e. x − 4 =
3x + 1 = x + 1
2x − 7
2
b.
x − 3 x − 10 = x − 2 d. 3x + 4 + x − 4 = 2 x
ĐS : a .
2. Giải các phương trình sau:
a. 3 x 2 + 5 x − 2 = x 2 + 5 x + 2

b. 5 2 x 2 + 5 x + 3 = 4 x 2 + 10 x + 9

c.

2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2( 2 x 2 + 5 x + 3 + 1)

d.

e.
4 x2 + 5x + 1 + 4 x2 + 5x + 7 = 3
ĐS : a. x = 2 v x = 7
b. x ∈ {-1/2; -2;( 5 ±√ 19)/4
c. x = 10 ±√ 112
d. x = ( 5 ±√ 13)/8

1

2 x + 15 = 32 x 2 + 32 x − 20


e. HD : Viết 32x2 + 32x – 28 = 2(4x + 2)2 – 28 ; đặt
2 x + 15 = 4 y + 2 đk y ≥ -1/2 ; x ≥ -15/2 ta có hệ phương trình đối xứng loại II ⇒
2 nghiệm : x = ½ ; x = ( - 9 - √221)/16
3. Giải các phương trình sau :
a. x + 1 − 2 x − x x + 1 + x 2 + x = 0

d . x 2 − 4 x + 1 + (2 x − 1) x 2 + 3 = 0

e. 10 x 3 + 8 = 3( x 2 − x + 6)
(2 − x ) 2 + 3 (7 + x) 2 − 3 (2 − x)(7 + x) = 3
x
35
=
c. x + 2
x − 1 12
4. Giải các phương trình sau:
a. 2 x − 3 + 5 − 2 x = x 2 − 4 x + 6

d. x 2 − 4 x + 20 + x − 2 = 4
b.

3

b. 3 − (2 x 2 − 3 x) − 2 + 2 x 2 − 3x = 1

e.

c.

f. 1 + x + 1 − x = x 2 + 3 x + 2

4 x2 −1 + 4 x −1 = 1

(2 x − 1) 2 + 9 + x 2 + 1 = 9 x 2 − 6 x + 17

g. 2( x − 3) 2 + 2 x − 2 = x − 1 + x − 3
5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm .
a.
c. x + 1 − x 2 = m
x 2 + (m + 1) x − 2 = 2 x − 1
b.
2 x 2 + mx − 3 = x − m
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
1. Giải các phương trình sau :
a. 4 x + 9 = 2 x − 3
b.

d. 1 + x + 8 − x + (1 + x )(8 − x) = m

x2 + 4 x = x + 1

c.

x2 − 6 x + 6 = 2 x −1

d.

e. x 2 + 4 x − 1 = 3 x − 1
g. 2 x 2 + 5 x + 2 = 3x
25 − x 2 = x − 1
h. x + 3 − 7 − x = 2 x − 8
2. Giải các phương trình sau :
6
9 − 5x = 3 − x +
a.
c. (1 − x ) x 2 + x + 1 = x 2 − x − 1
3− x
x
b. ( x + 1) 16 x + 17 = 8 x 2 − 15 x − 23
d. 1 − x − 1 + x =
3
3. Giải các phương trình sau bằng pp đặt ẩn phụ :
2
( x + 2)(1 − x) = x + 2 + 1 − x
a. 1 +
c. 3x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5
3
4x + 9

b.
d. 3 3 3 x − 2 = x 3 + 2
= 7 x2 + 7 x
28
4x + 9
1
HD: b. Đặt
= y+
28
2
c. Đặt 3x + 1 = −2 y + 3
d. Đặt

3

3x − 2 = y

4. Giải các phương trình sau :
a. 3 x 2 − 5 x + 2 = 10 x + 10 − 2 x 2
b. 4 3x 2 + 2 x + 1 = 3 x 2 + 2 x + 4

h. 4 3x 2 − 7 x + 3 − 3 3 x 2 − 7 x − 2 = 6
3
2
2
e. x + 3 − 2 x − 3 x + 2 = ( x + 1)
2

2

c.

3

2
2
f. x + 1 − x = − 2(2 x − 1)

3x − 5 = (2 x − 3)3 − x + 2

221
x − 1 60
5. Giải các phương trình sau bằng pp đánh giá :
a. 1 + x + 1 − x = x 2 + 2
d. x +

x

2

=

b.
(2 x + 1) 2 + 4 + 4 x 2 + 1 = 5 5 x 2 + 2 x + 2
c.
d.
6. Tìm m để phương trình có nghiệm :
a.

2 x − x2 = m

b.

(1 − x)( x − 5) + x 2 − 6 x + m = 0

c. mx − x − 3 = m + 1
d. 3 x + 2 − m x 2 + 3 = 0

3