Tài liệu các dạng phương trình vô tỉ và cách giải

Chuyên đề : ph ơng trình vô tỉ
Dạng 1: Phơng trình dạng:
( ) ( )
axgxf
=+
(Với f(x) > g(x))
Ph ơng pháp giải : Xét 3 trờng hợp
Tr ờng hợp 1 : g(x) 0 khi đó f(x) > 0 và phơng trình trở thành: f(x) + g(x) = a
Giải ra tìm x và so sánh điều kiện.
Tr ờng hợp 2 : f(x) > 0 và g(x) < 0 và phơng trình trở thành: f(x) - g(x) = a
Giải ra tìm x và so sánh điều kiện.
Tr ờng hợp 3 : f(x) < 0 và phơng trình trở thành: - f(x) - g(x) = a
Giải ra tìm x và so sánh điều kiện. Sau đó kết luận.
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:
a.
51212
=++
xxxx
b.
x 2 x 1 x 8 6 x 1 4+ + + =
c.
5168143
=+++
xxxx
Giải
a. Điều kiện x 1
Đa phơng trình về dạng:
( )
*2111121111
=++=++
xxxx

(Do
11
+
x
> 0)
Tr ờng hợp 1 :
2011

xx
. Khi đó phơng trình (*) trở thành:
2212
==
xx
(thỏa mãn)
Tr ờng hợp 2 :
21011
<<
xx
.
Khi đó phơng trình (*) trở thành:
2221111
==+++
xx
(luôn đúng)
Kết hợp cả 2 trờng hợp ta đợc 1 x 2 là nghiệm của phơng trình.
Cách 2: Điều kiện x 1
Ta thấy
( )
11112
+=

xx
nên phơng trình (*) xảy ra dấu = khi
2011

xx
.
Vậy ta đợc 1 x 2 là nghiệm của phơng trình.
b. Điều kiện x 1
Đa phơng trình về dạng:
( )
*4311143111
=++=++
xxxx
(Do
11
+
x
> 0)
Tr ờng hợp 1 :
10031

xx
. Khi đó phơng trình (*) trở thành:
10612
==
xx
(thỏa mãn)
Tr ờng hợp 2 :
101031
<<

xx
.
Khi đó phơng trình (*) trở thành:
4443111
==++
xx
(luôn đúng)
Kết hợp cả 2 trờng hợp ta đợc 1 x 10 là nghiệm của phơng trình.
Cách 2: Điều kiện x 1
Ta thấy
( )
31114
+=
xx
nên phơng trình (*) xảy ra dấu = khi
101031

xx
.
Vậy ta đợc 1 x 10 là nghiệm của phơng trình.
c. Điều kiện x 1. Đa phơng trình về dạng:
( )
*53121
=+
xx
Tr ờng hợp 1 :
1031

xx
. Khi đó phơng trình (*) trở thành:

261012
==
xx
(thỏa mãn)
Tr ờng hợp 2 :
105312
<<
xx
.
Khi đó phơng trình (*) trở thành:
5153121
==+
xx
(vô lý)
Tr ờng hợp 3 :
5121
<<
xx
.
Khi đó phơng trình (*) trở thành:
153121
==++
xxx
(thỏa mãn)
Kết hợp cả 3 trờng hợp ta đợc x = 1 và x = 26 là nghiệm của phơng trình.
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
1.
5168143
=++++
xxxx

(1 x 10 là nghiệm của phơng trình)
2.
275232522
=++++
xxxx
. (Nhân cả hai vế với
2
ta đợc: x = 15 là nghiệm)
3.
x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5+ + + + =
(1 x 5 là nghiệm của phơng trình)
4.
3 4 1 8 6 1 1x x x x+ + + =
(5 x 10 là nghiệm của phơng trình)
Dạng 2: Phơng pháp đánh giá 2 vế có dạng:
( ) ( ) ( )
xhxgxf
=+
Ph ơng pháp giải : Ta có: VT =
( ) ( )
axgxf
+
mà VP a.
Dấu = xảy ra khi VT = VP = a.
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
1.
2
7 - x + x - 5 = x -12x + 38
( Ta thấy VT 2; VP 2 nên nghiệm của phơng trình là x = 6)
2.

2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + =
(Vậy nghiệm phơng trình x = -1)
3.
564524428183
222
+=+++
xxxxxx
(Vậy nghiệm phơng trình x = 3)
Dạng 3: Phơng pháp tổng bình phơng:
( )( ) ( )( ) ( )( )
0....
222
=+++
xhxgxf
Ph ơng pháp giải : Dấu = xảy ra khi f(x) = g(x) = h(x) = .. = 0.
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
1.
8362412
+++=++
zyxzyx
(x = 2; y = 6; z = 12)
2.
1
2 3 4 ( ).
2
x y z x y z + + + = + +
(x = 3; y = -2; z = 5)
3.
( )

1
x y 1 z 2 x y z
2
+ + = + +
(x = 1; y = 2; z = 3)
4.
)3z42y31x2.(235zyx
+++++=+++
(x = 3; y = 7; z = 13)
5.
2
zyx
56z4y3x
++
=+++
(x = 4; y = 5; z = 7)
6.
( )
zyxzyx ++=+++
2
1
201020092
(x = 3; y = -2008; z = 2011)
7.
32254
2
+=++
xxx
(Đa về dạng:
( )

( )
01321
2
2
=+++
xx
. Ta có nghiệm duy nhất x = -1)
Dạng 4: Phơng pháp đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
1.
( )( )
36363
=+++
xxxx
. Điều kiện: -3 x 6
Đặt
( ) ( )
06;03
==+
bbxaax
ta đợc hệ phơng trình



=+
=+
9
3
22
ba

abba

Giải ra ta tìm đợc a = 0 hoặc a = 3 nên thay vào ta có x = -3 hoặc x = 6 là nghiệm.
2.
392192
22
+=+
xxxx
. Điều kiện: x
2
2x 19 0 (*).
Đặt
( )
0192
2
=
aaxx
. Khi đó: Ta đợc phơng trình: a
2
+ a 20 = 0



=
=

5
4
a
a

Thay a = 4 giải ra ta có: x = 7 hoặc x = -5 thỏa mãn điều kiện (*).
3.
1111
423
+=++++
xxxxx
. Điều kiện x 1.
Đặt
( ) ( )
baxbbxxxaax .101;01
423
==+++=
.
Khi đó ta có phơng trình: a + b = 1 + ab

(a - 1)(1 - b) = 0

a = 1 và b = 1.
Giải ra ta có: x = 2 và x = 0(loại do x 1)
4.
428
22
=++
xx
. ĐK: x
2
2. Đặt ẩn đa về hệ

=+
=+
10
4
22
ba
ba
. Giải ra ta đợc x = 1 hoặc x = -1.
5.
( )
(
)
3107125
2
=++++
xxxx
(ĐK: x -2. Giải ra ta có: x = -1 và x = -4(loại))
6.
558
=++
xx
(ĐA: x = 1)
7.
2055
2
=+++
xxxxx
. ĐK: x 5. Đặt
bxax
==

5;
ta có hệ





=
=+++
5
20
22
2
ba
ababa
Giải ta đợc: x = 9.
Dạng 5: Phơng pháp đa về dạng tích
Ví dụ: Giải phơng trình:
232323
22
++=+++
xxxxxx
.
Điều kiện: x 2. Khi đó ta có:
( )( ) ( )( )
331221
++=
xxxxxx
( ) ( ) ( )( )
03211113112

=++=
xxxxxxx
2011
==
xx
vì x 2 thì
32
+
xx
< 0.
Vởy x = 2 là nghiệm duy nhất của phơng trình.