Copy of DE16 HSG TOAN 9 r

PHÒNG GD & ĐT

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN.

ĐỀ 16

NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9

(Đề gồm 1 trang)

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.5 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau
a.
b.

A = 3x + x 2 − 4 x + 4
B = 3+ 5 − 3− 5 − 2

Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình
b. x 2 − 5 x + 36 = 8 3 x + 4
a. x x − 2 x − x = 0
2
2
2
2
c. TÝnh C = (1+ tan α)(1- sin α) + (1+cotan α)(1-cos α)

Bài 3: (2.0 điểm)
a. Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn:
(a + b)c = ab.

Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao?
b.
Cho x; y > 0 và x + y ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P=

20
11
+
2
x +y
xy
2

Bài 4: ( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là
trung điểm của HC; N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M
vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng
minh rằng:
a. Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
Từ đó hãy suy ra SAEF = SABC. cos 2 ∠ BAC
b. BH.KM = BA.KN
c.

GA5 + GB 5 + GH 5
=4 2
GM 5 + GK 5 + GN 5

Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một phía

của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz

thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc
∠ AMC= α . Xác định số đo α để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………


®Ò 16
Bài
Ý
a
1.
2.5

0.75

b
0.75

2a.
1.0

2.
2.0
2b.
1.0

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang
Nội dung cần đạt
4 x − 2;

= 3 x + ( x − 2) 2 = 3 x + x − 2 = 
2 x + 2;

neu x ≥ 2
neu x < 2

0.25x3

B. 2 = 6 + 2 5 − 6 − 2 5 − 2 = ( 5 + 1) 2 − ( 5 − 1) 2 − 2
= | 5 + 1| − | 5 − 1| −2 =

5 + 1 − 5 + 1 − 2 = 0. Suy ra A = 0

ĐK: x ≥ 0
x x − 2 x − x = 0 ⇔ x (x − 2 − x ) = 0
x = 0
⇔ x ( x − 2)( x + 1) = 0 ⇔ 
x = 4
−4
ĐKXĐ: x ≥
3

; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm
0.25

( x 2 − 8 x + 16) + (3 x + 4 − 2 3 x + 4.4 + 16) = 0 ⇔ ( x − 4) 2 + ( 3 x + 4 − 4) 2 = 0
(a + b)c = ab ⇒ ( a − c)(b − c ) = c 2

Gọi UCLN của a-c và b-c là d ⇒ c 2 Md 2 ⇒ c Md ⇒ a Md ; b Md
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1

Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2 ⇒ c = pq ⇒ a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương
20
10 1
20
20
4
80
P= 2
+ + . Ta có
+
≥ 20. 2
=
2
2
2
2
x +y
xy xy
x +y
2 xy
x + y + 2 xy ( x + y ) 2
Mà x + y ≤ 2
20
20
+
≥ 20 .
2
2

Nên
x +y
2 xy
Mặt khác : xy ≤

3.
2.0

0.5
0.25
0.25x4

⇔ x − 4 = 0 và 3x + 4 − 4 = 0 ⇔ x = 4(tm)

3a.
1.0

Điểm

0.25
0.25
0.25
0,25
0.25
0.5

0,25
0,25

Dấu bằng khi x = y =1

1
( x + y )2 22
≤
= 1 . Nên ≥ 1 . Dấu bằng xảy ra khi
xy
4
4

x = y =1 .

0.25
0.25

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21 khi và chỉ khi x = y =1

3b.
1.0
A

F

E
H

K

N
G

B
D

M

C


AE
AF
vuông tại F nên
·
cos CAF
=
∆ACF
;
AB
AC
Tư đó chứng minh được tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c)
Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên
S AEF AE 2
·
·
=
= cos 2 BAC
⇒ S AEF = S ABC .cos 2 BAC
2
S ABC AB
·
·

·
; ·ABH = MKN
(Góc có cạnh tương ứng song song)
∆ABH và ∆MNK có BAH
= NMK
∆AEB

4a
1.0

4.

4b.
0.75

vuông tại E nên

·
cos BAE
=

Suy ra ∆AHB đồng dạng với ∆MNK ( g.g); ⇒

2.5
∆AHB đồng dạng với ∆MNK nên

AHC); Lại có:
4c.
0.75

BA BH
=
⇒ BA.KN = BH .KM
KM KN

0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25

AB AH
=
= 2 ( Vì MN là đường TB của tam giác
MK MN

AG
HG
= 2;
= 2 ( G là trọng tâm của tam giácAHC)
MG
NG

AB
AG
·
·
=
= 2 . Mặt khác BAG

( so le trong)
= GMK
MK MG
⇒ ∆ABG đồng dạng với tam giác ∆MKG (c.g.c)
GB GA GH
GB5
GA5 GH 5 GB 5 + GA5 + GH 5
⇒
=
=
=2⇒
=
=
=
= 32
GK GM GN
GK 5 GM 5 GN 5 GK 5 + GM 5 + GN 5
⇒

0.25

GB 5 + GA5 + GH 5
⇒
=4 2
GK 5 + GM 5 + GN 5

0.25

1
·

·
MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có AMC
= BDM
=α ;
2
a
b
ab
1
MC =
, MD =
; SMCD =
cosα
sin α
2 cosα.sin α

Ta có : SMCD =

5
1.0

Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất ⇔ 2sinα.cosα lớn nhất .
Theo bất đẳng thức
2xy ≤ x2 +y2 ta có :
2sinα.cosα ≤ sin2α +cos2α = 1
nên
SMCD ≥ ab
0
SMCD = ab ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin(90 −α) ⇔ α = 900−α ⇔ α = 450
⇔ ∆AMC và ∆BMD vuông cân.

Vậy min SMCD = ab .
Khi α = 450 ; C,D được xác định trên tia Ax ;
x
By sao cho AC = AM , BD = BM .

0.5

y
D
α

C

A

a

α(

M

b

B

0.5