Copy of de 10 HSGT9 nghi loc r

PHÒNG GD&ĐT

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011 - MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút

§Ò Sè 10

Bài 1: (4,5 điểm)
a) Tìm n ∈ N để A là số nguyên tố biết A = n3 - n2 - n - 2
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì mn(m2 – n2) M6
Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức

P=

3 x −1
x −2
−
−
x + 2 3 x −1

(

5x + 4 x + 2

)(

)

x + 2 3 x −1

a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P =

3
4

Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình :

 3 + 2 x + 3 − 2 y = x + 4

 3 + 2 x − 3 − 2 y = x

b) Giải phương trình:

3

x− 2+ x+1= 3

Bài 4: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
F=

8 x − 2 18 x − 6
+
2x + 1
3x + 1

Bài 5: (6,5 điểm)
Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M ≠ A; M ≠ B) và MA
< MB. Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở C. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc

với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H.
a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường
tròn (O).
b) Chứng minh CA = CH.
c) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), F là hình
chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O).
Chứng minh 3 điểm E; M; F thẳng hàng.
d) Gọi S1; S2 là diện tích các tứ giác ACHE và BCDF. Chứng minh CM < .

§Ò Sè 10

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM TOÁN 9


KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011
Bµi 1: (4,5 ®iÓm)
C©u a) (2,0 ®)
Ph©n tÝch A = n3 - 2n2 + n2 - 2n + n - 2
= (n - 2) (n2 + n + 1)
Do n - 2 < n2 + n + 1 ∀n ∈ N
VËy A lµ sè nguyªn tè

0,75®
0,25®

n − 2 = 1
2
n + n + 1 lµsènguyª ntè

0,5®

n = 3
2
A = 3 + 3+ 1 = 13

0,5®

⇔
⇔

lµ sè nguyªn tè
VËy víi n = 3 th× A lµ sè nguyªn tè

Câu b) (2,5 đ)

m.n(m 2 − n 2 ) = mn ( m 2 − 1) − ( n 2 − 1)  = mn ( m − 1) ( m + 1) − ( mn ( n − 1) ( n + 1) )
0.5 đ
Vì m(m-1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên M
2 ⇒ m(m – 1)(m + 1) M
2
0,5 đ
m(m – 1)(m + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
mà (2;3)=1. Do đó m(m – 1)(m+1) M6 ⇒ nm(m – 1)(m + 1) M6
Tương tự n(n – 1)(n + 1) M6 ⇒ mn(n – 1)(n +1) M6

(1)

0,5 đ

(2)

0,5 đ

6 với mọi số nguyên m, n
Từ (1)(2) ⇒ mn(m 2 − n 2 ) M
Bài 2: (3,0 điểm) ĐKXĐ của biểu thức P là: x › 0và x ≠

(3
a) P =

) (
2

x −1 −

) (
( x + 2) ( 3 x − 1)
x −2

)(

x + 2 − 5x + 4 x + 2

)

1
9

0,5 đ

0,25

0,5
P=
P=

3 x − 10 x + 3

(

)(

)

0,5

x + 2 3 x −1
x −3
x +2

0,75

(

) (

)

x −3
= ⇒ 3 x +2 = 4 x −3

x +2
x = 18 ⇒ x = 324 TMĐK

b) P =

3
⇒
4

0,5
0,5


Bi 3: (4,0 im)
a) (2,0 im)Vi iu kin x

3
3
; y
2
2

Tr v theo v ta c phng trỡnh

3 2 y = 2 3 2y = 4 y =

Cng hai phng trỡnh ca h ó cho ta c phng trỡnh
3 + 2 x = x+2
3+2x = (x +2)2
x2 +2x +1 = 0

(x+1)2 = 0 x =-1(tha món)
1
Vy h phng trỡnh cú nghim l (x; y) = (-1 ;
)
2

0,25
1
(t/món) 0,5
2
0,25
0,5
0,25
0,25

b)
Giải phơng trình
(2,0đ)

a.

3

x 2 + x + 1 = 3 dK : x 1
Đặt

3

x 2 = u, x + 1 = v (v 0)

=>u3 = x - 2, v2 = x+1
=> v2 - u3 = (x + 1) - (x - 2) = 3
=> v2 - u3 = 3(1)
u + v = 3 (2)
Rút v = 3 - u từ (2) thay vào (1)
=> (3 - u)2 - u3 = 3
9 - 6u + u2 - u3 = 3
=> u3 - u2 + 6u - 6 = 0
=> u2 (u - 1) + 6 (u - 1) = 0
=> (u - 1) (u2 + 6) = 0
u - 1 = 0 do u2 + 6 > 0 u
=> u = 1; v = 2.
Thay

3

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ
0,25đ

x 2 = u = >3 x 2 = 1

x-2=1
x = 3 (TMĐK)

Vậy pt có 1 nghiệm x = 3;

0,25đ

Bi 4: (2,0 im)

k : x 0 ,
8 x 2
18 x 6
Ta cú: F- 5= (
- 2) +(
- 3)
2x + 1
3x + 1
4( x 1) 2
9( x 1) 2
=
+
2x + 1
3x + 1
Lớ lun i n F 5 0 kt lun Fmax= 5 ti x=1

0,25
0,75
0,5
0,5


Câu 5: 6,5 đ

a)Do M ∈ (O) ⇒ AMˆ B = 90 o suy ra H là trực tâm ∆ AMB (0,75 đ)
Do đó AN ⊥ BD ⇒ ANˆ B = 90 0 vậy N∈ (O) 0,75đ
b) MC là phân giác của tam giác AMB nên ta có:
CA MA
=
0,75 đ
CB MB
Mặt khác ∆ BCH ∆ BMA nên ta có:
CH BC
MA CH
=
⇒
=
0,75 đ
MA MB
MB CB
CA CH
=
⇒ CA =CH
vậy
0,5 đ
CB CB
1
1
0
c) MI = AH = CE ⇒ CMˆ E = 90
0,75 đ
2
2
1

1
0
MK = BD = CF ⇒ CMˆ F = 90 suy ra 3 điểm E;
2
2
M; F thẳng hàng
0,75

A
O

d) Hình chữ nhật ACHE có CA = CH nên ACHE là hình vuông
Tam giác ANB vuông ở N có góc NAB = 450 ⇒ NBˆ A = 45 0 suy ra BCDF là hình vuông
0,5 đ
Suy ra tam giác ECF vuông ở C
S1=1/2 CE2; S2= ½ CF2
0,25 đ
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
2
.
=

=
+
≥
2
.
=
2
.
2 S1 2 S 2
S1 S 2
CM 2 CE 2 CF 2
CE 2 CF 2
2CA 2 2CB 2
0,5 đ
1
1
≥
⇒ CM 2 ≤ S1 S 2 ( vì MA < MB nên dấu "=" không xảy ra).
Suy ra
0,25 đ
2
CM
S1 S 2
Lu ý:

( Chö trªn h×nh viÕt tay)