DE46 THPT nguyễn trung thiên hà tỉnh _ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA TOÁN NĂM 2015

ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
SỞ GDĐT HÀ TĨNH 
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT
QUỐC GIA 2015 - ĐỀ SỐ 46
Môn TOÁN (Lần 2) 
THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN Thời gian làm bài 180
phút
TỔ TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút 

--------oOo--------

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  y = x 3 - 6 x 2  + 9 x - 1  (1) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 

1 3
9 
x - 3 x 2  + x - m = 0 . 
2
2 
Câu 2 (1,0 điểm). 
a)  Giải phương trình:  sin 3x + 3 cos3x - 2sin x = 0 . 
x +1 

æ 1 ö
b)  Giải phương trình:  3 + 9. ç ÷ - 4 = 0 . 
è 3 ø 
x

1 

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ò (1 - x ) ( 2 + e 2 x  ) dx . 
0 

Câu 4 (1,0 điểm). 
a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức  z , biết: z (1 - 2i ) + z = 10 - 4 i . 
b) Cho số nguyên dương  n  thoả mãn:  2Cn1 - Cn 2  + n = 0 . Tìm số hạng chứa  x 5  trong khai triển 
n 

æ 3  2 ö
ç x  - ÷ , với ( x ¹ 0 ) . 
x ø 
è
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp  S . ABC  có đáy là tam giác vuông tại  B ,  BC = 3 a ,  AC = a 10 . 
Cạnh bên  SA  vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SBC )  và mặt phẳng ( ABC )  bằng  60 0 . 
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng  SM  và  AC  theo  a , biết  M 
là điểm trên đoạn  BC  sao cho  MC = 2 MB . 
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình các cạnh của hình vuông 
ABCD , biết rằng các đường thẳng  AB ,  CD ,  BC  và  AD  lần lượt đi qua các điểm M ( 2; 4 ) ,

N ( 2; - 4 ) , P ( 2; 2 ) , Q ( 3; - 7 ) . 
Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : 
2

2

2 

( x - 1) + ( y - 1) + ( z + 2 ) 

= 9  và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y - z - 11 = 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng

( P )  cắt mặt cầu ( S ) . Tìm toạ độ tâm  H  của đường tròn giao tuyến của ( P )  và ( S ) . 
ìï2 x 2 - y 2  - 7 x + 2 y + 6 = 0 
Câu 8 (1,0 điểm).  Giải hệ phương trình:  í
( x, y Î ¡ ) . 
3
2
2
3 
ïî-7 x + 12 x y - 6 xy + y - 2 x + 2 y = 0. 
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm  a, b, c  thoả mãn  a 2 + b 2 + c 2  - 3b £ 0 . Tìm giá trị nhỏ 
1
4
8 
nhất của biểu thức sau: P =
+
+
. 
2
2
2 
( a + 1) ( b + 2 ) ( c + 3 ) 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển  />đến www.laisac.page.tl

285

1 

SGDTHTNH
THPTNGUYNTRUNGTHIấN
TTON

PNTHITHKèTHITHPTQUCGIANM2015
MụnTON(Ln2)
ỏpỏngm04trang

CU

PN

IM

1
a)(1im)
(2,0) ã Tpxỏcnh: D = Ă .
ã Sbinthiờn:
ưChiubinthiờn:Tacú: y ' = 3 x 2 - 12 x +9 y ' = 0 x =1 hoc x =3.

0.25

Hmsngbintrờncỏckhong ( -Ơ1) v ( 3 +Ơ),nghchbintrờnkhong (13).
ưCctr:Hmtcciti x =1, yCD =3.Hmtcctiuti x =3, yCT = -1.
ưGiihn: lim y = -Ơ , lim y = +Ơ .
xđ-Ơ

0.25

xđ+Ơ

ưBngbinthiờn:

x
y '

-Ơ
+

1
0
3

3
0

-

+Ơ
+

+Ơ

y

0.25

-1

-Ơ

`

ã th:th(C)cahmsiquaim A( 43) vcttrctungtiim B ( 0 -1).

0.25

b)(1im)
Phngtrỡnh óchotngngviphngtrỡnh: x 3 - 6 x 2 + 9 x - 1 = 2m -1

(1)

Snghimcaphngtrỡnh(1)bngsgiaoimcangthng y = 2m -1vith(C)
Davoth,phngtrỡnhcúnghimduynhtthỡ: 2m - 1 >3 hoc 2m - 1 < -1.
Hay m >2 hoc m <0.Vy phngtrỡnhcúnghimduynht khi m > 2 hoc m <0.
2
pử
1
3
ổ
cos3x =sinx sin ỗ 3 x + ữ = sinx .
(1,0) a. sin 3 x + 3cos3x - 2sin x =0 sin 3 x +
2
2
3ứ
ố
Suyraphngtrỡnhcúcỏcnghim: x = -

p
6

+kp x =

p
6

+k

p
2

(vi k ẻ Â ).

1
- 4 =0.t t = 3 x, (t >0) phngtrỡnhtrthnh:
x
3
2
t - 4t + 3 =0.Phngtrỡnhnycúcỏcnghim: t =1 v t =3.

b.Phngtrỡnhtngng: 3x + 3.

286

2

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25

0.25


t = 1, ị 3 x = 1 x =0. t = 3, ị 3x = 3 x =1.Vyphngtrỡnhcú2nghim x = 0 x =1.
3
(1,0)

1

1

I = ũ (1 - x ) ( 2 + e

2x

0

1

) dx =ũ 2 (1 - x ) dx + ũ(1- x )e

0.25

2
ũ( 2 - 2 x ) dx = ( 2 x - x )0 = 1.

0.25

0

1

Tớnh I1 = 2 (1 - x ) dx =

ũ
0

2x

dx .

0

1

0.25

1

0

ỡ du = - dx
ỡu = 1- x
ù
Tớnh I 2 = ũ(1- x )e dx .t ớ
ịớ
e2x
2x

dv
=
e
dx
v
=
ợ
0
ù
ợ
2
1

2x

2x 1

ị I 2 =

(1- x )e
2

1

2x

2 x 1

e
1ử e

ổ
+ ũ dx = ỗ 0- ữ +
2
2ứ 4
ố
0
0

Vy I = I1 + I 2 = 1+

2

0.25
2

1 e 1 e - 3
=- + - =
.
2
4
4
4
0

e2 - 3 e2 + 1
.
=
4
4

0.25

4
a.Gi z = a +bi , ( a, b ẻ Ă).Tgithittacú: ( a + bi )(1 - 2i )+ a - bi = 10 -4i
(1,0)

ùỡ2 ( a + b)= 10 ỡa= 2
2 ( a + b )- 2ai = 10 - 4i ớ
ớ
.Vy phnthcl2,phnol3.
ùa = 2
ợb= 3
ợ

0.25
0.25

b.Tỡmnthomón: 2Cn1 - Cn2 + n =0 (*).iukin: n 2, n ẻ Â.

(*) 2

n!
n!
n(n- 1)
+ n = 0 2n + n = 0 n= 7.
( n - 1)! (n -2)!
2

0.25

7

7
2ử
ổ
Tacú: ỗ x 3 - ữ = ồC7k .(-2) k .x21-4k .Suyrashngcha x5 ngvi 21 - 4k = 5 k =4.
x ứ k=0
ố
4
Vyshngcha x5 l T5 = C74 . ( -2 ) . x 5 =560x 5.

0.25

Vỡ BC ^SA v BC ^ AB nờn BC ^SB .
Vygúcgiamp ( SBC) vmp ( ABC) l

5
(1,0)

ã =600.Tacú: AB =
SBA

AC 2 - BC 2 =a .
1
3a2
Dintớch DABC l S ABC = AB.BC =
.
2
2
SA = AB.tan 600 =a 3.Thtớchkhichúp

0.25

1
1
3a 2 a3 3
.
VS .ABC = SA.S ABC = .a 3.
=
3
3
2
2

0.25

K MN songsong AC ctAB ti N, ị AC P( SMN ).Vy d ( SM , AC ) =d ( A,( SMN ) ).
GiIlhỡnhchiucaimAlờn MN,Hlhỡnhchiuca Alờn SI , ị MI ^( SAI ),
ị MI ^ AH .Mtkhỏc AH ^SI nờn AH ^( SMI ) .Vy d ( A,( SMN ))= AH .

DAIN ngdngvi DMBN , ị AI =

6

AN .MB
2a
.Xột DSAI vuụngtiAvcúAHl
=
MN
10

AI .SA a 102
a 102
ngcao ị AH =
=
.Vy d ( SM ,AC )=
.
SI
17
17
r
Gi n ( ab) lvectphỏptuyncangthng AB.Vỡ ABiquaim M( 2 4) nờnphng

287

3

0.25

0.25

0.25


(1,0) trỡnhtngquỏtcaABl: ax + by - 2a - 4b =0.ng BCiqua P( 2 2) vvuụnggúcvi
ABnờncúphngtrỡnh BCl:-bx + ay - 2a + 2b =0.
ABCDlhỡnhvuụngnờn d ( N , AB ) =d ( Q ,BC ) hay

2a - 4b - 2a - 4b
2

a +b

2

=

ộ9a = -9b
ờ
.
a +b
ở9a = 7b
TH1:Chn a = 1, ị b = -1.
Phngtrỡnh AB: x - y + 2 =0,phngtrỡnh BC:
x + y - 4 =0.
ng CDiqua N ( 2 -4) vsongsongviABnờn
phngtrỡnh CDl: x - y - 6 =0.
ng ADiqua Q ( 3 -7) vsongsongviBC ị AD
cúphngtrỡnh: x + y + 4 =0.
TH2:Chn a = 7 ị b =9.
Phngtrỡnh ABl: 7 x + 9 y - 50 =0,phngtrỡnhBC:
-9 x + 7 y + 4 =0.
Túphngtrỡnh CDl: 7 x + 9 y + 22 =0,phng
trỡnh ADl:-9 x + 7 y + 76 =0.

-3b - 7a - 2a + 2b
2

0.25

2

7
Mtcu ( S)cútõm I (11 -2)vbỏnkớnh R =3.
(1,0)

0.25

0.25

0.25

Khongcỏcht I nmtphng ( P) l: d ( I , ( P ) ) =

1 + 2.1 - ( - 2 ) - 11
2

12 + 2 2 + ( -1)

=

-6
6

=

6 .
0.25

Vỡ d I ,( P )

(

)

Gi ( C) lngtrũngiaotuyncamp ( P) vmc ( S)thỡHlhỡnhchiuvuụnggúcca I

ỡ x = 1+ t
ù
lờnmp ( P).Tacúphngtrỡnh ngthng IH l: ớ y = 1 + 2t , ị H (1 + t1 + 2t -2-t ).
ù z = -2- t
ợ
Mtkhỏc H ẻ( P ) nờntacú: 1 + t + 2 (1 + 2t ) - ( -2 - t )- 11 =0 hay t =1.Vy H ( 23 -3).
Tacú:
8
(1,0) -7 x 3 + 12 x 2 y - 6 xy 2 + y 3 - 2 x + 2 y = 0 ( y - x ) ộ x 2 - x ( y - 2 x ) + ( y - 2 x )2 + 2 ự = 0.
ở
ỷ
2

ổ
ố

( 2)

0.25

0.25
0.25

2

Vỡ x 2 - x ( y - 2 x ) + ( y - 2 x ) + 2 = ỗ y - 2 x -

xử 3 2
ữ + x + 2 > 0, ( " x,y ) nờn:
2 ứ 4

0.25

( 2) x - y =0 hay x = y .
ỡ y = x
ỡ y = x
ỡ y = x
ù
ị Htngng: ớ 2
ớ 2
ớ ộ x= 2
2
ợ2 x - y - 7 x + 2 y + 6 = 0 ợx - 5 x + 6 = 0 ù ờ x = 3.
ợở
Vyhcú2nghim ( x y ) =( 2 2) hoc ( x y ) =( 33).
2
2
2
9
Tathy: a 2 + b 2 + c 2 - 2 a - 4b - 2c + 6 = ( a - 1) + ( b - 2 ) + ( c - 1) 0,theogithitthỡ
(1,0)
a 2 + b 2 + c 2 Ê3b .Suyra 3b - 2a - 4b - 2c + 6 0 hay 2a + b + 2c + 10 Ê16.

288

4

0.25

0.25
0.25


Với hai số  x, y > 0  thì

1
2

+

4
2

³

1
1
8 
+ 2  ³
. Áp dụng nhận xét trên ta có:
2
x
y  ( x + y ) 2 

8 
2 

;

1
2

+

1
2

³

8 
2 

b  ö
b
( c + 3 )  æ a + b  + c + 5 ö
æ
æ
ö
ç a + + 2 ÷
ç a + + 2÷
ç
÷
2  ø 
2

2 
è
è
ø
è
ø 
2 
8
8
8
16 
Þ P ³
+
³ 8. 
=
. 
2
2
2
2 
b
b 
2a + b + 2c + 10 ) 
(
æ
ö ( c + 3)
æ
ö
ç a + + 2÷
ç a + + c + 5 ÷

2
2 
è
ø
è
ø 
Theo giả thiết và chứng minh trên thì  0 < 2 a + b + 2c + 10 £ 16 , Þ P ³ 1 . 

( a + 1)

( b + 2 ) 

Khi  a = 1, b = 2, c = 1  thì  P = 1 . Vậy  Pmin  = 1 . 

. 

0.25

0.25 

0.25 

Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển  />đến www.laisac.page.tl

289
5