DE48 THPT chuyên hưng yên _ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA TOÁN NĂM 2015

TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
ĐỀ THI THỬ KỲ
HƯNG YÊN 
BAN CHUYÊN MÔN 

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA 2015 
THI THPT
QUỐC GIA 2015 - ĐỀ SỐ 48

Thời gian làm bài 180Môn thi: TOÁN 
phút
Thời gian làm bài:
180 phút, không kể thời gian phát đề 
--------oOo--------

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  y = x 3 + 3mx 2  + 2  (1), với m là tham số thực. 
a)  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 
b)  Tìm  m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác  OAB bằng 2 
(O là gốc tọa độ). 
Câu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trình log 1 4 x + 4 ³ log 1 2 x +1  - 3 - log 2  2 x . 

(

)

2

(

) 

2 

Câu 3 (1,0 điểm). 
a) Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trình  z 2  + 2 z + 3 = 0 . Tính 
độ dài đoạn thẳng AB. 
b) Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2015, mỗi thí sinh có thể dự thi tối đa 8 môn: Toán, Lý, Hóa, 
Sinh, Văn, Sử, Địa và Tiếng anh. Một trường Đại học dự kiến tuyển sinh dựa vào tổng điểm của 
3 môn trong kì thi chung và có ít nhất 1 trong hai môn là Toán hoặc Văn. Hỏi trường Đại học đó 
có bao nhiêu phương án tuyển sinh? 
p
2 
sin x 
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân  I = ò 
dx 
cos 2 x + 3cos x + 2 
0 

Câu  5  (1,0  điểm).  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz,  cho  hai  điểm A ( 4; 2; 2 ) , B ( 0;0;7 )  và 
đường thẳng  d : 

x - 3 y - 6 z - 1 
=
=
. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng thuộc một 
- 2
2
1 

mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân đỉnh A. 
Câu  6  (1,0  điểm).  Cho  lăng  trụ  đứng  ABC . A ' B ' C ' có  đáy  là  tam  giác  cân,  AB = AC =  a , 

·  = 120 0  .  Mặt  phẳng  (AB'C')  tạo  với  mặt  đáy  góc  60 0 .  Tính  thể  tích  lăng  trụ  ABC.A'B'C'  và 
BAC
khoảng cách từ đường thẳng  BC đến mặt phẳng ( AB ' C ' )  theo  a . hoctoancapba.com 
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A ( - 1; 2 ) . Gọi M, 
N  lần lượt là  trung điểm của cạnh  AD và DC; K  là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình 
đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình  2 x + y - 8 = 0  và điểm B có hoành 
độ lớn hơn 2. 
ì(1 - y ) x 2 + 2 y 2  = x + 2 y + 3 xy 
ï
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình í
( x, y Î ¡ ) 
ïî y + 1 + x 2 + 2 y 2  = 2 y - x
Câu  9  (1,0  điểm).  Cho  x, y, z  là  các  số  thực  dương  thỏa  mãn 5 x 2 + y 2 + z 2  = 9 ( xy + 2 yz + zx ) 

(

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

)

x 
1 
2 
y + z  ( x + y + z ) 3 
2

­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Cảm ơn bạn MathLove() đã gửi tới www.laisac.page.tl

295

ĐÁP ÁN 
Câu 
1 

Nội dung 
a) Khảo sát hàm số  y = x + 3mx + 2 
Với m = 1, ta có hàm số: y = x 3  + 3x 2  + 2 
*) TXĐ:  ¡ 
*) Sự biến thiên: 
+) Giới hạn tại vô cực:  lim  y = ±¥ 
3

Điểm 

2 

0,25 

x ®±¥

+) Chiều biến thiên: 
y' = 3x 2  + 6x Þ y' = 0 Û x = 0 hoặc x = ­2 
Bảng biến thiên: 

x 

­¥ 

­ 2 

y ’ 

+ 

0 

0 

­ 

0 

+¥ 
+ 

0,25

6 

+¥ 

y 

2 
­¥ 

Þ hàm số đồng biến trên (­¥; ­2) và (0; +¥); hàm số nghịch biến trên (­2; 0) 
hàm số đạt cực đại tại x = ­2, yCĐ  = 6; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT  = 2 

*) Đồ thị: 
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận điểm 
I(­1; 4) làm tâm đối xứng. 

0,25 

6 

4 

0,25 
2 

­5 

5

­2 

2

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích 
tam giác OAB bằng 2 
Với mọi x Î ¡ , y' = 3x 2  + 6mx Þ y' = 0 Û x = 0 hoặc x = ­2m 
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Û m ¹ 0 
Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là: A(0; 2); B(­2m; 4m 3  + 2) 
ém = 1 
SOAB  = 1 Û OA.d(B;OA) = 4 Û  -2m  = 2 Û ê
(thỏa mãn) 

ë m = -1 
Vậy với m = ±  1 thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài. 
log 1 4 x + 4 ³ log 1 2 x +1  - 3 - log 2  2 x

(

2

)

(

0,5 

0,5 

) 

2 

0,5 

296


log 1 ( 4 x + 4 ) log 1 ( 2 x +1 - 3) + log 1 2x
2

2

2

log 1 ( 4 x + 4 ) log 1 ( 22 x +1 - 3.2x )
2

0,5

2
x

4 x + 4 Ê 2 2 x +1 - 3.2
4 x - 3.2 x - 4 0

ộ 2 x Ê -1( L)
ờ x
x 2
ờở2 4
VyBPTcútpnghim:S= [ 2 +Ơ)
3

a)Xộtphngtrỡnh: z 2 + 2 z + 3 = 0
2

( )

D'=1ư 3=ư2= i 2

0,25

Phngtrỡnhcúhainghim: z1 = -1 + i 2 z2 = -1 -i 2

(

) (

)

ị A -1 2 B -1 - 2

0,25

AB= 2 2
b)TH1:TrngHchxột1trong2mụnToỏnhocVn:
Cú: 2.C62 =30 (cỏch)
TH2:TrngHxộtchaimụnToỏnvVn:
Cú:1.C61 =6 (cỏch)

0,25

0,25

Vycúcỏctrnghpl:30+6=36(cỏch)
4

p

p

2

2
sin x
sinx
dx = ũ
dx
2
cos
2
x
+
3cos
x
+
2
2cos
x
+
3cos
x
+
1
0
0

I=ũ

0,25

tcosx=t ịdt=ưsinxdx
Vix=0 ịt=1vix=

1

1

p
2

ịt=0

1

dt
dt
1 ử
ổ 1
=ũ
= 2ũỗ
ữ dt
2
2
t
+
3
t
+
1
2
t
+

1
t
+
1
2
t
+
1
2
t
+
2
(
)(
)
ố
ứ
0
0
0

I =ũ

0,25

1

3
ổ 2t+ 1 ử
= ỗ ln

ữ = ln
2
ố 2t + 2 ứ0

0,5

297


5 

r 
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u ( -2; 2;1 )  và đi qua M(3;6;1) 
uuur
Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương AB ( -4; -2;5 ) 
uuuur 
AM ( -1; 4; -1 ) 
r uuur
r uuur uuuur 
Ta có: éëu , AB ùû = (12;6;12 ) Þ éëu , AB ùû . AM = -12 + 24 - 12 = 0 

0,5

Vậy AB và d đồng phẳng 
C Î d Þ C ( 3 - 2t ;6 + 2t ;1 + t ) 
Tam giác ABC cân tại A Û AB = AC
Û (1 + 2t) 2  + (4 + 2t) 2  + (1 ­ t) 2  = 45
Û 9t 2  + 18t ­ 27 = 0 Û t = 1 hoặc t = ­3 

0,5 

Vậy C(1; 8; 2) hoặc C(9; 0; ­2) 
6 
B 

C 
A

H 
K 
B' 

C' 

A' 

+ Xác định góc giữa (AB'C') và mặt đáy là  · 
AKA '  Þ · 
AKA ' = 60 0 . 
1 
a 
a  3 
Tính A'K =  A ' C ' = Þ  AA ' = A ' K .tan 60 0  = 
2
2 
2 
3 
3 a 
VABC . A ' B ' C ' =AA'.S ABC  = 
hoctoancapba.com 

8 

0,5 

+) d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C')) 
Chứng minh: (AA'K) ^ (AB'C') 
Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuông góc với AK Þ A'H ^ (AB'C')
Þ d(A';(AB'C')) = A'H 
a  3
Tính: A'H = 
4 
a  3
Vậy d(B;(AB'C')) = 
4 

0,5 

298


7 

Gọi E = BN Ç AD Þ D là trung điểm của AE 
Dựng AH ^ BN tại H Þ AH = d ( A; BN ) = 

A

B 

8 

5
1
1
1
5 
Trong tam giác vuông ABE: 
=
+
=
2
2
2
AH
AB
AE
4AB2 
5.AH 
Þ  AB =
= 4 
2

H 
M 

0,25 

K 
D 

N 

C 

E 

B ΠBN Þ B(b; 8 ­ 2b) (b > 2) 
AB = 4 Þ B(3; 2) 

0,25 

Phương trình AE: x + 1 = 0 
E = AE Ç BN Þ E(­1; 10) Þ D(­1; 6) Þ M(­1; 4) 
Gọi I là tâm của (BKM) Þ I là trung điểm của BM Þ I(1; 3) 
R=

8

BM 
2 
2 
=  5 . Vậy phương trình đường tròn: (x ­ 1)  + (y ­ 3)  = 5. 
2

0,25 

0,25 

ì(1 - y ) x 2 + 2 y 2  = x + 2 y + 3 xy (1 )
ï

í
ïî y + 1 + x 2 + 2 y 2  = - x + 2 y ( 2 ) 
ĐK: y ³ ­1 
Xét (1): (1 - y )  x 2 + 2 y 2  = x + 2 y + 3 xy
Đặt

x 2 + 2 y 2  = t ( t ³ 0 ) 

0,5 
2

2

2 

Phương trình (1) trở thành: t + (1 - y ) t - x - 2 y - x - 2 y - 3 xy = 0 
D = (1 ­ y) 2  + 4(x 2  + 2y 2  + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1) 2 
2
2 
ét = - x - y - 1  é x + 2 y = - x - y - 1 
Þê
Ûê
ê x 2 + 2 y 2  = x + 2 y
ët = x + 2 y 
ë 
Với  x 2 + 2 y 2  = - x - y - 1 , thay vào (2) ta có: 

1 
ì
ï y ³ y +1 = 3y + 1 Û í

Û y = 0 
3 
2 
ï9 y + 5 y = 0 
î
Þ  x 2  = - x - 1  (vô nghiệm) 

299

0,25 


ì
-1 - 5 
ï x =
ìï y + 1 = -2 x 
ï
4 
Với  x 2 + 2 y 2  = x + 2 y , ta có hệ:  í
Ûí
2
2 
îï x + 2 y = x + 2 y  ï y = 1 + 5 
ïî 
2 
æ -1 - 5 1 + 5 ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ç
; 
÷
4

2  ø 
è
9 

0,25 

Từ điều kiện: 5x 2  + 5(y 2  + z 2 ) = 9x(y + z) + 18yz  hoctoancapba.com
Û 5x 2  ­ 9x(y + z) = 18yz ­ 5(y 2  + z 2 ) 
1
4

2

1 
2

2 

Áp dụng BĐT Côsi ta có: yz £ ( y + z ) ;y 2 + z 2  ³ ( y + z ) 

Þ 18yz ­ 5(y 2  + z 2 ) £ 2(y + z) 2 . 
Do đó: 5x 2  ­ 9x(y + z) £ 2(y + z) 2 Û [x ­ 2(y + z)](5x + y + z) £ 0
Þ x £ 2(y + z)
x
1
2x
1
4
1 
P = 2

£
£
3
2
3
3 
2 
y + z (x + y + z)
( y + z ) ( x + y + z ) y + z  27 ( y + z ) 
Đặt y + z = t > 0, ta có: P £ 4t ­ 

1  3 
t 
27 

Xét hàm Þ P £ 16. 
1 
ì
ïï y = z = 12 
Vậy MaxP = 16 khi  í
ï x  = 1 
ïî  3

Cảm ơn bạn MathLove() đã gửi tới www.laisac.page.tl

300