TS247 BG bai toan tuong giao cua ham phan thuc_LUYỆN THI THPT QG 2018 TUYENSINH247.VN

BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC
I. LÝ THUYẾT TƯƠNG GIAO
+) Tương giao đồ thị là hai đồ thị cắt nhau ( ý nghĩa hình học)
Về phần đại số: Giả sử có hai đồ thị y  f  x  và y  g  x  cắt nhau

 Ta có phương trình hoành độ giao điểm: f  x   g  x  .
Phương trình hoành độ có bao nhiêu nghiệm thì đồ thị y  f  x  và y  g  x  cắt nhau ở bấy
nhiêu điểm
Ví dụ: Tìm giao điểm của các đồ thị sau :
a) y 

2x  1
và y  x
x2

Giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

2x  1
 x  x  2
x2
 2x  1  x 2  2x
 x2  1  0
x  1 y  1

 x  1  y  1
Vậy có hai giao điểm A 1;1 ; B  1; 1
b) y  x 4  2x 2  1 và trục hoành y  0
Giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x4  2x 2  1  0
Đặt x 2  t

t  0

 t 2  2t  1  0
 t 1

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


 x2  1  x  1  y  0

Vậy có hai giao điểm A 1;0 ; B  1;0
II. ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Tìm m để y 

x
cắt y  x  m tại hai điểm phân biệt
x 1

Giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
x
 x  m  x  1
x 1
 x   x  m  x  1
 x  x 2  x  mx  m
 x 2  mx  m  0
x
cắt y  x  m tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có

x 1
hai nghiệm phân biệt  1

Để y 


  0 1


 x  1  2 
1  m2  4.1.m  0

 m 2  4m  0
m  0

m  4
Ta có: f  x   x 2  mx  m
Do: x  1  f  1  0

1 m  m  0
 1  0 ( luôn đúng)
m  0
Vậy 
m  4

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


Ví dụ 2: Cho y 

2x  2
 C  . Tìm m để y  2 x  m cắt  C  tại A, B sao cho AB  5
x 1

Giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm :
2x  2
 2x  m  x  1
x 1
 2x  2   2x  m  x  1
 2x  2  2x 2  mx  2x  m
 2x 2  mx  m  2  0

Để đồ thị cắt  C  tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm
phân biệt  1
m 2  8  m  2   0
  0


 x  1 2  m  m  2  0

8
m

m  8m  16  0



4


0
8

m 

2

128
 44 2
2
128
 44 2
2

A  x1 ; 2x1  m  ; B  x2 ; 2x 2  m 
 AB  x2  x1 ; 2  x2  x1  
 AB 

 x2  x1 

 5  x2  x1 

2

 4  x2  x1 

2

2

Vì:

AB  5  5  x2  x1   5
2

  x2  x1   1
2

 x2 2  x12  2 x1 x2  1
  x2  x1   4 x1 x2  1
2

Theo định lý Vi-et:

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


b m

 x1  x2  a  2

x x  c  m  2
 1 2 a
2
m2
 2  m  2  1
4
 m 2  8m  16  4



 m 2  8m  20  0

 m  10

( thỏa mãn)
 m  2
Ví dụ 3: Cho y 

2x + 1
. Tìm m để y  2 x  m cắt đồ thị tại A, B sao cho AB có độ dài nhỏ
x2

nhất
Giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

2x + 1
 2x  m  x  2 
x2
 2x  1   2x  m  x  2 
 2x  1  2x 2  4x  mx  2m
 2x 2   6  m  x  1  2m  0
2x + 1
cắt y  2 x  m tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao
x2
điểm phải có hai nghiệm phân biệt  2

Để đồ thị y 

 6  m 2  8 1  2m   0
  0


 x  2 8  2  6  m   1  2m  0
2

m  4m  28  0  ñuùng 


3  0  ñuùng 

 Đồ thị y 

2x + 1
luôn cắt y  2 x  m tại hai điểm phân biệt m
x2

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


A  x1 ; 2 x1  m  ; B  x2 ; 2 x2  m 
 AB  x2  x1 ; 2  x2  x1  
 AB 

 x2  x1 

 5  x2  x1 

2

 4  x2  x1 

2

2

m6

 x1  x2  2

 x x  1  2m
 1 2
2
Xét : 5  x2  x1   5  x2 2  x12  2 x1 x2 
2

2
 5  x1  x2   2 x1 x2  2 x2 x1 


2
 5  x2  x1   4 x1 x2 



  m  6 2


 5
 2 1  2m  
4


5
  m 2  12m  36  8  16m 
4
5
  m 2  4m  28 
4
5
2
  m  2   24 


4
 ABmin  m  2  0  m  2

Ví dụ 4: Cho y 

2x + 1
. Tìm m để y  2 x  m cắt đồ thị tại A, B sao cho SAOB  3
x 1

Giải
Phương trình hoành độ giao điểm :

2x  1

 2x  m
x 1
 2x 2   4  m  x  1  m  0
  0

 x  1

5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


 m2  8  0 ( Đúng m )

m4

 x1  x2  2

x x  1 m
 1 2
2
A  x1 ; 2 x1  m  ; B  x2 ; 2 x2  m 
 AB  x2  x1 ; 2  x2  x1  
 AB  5  x2  x1 

2

 AB  5  x2 2  x12  2 x1 x2 
2
 5  x1  x2   4 x1 x2 






 m  4
5
4

2

 2 1  m 

O  0;0  ; AB : 2x  m
 d  O; AB  

m
4 1



m
5

5  m  4
m
SOAB 
 2 1  m  .
2 3
4
5

 m  2
2

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!