02 tuong giao cua ham phan thuc p2

Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn

02. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng

Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm
Ví dụ 1: Cho hàm số
x
y
x
2 4
1
+
=
−
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho
MN
3 10
=
.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đường thẳng
d y k x
( ): ( 1) 1.
= − +

Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình
x

k x
x
y k x
2 4
( 1) 1
1
( 1) 1

+
= − +

− +


= − +

(I)
có hai nghiệm
x y x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
phân biệt sao cho
( ) ( )
x x y y
2 2
2 1 2 1
90
− + − =
(a)
Ta có:

kx k x k
I
y k x
2
(2 3) 3 0
( )
( 1) 1


− − + + =
⇔

= − +



(I) có 2 nghiệm phân biệt
⇔

kx k x k b
2
(2 3) 3 0 ( )
− − + + =
có 2 nghiệm phân biệt
⇔

k k
3
0, .
8

≠ <

Ta biến đổi (a) trở thành:
( ) ( )
k x x k x x x x
2 2
2 2
2 1 2 1 2 1
(1 ) 90 (1 ) 4 90
 
+ − = ⇔ + + − =
 
 
(c)
Theo định lí Viet cho (b) ta có:
k k
x x x x
k k
1 2 1 2
2 3 3
, ,
− +
+ = =
thế vào (c) ta có phương trình:
k k k k k k
3 2 2
8 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0
+ + − = ⇔ + + − =
k k k
3 41 3 41

3; ;
16 16
− + − −
⇔ = − = =
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
x
y
x
2 1
1
+
=
+
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng (d):
y kx k
2 1
= + +
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm:
x
x
kx k
x
kx k x k
2

1
2 1
2 1
1
(3 1) 2 0 (*)

≠ −
+
= + + ⇔

+
+ − + =


d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt
⇔

k
k k
2
0
6 1 0
∆

≠

= − + >


⇔

k
k k
0
3 2 2 3 2 3

≠

< − ∨ > +

(**). Khi đó:
A x kx k B x kx k
1 1 2 2
( ; 2 1), ( ; 2 1)
+ + + +
.
Ta có:
d A Ox d B Ox
( , ) ( , )
=

⇔

kx k kx k
1 2
2 1 2 1
+ + = + +

⇔

k x x k
1 2
( ) 4 2 0
+ + + =
⇔

k
3
= −
(thoả (**).
Ví dụ 3: Cho hàm số
x
y
x
2
1
=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng
d y mx m
: 2
= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất.
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm:
x

mx m
x
2
2
1
= − +
−

⇔

x
g x mx mx m
2
1
( ) 2 2 0 (2)

≠

= − + − =


d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
⇔

m
0
>

Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
Khi đó:
A x mx m B x mx m
1 1 2 2
( ; 2), ( ; 2)
− + − +

⇒

AB m x x
2 2 2
2 1
(1 ) ( )
= + −

Theo định lí Viet, ta có:
m
x x x x
m
1 2 1 2
2
2;
−
+ = =

⇒

AB m
m

2
1
8 16
 
= + ≥
 
 

Dấu "=" xảy ra
⇔

m
1
=
. Vậy
AB
min 4
=
khi
m
1
=
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
x
y
x
2
2 2
+

=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng
d y x m
:
= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
OA OB
2 2
37
2
+ =
.
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x
x m
x
2
2 2
+
= +
−
x
g x x m x m
2
1
( ) 2 (2 3) 2( 1) 0


≠
⇔

= + − − + =

.
Vì
g
m m m
g
2
4 4 25 0,
(1) 3 0
∆


= + + > ∀

= ≠


nên d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.
Gọi
A x x m B x x m
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
+ +
. Theo định lí Viet, ta có:
m

x x
x x m
1 2
1 2
2 3
2
( 1)

−

+ = −


= − +


Ta có:
OA OB
2 2
37
2
+ =

⇔

m m
2
1 37
(4 2 17)
2 2

+ + =

⇔

m m
5
; 2
2
= − =
.
Ví dụ 5: Cho hàm số
x
y
x
1
=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng
d y mx m
: 1
= − −
cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho
AM AN
2 2
+
đạt giá
trị nhỏ nhất, với
A

( 1;1)
−
.
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x
x
mx m
x
mx mx m
2
1
1
1
2 1 0 (2)

≠
= − − ⇔

−
− + + =


d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
⇔

m
0

<
.
Gọi I là trung điểm của MN
⇒

I
(1; 1)
−
cố định.
Ta có:
MN
AM AN AI
2
2 2 2
2
2
+ = +
. Do đó
AM AN
2 2
+
nhỏ nhất
⇔
MN nhỏ nhất
MN x x m m
m
2 2 2
2 1
4
( ) (1 ) 4 8

= − + = − − ≥
. Dấu "=" xảy ra
⇔

m
1
= −
.
Vậy:
AM AN
2 2
min( ) 20
+ =
khi
m
1
= −
.
Ví dụ 6: Cho hàm số
x
y
x
2 1
1
−
=
−
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng d:

y x m
= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ∆OAB vuông tại O.
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x m x m x
2
( 3) 1 0, 1
+ − + − = ≠
(*)
(*) có
m m m R
2
2 5 0,
∆
= − + > ∀ ∈
và (*) không có nghiệm x = 1.
⇒
(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là
A B
x x
,
. Theo định lí Viét:
A B
A B
x x m
x x m
3
. 1


+ = −

= −


Khi
đó:
(
)
(
)
A A B B
A x x m B x x m
; , ;+ +

OAB
∆
vuông tại O thì
(
)
(
)
A B A B
OA OB x x x m x m
. 0 0
= ⇔ + + + =
 

(
)

A B A B
x x m x x m m
2
2 0 2
⇔ + + + = ⇔ = −

Vậy: m = –2 là giá trị cần tìm.