02 tuong giao cua ham phan thuc p1

Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn

02. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng

Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất
( )
( )
:
:
+

=

+


= +

ax b
C y
cx d
d y mx n

Ta có phương trình hoành độ giao điểm
( )
2
0 ( ) 0, 1
+
= + ⇔ + + = ⇔ =

+
ax b
mx n Ax Bx C g x
cx d

Trong
đ
ó g(x) = 0 là m
ộ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai.
S
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là s
ố
nghi
ệ

m
d
x
c
≠ −
c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1).
Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm
Ví dụ 1:
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
2
+
=
+
có
đồ
th
ị
là (C).
1) Kh
ả

o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
2) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng d:
y x m
= − +
luôn c
ắ
t
đồ

th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B. Tìm m
để

đ
o
ạ
n AB có
độ
dài nh
ỏ
nh
ấ
t.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

•
PT hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và d:
x
x m
x
2 1
2
+
= − +
+

⇔

x
f x x m x m
2
2
( ) (4 ) 1 2 0 (1)

≠ −

= + − + − =



Do (1) có
m
2
12 0
∆
= + >
và
f m m m
2
( 2) ( 2) (4 ).( 2) 1 2 3 0,
− = − + − − + − = − ≠ ∀
nên
đườ
ng th
ẳ
ng d luôn luôn
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C ) t
ạ
i hai
đ
i
ể

m phân bi
ệ
t A, B.
Ta có:
A A B B
y m x y m x
;
= − = −
nên
B A B A
AB x x y y m
2 2 2 2
( ) ( ) 2( 12)
= − + − = +

Suy ra AB ng
ắ
n nh
ấ
t
⇔

AB
2
nh
ỏ
nh
ấ
t
⇔

m
0
=
. Khi
đ
ó:
AB
24
=
.
Ví dụ 2:
Cho hàm s
ố

x
y
x
3
1
−
=
+
.
1) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế

n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
2) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d qua
đ
i
ể
m
I
( 1;1)
−
và c
ắ
t

đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m M, N sao cho I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n MN.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ph
ươ
ng trình

đườ
ng th
ẳ
ng
d y k x
: ( 1) 1
= + +

d c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t M, N
x
kx k
x
3
1
1
−
⇔ = + +
+
có 2 nghi
ệ

m phân bi
ệ
t khác
1
−
.
⇔

f x kx kx k
2
( ) 2 4 0
= + + + =
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác
1
−
⇔

k
k k
f
0
4 0 0
( 1) 4 0
∆

≠


= − > ⇔ <


− = ≠


M
ặ
t khác:
M N I
x x x2 2
+ = − = ⇔
I là trung
đ
i
ể
m MN v
ớ
i
k
0
∀ <
.
K
ế
t lu
ậ
n: Ph
ươ

ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm là
y kx k
1
= + +
v
ớ
i
k
0
<
.
Ví dụ 3:
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 2
1
−
=
+
(C).

1) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
2) Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng (d):
y x m
2
= +
c
ắ
t (C) t

ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B sao cho
AB
5
=
.

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
PT hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
x
x m
x

2 2
2
1
−
= +
+

⇔

x mx m x
2
2  2 0 ( 1)
+ + + = ≠ −
(1)
d c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B
⇔
(1) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ

t
x x
1 2
,
khác –1
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
⇔

m m
2
8 16 0
− − >
(2)
Khi đó ta có:
m
x x
m
x x
1 2
1 2
2
2
2

+ = −



+


=


. Gọi
(
)
(
)
A x x m B x x m
1 1 2 2
;2 , ;2+ +
.
AB
2
= 5
⇔

x x x x
2 2
1 2 1 2
( ) 4( ) 5
− + − =

⇔

x x x x
2
1 2 1 2
( ) 4 1

+ − =

⇔

m m
2
8 20 0
− − =

⇔

m
m
10
2

=

= −

(thoả (2))
Vậy:
m m
10; 2
= = −
là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số
x
y
x m

1
−
=
+
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
1
=
.
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d):
y x
2
= +
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B
sao cho
AB
2 2
=
.
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm:
x m
x
x
x m
x m x m
2
1
2

( 1) 2 1 0 (*)

≠ −
−
= + ⇔

+
+ + + + =


d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt khác
m
−

m m
m m
x m
m
m
2
0
3 2 3 3 2 3
6 3 0
1
1
∆
 


>
< − ∨ > +
− − >
⇔ ⇔ ⇔
  
≠ −
≠ −
≠ −



(**)
Khi đó gọi
x x
1 2
,
là các nghiệm của (*), ta có
x x m
x x m
1 2
1 2
( 1)
. 2 1

+ = − +

= +


Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là

A x x B x x
1 1 2 2
( ; 2), ( ; 2)
+ +
.
Suy ra
AB x x x x x x m m
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2( ) 2 ( ) 4 2( 6 3)
 
= − = + − = − −
 

Theo giả thiết ta được
m
m m m m
m
2 2
1
2( 6 3) 8 6 7 0
7

= −
− − = ⇔ − − = ⇔

=


Kết hợp với điều kiện (**) ta được

m
7
=
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số
2 3
1
+
=
−
x
y
x
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2.
= − +
d y mx
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Ví dụ 6: Cho hai đồ thị hàm số
( ) ( )
2
: 2 , : .
2 1
+
= − + =
−

x
d y x m C y
x
Tìm giá trị của tham số m để
a) hai đồ thị không cắt nhau.
b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị.
Ví dụ 7: Cho hai đồ thị hàm số
( ) ( )
3 1
: ; : 2 .
4
+
= = +
−
x
C y d y x m
x
Tìm giá trị của tham số m để
a) hai đồ thị không cắt nhau.
b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1.
Ví dụ 8: Cho hai đồ thị hàm số
( ) ( )
4 1
: ; : .
2
−
= = − +
−
x
C y d y x m

x
Tìm giá trị của tham số m để hai đồ thị
hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn
2 2
1 2
37.
+ =x x