bài thi phương pháp tính truyền nhiệt đề số 4 (1)

Câu 1: Nêu các bước áp dụng phương pháp toán tử phức để giải phương trình đạo
hàm riêng, viết hàm số sóng nhiệt và khảo sát các thông số đặc trưng của dao động và
sóng nhiệt?

Các bước áp dụng phương pháp toán tử phức để giải hệ phương trình vi phân
đạo hàm riêng:
1.Lập bài toán ảo (A) tương ứng bài toán (T) bằng cách thay:
T ↔ A

sin ↔ cos

 Aτ = aA xx (1)

 A(0,τ ) = t1 sin(ωτ ) (2)
lim A(x,τ ) = 0(3)


2.Lập biểu thức (W) theo phép biển đổi: T + A(i) =W
 Wτ = aWxx(1)

iωτ
 W(0,τ ) = t1e (2)
lim W( x,τ ) = 0(3)
 x →∞

3.Tìm nghiệm phức ở dạng tách biến:

W( x,τ ) = X ( x ).eiωτ

Theo (1) ta có:
X ( x ).eiωτ .iω = ae iωτ . X ''( x )

→ X ''( x) −

iω
X ( x) = 0
a

→ X ( x ) = C1 .e

W(x,τ ) = (C1 e

+)Tìm

C2

theo (3)

−x

iω
a

−x

+ C2 e

iω
a

x

iω
a

+ C2 .e

).e− iωτ

x.

iω
a


lim W( x,τ ) = C2 e∞ .eiωτ
x →∞

⇒ C2 = 0

+)Tìm C1 theo (2)
W(0,τ ) = C1 .1.eiωτ = t1.eiωτ
⇒ C1 = t1
W( x,τ ) = t1.e
4.

−x

iω
a

.e −iωτ

Tìm dạng đại số của W (x,)
Tìm nghiệm thực : T(x,) = Re.W(x,)

+

+

e

−x

iω
a

=e

[−x

W(x,τ ) = t1 e

ω
iω
− ix
]
2a
a

[ωτ − x

iω
]
a

= t1.e

−x

ω
2a

.e

i (ωτ − x

ω
2a

= t1.e

(− x

ω
ω
ω
).[cos(ωτ -x
)+ isin(ωτ − x
)]
2a
2a

2a

Xác định:
T (x,τ ) = Re ω (x,τ ) = t1 .e

t (x,τ ) = t 0 + t1.e

−x

ω
2a

−x

ω
2a

.cos(ωτ − x

.cos(ωτ − x

ω
)
2a

ω
)
2a

=

t ( x, τ ) − t 0


Khảo sát sóng nhiệt:
Đồ thị (t-x) của trường nhiệt độ
= t0 + t1exp (-x ) cos (-x) có dạng như hình:

t(x,)


1.

2.

3.

Dao động nhiệt có biên độ tắt dần theo chiều sâu x,
B(x) = t1 . Trị số x0, tại đó có = 1%, gọi là khoảng tác dụng của
sóng => 1% = .
Vậy: Khoảng cách tác dụng x0 = =ln100 hay
x0=2.6 =>Chu kỳ thì x0 .
Bước sóng và tốc độ truyền sóng nhiệt
Bước sóng là khoảng cách giữa 2 đỉnh sóng liên tiếp, xác
định theo phương trình:
Cos (-) = 1 => = = 2 => Do đó khi .
Tốc độ truyền sóng v= = 2 => Do đó v khi
Giá trị gradt: theo phân bố nhiệt độ:
t(x,) = t0 + t1 cos(), ta có:
gradt = = t1 [sin( - x – cos(- x)]

 Gradt có dạng một dao động tắt dần theo độ sâu x. Ví dụ:
* gradt|x=0 = -t1 (cos – sin ) = -t1 sin( )

4. Dòng nhiệt bức xạ x lúc là:
q(x,) = - => q(x,) = λt1 [sin() cos(-x)] cũng là một dao động tắt dần theo x. Ví dụ:
*q(0,) = λ t1 sin(), (W/m2 )
q(0,) max khi sin()= ±1, ứng với =-, , ,…
- Lượng nhiệt tích trong vật sau ½ chu kỳ là:
.t1

Câu 2: Lập chương trình giải phương trình tgk=B/k theo phương pháp lặp để tìm 1
nghiệm k[0, ] với sai số bé tùy ý cho trước. Chạy thử chương trình với B=0,79 và .


-

Bước 1: Nhập các giá trị Kmin=0, KMax=pi/2, B,epsilonc cho trước.
Bước 2: Tính giá trị K = …
Bước 3: So sánh biểu thức nếu:
. <= 0 thì suy ra giá trị K cần tìm, kết thức chương trình .
….. >0 thì đi tới bước 4
Bước 4: So sánh biểu thức nếu:
. … >0 thì Kmax=K rồi quay lại bước 2.
……<0 thì Kmin=K rồi quay lại bước 2.
Bước 5: Kết luận

Bước

Chọn k

tgk

=

Nhận xét

1

=

1

1,006

0,006

Tăng k
[,]

2

==

2,414

0,671

2.5

Giảm k

[,]

3

==

1,497

0,805

0,860

Giảm k
[,]


4

==

1,219

0,894

0,363

Giảm k
[,]

5

==

1,103

0,947

0,164

Giảm k
[,]

6

==

1,050

0,975

0,077

Giảm k
[,]

7

==

1,025

0,990

0,035

Giảm k
[,]

8

==

1,012

0,998

0,014

Giảm k
[,

9

==

1,006

1,002

0,004

Giảm k
[,

10

==

1,003

1,004

0,001

k phù hợp


Câu 3: Một hồ nước rất rộng, sâu h=1,8m, có =4,18 kJ/kgK, nhiệt độ đầu C, tỏa nhiệt
ra gió lạnh nhiệt độ bằng =-160C(đề 4), với =20W/K, để làm lạnh đến =và sau đó
đóng băng. Băng có thông số , r=333kJ/kg và λ=2,2W/mK.
1) Tính thời gian hạ nhiệt độ từ xuống theo =ln.
2) Viết phương trình cân bằng nhiệt cho dV=fdx của lớp băng tạo ra sau d, và tích
phân tìm luật đóng băng , xác định vận tốc v(x) và gia tốc a(x) của mặt băng tại
x=0,25m.
3) Lập công thức tính độ dày lớp băng x() tạo ra sau thời gian , tính giá trị x() với
ngày là thời hạn mùa đông, só sánh với h và nhận xét.
4) Tính nhiệt độ mặt trên hồ lúc cuối mùa đông


Giải:

1) Tính thời gian hạ nhiệt độ từ xuống theo =ln.
thế số vào công thức:

=ln Ta có:


== 50 giờ 44 phút = 2 ngày 2 giờ 44 phút.
Vậy cần 50 giờ 44 phút giờ để hồ hạ nhiệt độ từ xuống .
2) Viết phương trình cân bằng nhiệt cho dV=fdx của lớp băng tạo ra sau d:
- Tìm vận tốc v :
Gọi :
x là độ dày lớp băng lúc
dx là độ dàu lớp băng lúc d
Phương trình cân bằng nhiệt :


Tìm luật đóng băng :

-

=
Suy ra:

-

Xác định vận tốc v(x) và gia tốc a(x) của mặt băng tại x=0,25m:

Vận tốc đóng băng = tốc độ mặt băng:

,[m/s]

=
Gia tốc băng:
=
3) Tính giá trị x() với ngày là thời hạn mùa đông, só sánh với h và nhận xét:
- Lập công thức tính độ dày lớp băng x( tạo ra sau thời gian
x(=
x(.

Thay số ta được:

Nhận xét: x(4) Tính nhiệt độ mặt trên hồ lúc cuối mùa đông :
Theo phương trình cân bằng nhiệt :
=


=


Thê sô khi x=0:


Bài 4: Một hộp thực phẩm có V=2RD=2có thông số , , nhiệt độ đầu , cần được làm
lạnh đến , hóa rắn với r=334kJ/kg để tạo ra băng có, sau đó được quá lạnh để nhiệt độ
tâm hộp đạt tới , bằng cách cho mặt hộp tiếp xúc với gió lạnh có và hệ số tỏa nhiệt
=37,5( đề 4), hoặc tiếp xúc với chất lỏng lạnh hay mặt lạnh có nhiệt độ với .

Tham số
D

R
δ

r
λ

Giá trị và đơn vị
0,3 m
0,2 m
0,05 m
1100kg/
85%
4,18kJ/kgK
334J/kg
2,21W/mK

1) Mô tả quá trình đông lạnh trên đồ thị
t( ,tính các khoảng thời gian đặc trưng khi
cấp đông kiểu đối lưu gió hoặc kiểu tiếp xúc,
nêu các nhận xét.
2) Nếu hộp trên chỉ chứa nguyên chất,
với và thì các khoảng thời gian khi đối lưu
và khi tiếp xúc bằng bao nhiêu?

27
0
-20
-35
-35
30W/

?
?
100%
?
?
?

Giải:
1). Mô tả quá trình đông lạnh trên đồ thị t( ,tính các khoảng thời gian đặc
trưng khi cấp đông kiểu đối lưu gió hoặc kiểu tiếp xúc, nêu các nhận xét.


 Đồ thị mô tả quá trình đông lạnh thực phẩm t(

Thời gian hạ nhiệt độ thực phẩm từ :
giả thiết tại mỗi thời điểm thể tích V có nhiệt độ bằng t(và các thông số khác
đã cho không đổi
Phương trình cân bằng nhiệt V lúc sau thời gian d

d
với k=
k=khi đối lưu gió, Hoặc k= khi tiếp xúc

t(

Khi đối lưu gió
Khi đối lưu tiếp xúc
2). Tính để hóa băng thực phẩm:
Gọi:
x là độ dày lớp băng tạo ra lúc

dx là độ dày lớp băng lớp băng tạo ra lúc d
Phương trình cân bằng nhiệt của thể tích vật dV=fdx:


khi đối lưu gió
Khi tiếp xúc

với

3). Tính thời gian để quá lạnh thực phẩm dạng băng )
Nhiệt độ tâm V lúc là
Phương trình cân bằng nhiệt V sau thời gian khi t giảm
Lượng :
dU=

Khi đối lưu gió:
Thời
Gian

Cấp đông đối lưu(
Công thức và thay giá trị

Cấp đông tiếp xúc(
Kết
quả,
Đơn
vị

ĐS
Công thức và thay

giá trị

Đơn
vị

12959
s

5948
s

=3,6h

1,65h

16943
s

5046
s

=4,7h

=1,4
h

Giả
thíc

Nhậ

xét

>

Càng g
nhiệt
công s
tỏa n
thực ph
càng gi
thời g
làm l
càng t
lên


19203
s

8814
s =

=5,3h

2,45h

13,6h

5,5h

=3,6+4,7+5,3

=1,65+1,4+2,45

Khi tiếp xúc:

Hộp chỉ chữa H2O nguyên chất và với và
Thời

Cấp đông đối lưu(

Cấp đông tiếp xúc(

Giải
thích

Gian

Nhận
xét
ĐS
Công thức và thay giá trị

Đơn
vị

ĐS
Công thức và thay giá trị

Đơn

vị

11780
s

5407
s

=3,27
h

=1,5
h

18121
s

5398
s

=

=

5.03h

1,5h


=3,27+5,03+4,85

17457
s

8013
s

=

=

4,85h

2,23h

13,15
h

5,23h
=1,5+1,5+2,23