de dap an hsg toan 9 nam 2015

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM THƯ
( Đề gồm 01trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
Môn : Toán
Năm học : 2015-2016
Thời gian 150 phút
( không kể thời gian giao đề)

Bài 1(6đ): 1, Cho biểu thức:
A = 1− (

2
5 x
1
x −1
−
−
):
1 + 2 x 4x −1 1 − 2 x 4x + 4 x +1

a/ Rút gọn A
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên
2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 với x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 .
Bài 2: (4đ)
1 1 1
a) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn + + = 1. Chứng minh rằng:
x y z

x + yz + y + zx + z + xy ≥ xyz + x + y + z .

b)Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
Bài 3 : (4đ)
a , Giải phương trình :
3x 2 + 4 x + 10 = 2 14 x 2 − 7 .
b, Tìm nghiệm của phương trình:
x2+ 2y2 + 2xy + 3y - 4 =0
. Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một điểm
M di động trên đường thẳng d ⊥ OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường
tròn (B,C là tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố
định.
b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định.
c) Cho biết OA= 2R. Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC
nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5 ( 1.0 đ):Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho: a + b2 chia hết cho a2b - 1
----------------Hết---------------( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)


PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM THƯ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP9
Năm học: 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

CÂU

Ý

1a)
(2đ).

a/(2đ)Cho biểu thức


2
5 x
1 
x −1
−
−
:
÷
ĐK: x
÷
 1+ 2 x 4x −1 1 − 2 x  4x + 4 x +1
1
≥ 0; x ≠ ; x ≠ 1
4


2
5 x
1 ÷
x −1

−
+

:
A= 1- 
2
2 x + 1 2 x + 1 (2 x − 1) 2 x − 1 ÷ 2 x + 1



A= 1- 

(

Bài 1
(5đ)

ĐIỂM

NỘI DUNG CẦN ĐẠT

)

(

4 x − 2 − 5 x + 2 x + 1 (2 x + 1) 2
.
A=1(2 x + 1)(2 x − 1)
x −1

A=11b)
(1đ)

x −1 2 x +1
2 x +1
2
.
= 1−
=
2 x −1 x −1
2 x −1 1 − 2 x

)

0,25
0,5
0,5
0,75

Ta có :
b/(2đ) Tìm x ∈ Z để A nguyên.
2
∈ Z ⇒ 1 − 2 x ∈ Ư(2)
1− 2 x
Do x ≥ 0; x ≠ 1; x ∈ Z ⇒ x = 0
A∈ Z ⇒

Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên.
Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),
2.(2đ) Đặt a= 3 3 + 2 2 , b= 3 3 − 2 2
Ta có
⇒ x= a+b ⇒ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x ⇒ x3- 3x = 6

Suy ra B = 2006

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5


a)(2đ)

Bài 2
(4đ)

Bất đẳng thức đã cho tương đương với
a + bc + b + ca + c + ab ≥ 1 + ab + bc + ca ,
1
1
1
với a = , b = , c = , a + b + c = 1.
x
y
z
Tacó : a + bc = a (a + b + c) + bc

0,75

0,75

= a 2 + a (b + c) + bc ≥ a 2 + 2a bc + bc = a + bc .
Tương tự: b + ca ≥ b + ca ; c + ab ≥ c + ab .
Từ đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 3.
b)2đ

A = n 2 + n + 6 là số chính phương nên A có dạng
A = n 2 + n + 6 = k 2 (k ∈ N * )

0,5

0,5

⇔ 4n 2 + 4n + 24 = 4k 2 ⇔ (2k ) 2 − (2n + 1) 2 = 23
2k + 2n + 1 = 23
⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔ 
 2k − 2 n − 1 = 1

0,5

(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)

Bài 3
(4đ)

a)(2đ)

2k + 2n + 1 = 23
k = 6
⇔

⇔
 2k − 2 n − 1 = 1
n = 5

0,5

Vậy với n = 5 thì A là số chính phương

0,5

a) Giải pt sau: 3 x 2 + 4 x + 10 = 2 14 x 2 − 7 ĐKXĐ:

2
x≥

1
2
14 x 2 − 7 ≥ 0 ⇔ 2 x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ ⇔ 
2

2
x ≤ −

2
2
26
Vì 3x 2 + 4 x + 10 = 3( x + ) 2 +
>0
3
3

0,25

(

0,25

0,75

)

Ta có: (1) ⇔ 3 x 2 + 4 x + 10 − 2 7 2 x 2 − 1 = 0

⇔ ( x 2 + 4 x + 4 ) + 2 x 2 − 1 − 2 2 x 2 − 1. 7 + 7 = 0

⇔ ( x + 2) +
2

(

2 x2 − 1 − 7

)

2

=0

 x = −2
x+2=0



⇔
⇔
  x = 2 ⇔ x = −2
2
2
x
−
1
−
7
=
0
  x = −2



(TMĐK)
Vậy PT có nghiệm là: x = -2

0,75
0,5
0,25


Bài 4
(5đ)

Vẽ

hình
(0,25)

d
M

B

H
O

K

A

0,25

C

a)(2đ)

b)(1đ)

a.

∆ HOK ∞ ∆AOM
→ OA.OK = OH.OM
∆ vBOM có OB2 = OH. OM
R2
→ ... → OK =

(Không đổi)
OA
→ K là điểm cố định.

0,5
0,5
0,5

H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định.

1đ

b.

c.
c)
1
S OBMC = 2S OBM = OM . BH = OM . BC
(1,75)
2
Smin ↔ OM nhỏ nhất, BC nhỏ nhất
↔ M ≡ A, BC ⊥ OK ↔ H ≡ K ↔ M ≡ A

S min = ...R 2 3

0,5

0,5
0,5
0,5

0,25


Bài 5
(1đ)

Bài 5: (1đ)
x 2 − 2Mxy + 2 ⇒ y ( x 2 − 2)Mxy + 2 ⇒ x( xy + 2) − 2( x + y ) Mxy + 2

⇒ 2( x + y )Mxy + 2

Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k ∈ Z + k=1

0,25

⇒ 2 x + 2 y = xy + 2 ⇔ ( x − 2)( y − 2) = 2

NêuTìm được x=4 ; y=3
Nếu k ≥ 2 ⇒ 2( x + y) ≥ 2( xy + 2) ⇒ x + y ≥ xy + 2 ⇒ ( x − 1)( y − 1) + 1 ≤ 0
v« lÝ (lo¹i)
VËy x=4. y=3
( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )

0,5
0,25