De thi HSG toan 8 co dap an 1542016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2015 - 2016

MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3 − 8 x 2 + 7 x
b) x3 + 2016 x 2 + 2016 x + 2015
c) ( x + 3)( x + 7)( x + 11)( x + 15) − 144
d) 4 x 4 + 1
Bài 2:: (1.5điểm)
2016
2015
a) Giải phương trình : x − 2 + x − 3 = 1 .
b) Tính B = 12 + 22 + 32 + ×××+ 2015 2 +20162
Bài 3:( 1.5 điểm).
a) Cho a > 0; b > 0 và a + b ≤ 4 . Tìm GTNN của biểu thức: P =
11

x

23

1
1
+
.
2

a + b 2ab
2

b) Tìm các số tự nhiên x,y biết: 17 < y < 29 và 9 x = 8 y − 31 .
Bài 4: (2,0 điểm)
a
b
c
+
+
ab+a+1 bc + b + 1 ac + c + 1
2016
2016
2016
và a + b + c = 3 Tính GT của BT: K = 675 ( a + b + c ) + 1

a) Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức: M =
b) Cho a + b = c ( 3ab − c
Bài 5: (3,0 điểm)
3

3

2

)

Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng
vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại
D.

a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD
b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM
c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH
d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Bài

Đáp án

a) x3 − 8 x 2 + 7 x = x( x 2 − 8 x + 7) = x ( x − x − 7 x + 7 ) = x[x( x − 1) − 7( x − 1)] = x( x − 7)( x − 1)
b) x3 + 2016 x 2 + 2016 x + 2015 = x3 − 1 + 2016( x 2 + x + 1)
= ( x − 1)( x 2 + x + 1) + 2016( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x + 1)[( x − 1) + 2016]
Bài 1 = ( x 2 + x + 1)( x + 2015)
(1,5 c) ( x + 3)( x + 7)( x + 11)( x + 15) − 144 = ( x + 3)( x + 15)( x + 7)( x + 11) − 144
đ)
= ( x 2 + 18 x + 45)( x + 18 x + 77) − 144 = ( x 2 + 18 x + 45)2 + 2( x 2 + 18 x + 45)16 + 256 − 400
= ( x 2 + 18 x + 45) 2 − 202 = ( x 2 + 18 x + 65)( x 2 + 18 x + 25) = ( x + 5)( x + 13)( x + 9 + 56)( x + 9 − 56)
d) 4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 − 4 x 2 = (2 x 2 +1) 2 − (2 x) 2
= (2 x 2 − 2 x + 1)(2 x 2 + 2 x + 1)
2016
2015
a) Giải phương trình : x − 2 + x − 3 = 1 . Dễ thấy x = 2 hoặc x = 3 là nghiệm
của phương trình.
2016
2015

- Với x> 3 ta có: x − 2 > 1 ⇒ x − 2 + x − 3 > 1 ⇒ PT vô nghiệm.
2

2016

Điể
m
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

2015

- Với x< 2 ta có: x − 3 > 1 ⇒ x − 2 + x − 3 > 1 ⇒ PT vô nghiệm.
- Với 2 < x < 3. Ta có: 1 > x − 2 > 0 ; 1 > 3 − x > 0 ⇒ ( x − 2)2015 < 1 ⇒ ( x − 2)2016 < x − 2;
2016
2015
(3 − x ) 2014 < 1 ⇒ (3 − x) 2015 < 3 − x; ⇒ x − 2
+ x−3
< x − 2 + 3 − x = 1 ⇒ PTVN.

Bài 2 - Vậy nghiệm của PT là x = 2; x = 3.
(1,5
2

2
2
2
2
c) Tính B = 12 + 22 + 32 + ×××+ 2015 2 +20162 ⇒ 2 B = 2 ( 1 + 2 + 3 + ×××+ 2015 + 2016 )
đ)
⇒ 2 B = ( 2 − 1) + ( 3 − 2 ) + ( 4 − 3) + ×××+ ( 2016 − 2015 ) + 12 + 2016 2 +
2

2

2

2

+2(1.2 + 2.3 + 3.4 + ×××+ 2015.2016) . Đặt: K= (1.2 + 2.3 + 3.4 + ×××+ 2015.2016)
⇒ 3K = (1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ×××+ 2015.2016.3)
3K = [1.2.(3 − 0) + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + ×××+ 2015.2016.3(2017 − 2014)]
3K = 1.2.3 − 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.4 + ×××− 2014.2015.2016 + 2015.2016.2017
3K = 2015.2016.2017 ⇒ K = 675.2016.2017 ⇒ 2 B = 2016 + 20162 + 1350.2016.2017
⇒ 2 B = 2016(1 + 2016 + 1350.2017) = 2016.2017.1351 ⇒ B = 1008.1351.2017

0,25
0,25
0,5


a) a > 0; b > 0 ⇒
.
⇒

1
a +b
2

2

+

1
1
1
> 0; (Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương: 2
)
2 và
2ab
a +b
2ab

1
1
≥2
(1) (Dấu bằng xãy ra ⇔ a = b)
2
2ab
( a + b 2 )2ab

(Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương: ( a + b
2

2

)

0,25

và 2ab )

(a 2 + b 2 ) + 2ab ≥ 2 (a 2 + b 2 )2ab (2) (Dấu bằng xãy ra ⇔ a = b)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được:
1
1
1
+
] ≥ 4 ( a 2 + b 2 )2ab 2
=4
2
a + b 2ab
(a + b 2 )2ab
1
1
4
4
4 1
⇒P= 2
+
≥ 2
=
≥ 2 = . (Vì a + b ≤ 4 )

2
2
2
a + b 2ab a + b + 2ab ( a + b )
4
4

[ [(a 2 + b2 ) + 2ab].[
Bài 3
(2,0
đ)

0,25
0,25

2

1
- Vậy Pmin= ; Dấu = xãy ra ⇔ a + b = 4 . Kết hợp với ở trên ta có dấu = xãy ra ⇔
4

0,25

a=b=2
11

x

23

Tìm các số tự nhiên x,y biết: 17 < y < 29 và 9 x = 8 y − 31 .
Ta có: x ∈ N ; y ∈ N và 9 x = 8 y − 31 ⇒ 8 y − 31M9 ⇒ 9 y − 27 − ( y + 4)M9 ⇒ y + 4M9
x

8

31

8 y − 31

11

x

23

11

8 y − 31

0,25
23

Từ: 9 x = 8 y − 31 ⇒ y = 9 − 9 y = 9 y . Lại có: 17 < y < 29 ⇒ 17 < 9 y < 29
⇔ 25 ≤ y ≤ 35 ⇔ 29 ≤ y + 4 ≤ 39 ⇔ 3.9 < y + 4 < 5.9 ⇒ y + 4 = 36 ⇒ y = 32 ( Vì y + 4M9 )
⇒ x = 25 vậy các số tự nhiên (x; y) cần tìm là ( 25; 32) và phân số đó là:
c
b
Bài 4
a) Thay abc = 1 vào

, nhân cả tử và mẫu của
với a ta có:
ac + c + 1
bc + b + 1
(2,0
a
ab
c
đ)
M=
+
+
ab+a+1 a ( bc + b + 1)

=

ac + c + abc

a
ab
1
ab+a+1
+
+
=
=1
ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1

3
3

2
B) Từ a + b = c ( 3ab − c ) ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

25
32

0,25
0,25
0,25

0,5
0,5

⇒ a 3 + b3 + c3 − 3abc = 0
⇒ a 3 + b3 + 3ab(a + b) + c 3 − 3ab(a + b) − 3abc = 0
⇒ ( a + b ) + c 3 − 3ab(a + b + c) = 0
3

⇒ (a + b + c)(a 2 + 2ab + b 2 − ac − bc + c 2 ) − 3ab(a + b + c) = 0
⇒ (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc) = 0
⇒ a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c ≠ 0)
⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0

0,25


⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Vì (a – b)2 ≥ 0 ∀ a, b; (b – c)2 ≥ 0 ∀ b,c; (c – a)2 ≥ 0 ∀ a, c.
Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 ∀ a, b,c ;
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 ∀ a, b,c

Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
⇒ a = b = c. Lại có: a + b + c = 3 ⇒ a = b = c = 1
2016
2016
2016
Vậy: K = 675 ( 1 + 1 + 1 ) + 1 = 675.3 + 1 = 2016

0,25

0,25
0,25

Bài 5 Hình vẽ:
(3,0đ)

a) Chứng minh: ΔOAC ∽ΔDBO (g - g)

0,25

OA AC
=
⇒ OA.OB = AC.BD
DB OB
AB AB
⇒
. = AC.BD ⇒ AB2 = 4AC.BD (đpcm
2 2

0,25

⇒

b) Theo câu a ta có: ΔOAC ∽ΔDBO (g - g) ⇒
Mà OA = OB ⇒

OC AC
=
OD OB

OC AC OC OD
=
⇒
=
OD OA AC OA

·
·
+) Chứng minh: ΔOAC ∽ΔDOC (c - g - c) ⇒ ACO
= OCM

+) Chứng minh: ΔOAC = ΔOMC (ch - gn) ⇒ AC = MC (đpcm)

0,25
0,25


c)Ta có ΔOAC = ΔOMC ⇒ OA = OM; CA = CM ⇒ OC là trung trực của AM
⇒OC ⊥ AM,
Mặc khác OA = OM = OB ⇒∆AMB vuông tại M

0,25

⇒OC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI
+) Xét ∆ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi qua trung điểm
AI ⇒ IC = AC
+) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: ⇒

MK BK KH
=
=
IC BC AC

0,25
0,25

Mà IC = AC ⇒ MK = HK ⇒BC đi qua trung điểm MH (đpcm)

0,25
d) Tứ giác ABDC là hình thang vuông

0,25

1
⇒ SABDC = (AC + BD).AB
2

Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có
AB2
1

AC + BD ≥ 2 AC.BD = 2.
= AB ⇒ SABDC ≥ AB2
4
2
AB
= OA
Dấu “=” xảy ra ⇔ AC = BD =
2

Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA

0,25
0,25
0,25