Hệ thống kiến thức Toán THPT dùng cho thi Tốt nghiệp Đại học Cao đẳng

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN THPT
DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Chú ý:

1.Nội dung có chút nâng cao và mở rộng với mục đích dùng cho ôn luyện thi ĐH-CĐ
2.Các nội dung “chữ đậm và in nghiêng”ở phần hệ thống là những nội dung trọng tâm
của thi TNTHPT

VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Các vấn đề liên quan đến hàm số
Phương trình tiếp tuyến: tại M0; đi qua một điểm M1 hoặc biết hệ số góc k
Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
Cực trị hàm số
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Sự tương giao của hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
Cách xác định tiệm cận :
Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh bởi
1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
o Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
o Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp:
o
o
o
o
o
o
o

……..

VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT
•
•
•
•
•
•

Tính toán,chứng minh,rút gọn,….các biểu thức có chứa mũ,logarit,luỹ thừa,…
Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logarit
Vẽ được đồ thị của các hàm số mũ,logarit và luỹ thừa
Giải phương trình mũ và logarit :
Giải bất phương trình mũ và logarit
Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cơ bản)

VấN Đề 3:NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN
• Tính nguyên hàm
o Áp dụng bảng nguyên hàm
o Dùng PP đổi biến(dạng 1 và dạng 2)
o PP nguyên hàm từng phần
b
= F (b) − F (a )
a
o Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.
o Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

• Tính tích phân

∫

b

a

f ( x).dx = F ( x)

Dạng 1: Tính I =
Dạng 2: Tính I =

b
/
∫ f [u(x)]u dx
a
β
∫ f (x)dx đặt
α

bằng cách đặt t = u(x)
x = asint ;x = atant ;………

o Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần:

∫

b

a

b

u.dv = u.v a −

∫

b

a

v.du

o Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
o Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
GV : Phạm Đỗ Hải


o Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ:
o Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính

• Ứng dụng của tích phân
o Tính diện tích hình phẳng
o Tính thể tích vật thể tròn xoay :
VấN Đề 4:Số PHứC
•
•
•
•
•

b
∫ f (x) dx

a

Tìm số phức z; z; biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…
Thực hiện được các phép toán về cộng trừ,nhân,chia các số phức.
Tìm được căn bậc 2 của 1 số (thực dương;0;thực âm và số phức)
Giải phương trình trong tập phức (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et)
Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. (Không có ở ban cơ bản)

VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI.
•
•
•
•
•

Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...)
Tính thể tích các khối chóp,khối hộp,lăng trụ,…
Mặt cầu:
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,…
o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ
Mặt nón:
o Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối khối nón

VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHÔNG GIAN
• Hệ toạ độ trong không gian
o Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học ...
o Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
o Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chóp,hộp:

• Mặt cầu (S)

o Xác định tâm và bán kính mặt cầu
o Viết phương trình mặt cầu
o Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn trong không gian

• Mặt phẳng:

o Viết pt mặt phẳng dưới 3 dạng (cơ bản,chùm mp và tổng quát)

• Đường thẳng:

o Viết pt đường thẳng dưới 2 dạng (PTTS và PTCT)
• Vị trí tương đối giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• Tính khoảng cách giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• Tính góc giữa các đối tượng:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng và mặt
phẳng-mặt phẳng )

• Xác định phương trình;tâm và bán kính của đường tròn trong không gian
• Tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng.
o Tìm hình chiếu H của M lên (α)
o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d).

• Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
o Đối xứng qua mp(α)
o Đối xứng quađường thẳng (d).
GV : Phạm Đỗ Hải


• Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (β)

PHẦN A.GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản:
Bài
1:

( u ± v) / = u / ± v /
( u.v ) / = u / .v + u.v /
( C.v ) / = C.v /

1.
2.
3.

/

4.

u .v − v .u
u
  =
v2
v

5.

− C.v /
C
=

 
v2
v

/

/

7.( x ) = 1
/

( )

8. x

/

( )

10. x

/

1

=

2. x

x /

= a . ln a

x /

=e

x

x

1
13.( log a x ) =
x. ln a
1
/
14.( ln x ) =
x
/
15.( sin x ) = cos x
/

a1 x 2 + b1 x + c1
a 2 x 2 + b2 x + c 2

a1
a2

b1 2
a

x +2 1
b2
a2
2

( )
12.( e )

ta coù

y=

(a x

= α ..x

α −1

−1
1
9.  = 2
x
x

(v ≠ 0)

11 . a

ax + b
19.

y=
cx + d
ad − bc
y/ =
(cx + d ) 2

y/ =

α /
/

/

20.

6.( C ) = 0

2

ta coù
c1
b
x+ 1
c2
b2

+ b2 x + c 2

)

c1
c2

2

16.( cos x ) = − sin x
1
/
17.( tan x ) =
cos 2 x
−1
/
18.( cot x ) =
sin 2 x
/

toán

(u )

α /

= α ..x α −1 .u /

/

− v/
1
  = 2
v

v
/
u/
u =
2. u

( )
(a )
(e )

u /

= a u . ln a.u /

u /

= e u .u /

( log a u ) /
( ln u ) /

=

u/
u. ln a

u/
u
= u / . cos u

=

( sin u ) /
( cos u ) /
( tan u ) /
( cot u ) /

= −u / . sin u
u/
cos 2 u
− u/
=
sin 2 u
=

Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1.Tìm tập xác định: D=…
2. Tính đạo hàm: y’=
3.Tính giới hạn:
lim y = ...

lim y = ...

cho y’=0 và tìm nghiệm

với xo là nghiệm mẫu
4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)
5.Lập bảng biến thiên

6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến
7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)
Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’
9.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
x →±∞

GV : Phạm Đỗ Hải

x → xo ±


10. Vẽ đồ thị.

1.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d
(a≠ 0)
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2 − 3ac
∆/ ≤ 0
∆/ > 0
y/ cùng dấu với hệ số a
y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
•KL: hàm số tăng trên?
•KL: hàm số tăng? Giảm?
(giảm trên?)
•Hàm số không có cực trị
• Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?

+∞ ( a > 0)
lim (ax3 + bx 2 + cx + d ) = 
− ∞ ( a < 0)
−∞ (a > 0)
lim ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) = 
x → −∞
 + ∞ ( a < 0)

+ Giới hạn: •
•

x → +∞

+ Bảng biến thiên:
x −∞
+∞
/
y
+
y
+∞
∞
x −∞
y/
y +∞

+∞
−
−∞

x −∞
y/
y
-∞

x1
+
0
CĐ

x −∞
y/
y +∞

x1
0

x2
0

−

a>0

+∞
+
+∞

CT
−

x2
0
CĐ

+

+∞

a<0

−
−∞

CT

Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thị : • xác đinh Cực trị ?
• Điểm uốn I(− b ;f(− b ))
; điểm đặc biệt
3a
3a

a>0 ; có 2 CT

2 Hàm trùng phương

a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT

(a≠ 0)

y = ax4 + bx2 + c

+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
/
2
y/ = 0 ⇔ x = 0
y = 0 ⇔ 2x (2ax + b) = 0 ⇔ x= 0; x1,2=±
•KL: tăng? Giảm
•KL: tăng? Giảm?
∆
•Giá trị cực trị : y(0) = c
• Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(± − 2ba ) =−4a
có một cực trị
Có 3 cực trị
+ Giới hạn :

+∞ (a > 0)
lim (ax 4 + bx 2 + c) = 
 − ∞ ( a < 0)

x →± ∞

+ Bảng biến thiên :
x −∞
0
y/

−
0 +
GV : Phạm Đỗ Hải

a>0

+∞

x −∞
y/
−

x1
0

+

0
0

−

x2
0

+∞
+

−

b
2a


y +∞

y
+∞

+∞

CĐ
CT

+∞

CT

a<0

CT
x −∞
y/
+

0
0

y

CĐ

x −∞
y/
+

+∞
−

x1
0

−

0
0

x2
0

+

+∞
−

y

−∞

CĐ

−∞

CĐ

-∞

-∞

CT

+ Vẽ đồ thị : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương
a> 0
b <0

a> 0
b>0

a< 0
b>0

a< 0
b <0

3.Hàm phân thức : y =

ax + b
cx + d

( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )

 d

+ TXĐ : D = R\ − c 


+ Đạo hàm : y/ =


ad − bc

(cx + d ) 2

ad−bc < 0
ad−bc > 0
/
y < 0 ∀ x ∈D
y > 0 ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trị
Hàm số nghịch biến trên D
Hàm số đồng biến trên D
ax + b
d
±
+ Tiệm cận: • x = − c là tiệm cận đứng vì lim
=∞
 d
x → − ÷ cx + d
/

 c

•y=

a
c

ax + b
=
x →±∞ cx + d

là tiệm cận ngang vì lim

+Bảng biến thiên :
x −∞
−d/c
+∞
/
−
||
−
y
y a/c
|| + ∞
∞
−
a/c

x −∞
y/

+
y
a/c

a
c

−d/c
||
+ ∞ ||

+∞
+
a/c
−∞

+ Vẽ đồ thị : −Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm
hai tiệm cận .

GV : Phạm Đỗ Hải


x= −d/ c
x= −d/ c

ax2 + bx+ c
ex+ f
y= a/c

4. Hàm hữu tỉ : 2/1

(đk : e ≠ 0y=; a/c
tử không chia hết cho mẫu )

y=

 f

+ TXĐ: D = R\ − e


+ Đạo hàm : y/ =



2

ae.x + 2af .x + (bf − ce)

có ∆/ =(af)2 −(bf−c e).ae

(e.x + f ) 2

∆/ < 0
y/ cùng dấu với ae
Hàm số không có cực trị

∆/ > 0
y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

• Giá trị cực trị tính theo CT : y =

f

+ Tiệm cận : • x = −e là tiệm cận đứng

vì

lim f ( x)
x →−

• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);
lim [ f ( x) − ( Ax + B)] = lim ε(x) =0

x →∞

=> y =
a.e > 0

x →∞

+ Bảng biến thiên :
x −∞
−f/e
+∞
/
y
+
||
+

y
+ ∞ ||
+

b

x+(e−

x −∞
y/
+
y
−∞

∞

−∞

a
e

af
e2

x1
0 −
CĐ

f
e

2ax + b
e

=∞

) là t/c xiên
−f/e
||
−
|| + ∞

−∞

x2
0

+∞
+
+∞

CT

−∞
a.e < 0

x −∞
−f/e
+∞
/

− ||
−
y
y +∞
|| + ∞
−∞
−∞

x −∞
y/
−
y +∞

x1
0
CT

−f/e
+
||
+
+ ∞ ||
−∞

x2
0
−
CĐ

+ Vẽ đồ thị : ( như hàm phân thức )

Xiên

Xiên

(ban cơ bản không khảo sát hàm số này)

Xiên

đứng

đứng

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :

đứng

Xiên

Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết
1. Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0))
• TT có phương trình là :
y - f(x0)= f/(x0)(x− x0)
• Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
• P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s y =f(x)
• Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x1) + y1
• Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là
f(x)

hệ phương trình : 

f

GV : Phạm Đỗ Hải

/

= k(x − x1) + y1

(x) = k

(1)
(2)

có nghiệm

+∞

−∞


• Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −

1
a

• Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
• Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ?
• Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 .
• Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ và
y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox
Chú ý:Ở mức độ khó hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)
• Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x)
• Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = g(x)

Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ: D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
/
* y > 0 thì hàm số tăng
; y/ < 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).

Bài toán 5: Cực trị hàm số

• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.



/

3) x0 là cực trị của hàm số  y / ( x 0 ) = 0
y ( x ) đổi dấu qua x0
• Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 ….. .
+ Tính y//(x1); y//(x2)…….
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại xo:
GV : Phạm Đỗ Hải


 f / ( x0 ) = 0
<=>

+ xo là điểm cực trị
 //
 f ( x0 ) ≠ 0
 f / ( x0 ) = 0
+ xo là điểm cực đại <=>  / /
 f ( x0 ) > 0
 f / ( x0 ) = 0
+ xo là điểm cực tiểu <=>  / /
 f ( x0 ) < 0
• Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0
 f / ( x0 ) = 0

Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi  f ( x 0 ) = y 0
 f // ( x ) ≠ 0
0


Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
Và y/ =

u

u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

v

u′v − v′u
2
v

=

g(x)
2
v

dấu của y/ là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v−v/u = 0
=>

u′
v′

=

u
v

. Do đó giá trị cực trị y(x0) =

u′(x 0 )
v′(x 0 )

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
-

a ≠ 0
Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị ⇔ f ' ( x ) = 0 có nghiêm ⇔ 
∆ > 0

-

Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung ⇔ yCD . yCT < 0

-

Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCD .xCT < 0

-

 yCD + yCT > 0
Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm trên trục hoành ⇔ 
 yCD . yCT > 0

-

 yCD + yCT < 0
Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm dưới trục hoành ⇔ 
 yCD . yCT < 0

-

Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔ yCD . yCT = 0

Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:
• xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]
• Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 ….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
GV : Phạm Đỗ Hải


•

Tính f(x1) ; f(x2) ……….
f(a) ; f(b)

•

Kết luận:

max y =
[a;b]

So sánh → KL
min y = ?
[a;b]

?

2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
• Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
• Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
• Lập BBT:

• Từ BBT kết luận
min y = y
ct
[a;b]
max y =
yCĐ
[a;b]

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ
* Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
• nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
• nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
• Đôi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x)
Biến bài toán tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
nào đó thành bài toán tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác

Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ;
(C2) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
f (x) = g(x)
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt 
có nghiệm

f ′(x) = g′(x)

Bài toán 8: Cách xác định tiệm cận :
•

Tiệm cận đứng :

lim f (x) = ±∞
x →x 0±

=> x = x0 là tiệm cận đứng

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định
•

Tiệm cận ngang :

lim f (x) = y 0
x →±∞

=> y = y0 là tiệm cận ngang

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm
cận ngang
• Tiệm cận xiên (ban cơ bản không có phần này):
Cách 1: + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)
lim ε (x) = 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận
lim [f(x) –(ax + b)] = x→±∞
x→±∞

Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên

a=

f (x)
lim
x →±∞ x

;

b=

xiên

[

lim f (x) − ax
x →±∞

]

Bài toán 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh
bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
GV : Phạm Đỗ Hải


 (C1 ) và (C2 )
(H ) 
x = a, x = b (a < b)

 (C1 ) và (C2 )
(H ) 
y = c, y = d (c < d )

b

d

S = ∫ y C1 − yC2 dx

S = ∫ x C 1 − xC2 dy

a

c

b

d

VOx =π∫ yC21 − yC2 2 dx

VOy =π∫ xC21 − xC22 dy

a

c

Bài toán 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

• Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m
• Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0
• Giải hệ và kết luận
……………………

Bài toán 11:Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
•
•
•
•
•

Tìm đk của tham số m để quỷ tích tồn tại
Tìm toạ độ của điểm cần tìm quỷ tích
Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trên
Tìm giới hạn quỷ tích
Kết luận

Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp:
a) Dạng đồ thị (C1) của hàm số: y = f ( x )
nÕu
f ( x) ≥ 0
 f ( x)
Ta có: y = f ( x ) = 
nÕu
f ( x) < 0
- f ( x)
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Đồ thị (C1) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) ≥ 0)

° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua Ox.
b) Dạng đồ thị (C2) của hàm số: y = f ( x )

 f ( x)
f ( - x)

Ta có y = f ( x ) = 

nÕu
x≥ 0
nÕu
x< 0

• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Đồ thị (C2) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0)
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy.
c) Dạng đồ thị (C3) của hàm số: y = f ( x )

 f ( x) ≥ 0
 y = ± f ( x)

Ta có: y = f ( x ) ⇔ 

(Do đó y = f ( x ) được coi là hàm đa trị của y theo x)
• Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
• Đồ thị (C3) gồm hai phần:
° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
GV : Phạm Đỗ Hải

d) Dạng đồ thị của hàm số: y =

 f ( x)
f ( x )  g ( x )
Ta có: y =
=
g ( x )  f ( x)
 g ( x )
• Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =

f ( x)

g( x)

nÕu
f ( x) ≥ 0
nÕu
f ( x) < 0
f ( x)
g( x)

• Đồ thị (C4) gồm hai phần:
° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) ≥ 0
° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành.
e) Dạng đồ thị (C5) của hàm số: y =

f ( x)
g ( x)

• Các bước làm tương tự như phần d)
• Chú ý: g(x) ≠ 0.

f) Dạng đồ thị (C6) của đồ thị hàm số: y = f ( x ) + g ( x )

 f ( x) + g( x)
- f ( x) + g( x)

Ta có: y = f ( x ) + g ( x ) = 

nÕ
u f ( x) ≥ 0
nÕ
u f ( x) < 0

• đồ thị (C6) gồm hai phần:
° Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) ≥ 0
° Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0
• Mở rộng:

Vẽ đồ thị hàm số: y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f k ( x ) + g ( x )
° Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu.

g) Dạng đồ thị (C7) của hàm số: y = f ( x )
• Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Sau đó vẽ đồ thị (C2) của hàm số: y = f( x )

• Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f ( x ) .
Tóm lại ta thực hiện dần các bước như sau:

y = f(x) ⇒ y = f( x ) ⇒ y = f ( x )
……………………

PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT
Bài toán 1:Dùng công thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc logarit
a−n =

1
n

a

; a0 = 1 0 ;

m
n m
an = a

• Các quy tắc:
ax.ay = ax+y
(a.b)x =ax.bx
GV : Phạm Đỗ Hải

( m; n nguyên dương , n > 1)


a
a

x

y =a

x

a 
 ÷
b 

x −y

=

x

a
b

x

( ax )

y

( y)

= a

x

=a

x.y

• Hàm số mũ : y = a x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R
MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến :
x1 > x2 ⇔ ax1 > ax2
+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 ⇔ ax1 < ax2
* Hàm số logarit: α = logaN ⇔ aα = N
logax = b ⇔ x= ab
• Đặc biệt : aloga x = x ; log a ax = x ; loga1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
log a (B.C) = log a B + log a C
β
B
log a  ÷ = log a B − log a C log aα Bβ = log a B
α
C
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log c a.log a b =
0 < a, b ≠ 1 :
Chú ý : log10x = lg x

log c b

⇔

log a b =

log a b =

log c b
log c a

1
log b a

; log e x = ln x

• Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ )
MGT : R
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 > log a x2
+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1
Bài toán 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
−> ( eu)/ = u/.eu
−> ( au)/ = u/.au.lna

(ex) / = ex
( ax) / = ax.lna
(lnx) / =

1

x ∈(0;+∞)

x

(logax) / =

1

−> (lnu)/ =

u′
u

−> (logau )/ =

x ln a

u′
u. ln a

Bài toán 3: Giải phương trình mũ: 6 cách
Cách 1. Sử dụng định nghĩa

(a x = b <=>a x = a log a b <=> x=log a b)

a x = b <=> x=log a b

Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số

a

f (x)

=a

g(x)

Cách 3. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ
α. a 2f (x) +β. a f (x) + γ = 0
;
Đặt : t =

a

<=>

f (x) = g(x)

0 < a ≠ 1

f (x)

Đk t > 0

f (x)

Đk t > 0

α. a b + f (x) +β. a b−f (x) + γ = 0 ;

Đặt : t =

a

α. a f (x) +β. b f (x) + γ = 0 và a.b = 1;

Đặt: t =

f (x) ; 1 = f (x)
b
t

GV : Phạm Đỗ Hải

a


f (x)

a
Đặt t =  ÷
b

α. a 2f (x) +β. ( a.b ) f (x) + γ . b 2f (x) = 0 ;

Cách 4. Sử dụng pp logarit hoá 2 vế :
Cách 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
Cách 6. Sử dụng pp đồ thị
Chú ý: Dạng u(x)f (x) = 1 ⇔ [u(x) −1].f(x) = 0 ( trong đó u(x) và f(x) có chứa biến )

Bài toán 4: Giải phương trình logarit : 6 cách
Cách 1. Sử dụng định nghĩa

f(x) > 0


log a f(x)=b<=> 0 < a ≠ 1
f(x)=a b

f (x) > 0 (hay

log a f(x) = log a g(x) <=> 0 < a ≠ 1
f (x) = g(x)

Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số

g(x) > 0)

Cách 3. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ
Cách 4. Sử dụng pp mũ hoá 2 vế :
Cách 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
Cách 6. Sử dụng pp đồ thị

Bài toán 5: Giải bất phương trình mũ và logarit
Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các
cách giải đó
Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:

• Bất phương trình mũ dạng:
TH1 :

0 < u(x) <1 ;

f (x)
g(x)

u(x)
≥ u(x)
f (x)
g(x)
u(x)
≥ u(x)
<=> f (x) ≤ g(x)

TH1 :

u(x) > 1

u(x)

;

TQuat :

f (x)

u(x)

f (x)

≥ u(x)

g(x)

≥ u(x)

g(x)

<=> f (x) ≥ g(x)
0 < u(x) ≠1
<=> 
[ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0

• Bất phương trình logarit dạng: log f(x) ≥ log g(x)
a

a

TH1 :

0 < u(x) <1 ;

log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) <=> f (x) ≤ g(x)

TH1 :

u(x) > 1

log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) <=> f (x) ≥ g(x)

TQuat :

;

log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x)

0 < u(x) ≠1

f(x) >0
<=> 
g(x) >0
[ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0


Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dàng
hơn.
1. a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
2. log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai
hàm số trên.
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản)
GV : Phạm Đỗ Hải


Thông thường giải bằng PP thế

PHầN 3: NGUYÊN HÀM.
Bài toán 1:Tìm nguyên hàm cơ bản(dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản).
α+1
(ax + b)
α
(ax
+
b)

dx
=
+ C (α
∫
a( α + 1)

∫ dx = x + C

α+1
x
α
x
.dx
=
∫
α +1
∫

dx

+ C (α ≠ -1 )

∫

= lnx+ C ( x≠ 0)

x
x
∫ e .dx =
x

∫ a .dx

a

∫ Cosx.dx
∫ Sinx.dx

x

ln a

+C

=

ax + b

∫e

ex + C

=

dx

∫a

ax + b

1

αx +β

lnax+ b+ C

a

.dx =

1
a

.dx =

≠ -1)

eax+b + C

1 a
α

αx + b
ln a

+C

= Sinx + C
= −Cos x + C

∫ Cos(ax + b).dx

=

∫ Sin(ax + b).dx

= − Cos(ax+ b) + C

∫

dx
2
Cos x

= ∫ (tan 2 x + 1).dx = tanx + C

∫

dx
2
Sin x

=

2
∫ (Cot x + 1).dx

= −Cotx + C

∫
∫

dx
2

Cos (ax + b)
dx
2

Sin (ax + b)

1
a

Sin(ax+ b) + C

1
a

1

= tan(ax+ b) + C
a

1

= − Cot(ax+ b) + C
a

Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)

• Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx
• I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt
Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các
hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2
2
a −x
a2 + x2 ;

1

;

2
2
a −x

1
2
a + x2

thì đặt x = atant.

CHÚ Ý:
u ( x)
/
1. ∫ f (e ).u ( x)dx
1

∫ f (ln x). x dx

3. ∫ f ( ax + b ).dx
4. ∫ f (sin x, cos x )dx
2.

thì đặt x = asint

n

Đặt

t = u (x)

Đặt

t = ln(x)

Đặt

t = n ax + b

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
cos 2 x =
, sin 2 x =
2
2

GV : Phạm Đỗ Hải


• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t = tan

∫ f(
6. ∫ f (

x
2

a 2 − x 2 ).dx

Đặt

x = a sin t

a 2 + x 2 ).dx

Đặt

x = a tan t

f ( x 2 − a 2 ).dx

Đặt

x=

Đặt

t = x + x2 ± a2

5.

7.

∫

8.

∫ f(

1
x2 ± a2

).dx

a
cos t

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u(x).v '(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx
Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx,

dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
sin ax 

∫ f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:
@ Dạng 1
 ax 
e 
u = f ( x )
du = f '( x ) dx


sin ax 
sin ax 
⇒
Đặt
Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính





dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx
ax
ax


e

e 

a.dx
u = ln( ax + b ) du =
⇒

∫ f ( x ) ln( ax + b )dx
@ Dạng 2:
Đặt 
ax + b
dv = f ( x ) dx
v = ∫ f ( x ) dx
Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
ax sin ax 
@ Dạng 3: ∫ e . 
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
dx
cosax



Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:

∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx

∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:

∫ sin

n

ax.cos maxdx

(n,m là các số nguyên dương)

*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:

∫ R(sinx,cosx)dx

R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
GV : Phạm Đỗ Hải


Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính

f (x)

∫ g(x) dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.

Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:

f (x)
r(x)
= h(x) +
g(x)
h(x)

. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là

một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
f (x)

r(x)

∫ ( g(x) )dx = ∫ h(x)dx + ∫ h(x) dx .Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn
r(x)
phải tính ∫ g(x) dx theo trường hợp sau.
r(x)
Trường hợp 2: tính ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
Nên

*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x)
r(x)
A
B
C
=
=
+

+
g(x) a(x − α ).(x − x )2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x ) 2
1
2
2

(*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x).

*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm
các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .

Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số.
Phuơng pháp chung:
• PP đổi biến dạng 1
•

∫ f(

n

ax + b ).dx

t = n ax + b
PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số
các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o ∫ f ( a 2 − x 2 ).dx
Đặt x = a sin t
Đặt

o

∫ f(

a 2 + x 2 ).dx

Đặt

x = a tan t

o

∫ f(

x 2 − a 2 ).dx

Đặt

x=

o

∫ f(

Đặt

t = x + x2 ± a2

1

x ±a
2

2

).dx

∫

PHầN 4: TÍCH PHÂN.

b

a

f ( x).dx = F ( x)

a
cos t

b
= F (b) − F (a )
a

Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b
/
∫ f [u(x)]u dx bằng cách
a

Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx

Dạng 1: Tính I =
•
•
•

Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
I=

b
/
∫ f [u(x)]u dx
a

GV : Phạm Đỗ Hải

u(b)

=

∫ f (t)dt

u(a)

đặt t = u(x)


β

∫ f (x)dx
α

Dạng 2: Tính I =

Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các

hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2
2
a −x

1

;

2

a −x
a2 + x2 ;

1

thì đặt x = asint

2

thì đặt x = atant.

a2 + x2

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có
đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I =
b
b b
∫ udv = u.v a − ∫ vdu
a
a

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1

β

∫

α

sin ax 
f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:
 ax 
e 

Sau đó thay vào công thức
@ Dạng 2:

∫ udv = uv − ∫ vdu

Đặt

u = f ( x )
du = f '( x ) dx


sin ax 
sin ax 
⇒


dv = cos ax  dx
v = ∫ cosax  dx


 ax 
 ax 
e

e 



để tính

β

∫ f ( x ) ln( ax + b )dx

α


u = ln( ax + b ) du =
⇒
Đặt 
dv = f ( x ) dx
v = ∫

a.dx
ax + b
f ( x ) dx

Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
β
ax sin ax 
@ Dạng 3: ∫ e . 
dx
α
cosax 
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax

Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:

β
∫ sin(ax+b)sin(cx+d)dx
α

;

β

∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx
α

β
∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx
α

.

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
β

Dạng 2:

∫ sin

n

ax.cos max.dx

(n,m là các số nguyên dương)

α

*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.

Dạng 3:

β
∫ R(sinx,cosx)dx
α

R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì
ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)
thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.

GV : Phạm Đỗ Hải


Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính

β f (x)
dx
∫
α g(x)

trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.

Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x)

r(x)
= h(x) +
g(x)
h(x)

. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là

một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).

β f (x)
β
β r(x)
dx = ∫ h(x)dx + ∫
dx .
∫
α g(x)
α
α h(x)
β
Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy
α
β r(x)
Trường hợp 2: tính ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
α

Nên

ta chỉ còn phải tính

β r(x)

dx
∫
α g(x)

theo trường hợp sau.

*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x)
r(x)
A
B
C
=
=
+
+
g(x) a(x − α 1 ).(x − x 2 ) 2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x 2 ) 2

(*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x).

*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm
các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .

Bài toán 6: Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số.
Phuơng pháp chung:
• PP đổi biến dạng 1
•

∫ f(

n

ax + b ).dx

t = n ax + b
PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số
các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o ∫ f ( a 2 − x 2 ).dx
Đặt x = a sin t
o

∫ f(

o

∫

o

∫ f(

Đặt

a 2 + x 2 ).dx

Đặt

x = a tan t

f ( x 2 − a 2 ).dx

Đặt

x=

Đặt

t = x + x2 ± a2

1
x2 ± a2

).dx

a
cos t

Bài toán 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính

b
∫ f (x) dx
a

+) Tìm nghiệm của f(x) = 0.
Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng không có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có một
b
∫ f (x) dx

a

nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì
Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì

b
∫ f (x) dx
a

=

=

b
∫ f (x)dx
a

c
b
∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a
c

*Chú ý 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng công thức trên tùy theo trường hợp
nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khôngcần xét dấu f(x)).
2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân.
y

PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRÒN XOAY.
Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng

b
GV : Phạm Đỗ Hải

a

x


Hỡnh phng gii hn bi :
m soỏy = f (x) lieõ
n tuùc treõ
n[a;b]
haứ

Din
truù
c
hoaứ
n
h
y
=
0;
x
=
a;
x
=
b

tớch : S =

b
| f (x) | .dx
a

Chỳ ý : nu thiu cn a, b gii pt : f(x) = 0
m soỏx = f (y) lieõ
n tuùc treõ
n[a;b]
haứ

Hỡnh phng gii hn bi : truùc hoaứnh x = 0;y = a; y = b
Hỡnh phng gii hn bi :



Din tớch : S =

b
| f (y) | .dy
a

y

y=f(x
)
b
y=g(

Din tớch : S = | f (x) g(x) | .dx
a
x)
a
x
b
Chỳ ý : 1) Nu thiu cn a, b gii pt : f(x) = g(x)
2) Nu bi toỏn qua phc tp thỡ ta cú th v hỡnh xỏc nh hỡnh phng hoc tớnh thụng qua tng
hoc hiu ca nhiu hỡnh.
Hỡnh phng gii hn bi :
m soỏy = f (x) lieõ
n tuùc treõ
n[a;b]
haứ

haứ
m
soỏ
y
=
g(x)
lieõ
n
tuù
c
treõ
n [a;b]

x = a; x = b

m soỏx = f (y) lieõ
n tuùc treõ
n[a;b]
haứ

haứ
m
soỏ
x
=
g(y)
lieõ
n
tuù
c
treõ
n[a;b] Din

y = a;y = b


tớch : S =

b
| f (y) g(y) | .dy
a

Bi toỏn 2:Tớnh th tớch vt th trũn xoay :
* Th tớch hỡnh trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng :

m soỏy = f (x) lieõ
n tuùc treõ
n[a;b]
haứ

quay
nh y = 0; x = a; x = b
truùc hoaứ

quanh trc Ox v f(x) 0 trờn [a;b] thỡ V =

b
2
f (x) .dx
a

* Th tớch hỡnh trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng :
m soỏx = g(y) lieõ
n tuùc treõ
n[a;b]
haứ

quay
nh x = 0;y = a; y = b
truùc hoaứ

quanh trc Oy v g(y) 0 trờn [a;b] thỡ V =

b
2

g(y) .dy
a

* Th tớch hỡnh trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng :
m soỏy = f (x); y = g(x) lieõ
n tuùc treõ
n[a;b]
haứ

quay
x = a; x = b

quanh trc Ox thỡ V =

b
2
2
f (x) g(x) .dx
a

* Th tớch hỡnh trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng :
m soỏx = f (y); x = g(y) lieõ
n tuùc treõ
n[a;b]
haứ

quay
y = a; y = b

quanh trc Oy thỡ V =

b
2
2
f (y) g(y) .dy
a

PHN 6: S PHC
Bi toỏn 1: Tỡm s phc, tớnh mụun,s phc liờn hp,biu din s phc,
Cho hai s phc a+bi v c+di.
1) a+bi = c+di a = c v b = d.

2) mụun s phc z

= a + bi = a 2 + b 2

3) s phc liờn hp ca z = a+bi l z = a bi.
* z+ z = 2a; z. z = z 2 = a 2 + b2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i
c + di
1
=
[(ac+bd)+(ad-bc)i] ( thc hin phộp chia:ta nhõn t v mu cho s phc liờn
7) z =
2
a + bi a + b 2
hp ca s phc mu)

Bi toỏn 2:Cn bc 2 ca s phc:
nh ngha cn bc 2: z l cn bc 2 ca w <=> z2=w
Chỳ ý:
cn bc 2 ca w=a (a l s thc dng) l z= a
GV : Phm Hi


•

căn bậc 2 của w=a (a là số thực âm) là z= ±i a

•
•

căn bậc 2 của w=0 (a là số thực dương) là z=0
căn bậc 2 của số phức w=a+bi
Phương pháp:
o Giả sử:z=x+yi ; x,y là số thực là căn bậc 2 của số phức w=a+bi
o lập hệ
 x2 − y 2 = a
2
z 2 = w <=> ( x + yi ) = a + bi <=>  x 2 − y 2 + 2 xyi = a + bi <=> 
2 xy = b
o Giải hệ tìm x;y Kết luận

Bài toán 3: Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với ∆ = b2 − 4ac.
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép

b
x1 = x 2 = −
2a

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm:

x=

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm:

x=

−b ± ∆
2a
−b ± i ∆
2a

Bài toán 4:Cách tìm dạng lượng giác của 1 số phức: z=a+bi ;
Cách 1:

1.Tìm r:

r = z = a +b
2

2

a,b là số thực

r>0

b

sin ϕ = r
2. Tìm 1 Acgumen ϕ sao cho 
co s ϕ = a

r
3. Thay r và ϕ vào công thức z = r(cosϕ+isinϕ)
a b
Cách 2: Biến đổi: z=a+bi = r( + i )= r (co s ϕ + i.sin ϕ )
r
r

CỦNG CỐ :Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng (Không có ở ban cơ bản )
Cho số phức z=ax+b; a,b∈ R.được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng phức
Acgumen của số phức z: số đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một
acgumen của số phức z.
y
•
•

Nếu ϕ là một acgumen của z, thì mọi acgumen của z có dạng ϕ+k2π, k∈Z
Kí hiệu r là môdun của z thì r = |z| = a2 + b2 , r > 0.
a=rcosϕ , b=rsinϕ.
Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z = r(cosϕ+isinϕ)

•

Dạng lượng giác của số đối của số phức z là -z = - r(cosϕ+isinϕ)

hay –z = r[cos(π+ϕ)+íin(π+ϕ)].
Số phức liên hợp z của số phức z có dạng lượng giác là :
z =a – bi = r(cosϕ - isinϕ)
hay z = r[cos(-ϕ) + isin(-ϕ)]

•

*Các phép tính với số phức ở dạng lượng giác:
Kí hiệu z1=r1(cosϕ1+isinϕ1) ; z2=r2(cosϕ2+isinϕ2) thì:
• z1.z2=r1.r2[cos(ϕ1+ϕ2)+isin(ϕ1+ϕ2)
GV : Phạm Đỗ Hải

ϕ

M(z)
O

x




z1
z2

=

r1
r2

[cos(1-2)+isin(1-2)]

T ú suy ra dng lng giỏc ca s phc z-1(nghch o ca z) l: z-1 =


[ r (cos + i. sin )] n = r n (cos n + i. sin n )
[ (cos + i. sin )] n = (cos n + i. sin n )

1 1
= [cos( ) + i. sin( )]
z r


Cn bc hai ca s phc di dng lng giỏc:
S phc z = r(cos+isin) cú hai cn bc hai l
Hay

j
j
j
j
+ sin ) v - r (cos + sin )
2
2
2
2
ộ j
ự
j
r ờcos( + p) + isin( + p)ỳ, vi r > 0.

ờ 2
ỳ
2
ở
ỷ

r (cos

z = r(cos+isin) cú hai cn bc hai l =

*Cn bc n ca s phc z cú n giỏ tr khỏc nhau zk :
ộ
ự
ổ
ổ
j
k2p ử
j
k2p ử
n
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ vi k = 0,1,2,n-1.
ữ
ữ
r
cos

+
+
i
sin
+
ỗ
zk =
ữ
ữ
ờ ỗ
ữ
ữỳ
ỗ
ỗn
n
n
n
ố
ứ
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ

B. HèNH HC.
Phn 1: Th tớch, din tớch ca cỏc khi hỡnh

Tớnh din tớch cỏc mt (l tam giỏc,t giỏc,hỡnh trũn,...)



Tớnh th tớch khi chúp





Tớnh th tớch khi hp ch nht
V= a.b.c
Tớnh th tớch khi lng tr:
V= Bh.
Khi cu:
o Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu (S) ngoi tip hỡnh chúp
Dng trc d ca a giỏc ỏy
Trong mp cha cnh bờn v trc d,ta dng ng trung trc d (hoc mp trung trc)
ca cnh bờn
Khi ú:gi I = d d ' Suy ra I l tõm mc(S) ngoi tip hỡnh chúp
Tớnh bỏn kớnh r (l khong cỏch t I n nh ca hỡnh chúp)
o Tớnh din tớch mt cu
S = 4r2 .
o





1

Bh
3

;

4
3

V = r3

Khi tr:
o Tớnh din tớch xung quanh hỡnh tr Sxq = 2rl;
o din tớch ton phn hỡnh tr
Stp = 2r(r + l).
o th tớch khi tr
V = r2h
Khi nún:
o Tớnh din tớch xung quanh hỡnh nún Sxq = rl;
o din tớch ton phn hỡnh nún
Stp = r(r + l).
o



th tớch khi cu

V=

th tớch khi khi nún

V=

1 2
r h
3

Chỳ ý:
o

Cỏc dng toỏn:song song,vuụng gúc lp 11(c bit l cỏc bi toỏn giao tuyn v thit din)

GV : Phm Hi


Không dùng trực tiếp công thức tỉ số thể tích mà phải chứng minh(Lập tỉ số thể tích thông
qua việc tính diện tích của hai tam giác đồng dạng)
Ví dụ:
Ta có: AH là đường cao chung của 2 hình chóp A.SMD và A. SBD. Nên ta có:
1
1
S . AH
VS . AMD VA.SMD 3 SMD
S SMD 2 SM .SD.SinS SM
=
=
=
=
=
1
VS . ABD VA. SBD 1 S . AH S SBD

SB
SB.SD.SinS
SBD
3
2
o

VS . AMD SA.SM .SD
=
VS . ABD
SA.SB.SD

Vậy:

Phần 2: Phương pháp tọa độ trong không gian
→
a

= (x;y;z)

Tính chất :

Cho

→
a

→
⇔→
a = x. i + y.

= (a1;a2; a3) ,

→
j +

→
b =

→
→
a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ±
• k. →
a = (ka1;ka2;ka3) k ∈ R
→→
vô hướng :
a . b = a1.b1 + a2.b2
a1b1 + a 2b 2 + a 3b3

•

Tích

Cos ϕ =

→
a cùng

→ →
a ⊥ b

z.

→
k

(b1;b2; b3)
b3)
→

→

→ →

→
0

+a3.b3= a . b Cos ϕ

a12 + a 22 + a 32 . b12 + b 22 + b32

⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0
→ →

→

→

→

phương b ; a ≠ 0 ⇔ b = k. a ⇔ [ a , b ] =
Toạ độ điểm:
→
→
M = (x;y;z) ⇔ OM
= (x;y;z) ⇔ OM
= x. →i + y.
→
AB =

→
j +

z.

→
k

( xB− xA ; yB−yA;zB −zA)

• M chia đoạn AB theo tỉ số k≠ 1 (

• M là trung điểm của AB thì

GV : Phạm Đỗ Hải

→
MA

→

= k MB
) Thì M có toạ độ là :

xA + x

B
x M =
2


y +y

I:  y M = A 2 B


z +z
B
z = A
M
2


x − k.x

B
x M = A
1− k


y − k.y


A
B
y M =
1− k


z − k.z
B
z = A
1− k
 M


1

 x G = 3 (x A + x B + x C )

1

G:  y G = 3 (y A + y B + y C )


1
z G = (z A + z B + z C )
3


• G là trọng tâm tam giác ABC thì
• Tích có hướng của 2 véctơ :

r
Cho a = (a1 ; a2 ; a3 );
r
Khi đó
b = (b1 ; b2 ; b3 )
*[

→ →
a , b ]

⊥

→
a

;[

→ →
a , b ]

⊥

[

→ →
a , b ]

→
b

=

 a a
a a
a a
 2 3 ; 3 1 ; 1 2
 b 2 b 3 b 3 b1 b1 b 2


→ → →
a , b , c

• Đk đồng phẳng của 3 véctơ :


÷
÷


→ →
đồng phẳng ⇔ [ →
a , b ]. c = 0

• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ
→ →
→
[ AB
, AC ]. AD
≠

→ → →
AB , AC , AD

không đồng

phẳng <=>
0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( không tạo thành tứ diện ) là: A ∉ mp( BCD)
1 → →
→ →2
• Diện tích tam giác ABC : SABC = 1 AB2AC2 − (AB.AC)
Hoặc SABC = .[ AB
, AC ]
2
2
1
[ → , → ]. → 
6 AB AC AD
→ →
→
[ AB
, AD ]. AA
′

• Thể tích tứ diện ABCD : VABCD =

• Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' =

Bài toán 1:Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học ...
Bài toán 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :

Bài toán 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối
chóp,hộp:

Phần 3: Mặt cầu (S)
Bài toán 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu

Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là : (x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2−D > 0
có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A 2 + B2 + C2 − D

Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu

• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)
+ Bán kính R = IM1 = (x1 − a)2 + (y1 − b)2 + (z1 − c) 2
• Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :
+ Tâm I là trung điểm AB => I(

xA + xB
2

;

yA − yB
2

;

zA − zB
2

)

+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α)
bán kính R = d(I; (α))

Bài toán 3: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
GV : Phạm Đỗ Hải


x - x o y - yo z - z o
=
=
;
mc(S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2
a
b
c
Tính d(I; (d)) = ?
Nếu:• d(I; d ) > R <=> (d) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> (d) tiếp xúc với (S) ( d là tiếp tuyến)
(d) ∩ (S) ={M0} ;
• d(I; α ) < R <=> (d) cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A và B
(Chú ý:AB sẽ vuông góc với đt qua tâm I tại trung điểm của nó)
Cho (d) :

Bài toán 4: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho (α) : A x + B y + Cz +D = 0 ;
(S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2
Tính d(I; (α)) = ?
Nếu:• d(I; α ) > R <=> (α) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> (α) tiếp xúc với (S) ( α là mp tiếp diện) (α) ∩ (S) ={M0} ;

Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M0 nhận

→
IM 0 làm

VTPT
• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có tâm H; bán kính r
* P.t đ.tròn(C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x −a)2 + (y−b)2 + (z−c)2= R2
+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp (α)
+ bán kính r = R 2 − [d(I ; α )]2
Cách xác định Hình chiếu H của tâm I lên mp(α) :
→

+ Lập pt đ.thẳng (d) qua I nhận nα làmVTCP Giả sử (d)

 x = a + At

 y = b + Bt
z = c + Ct


+ Toạ độ điểm H là nghiệm hệ PT (gồm pt mp(α) và pt đ.thẳng (d))
+ Giải hệ tìm t=>x;y;z Suy ra toạ độ điểm H

Bài toán 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0:
+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
→
+) Tính IM 0
+) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhận

→
IM 0 làm

VTPT.

Bài toán 5: Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu
(S) và mặt phẳng(α).
(Thường hay gọi là đường tròn trong không gian)
+ bán kính r = R 2 − [d(I ; α )]2
+Cách xác định tâm H:
→

Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận nα làmVTCP
Giải hệ:

(d)

 x = a + At

 y = b + Bt

z = c + Ct


thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H

Kết luận

Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài toán 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng:
Cách 1:Viết dưới dạng cơ bản:
r

Biết (P) qua Mo(xo;yo;zo) và có VTPT là n = ( A, B, C ) sẽ có PTTQ là A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0

CHÚ Ý:
GV : Phạm Đỗ Hải


uuur

uuur

* (ABC): +) tính AB = ? ; AC = ?
r uuur uuur
+) VTPT của (ABC) là n = [AB, AC]
r
=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT n .
r

uur uuur

* mp(a,b) : nếu a//b thì VTPT n = [u a ,AB] với A∈ a; B ∈ b.
r uur uur
Nếu a cắt b thì n = [u a ,u b ]
*(A;a) thì VTPT

r uur uuur
n = [u a ,AB]

* (α) //(β) thì VTPT
* (α) ⊥a thì VTPT

với B∈ a.

uur uur
n α = nβ

uur uur
nα = ua

* (α) có hai vectơ chỉ phương

r r
a, b

thì

uur r r
n α = [a, b] .

*(α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc có VTCP
*(α) vuông góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT

uur uur uuur
r
a thì n α = [u a , AB]

( thay

uur r
ua = a )

uur uur uuu
r
n α = [n P , n Q ]

* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Xác định trung
điểm M của đoạn thẳng AB.
uuur
+) Tính vectơ AB .
uuur
Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT AB .
* (α) song song đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng thì

uur uur uur
n α = [n β , u a ] .

* (α) chứa đ.thẳng (D) và ⊥(β) .
+) chọn M trên đ.thẳng

(D).
uur uuu
r uur
+) VTPT của (α) là n α = [u D , nβ ]
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/).
+) chọn M trên đ.thẳng
(d).
uur uur uuur
+) VTPT của (α) là n P = [u d ,u d / ]
Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT

uur uur uuur
n P = [u d ,u d / ]

Cách 2:Viết dưới dạng chùm mặt phẳng:
Cho (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 cắt nhau
• Mọi mp (R) thuộc chùm (P) và (Q) đều có dạng: m(Ax+By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’)=0
với m 2 + n 2 ≠ 0
• Tìm hệ thức am+bn=0
• Chọn m;n sau đó kết luận cho PT (R)

Cách 3:Viết dưới dạng tổng quát:
•
•
•

Định dạng mp cần tìm là (P): Ax+By+Cz+D=0 với A2 + B 2 + C 2 ≠ 0
Vận dụng giả thuyết tìm A;B;C;D
Kết luận

GV : Phạm Đỗ Hải