de thi hsg toan 8 vu quang 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VŨ QUANG
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút
Ngày thi: 18/04/2017
x 2 + 5x + 6
Bài 1: Cho biểu thức A =
( x + 3) ( x 2 + x − 2 )
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.

b) Tìm x để A >

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A ( x + 2 ) nhận giá trị là số nguyên.

3
x −1

x2 − x
x2 − x + 2
−
=1
x2 − x +1 x2 − x − 2
2
b) Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a 3 − b3 − c3 = 3abc và a = 2 ( b + c )
Bài 3: a) Cho số nguyên dương a – 2 là ước của 3a 2 − 2a + 10 . Tính tổng tất cả các giá trị có thể của a
b) Tìm số có hai chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d đi qua B cắt cạnh AD tại P và CD kéo dài tại Q, cắt
đường chéo AC tại E. Chứng minh rằng
a) ∆AEP ∼ ∆CEB và ∆CEQ ∼ ∆AEB
b) BE 2 = EP.EQ
c) Tích AP.CQ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.

x
y
+
Bài 5: Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q =
y +1 x +1
Bài 2: a) Giải phương trình

BÀI GIẢI
Nguyễn Ngọc Hùng – GV: THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh
2
2
Bài 1: a) Ta có x + x − 2 = x − x + 2x − 2 = x ( x − 1) + 2 ( x − 1) = ( x − 1) ( x + 2 )
2
2
và x + 5x + 6 = x + 2x + 3x + 6 = x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) = ( x + 2 ) ( x + 3 )

 x ≠ −3
 x ≠ −3
x + 3 ≠ 0

⇔
⇔ x ≠ 1
ĐKXĐ:  2
x
−
1
x
+
2
≠

0
x
+
x
−
2
≠
0
(
)
(
)



 x ≠ −2

( x + 2 ) ( x + 3) = 1
Ta có A =
( x + 3) ( x − 1) ( x + 2 ) x − 1
3
1
3
1
3
−2
⇒
>
⇔
−

>0⇔
> 0 ⇒ x −1 < 0 ⇔ x < 1
b) Ta có A >
x −1 x −1 x −1
x −1 x −1
x −1
Đối chiếu ĐKXĐ thì x < 1; x ≠ -2; x ≠ -3 thỏa mãn bài toán
x + 2 x −1 + 3
3
=
= 1+
c) Ta có A ( x + 2 ) =
. Để A ∈ Z thì x – 1 ∈ Ư(3) = {±1; ±3}
x −1
x −1
x −1
⇒ x ∈ {-2; 0; 2; 4} đối chiếu ĐKXĐ thì x ∈ {0; 2; 4} thỏa mãn
2

1 3
2
2

Bài 2: a) Ta có x 2 − x + 1 =  x − ÷ + > 0 và x − x − 2 = x + x − 2x − 2 = ( x + 1) ( x − 2 )
2 4

2
ĐKXĐ: x − x − 2 ≠ 0 ⇔ ( x + 1) ( x − 2 ) ≠ 0 ⇒ x ≠ -1; x ≠ 2
Ta có phương trình tương đương

x2 − x
4 1 x2 − x + 2
−
+ −
=0
x2 − x +1 3 3 x2 − x − 2


⇔

3x 2 − 3x − 4x 2 + 4x − 4 x 2 − x − 2 − 3x 2 + 3x − 6
− x 2 + x − 4 −2x 2 + 2x − 8
+
=
0
⇔
+
=0
x2 − x +1
x2 − x − 2
3 ( x 2 − x + 1)
3( x2 − x − 2)

 x 2 − x − 2 + 2x 2 − 2x + 2 
1
2


2
=0

⇔ ( −x + x − 4)  2
+ 2
÷= 0 ⇔ ( x − x + 4)  2
2
 x − x +1 x − x − 2 
 ( x − x + 1) ( x − x − 2 ) 
2

2

x = 0
1  15 
⇒  x − ÷ +  ( 3x 2 − 3x ) = 0 ⇔ 3x ( x − 1) = 0 ⇔ 
(TMĐK)
2
4 

x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {0; 1}
3
3
a > b
2
a > b
⇔
⇔ 2a > b + c ⇔ 4a 2 > ( b + c )
b) Ta có a − b − c = 3abc > 0 ⇒  3
3
a > c
a > c

3

3

3

⇒ 8 ( b + c ) > ( b + c ) ⇔ b + c < 8 ⇔ 4 ≤ 2 ( b + c ) < 16 và 2(b + c) là số chính phương
Nên suy ra b + c = 2 ⇒ b = c = 1 ⇒ a = 2
Vậy (a; b; c) = (2; 1; 1) thỏa mãn bài toán
2
2
Bài 3: a) Ta có 3a − 2a + 10 = 3a − 6a + 4a − 8 + 18 = 3a ( a − 2 ) + 4 ( a − 2 ) + 18
Suy ra a – 2 là ước dương của 18 ⇒ a – 2 ∈ {1; 2; 3; 6; 9; 18} ⇒ a ∈ {3; 4; 5; 8; 11; 20}
Do đó tổng các giá trị của a là 3 + 4 + 5 + 8 + 11 + 20 = 51
2

b) Gọi số cần tìm là ab suy ra 1≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9 và a, b ∈ N

( )

Theo bài ra ab

2

= ( a + b ) ⇒ ab là một số lập phương ⇒ ab ∈ { 27;64}
3

( )

Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 ⇒ ab

2

( )

= 1000 , vô lí. Vậy ab = 27 ⇒ a + b = 9 ⇒ ab

2

= 729 = 27 2

thỏa mãn bài toán
Bài 4: a) Áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có
AE AP EP
B
=
=
AP // BC (gt) nên
(1)
CE CB EB
⇒ ∆AEP ∼ ∆CEB (c – c – c)
E
CE CQ EQ
=
=
AB // CQ (gt) nên
(2)
AE AB EB
A
P

⇒ ∆CEQ ∼ ∆AEB (c – c – c)
EP EB
=
b) Từ (1) và (2) suy ra
Q
EB EQ
⇒ EB2 = EP.EQ
AP AB
=
c) Từ (1) và (2) ta có
⇒AP. CQ = AB. CB không đổi
CB CQ

C

D

d

x ( x + 1) + y ( y + 1) x 2 + y 2 + x + y ( x + y ) − 2xy + 1 2 − 2xy
−3xy
=
=
=
= 1+
≤1
Bài 5: Ta có Q =
xy + x + y + 1
xy + 2
xy + 2

xy + 2
( x + 1) ( y + 1)
2

 xy = 0
x = 0
x = 1
⇒
(Vì x, y ≥ 0). Vậy GTLN của Q là 1. Đạt được khi 
hoặc 
x + y = 1  y = 1
y = 0
LỜI BÌNH
- Năm nay Vũ Quang mất mùa HSG tỉnh lớp 9 nên đề Toán 8 ra quá dễ. Nếu ra như thế này thì
khó chọn nguồn HSG cho năm tới
- So với Toán 6, Toán 7 thì đề Toán 8 quá dễ, tức là càng học lên càng lùi. Bài hình dễ hơn
trong SGK trong khi đó 2 bài hình Toán 7 thì quá khó (Nếu cho HS lớp 8 thi chưa chắc đã làm được)


- Đối với chương trình Toán 8 thì kiến thức nhiều và rất rộng nên dễ ra hơn Toán 7. Bài 3a nên
dành cho lớp 7 thì hơn.
- Nếu không điều chỉnh biểu điểm chắc chắn điểm của HS sẽ xấp xỉ nhau, không thể phân loại
được HS