Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
NHỮNG ĐIỂM MẤU CHỐT GIẢI NHANH TOÁN
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Đáp án bài tập tự luyện
Giáo viên: Nguyễn Bá Tuấn
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , AB 1cm, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 0.
Khi đó thể tích của khối chóp bằng.
A. 2cm 3
B. 2 3cm 3
C.
2 3
cm 3
3
3
cm 3
6
D.
Hướng dẫn
S
1
3
OH SO
2
2
1
1 3 2
3
VS.ABCD SO.S ABCD .
.1
D
3
3 2
6
B
A
H
O
C
D
Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Biết AB 2cm, SA 3cm. Khi đó thể tích của
khối chóp là.
A. 4cm 3
C.
B.
25
cm 3
4
23
cm 3
3
D. 6cm 3
S
Hướng dẫn
AM 3 AH
2
3
SH SA 2 AH 2 32
1
1 23 22 3
23
V .SH.S ABC .
.
3
3 3
4
3
4
23
3
3
B
A
H
M
C
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 1 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA , đáy ABC là tam giác vuông đỉnh C,với
BC a, AB a 5 , SA
4a
. Khi đó thể tích của hình chóp là:
3
A.
4a 3
3
B.
4a 3
5
C.
4a 3
9
D.
a3
2
S
4a
3
Hướng dẫn
a 5
B
A
Ta có
2a
1
1 4a 1
4a 3
V .SA.S ABC . . .2a.a
3
3 3 2
9
a
C
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) , đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng
120 . Biết SC hợp với đáy ABCD một góc , tan 1 . Thể tích khối chóp
a 3 và ABC
2
S.ABCD là
A.
3 2 3
a
4
B.
3 3 3
a
4
C.
3 3
a
2
D. Đáp án khác
Hướng dẫn
S
3a
AC 3a,SA AC. tan
2
S ABCD a 3.a 3.sin 1200
3a 2 3
2
1
1 3a 3a 2 3 3a 3 3
V .SA.S ABCD . .
3
3 2
2
4
B
A
1200
a 3
α
C
D
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam
giác đều và (SAB) (ABCD) . Gọi K là trung điểm AD tính thể tích của tứ diện S.BCK
A.
a3 3
12
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
B.
3 3
a
6
C.
3 3
a
4
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
D. a 3
- Trang | 2 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Hướng dẫn
S
SH
a 3
2
VS.ABCD
1
1 a 3 2 a3 3
SH.S ABCD .
.a
3
3 2
6
B
VS.BCK
1
a3 3
1
.VS.ABCD
S BCK S ABCD
2
12
2
C
H
A
D
K
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu của đỉnh S
lên trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của AO , góc giữa mặt phẳng SCD và mặt
phẳng ABCD là 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
A.
a3 3
3
B.
3 3
a
6
C.
3 3
a
4
D. 3a 3
Hướng dẫn
S
Gọi H là trung điểm AO
Kẻ HK / /AD
HK
3
3a
AD
4
4
B
A
H
3a 3
SH
4
O
60°
D
K
C
1
1 3a 3 2 a 3 3
VS.ABCD SH.S ABCD .
.a
3
3 4
4
Câu 7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh SA x, tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng
1. Đường cao của hình chóp là:
A. SH
C. SH
x
x2 1
x
2
2 x 1
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
B. SH
D. SH
2x
x2 1
2x
3 x2 1
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 3 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Hướng dẫn
S
Gọi M là trung điểm SA ta có
MO
1
1
x2
SC ; MB 1
2
2
4
BO MB2 MO 2
AO 1 BO 2
M
A
3 x2
4
x2 1
2
O
SA MBD SA MO SH.AO SA.MO SAH OAM
1
x
2
2
2
x 1
x 1
2
x.
SH
D
H
B
C
Câu 8. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh SA x, tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng
1. Giá trị nào của x để VSABCD đạt giá trị lớn nhất?
A. x 3
B. x
6
2
C. x
2 3
3
D. x 4 3
Hướng dẫn
Gọi M là trung điểm SA ta có
MO
S
1
1
x2
SC ; MB 1
2
2
4
BO MB2 MO 2
M
3 x2
4
A
x2 1
AO 1 BO
2
2
SA MBD SA MO SH.AO SA.MO SAH OAM
1
x
2
2
2
x 1
x 1
2
x.
SH
D
H
O
B
C
Ta có
VS.ABCD
1
1
x
1 2
1
1 2
1
SH.S ABCD .
.
x 1. 3 x 2 .x 3 x 2
x 3 x 2 ,
2
3
3 x 1 2
6
24
8
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 4 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Dấu " " xảy ra tại x 2
3
6
x
2
2
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, mặt bên SAD là tam giác
đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC
A.
a3 3
2
3
B. a 3
8
a 6
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2
C.
a3
4
D. Đáp án khác
Hướng dẫn
Ta có HC SC2 SH 2
a 3
2
S
2
2
a 3
a
2
2 a 2
1D
600
cos D
a
2
2. .a
2
a 6
a 3
2
2
A
a
2
0
S ABCD a .sin 60
a
2
3
2
2
B
a 3
2
H
C
D
a
1 a 3 a2 3 a3
VS.ABCD .
.
3 2
2
4
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D, AB AD 2a,CD a , góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60 0 . Gọi I là
trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với đáy.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
A.
3a 3 15
5
B.
5 3 3
a
15
C.
5 3
a
15
D. 2a 3
Hướng dẫn
S
Hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với đáy
SI ABCD , kẻ IH BC
600
Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là SHI
A
2a
B
a
I
S IBC S ABCD S ABI S DIC
1
1
1
3a
2a a .2a .2a.a a.a
2
2
2
2
H
a
C
D
a
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
a 5
600
2
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 5 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
1
3a 2
.IH.BC
2
2
IH.a 5 3a 2 IH
IS
3a 3
5
V
3a
5
1
1 3a 3
3a 3 15
IS.S ABCD .
.3a 2
3
3
5
5
Câu 11. Hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a và có các cạnh bên đều bằng nhau và có độ
dài là a 6 thì có thể tích là:
2
A. V
a3
2
B. V
a3
3
C. V
a3
4
D. V
a3
6
Hướng dẫn
2
a 6 a2 a3
2
3
2
1
V a2
3
Câu 12. Cho hình chóp SABCD, có SA vuông góc với đáy, SA 3a và đáy là hình thang
có đáy lớn AD 2a, đáy nhỏ BD a, đường cao AB a. Gọi E là trung điểm của đoạn
thẳng AD. Thể tích của khối chóp SCDE là
A. V
a3
8
B. V
a3
4
C. V
a3
2
D. V a 3
Hướng dẫn
VS.CED
1
1
1
a3
SA.S CDE .3a. a.a
3
3
2
2
S
3a
a
B
E
a
A
a
D
a
a
C
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 6 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Câu 13. Một khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a và các cạnh bên nghiêng đều
trên đáy góc thì thể tích khối chóp là
A. V
a3 2
2
B. V
a3 2
6
C. V
a3 2
tan
2
D. V
a3 2
tan
6
Hướng dẫn
S
OS
a
2
.tan
1 a
a3 2
V .
.tan .a 2
.tan
3 2
6
B
A
a
α
O
2
C
D
a
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa đường SA
và mặt phẳng ABC bằng 450 . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC là điểm H thuộc
BC sao cho BC 3BH . Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.
a 3 21
8
B.
a3 6
18
C. Đáp án khác
D.
a 3 21
27
Hướng dẫn
SH AH AB2 HB2
S
2a 2
3
1
1 2a 2 a 2 3 a 3 6
V .SH.S ABC .
.
3
3 3
4
18
A
C
H
M
B
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 7 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ.
Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt đáy, SC a 5 và khoảng cách từ D tới mặt phẳng SHC bằng
2a 2 với H là trung điểm AB . Tính thể tích khói chóp theo a?
A.
4 3a 3
3
B. 4 3a 3
C.
2 3 3
a
4
D. Đáp án khác
Hướng dẫn
SH a 3 HC SC 2 SH 2 a 2
S ABCD
1
AB. AD BC
2
1
1
AB.AD AB.BC 2 S AHD S BHC
2
2
S HDC
S HDC
S
1
S
2 ABCD
2a
D
A
1
1
h.HC .2a 2.a 2 2a 2
2
2
H
a 5
h=2a 2
C
B
S ABCD 4a 2 V
M
1
1
4a 3 3
SH.S ABCD a 3.4a 2
3
3
3
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD a 2 ,
tam giác SAB cân tại S và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết góc
giữa mặt phẳng SAC và mặt phẳng ABCD bằng 600 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
A.
a3 3
12
B.
a3
6
C.
a3
3
D.
Hướng dẫn
2 3 3
a
3
S
Kẻ HK AC
AC a 3 ; AK.AC AH.AB ABC AKH
1
a 3
AK.a 3 a 2 AK
2
6
D
A
600
H
K
B
C
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 8 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
2
HK AH2 AK 2
a
a 2 3a
a
SH
4 36
6
2
1
1 a
a3
V .SH.S ABCD .
.a.a 2 .
3
3 2
3
Câu 17. Cho hình chóp SABCD, có SA vuông góc với đáy, SA 3a và đáy là hình thang
vuông có đáy lớn AD 2a, đáy nhỏ BC a, đường cao AB a. Thể tích của khối chóp đó
là
A. V
3a 3
8
B. V
3a 3
4
C. V
3a 3
2
D. V 3a 3
Hướng dẫn
S
1
1
3a 3
1
V .SA.S ABCD .3a. 2a a .a
3
3
2
2
2a
A
D
a
B
C
a
60o , mặt
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ABC
phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cạnh bên SC
a 5
. Tính
2
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
A.
a3 3
12
B.
a3 3
6
C.
a3 2
6
D. Đáp án khác
S
Hướng dẫn
2
OC
2
5a a
AC a
a
SO SC2 OC 2
2
2
4
4
a 5
2
3
1
1
1
3 a 3
V .SO.S ABCD .a.AB.AC.sin 600 .a.a.a.
3
3
3
2
6
B
a
A
600
a
a
O
D
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
C
- Trang | 9 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Câu 19. Cho khối chóp ABCD có độ dài cạnh AB a, CD b và độ dài tất cả các cạnh còn
lại bằng c. Thể tích của khối đã cho là
1
a 2 b2
A. V ab c 2
3
4
C. V
1
a 2 b2
B. V ab c 2
6
4
1
a 2 b2
ab c 2
18
4
D. V
1
a 2 b2
ab c 2
24
4
Hướng dẫn
Gọi H là trung điểm AB, dễ có
AH DHC VADHC
D
1
AH.S DHC
3
c
A
Kẻ HM CD M là trung điểm CD ADB ACB
b
c
a
1
1
HM
4DH 2 b 2
4c 2 a 2 b 2
2
2
1
1 4c 2 a 2 b 2
S DHC .HM.DC .
.b
2
2
2
M
c
H
B
C
c
1
a 2 b2
V 2VADCH ab c 2
6
4
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông
1200 . Thể tích của khối chóp S.ABC.
góc với mặt phẳng đáy, BAC
A.
a3 2
12
B.
a3 2
18
C.
a3 2
36
D.
a3 2
48
Hướng dẫn
Gọi I là trung điểm BC AI BC,SI BC
S
1
1
1
VSABC S ABC .SA , S ABC BC.AI a.AI
3
2
2
Ta có AI
BI
a
a2 3
S
ABC
12
tan 600 2 3
2
A
C
2
a 3 a
a 6
SA SI 2 AI 2
2 2 3
3
Vậy VSABC
B
I
a3 2
.
36
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 10 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Câu 21. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a biết SA vuông góc
với đáy ABCD . Cạnh SC hợp với đáy 1 góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp
A.
a3 6
3
B.
2a 3 6
3
C.
a3 6
6
D.
a3
6
Hướng dẫn
SA AC.tan 60 0 a 6
S
1
a3 6
V .a 6.a 2
3
3
D
A
O'
600
C
Câu 22. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA ABCD ,
SA a; A’, B’,C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD, S’ là tâm hình vuông ABCD
. Tính thể tích khối chóp S’A’B’C’D’ .
A.
a3
12
B.
a3
18
C.
a3
24
D.
Hướng dẫn
a3
36
S
Ta có A’B’C’D’ / / ABCD .
B'
A'
SA (ABCD) SA (A ' B' C ' D'),SA ' (A ' B' C ' D ')
O
D'
2
1
a
a a a
AA’ SA ; S A’B’C’D’ A’B’.A’D’ .
2
2
2 2 4
C'
B
A
1
1 a2 a a3
VS’A’B’C’D’ .S A' B'C' D' .AA' . .
3
3 4 2 24
S'
D
C
Câu 23. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau;
AB 6a, AC 7a và AD 4a . Gọi M, N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,CD, DB .
Tính thể tích V của tứ diện AMNP ?
7
A. V a 3
2
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
B. V 14a 3
C. V
28 3
a
3
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
D. V 7a 3
- Trang | 11 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Hướng dẫn
D
Ta có VABCD
1
AC.AD
AB.
28a 3
3
2
N
VD.APN DP DN 1
1
.
VD.APN VD.ABC 7a 3
VD.ABC BD DC 4
4
P
C
Tương tự ta cũng có VC.AMN 7a 3 và VB.APM 7a 3
M
A
Từ đó suy ra VA.MNP 28a 3 3.7a 3 7a 3
B
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC a 2 , SA vuông góc
với đáy ABC , SA a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng qua AG và song
song với BC cắt SB,SC lần lượt tại M, N . Thể tích của khối chóp S.AMN
A. V
a3
9
B. V
2a 3
9
C. V
2a 3
27
D. V
a3
27
Hướng dẫn
1
Ta có SA a , AC a 2 AB a S ABC a 2
2
VS.ABC
S
1
a3
S ABC .SA
3
6
N
Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm,ta có
SG 2
SI 3
G
A
SN SG 2
/ /BC MN / /BC SM
SB SC SI 3
C
M
I
VS.AMN SM SN 4
4
2a 3
.
VS.AMN .VS.ABC
VS.ABC
SB SC 9
9
27
B
Câu 25. Cho tứ diện ABCD . Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó tỉ số
thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng
A.
1
2
B.
1
4
C.
1
6
1
D.
8
Hướng dẫn
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 12 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
VA.B'C' D AB' AC' 1 1 1
.
.
VA.BCD
AB AC 2 2 4
Câu 26. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao
1
cho SA' SA . Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh
3
SB, SC,SD lần lượt tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng
A.
V
3
B.
V
9
C.
V
27
D.
V
81
Hướng dẫn
Ta có
VSA' B'C' SA' SB' SC' 1
.
.
VSABC
SA SB SC 27
S
B'
A'
V
1
Tương tự SA'C' D'
VSACD
27
D'
VSA' B'C' VSA'C' D' VSA' B'C' D'
1
VSABC
VSACD
VSABCD
27
C'
B
A
D
V
V'
27
C
Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi A’, B’,C’, D’
lần lượt là trung điểm SA,SB,SC,SD . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’
và S.ACBD là.
A.
1
8
B.
1
16
C.
1
4
1
D.
2
Hướng dẫn
Ta có
VSA' B'C' SA' SB' SC' 1
.
.
VSABC
SA SB SC 8
S
Tương tự
VSA'C' D' 1
VSACD
8
B'
A'
V
V
V
1
SA' B'C' SA'C' D' SA' B'C' D'
VSABC
VSACD
VSABCD
8
D'
C'
B
A
D
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
C
- Trang | 13 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Câu 28. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Gọi O là giao điểm của AC’ và B’D . Tính
tỉ số thể tích giữa tứ diện OBCD và khối lập phương
1
6
A.
1
8
B.
C.
1
12
D.
1
24
Hướng dẫn
B
1
d O; ABCD a
2
a
C
a
A
2
S BCD
2
D
3
a
1 1 a
a
V
VO.BCD . .a.
2
3 2
2 12 12
O
a
B'
C'
D'
A'
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Gọi A ', B' lần lượt là trung điểm của SA và SB.
Mặt phẳng (A ' B' C) chia hình chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần đó bằng
A.
C.
1
2
B.
1
4
1
3
2
D. .
3
S
Hướng dẫn
A'
Có
VS.A' B'C SA' SB' 1
V
1
.
S.A' B'C
VS.ABC
SA SB 4
VCABB'A' 3
B'
A
C
B
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và
S
SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AMN và S.ABC
A.
1
4
B.
3
4
C.
1
2
D.
1
5
N
M
Hướng dẫn
D
A
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
- Trang | 14 -
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
B
C
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Có VS.ABD VS.ABC
VS.AMN VS.AMN SM SN 1
.
VS.ABC
VS.ABD
SB SD 4
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60 0 . Gọi M là trung điểm của SA, mp MBC
cắt SD tại N. Mặt phẳng MBCN chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể
tích của hai phần đó
A.
2
5
B.
3
4
C.
5
3
3
D.
5
Hướng dẫn
M là trung điểm SA và MN / /AD nên N là trung điểm SD
VSABC VS.ACD
1
V
2 S.ABCD
S
VS.MBC SM 1
1
VS.MBC .VS.ABCD (1)
VS.ABC SA 2
4
N
M
A
VS.MCN SM SN 1
1
.
VS.MCN .VS.ABCD (2)
VS.ACD SA SD 4
8
D
(1) và (2) suy ra
VS.MBCN VS.MBC VS.MCN
V
3
3
VS.ABCD S.MBCN
8
VABCDMN 5
B
C
Câu 32. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
Tính thể tích V của khối chóp đã cho
A. V
C. V
2a 3
6
2a 3
2
B. V
14a 3
6
D. V
14a 3
2
S
Hướng dẫn
B
A
O
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
D
- Trang | 15 C
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a,SA SB SC SD 2a
SO SC2 OC2
14a
2
1
14a 3
V .SO.S ABCD
3
6
Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA ABC và
SA a 3 , Tính thể tích V của khối chóp S.ABC
A. V
a3
4
B. V
a3
2
S
a3 3
D. V
3
3a 3
C. V
4
Hướng dẫn
B
A
1
1
3 2 a3
V .SA.S ABC . 3 a .
a
3
3
4
4
C
Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có SA a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.
6a 3
4
B.
6a 3
24
C.
6a 3
12
6a 3
8
D.
Hướng dẫn
S
Gọi H là trung điểm AB SH (ABC)
Vì SAB vuông cân có SA a nên
C
A
2
AB 2a,SH
2
3a
a S ABC
2
2
H
1
1 a 2 3 2
6a 3
.
a
Vậy V .SH.S ABC .
3
3 2
2
12
B
Câu 35. Cho H là khối tứ diện đều cạnh a. Thể tích của H bằng bao nhiêu ?
A.
a3 2
6
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
B.
a3 3
12
C.
a3 2
12
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
D.
a3 3
4
- Trang | 16 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Hướng dẫn
A
2 3a a 3
a 6
AH AB2 BH 2
Ta có BH .
3 2
3
3
1
1 a 6 a2 3
2a 3
V .AH.S ABC .
.
3
3 3
4
12
D
B
H
C
Câu 36. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B‘C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
cạnh AC 2 2 . Biết AC’ tạo với mặt phẳng ABC một góc 600 và AC’ 4 . Tính thể
tích V của khối đa diện ABCB’C’
A. V
8
3
B. V
16
3
C. V
8 3
3
D. V
16 3
3
Hướng dẫn
Áp dụng công thức thầy đã cho ta có VA.A' B'C'
1
V
3 ABC.A' B'C'
B'
Gọi h độ dài đường cao hạ từ C’ xuống ABC thì
h AC'.sin 600 4.
S ABC
C'
A'
3
2 3.
2
1
1
AC2 2 2
2
2
2
4 VABC.A' B'C' h.S ABC 2 3.4 8 3
VABCB'C' VABC.A' B'C' VA.A' B'C'
16 3
3
C
B
A
Câu 37. (Đề Sở GD HN) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy
là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng ABC trùng với
trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng
a 3
.
4
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A' B'C'
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 17 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
A. V
a3 3
3
B. V
a3 3
24
C. V
a3 3
6
D. V
a3 3
12
Hướng dẫn
Lấy G là trọng tâm ABC và I là trung điểm BC
C'
A'
nên dễ cm (A ' AI) BC . Trong tam giác IAA ' kẻ
đường cao IK . Khi đó IK là đoạn vuông góc chung
nên IK
B'
a 3
. Ta có
4
K
1
AA' nên
2
IK.AA' A' G.AI A' G
a3 3
AG
a
A' G
. Vậy V
.
12
tan 60 3
C
A
G
I
B
Câu 38. (Đề chuyên Vinh lần 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên
SA 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích
khối chóp S.ABCD là
A.
2 2a 3
3
B. 2 2a 3
C.
2a 3
3
D. 2a 3
Hướng dẫn
S
Giả sử hình vuông ABCD cạnh x .
Khi đó SD BC SB 2x
SA SD2 AD2 x 2a
B
A
1
2 2a 3
Vậy V .SA.x 2
3
3
O
D
C
Câu 39. (Đề 105 THPTQG) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA
vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng
a 2
. Tính thể tích của
2
khối chóp đã cho?
A. V
a3
2
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
B. V
a3
3
C. V a 3
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
D. V
3a 3
9
- Trang | 18 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
Hướng dẫn
S
AM SB
Vẽ AM SB . Ta có
AM BC(Do BC (SAB))
M
AM (SBC) . Vậy AM
a 2
2
V
B
A
1
1
1
1
1
2 SA a
2
2
2
2
AM
SA AB
SA a
O
a3
3
D
C
Câu 40. Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A,SA vuông góc với đáy,
khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC
và ABC , tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
A. cos
3
3
B. cos
2
2
C. cos
1
3
D. cos
2
3
Hướng dẫn
Thể tích nhỏ nhất khi a b c và chú ý
S
1
1
1
1
1
3
2 2 2 2 a 3 3 cos
2
3
a
b c
a
2
a
1 2
a a2
2
1
3
Thực ra chỉ cần cho khoảng cách từ A đến SBC là một số
a
H
cố định là được.
c
B
A
b
C
Câu 41. (Đề 108 THPTQG) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại đều
bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x 14
B. x 6
C. x 2 3
D. x 3 2
Hướng dẫn
Vẽ AK CD CD (ABK) . Kẻ AH BK AH (BCD)
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 19 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Hình học không gian
Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)
A
Vậy AH là đường cao.
1
Có AH AB 2 BH 2 x 2 2 2 ,S BCD 3 3 V . x2 4.3 3 .
3
Đến đây ta có thể thử các đáp án để tìm ra V lớn nhất hoặc khảo sát
K
C
D
H
biểu thức tính V.
B
Câu 42. (Đề 122 THPTQG) Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán
kính bằng 9 , tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất
A. V 144
C. V 576
B. V 144 6
D. V 576 2
Hướng dẫn
S
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều S.ABCD
Khi đó ta có SO OD R 9
Gọi IA IB IC ID x . Khi đó ta có
h SI SO OI 9 9 2 x2 , S ABCD CD2 2x2
VS.ABCD
O
B
A
1
1
.SI.S ABCD .2x2 9 92 x2
3
3
I
D
Như vậy giờ cần tìm x để V lớn nhất.
C
Cách 1. Ta dùng MODE 7 nhập hàm số trên với khởi tạo START 0,END 9,STEP 1 .
Ta thấy chắc chắn răng giá trị hàm số tăng trong khoảng 0; 8 . Giờ ta khảo sát tiếp từ
8; 9 xem nó có tăng tiếp hay giảm với khởi tạo START 8,END 9,STEP 0,1 thấy
hàm số tăng trong khoảng 8; 8, 5 và sau đó là giảm. Như vậy giá trị lớn nhất xấp xỉ 576
đạt được khi x 8.5
Cách 2. Khảo sát hàm số
Giáo viên
Nguồn
– Hệ thống giáo dục HOCMAI
: Nguyễn Bá Tuấn
: Hocmai.vn
Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33
- Trang | 20 -