KHOÁ HỌC PENC 20172018 HOCMAI, TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

KHOẢNG CÁCH VÀ CÁC MÔ HÌNH TÍNH
KHOẢNG CÁCH
Đáp án bài tập tự luyện
Giáo viên: Nguyễn Bá Tuấn

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB  a 2 , AC  a 3 , cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB  a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

 SBC 
A.

3a
4

B.

a 3
2

C.

a 6

D.

3

Hướng dẫn

a 6
3

S

Kẻ đường cao AH của tam giác SAB , ta có:
AH  SB


  AH  (SBC)
AH  BC  do BC  (SAB)  

H
A

C

Vậy AH là khoảng cách từ A đến  SBC 

AH 

SA.AB a.a 2 a 6


SB
3

a 3

B

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SB vuông góc
với đáy, cạnh bên SD tạo với đáy một góc 450 . Khoảng cách từ A đến  SCD 
A.

a 3
2

B.

2 6
a
3

C.

a 6

D.

3

Hướng dẫn







Có AB / /  SCD   d A,  SCD   d B,  SCD 

a 6
3

S



I

Gọi I là hình chiếu của B trên SC , ta có BI  SC
B

Vì SB   ABCD  và DC  BC  CD  BI  BI   SCD 
  450  BS  BD tan 450  2a 2
 d B,  SCD   BI ; do SBD





– Hệ thống giáo dục HOCMAI

C
450

A

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

D

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Ta có

1
1
1
1
1
3
2 6


 2  2  2  BI 
a
2
2

2
3
BI
BS
BC
8a
4a
8a

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB vuông góc với
đáy, cạnh bên SD tạo với đáy một góc  . Khoảng cách từ A đến  SCD  .
a 2

A.

a 2

B.

cot 2   2

a

C.

tan 2   2

a

D.

cot 2   2

t an 2   2

Hướng dẫn







Có AB / /  SCD   d A,  SCD   d B,  SCD 

S



I

Gọi I là hình chiếc của B trên SC, ta có BI  SC
Vì SB   ABCD  và DC  BC  CD  BI  BI   SCD 

B

C

   BS  BDtan  a 2.tan
 d B,  SCD   BI ; do SBD=





α

Ta có

A

1
1
1
1
1 cot 2   2
a 2





 BI 
2
2
2
2
2
2
2

BI
BS
BC
2a tan  a
2a
cot 2   2

D

Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên
ABB’A’ có diện tích bằng a 2 3 . Gọi M là trung điểm của CC’ . Khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng  A’BM  .
A.

2 6
a
3

B.

a3 6
3

C.

3a 3
4

D.

a 3
2

Hướng dẫn

S ABB’A’  AB.AA'  a 2 3  AA' 

a2 3
a 3
a

B

C

Gọi N là trung điểm BA’ khi đó

A
M

a 3
MN   ABB' A'  ,MN 
2
1
1 a 3 a2 3 a3
 VABMA'  MN.S ABA'  .
.

3

3 2
2
4

N
C'
B'

1
1 a 3
a2 3
MN.BA'  .
.2a 
2
2 2
2
3
3V
a a2 3 a 3
 d A,  A' BM   ABMA'  3. :

S A' BM
4
2
2
S A' BM 



A'



– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Câu 5. Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a . Góc
giữa cạnh AB và mặt đáy là 600 . Khoảng cách từ điểm C’ đến  ABC 
A.

a 3
4

B.

a 3
5

C.

a 15
3

D.

a 3
2

Hướng dẫn


BA  600  AA'  tan 600.a  a 3
Ta có A'
Do ACC' A ' là hình chữ nhật nên ta có AC cắt A’C’ tại trung

A'

C'

điểm I của mỗi đường
B'







d C',  A ' BC   d A,  A ' BC 


H

Gọi H là hình chiếu của A lên A' B
Ta có BC   AA' B   BC  AH



A



 AH   A ' BC   d A,  A' BC   AH  AB.sin 600  a





 d C',  A' BC  

600

3
2

C

B

a 3

2

Câu 6. Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B,
AC  2a, BC  a . Góc giữa A' C và mặt đáy là  . Khoảng cách từ điểm C’ đến  ABC  là
A. a cos 

B. 2a cos 

C. 2a tan 

B'

A'

D. 2a sin 
Hướng dẫn

C'

Do ACC' A ' là hình chữ nhật nên ta có AC cắt A’C’ tại trung điểm I
của mỗi đường





H



d C',  A ' BC   d A,  A ' BC 



B

A

Gọi H là hình chiếu của A lên A' B

α

Ta có BC   AA' B   BC  AH



C



 AH   A' BC   d A,  A ' BC   AH
Ta có góc giữa A' C và mặt đáy là 
– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)


 A'
CA    AH  AC sin   2a sin 

Câu 7. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB  a,SA vuông góc với
mặt phẳng  ABC  và SA  a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm
G đến  SBC  .
A.

a 2
6

B.

a 2
2

C. a 6

D. Đáp án khác

Hướng dẫn
Vì G là trọng tâm ABC nên có
Lúc đó d  G,(SBC)  

S

CG 2

CI 3

2
d  I,(SBC)  .
3

BI 1
Ta có AB  (SBC)  B và
 (do I là trung điểm của AB) nên
BA 2

H
C

A

1
d(I,(SBC))  d(A,(SBC))
2

G

I
B

Ta có  SAB    SBC   SB

Kẻ AH  SB (H thuộc SB). Do SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB, khi đó





AH   SBC  nên d A,  SBC   AH

Xét SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
1
1
1
1 1


 2 2
2
2
2
AH
AS
AB
a a

Khi đó AH 

a 2
.
2

2
2 1
a 2
Vậy d(G,(SBC))  d(I,(SBC))  . d(A,(SBC)) 
3
3 2
6
Câu 8. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a,
SA  a 3 và vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Khoảng cách từ O đến  SBC  là

A.

a 3
4

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

B. a 2

C.

a 2
2

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

D.

a 3

2

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Hướng dẫn
Ta có. OA   SBC   C nên.

S


  OC  1
d  A,  SBC   AC 2
1
 d  O,  SBC    d  A,  SBC  
2
d O,  SBC 

H
A

B

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có

AH  SB
 AH   SBC 

AH  BC

O
D

C

Trong tam giác vuông SAB có

1
1
1
4
a 3


 2  AH 
2
2
2
2
AH
SA AB
3a





 d O,  SBC  

1
1
a 3
d A,  SBC   AH 
2
2
4





Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc
với mặt phẳng  ABCD  và SH  a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và
SC theo a.

A.

2 57a
19

C.

13a

26

B.

5a
14

D. 2a
Hướng dẫn

  DCN
  MD  NC
Ta có MAD  NCD  ADM

Do SH   ABCD   MD  SH  MD  (SHC)
Kẻ HK  SC  K  SC 
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên d  DM,SC   HK
Ta có HC 

SH  HC
2 3a
CD2 2a

, HK 


CN
5
19
SH2  HC2

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Vậy d  DM,SC  

2 3a
19

Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  a, SA  a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh SA,SB, CD . Khoảng cách từ P đến mặt phẳng  AMN  là
3
2

A. a

B.

C. a

2a

6
7

D.

5a
12

Hướng dẫn
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , khi đó SO   ABCD  .
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên

S AMN 

1
1
a2 7
S ANS  S ABS 
2
4
16

Ta có PC / /(AMN)  d  P,(AMN)   d  C,(AMN)  .
Vậy
1
1 1
S AMN .d  (P,(AMN))   . S ABS .d  (C,(AMN)) 
3

3 4
1
1
1 1
 VC.ABS  VS.ABC  . S ABC .SO .
4
4
4 3
VP.AMN 

S ABC 

1 2
a 6
a ,SO  SA 2  AO2 
.
2
2

Vậy VAMNP 

3V
1 1 2 a 6 a3 6
6
. a .

 d  (P,(AMN))   PAMN  a
S AMN
7
12 2

2
48

  600 ,
Câu 11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD

có SO vuông góc mặt phẳng  ABCD  và SO  a . Khoảng cách từ đường thẳng AD đến
mặt phẳng  SBC  là
A.

a 5
7

B.

3a

C.

a 3
4

D.

a 3
2

Hướng dẫn
Ta có AD / /BC  AD / /  SBC 









 d AD,  SBC   d E,  SBC  (E thuộc AD sao cho EO  BC )

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Hạ OK  BC  BC   SOK 
Trong (SOK) kẻ OH  SK  OH   SBC  .
Kẻ EF / /OH  F  SK  . Do OH   SBC   EF   SBC 









 d AD,  SBC   d E,  SBC   EF  2OH
Ta có ABD đều  BD  a  BO 

a
; AC  a 3
2

Trong tam giác vuông OBC có

1
1
1
13
a 39


 2  OK 
2
2
2
13
OK
OB OC
3a
Trong tam giác vuông SOK có

1
1
1
16
a 3


 2  OH 
2
2
2
4
OH
OS OK
3a





Vậy d O,  SBC   OH 

a 3
a 3
 d(AD,(SBC)) 
4
2

Câu 12. (Đề MH 01) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng

2a .

Tam giác SAD cân tại S và mặt bên  SAD  vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối
chóp S.ABCD bằng

4 3
a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD 
3

2
A. h  a
3

4
B. h  a
3

8
C. h  a
3

3
D. h  a
4

Hướng dẫn
Cách 1. Gọi H là trung điểm AD khi đó có SH là đường cao của chóp S.ABCD
2

3V
4a 3
 AD 
a 2 3a
2
SH  S.ABCD  2  2a  SD  SH 2  

4a



S ABCD
2
2a
2
 2 

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)









Có d B,  SCD   2d H,  SCD   2.

SH.HD
 2.
SD

a 2
2  4a
3a
3
2

2a.

S

3

1
4a
Cách 2. VABCD  SH.( 2)2 
 SH  2a

3
3
Đặt hệ trục Oxyz .



 2 
 2 
2 
S  0; 0; 2  ; D   2;
; 0  ; C  2;
; 0  ; B  2;
;0






2
2
2






H

  
SD;SC  SB


d
 
SD;SC 



B

A

D

I
C

Trong đó
 
  
  

2
2
2
SD    2; 
; 2  ; SC   2; 
; 2  ; SB   2;

; 2 






2
2
2






  
 SD;SC  SB
 
8 4


[SD;SC]  (0;  4 2;2) 
 
 
6 3
SD;SC 


Câu 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, AC cắt BD tại O. Gọi M là trung

điểm của AA’ . Tính khoảng cách từ điểm M đến  BDD’B’ .

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

A.

a 2
5

B. a

3a

C.

D.

Hướng dẫn

a 2
2

B

C

Do AM / /  BDD’B’ nên







d M,  BDD’B’   d A,  BDD’B’



O
A

D

Ta có AO  BD (giả thiết)
Mặt khác AO  DD (vì DD   ABCD  ) suy ra

M

AO   BDD' B '  . Khi đó

d(A,(BDD' B'))  AO 

B'

C'

1
a 2
AC 
2
2

A'

Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường

D'

thẳng Ax vuông góc với  ABC  , lấy điểm S sao cho
SA  a 3 . Gọi M là điểm đối xứng với A qua C,G là trọng tâm SCM . Tính khoảng cách

từ điểm G đến  SBC  .
A.

a 3
3

B.

a 15
5

C.

2a
5

D. Đáp án khác

Hướng dẫn
G là trọng tâm SCM nên ta có
1
d  G,(SBC)   d  M,(SBC) 
3

S

Lại có M là điểm đối xứng với A qua C nên
d(M,(SBC))  d(A,(SBC))
H

Xét hai tam giác vuông SAB và SAC .

G
M

2

2

2

2

SB  SA  AB  SA  AC  SC  SBC cân tại S.

C

A
K

Trong SBC lấy K là trung điểm BC, từ A kẻ

AH  SK tại H.

B

Ta có SK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao khi đó BC  SK mà BC  SA

(Do SA  (ABC)) nên BC  (SAK)  BC  AH
AH  BC
 AH  (SBC)  d(A,(SBC))  AH
Ta có 
AH  SK
– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 9 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Xét SAK vuông tại A, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có.

1
1
1


*
2
2
AH
SA AK 2
Trong đó AK 

a 3
(đường cao của tam giác đều cạnh a), SA  a 3 (giả thiết) (1)
2

Thay (1) vào (*) ta có AH 

a 15
.

5

Câu 15. Cho lăng trụ đều ABC.A' B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AA ' và BB' . Khoảng cách giữa B'M và CN theo a bằng
A. 2a

B.

a 3
8

C.

a 3
2

D.

a 3
4

Hướng dẫn
Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì OACD là
tứ diện vuông tại O. AMB' N là hình bình hành
 NA / /B' M .
Mặt phẳng  ACN  chứa CN và song song với B'M nên
d(B' M, CN)  d(B' M,(ACN))  d(B',(ACN))
 d(B,(ACN))  2d(O,(ACD))  2h

Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được

1
1
1
1
64
a 3



 2 h
.
2
2
2
2
8
h
OA OC OD
3a
Vậy d(B'M,CN) 

a 3
4

Câu 16. Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của
DD ' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A ' D .

A.

a
3

B.

a
2

C.

a 3
2

D. a

Hướng dẫn
Gọi N là trung điểm của BB' thì A' NCM là hình bình hành nên A' N / /CM . Mặt phẳng

 A ' ND  chứa A ' D

và song song với CM nên

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

d(CM, A' D)  d(CM,(A' ND))  d(M,(A' ND))  d(M,(A ' DE)) với E  AB  A' N . Gọi

O  AD' A' D, G  AD' AM thì G là trọng
tâm của tam giác ADD ' . Do đó

d(M,(A' DE)) GM 1

 .
d(A,(A' DE)) GA 2
Tứ diện AA ' DE vuông tại A nên
1
1
1
1
9



 2
2
2
2
d (A,(A' DE)) AA' AD AE
4a
.

2a
 d(A,(A ' DE)) 
3
2

Vậy

1
a
d(CM,A' D)  d(M,(A' DE))  d(A,(A' DE)) 
2
3
Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của cạnh BC, DC.O là tâm hình vuông ABCD . Từ N kẻ đường thẳng song song với CC’
cắt D’C’ tại N’. Tính khoảng cách từ điểm N’ đến  ACC’A’
A. 3a

B.

a 2
4

C.

a 3
2

a 3
3

D.

Hướng dẫn







Vì NN’ // CC’ nên NN’ // (ACC’A’). Suy ra d N’,  ACC’A’  d N,  ACC’A’



Gọi MN  AC  H  MH  HN
B

C

 d(N,(ACC ' A '))  d(M,(ACC ' A ')

M
H

 BD  AC
 BD  (ACC' A')
Ta có 
 BD  CC'

N

A

D

 MN   ACC ' A ')  d(M,(ACC ' A '))  MH
B'

C'

(Do MN là đường trung bình của BCD )
N'

1
a 2
Mà MH  BO nên MH 
2
4

A'

D'

Câu 18. Cho hình chóp SABCD.ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều cạnh a và  SAB  vuông góc với  ABCD  . Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là trung
điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách từ điểm I đến  SED 
– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

A.

3 2a
4

B.

3 2a
8

3 2a
2

C.

D. 3 2a

Hướng dẫn
S

ABCD là hình vuông nên ED  IC (1)

SI là đường trung tuyến của  đều ABC nên SI  AB mà
(SAB)   ABCD) nên SI  (ABCD)  SI  IC (2)
A

Từ (1) và (2) ta suy ra IC   SED) do đó (SIC)  (SED)

D

H

I

Gọi J là giao điểm của ED và IC, kẻ IH  SJ thì d(I,(SED))  IH
B

J
E

C

Xét SIJ vuông tại I.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
1
1
1
 2  2 (*)
2
IH
SI
IJ

Trong đó SI 

a 3
(đường cao của tam giác đều cạnh a) (3)
2

Mặt khác ECD vuông tại C có
1
1
1
4
1
a 5


 2  2  CJ 
2
2
2
5
CJ
CE CD
a
a

mặt khác IC  IB2  BC2 nên IC 

JI  IC  JC 

a 5
2

a 5 a 5
3 5

.a (4)
hay IJ=
2
5
10

Thay (3) và (4) vào (*) ta có.

IH 2 

9a 2
3 2a
 IH  d(I,(SED)) 
32
8

Câu 19. Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vuông tại A và B, BA  BC  a, AD  2a.
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
Khoảng cách từ H đến  SCD  bằng
A.

a
2

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

B. a

C.

a
3

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

D. a 2

- Trang | 12 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Hướng dẫn
S

Lấy I là trung điểm của AD
Xét tam giác vuông SAB có

SH SA 2 2



SB SB2 3

2
Do đó d(H,(SCD))  d(B,(SCD))
3

J

H
A

I

1
Mà d(B,(SCD))  d(I,(SCD))  d(A,(SCD))
2
B

1
 d(H,(SCD))  d(A,(SCD))
3

C

Dễ dàng chứng minh được (SAC)  (SCD)
Kẻ AJ  SC (J thuộc SC) thì J là trung điểm của SC (vì tam giác SAC cân tại A)
Khi đó d(A,(SCD))  AJ
Xét tam giác SAC vuông tại A có SC  SA2  AC2 nên SC  2a ; mà

AJ 

1
SC  d(A,(SCD))  a
2

1
Vậy d(H,(SCD))  a .
3
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,SA vuông góc với
đáy hình chóp. Cho AB  a, SA  a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,SD .
Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  AHK  .
A.

a
2

B.

a 3
2

C. a

D. 2a

Hướng dẫn

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 13 -

D


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Cách 1.

1
VOAHK  S AHK .d O;  AHK 
3





Trong đó

1
1
1
3
a 6



 2  AH 
;
2
2
2
3
AH
AB AS
2a
SAD  SAB  AK  AH 

a 6
3

Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC
nên HK / /BD .
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC,G thuộc HK nên

HK SG 2
2
2 2a

  HK  BD 
. Tam giác AHK cân tai A,G là trung điểm của HK
BD SO 3
3
3
2

2 1
1
2a
nên AG  HK và AG  AI  . SC  .2a 
3
3 2
3
3
S AHK 

1
1 2a 2 2a 2 2a 2
AG.HK  . .

2
2 3
3
9

1
1
1
 VOAHK  VAOHK  d A;  OHK  .S OHK  d A;  SBD  .S OHK  h.S OHK
3
3
3









Tứ diện ASBD vuông tại A nên.

1
1
1
1
5
a 10



 2 h
2
2
2
2
5
h
AS AB AD
2a
Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng

1
1 a 10 2 2a
5a 2

1
2a 3
S  OG.HK  .
.

 VOAHK  Sh 
2
2 6
3
9
3
27





 d O;  AHK  

3VOAHK
S AHK

2a 3
27  a

2
2 2a 2
9
3

Cách 2. Ta chứng minh VOAHK 

Ta có HK 

2
V
9 SABD

2
1
BD; OG  SO
3
3

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 14 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

1
1 2
2

 SOHK  HK  OG   BD  SO  S SBD
2
2 9
9
 VAOHK 

2
2 1
1
a3 2
VSABD   SA  AB  AD 
9
9 3
2
27

Cách 3. Giải bằng phương pháp tọa độ như sau.





Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O  A, B  a; 0; 0  , D  0; a; 0  ,S 0; 0;a 2 .
 2a a 2 
 2a
a 2
a a 
Tính SH,SK suy ra tọa độ của H  0; ;
, K  ; 0;


 , O  ; ; 0 
 3


3 
3 
2 2 

 3
Áp dụng công thức V 

1
6

  
 AH, AK  .AO



Cách 4. SC   AHK  nên chân đường vuông góc hạ từ O xuống  AHK  có thể xác định
được theo phương SC .
* AH  SB, AH  BC do BC   SAB   AH  SC
Tương tự AK  SC . Vậy SC   AHK 
* Giả sử  AHK  cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ / /SC
 OJ   AHK  .

SA  AC  a 2  SAC cân tại A  I là trung điểm của SC .
Vậy OJ 

1

1
1
a
IC  SC  .2a 
2
4
4
2

Câu 21. Cho lăng trụ ABCDA1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a, AD  a 3 .
Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm của AC
và BD, góc giữa hai mặt phẳng  ADD1A1  và  ABCD  bằng 60 0 . Tính khoảng cách từ
điểm B1 đến mặt phẳng  A1 BD  theo a.
A.

3a
2

B.

a 3
4

C. 2a

D. Đáp án khác

Hướng dẫn
Gọi O là giao điểm của AC và BD  A1O   ABCD 

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 15 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Gọi E là trung điểm AD

EO  60 0
 OE  AD, A1E  AD  A
1

a 3

A1O  OE.tan A
EO 
, S ABCD  a 2 3
1
2
 Vlt  A1O.S ABCD 



3a 3
2



Tính d B1 ;  A1 BD  .
Cách 1.







Do B1C / /  A1 BD   d B1 ;  A1 BD   d C;  A1 BD 



Hạ CH  BD  CH   A1 BD 





 d C;  A1 BD   CH 

CB.CD
CB2  CD 2



a 3
2

Cách 2.













d B1 ;  A1BD   d C;  A1BD   d A;  A1 BD  

Trong đó. VA1ABD 

S A1BD 

3VA1ABD
S A1BD

1
a3
Vlt 

6
4

1
1 a 3
a2 3
A1O.BD  
 2a 
2
2 2
2

a3
a 3
 d B1 ;  A1 BD   2 4 
2
a 3
2





3

  BAD
  900 , BA  BC  a ,
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABC

AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc

của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) .
A.

5a
7

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

B. 2a

C. a

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

D.

a
3

- Trang | 16 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Hướng dẫn
Cách 1.

Gọi M là giao điểm của AB và CD,K là giao điểm của AH với SM . Ta có.

BH 1
 . Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM.
BS 3
Từ đó ta có


  KH  1
d  A,  SCD   KA 3

d H,  SCD 

Do tứ diện ASDM vuông tại A nên
1



d A,  SCD 
2







1
1
1

1


 2  d A,  SCD   a
2
2
2
AS
AD AM
a





Vậy d H,  SCD  



a
3

Cách 2.
Gọi d1 ,d 2 lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến  SCD  , ta có.
d1 SH 2
2VBSCD
2
2 3V

  d1  d 2   BSCD 

d 2 SB 3
3
3 S SCD
S SCD

1
1
1
1
a3
Trong đó VBSCD  SA  S BCD  SA  S BID  SA  AB  ID 
3
3
3
2
3 2

CD  AC
 CD  SC
Ta có 
CD  SA

1
1
 S SCD  SC  CD 
SA 2  AB2  BC2  CE2  ED2  a 2 2
2
2
 d1 

a
3

Cách 3.
     
Đặt AB  a; AD  b; AS  c
 
 
 
Ta có. a  c  0; b  c  0; a  b  0

     1     
SB  a  c; SC  a  b  c; SD  b  c
2

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 17 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD)
 d(H; (SCD))  HN

Dễ dàng tính được

SH 2

SB 3

  

2  
Khi đó HN  HS  SN   SB  xSC  ySD
3

2  x
   2

  x  a    y b    x  y c
3 2


3



2  2 1  x
  2  2
 2
 
x   a    y  b    x  y  c  0 x  5



HN  SC  0 

3
22

3

6


Ta có.   



2
2

x


2

y   1
HN  SD  0   y  b    x  y  c  0
 2
3


3


2
 1  1  1 
1   1   
a
 HN  a  b  c  HN 
a  bc 

6
12
6
6 
2
3


Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  3a, BC  4a . Mặt
  300. Khoảng cách từ
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Biết SB  2a 3,SBC
điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a bằng
A.

6 7a
7

B.

a 3
3

C. a 2

D. Đáp án khác

Hướng dẫn
S

Kẻ SH  BC  SH   ABC  . Xét SHB ta có.
SH  SB.sin 30 0  a 3 , BH  SB.cos30 0  3a

Qua H kẻ HI  AC tại I  (SHI)  (SAC).

K

Kẻ HK  SI tại K  HK  (SCA)
A

I

C

 d(H,(SAC))  HK
H

Ta có CHI ~ CAB  HI 

Lại có

AB.CH 3a


AC
5

B

1
1
1
28
3a
3a
 2
 2  HK 
 d(H,(SAC)) 
2
2
HK
HI SH
9a
2 7
2 7

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 18 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Mà

d(B,(SAC)) BC
6a 7

 4  d(B,(SAC)) 
d(H,(SAC)) HC
7

Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB  a 2 .


Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên  ABC  thỏa mãn IA  2IH ,
góc giữa SC và mặt phẳng  ABC  bằng 60 0 . Tính khoảng cách từ trung điểm E của SB
đến  SAH  .
A.

a

B.

6

a 3

C.

5

a 3
3

D.

a 6
14

Hướng dẫn

S
d(E,(SAH)) SE 1


Ta có
d(B,(SAH)) SB 2

BC2  AB2  AC2  4a 2  BC  2a  BI  a

E

Kẻ BK  AH(K  AH)  BK  (SHA)  d(B,(SAH))  BK
Mà

1
1

1
3

 2  2
2
2
BK
BA BI
2a

 d(B,(SAH))  BK 

a 2
3

H
B

 d(E,(SAH)) 

I

a

K

6

A
Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  BC  2a , hai

mặt phẳng  SAB  và  SAC  cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm AB, mặt
phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC 
bằng 60 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
A.

4 3a
5

B.

5a
2

C.

2a 3
13

D. Đáp án khác

Hướng dẫn
Vì  SAB  và  SAC  cùng vuông góc với  ABC  nên SA  (ABC)  SA  BC
  600 là góc giữa mặt phẳng (SBC),(ABC)
Lại có AB  BC  BC  (SAB)  SBA

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 19 -

C


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

SA  AB.tan 600  2a 3 ,MN 

BC
a
2

S

Qua N kẻ đường thẳng  song song với AB. Gọi    là mp chứa



SN và   AB / /     d(AB,SN)  d A,   

H


D

Kẻ AD  (D   )  (SAD)  (  ). Kẻ

AH  SD  AH  ( )  d(A,(  ))  AH

Ta có AD  MN  a 

Vậy d(AB,SN) 

A

C

N

1
1
1
13
2a 3



 AH 
2
2
2
2
AH
SA AD
12a
13

M
B

2a 3
13

Câu 26. Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên

 ABC 

là H nằm trên AB sao cho AH  2HB . Góc giữa SC và  ABC  bằng 600 . Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
A.

3a 7

B.

4 6

5a 3
12

C.

a 4
6

D.

12a
5

Hướng dẫn

S

  60 0 là góc giữa SC và mp(ABC)
Ta có SCH

Xét ACH ta có.

CH 2  AH2  AC2  2AH.AC.cos600 

 SH  CH.tan 600 

7a 2
a 7
 CH 
9
3

K

a 21
3

C
A

Qua A kẻ đường thẳng  song song với BC, gọi    là mặt

I
H

phẳn chứa SA và 
B







 BC / /     d  SA, BC   d B,     d H,   






Kẻ HI   tại I   SHI      , kẻ HK  SI tại K  HK      d H,     HK
Ta có HI  AH.sin 600 

a 3
1
1
1
24

a 7


 2  2  HK 
2
2
3
HK
SH HI
7a
2 6

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 20 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

 d(H,()) 

a 7
2 6

 d(B,()) 

3a 7
4 6

 d(SA, BC) 

3a 7
4 6

Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, góc giữa SC và đáy bằng 450 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC
theo a bằng
A.

a 12
27

B.

4a 3
7

C.

a 10
5

D.

a 5
10

S

Hướng dẫn

Ta có SCA
 SC,(ABCD)   45o  SA  AC  2a

Kẻ đường thẳng d qua B và song song với AC. Gọi

H

M là hình chiếu vuông góc của A trên d; H là hình
A

chiếu vuông góc của A trên SM. Ta có

D

SA  BM,MA  BM nên AH  BM
M

 AH  (SBM)
B

C

Tam giac SAM vuông tại A có đường cao AH

nên

1
1
1
5


 2
2
2
2
AH
SA AM
2a

Vậy d(AC,SB)  AH 

10a
5

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 

3a
. Hình
2

chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a
khoảng cách giữa A và mặt phẳng (SBD)
A.

a 2
2

B.

2a
3

C. a

D.

a 10
5

Hướng dẫn

 BD  SH
 BD  (SHK)  BD  HE
Vẽ HK  BD(K  BD),HE  SK(E  SK). Ta có 
 BD  HK
Mà HE  SK  HE  (SBD)

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 21 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

S

a 2
Ta có HK  HB.sin KBH
4
Suy ra HE 

HS.HK
2

HS  HK

2



a
3

E

Do đó d(A,(SBD)  2d(H,(SBD))  2HE 

B

2a
3

C

K
H

A

D

Câu 29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm P của SA . M, N lần lượt là trung điểm của AE và

BC . Tính khoảng cách giữa MN và AC .
A.

a 2
4

B.

a 3
2

C.

a 2
2

D. a

Hướng dẫn
Cách 1.
MP / /AD

Ta có. 
;
1
MP

AD


2

NC / /AD

nên tứ giác MNCP

1
NC

AD


2

là hình bình hành
 MN / /  SAC 

Do hình chóp SABCD đều

 BO  SO

 BO   SAC 
 BO  AC

1
1
1
a 2
 d  MN; AC   d N;  SAC   d B;  SAC   BO  BD 
2
2
4
4









Cách 2.




 


 




Đặt OA  a, OB  b, OS  c
 

 

 

Ta có a . c  0, b. c  0, a . b  0

    1   1 
MN  MA  AC  CN  SD  AC  CB
2
2
– Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 22 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)



1    1  
3 1
SO  OD  AC  CO  OB   a  c
2
2
2
2














AC  2 a

Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC , ta có.

   
 1 

PQ  PM  MA  AQ  xMN  SD  yAO
2

 3  1   1  
 x   a  c   c  b  ya
2  2
 2





 1 

3  1
   y  x  a   x  1 c  b
2 
2
2


2
3 

3  2 1
 
y

x
a

x

1
a
 0  x  1


PQ  MN  0  2 
2 
4



  
3

PQ  AC  0
2  y  3 x  a 2  0
 y  2
 
2 



1 
1
a2
a 2
 PQ   b  PQ2  OB2 
 PQ 
2
4
8
4
Câu 30. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA   ABCD  ,SA  a .
Gọi M là điểm di động trên cạnh CD. Vị trí của M để khoảng cách từ điểm S đến BM nhỏ
nhất là
A. M  C

B. M là trung điểm CD C. M  D

D. CD  3MD

Hướng dẫn
Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho

z

O  A  0; 0; 0  , B  1; 0; 0  ,C  1;1; 0  , D  0;1; 0  ,S  0; 0;1 .
S

M là điểm di động trên CD nên M  t; 1; 0  với 0  t  1 .



BM   t  1;1; 0 
 
 SB, BM 
t 2  2t  3


d  S, BM  
 2

t  2t  2
BM

Xét hàm số f  t  

t 2  2t  3
trên  0; 1
t 2  2t  2

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

A

B

D

M

K
C

x

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 23 -

y


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Hình học không gian

Khóa học PEN C N3 (Thầy Nguyễn Bá Tuấn)

Ta có f '  t  

2  t  1

t

2

 2t  2



2

Xét bảng biến thiên.

Từ bảng biến thiên ta có min f  t  
0;1

3
, đạt được khi t  0
2

max f  t   2 , đạt được khi t  1
0;1

Do đó d  S,MB  lớn nhất khi M  C,d  S, BM   2
d  S,MB  nhỏ nhất khi M  D,d  S, BM  

3
2

Giáo viên
Nguồn

– Hệ thống giáo dục HOCMAI

: Nguyễn Bá Tuấn
: Hocmai.vn

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 24 -