pp cm bất đẳng thức

A. Mở đầu
1) Lý do chọn đề tài:
Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học, cơ bản cũng nh ứng
dụng và tất cả những ngành công nghệ then chốt nh dầu khí, viễn thông, hàng
không đều không thể thiếu Toán học và càng gắn bó mật thiết với toán học. Sự
ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin thực sự đã dẫn đến hiện tợng
" Bùng nổ " các ứng dụng của toán học đa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội.
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán
học không chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học toán) những kỹ năng tính toán cần
thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng t duy lôgic, một phơng pháp
luận khoa học.
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giải
bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng
phơng pháp dạy học. Góp phần hình thành và phát triển t duy của học sinh. Đồng
thời qua việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức,
các thao tác t duy để giải các bài tập toán đặc biệt là giải toán bất đẳng thức.
Một trong những thực trạng hiện nay khi dạy toán bất đẳng thức ở trờng
THCS đó là:
Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,
phân tich đề bài, mở rộng bài toán mới,không đa ra phơng pháp giải bài toán . Dẫn
đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải đợc.
Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít, không liền mạch,
phơng pháp giải hạn chế. Vận dụng toán bất đẳng thức vào các loại toán khó nh
cực trị, giải phơng trình rất hạn chế.
Vì vậy, phát triển năng lực, t duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất
đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trờng trung học cơ sở
tôi đã tích luỹ đợc một số kiến thức về bất đẳng thức xin trình bầy ở đây một góc
độ nhỏ.
2) Mục đích nghiện cứu:
2.1 Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc
giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một

số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài
một cách chủ động, sáng tạo và là công cụ giải quyết một số bài tập liên quan đến
bất đẳng thức.
2.2 Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham
khảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập.
2.3 Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán
bất đẳng thức trong quá trình dạy học.
2.4 Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản
và vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập.
2.5 Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ
mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức. Đồng thời
góp phần nâng cao chất lợng giáo dục.
3) Nhiệm vụ của đề tài
3.1 Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp
với trình độ nhận thức của học sinh THCS.
3.2 Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức. áp
dụng để làm bài tập.
3.3 Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phơng pháp.
3.4 Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp cho từng phơng
pháp giải, cách đổi biến.
3.5 Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một số ph-
ơng trìng dạng đặc biệt.
4) Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực, t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối
với học sinh lớp 8 và lớp 9.
5) Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành
Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập
cuối kì, cuối năm, kì thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS và thi tuyển vào cấp III.
Phơng pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đa ra phơng pháp giải,
bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải (học sinh về nhà làm bài tập).

6) Dự kiến kết quả của đề tài
Khi cha thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải một số bài tập về bất đẳng
thức đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất
đẳng thức.
Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng
thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức có dạng tơng
tự, hạn chế đợc rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức.
B. Nội dung
Phần I: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở
trờng THCS
I. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
1. Định nghĩa:
Cho hai số a và b ta nói:
a lớn hơn b, kí hiệu a > b a - b > 0
a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b a - b < 0.
2. Các tính chất của bất đẳng thức:
2.1. a > b b < a
2.2. Tính chất bắc cầu: a > b; b > c a > c.
2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng hai vế của một bất đẳng thức với
cùng một số:
a > b a + c > b + c
2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới cùng chiều
với bất đẳng thức đã cho:
a > b; c > d a + c > b + d
Chú ý: Không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức bị trừ.
dbca
dc
ba

>



<
>
2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng:
a > b; c > 0 a.c > b.c
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm:
a > b; c < 0 a.c < b.c
2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm.
dbca
dc
ba
..
0
0
>



>
>
2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức.
a > b > 0 a
n
> b
n
a > b a

n
> b
n
với n = 2k + 1 ( k

N )
2.9 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng.
Nếu m > n > 0 thì: a > 1 a
m
> a
n
a = 1 a
m
= a
n
0 < a < 1 a
m
< a
n
2.10 Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu.
a > b hoặc b < a < 0
ba
11
<
Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không
chặt (a

b, tức là a > b hoặc a = b.)
Trong những tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu " > " ( hoặc dấu " < ") có
thể thay bởi dấu "

" (hoặc dấu "

").
3. Các hằng bất đẳng thức cần nhớ.
3.1 a
2


0; - a
2


0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.2
0

a
. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.3
aaa

. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.4
baba
++
. Xảy ra dấu đẳng thức khi ab

0.
3.5

baba

. Xảy ra dấu đẳng thức khi
0.

ba
;
ba

Các điều kiện này có thể diễn đạt là:





0
0
ba
ba
Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng (coi nh bổ đề)
1. a
2
+ b
2


2ab
2.
ab
ba

+
2
2
hay (a + b)
2


4ab ( Bất đẳng thức Côsi).
3.
baba
+
+
411
với a; b > 0.
4.
2
+
a
b
b
a
với a. b > 0.
5.

( )
( )( )
2222
2
yxbabyax
+++
( Bất đẳng thức Bunhia Côpski ).
II. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại
số.
1. Phơng pháp dùng định nghĩa:
1.1 Cơ sở toán học:
Để chứng minh: A > B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B > 0;
A < B ta xét hiệu A - B Và chứng tỏ A - B < 0.
1.2 Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

-1.
Giải:
Xét hiệu: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x
2
- 5x + 4)(x
2
- 5x + 6) + 1
Đặt: (x
2
- 5x + 5) = y biểu thức trên bằng: (y - 1)(y + 1) + 1 = y
2


0

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1)

0
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

-1.
Ví dụ 2: Chứng minh: 2(x
2
+ y
2
)

(x + y)
2
.
Giải:
Xét hiệu hai vế: 2(x
2
+ y
2
) - (x + y)
2
= 2x
2
+ 2y
2
- x
2
- y
2

- 2xy
= x
2
- 2xy + y
2

= (x - y)
2

0
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì
ab
ba

+
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
1.3 Bài tập tự giải:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2
22
22

+

+
baba
2. x
3
+ 4x

+ 1 > 3x
2
với x

0
3. x
4
- x >
2
1
4. Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c
2
+ d
2
+ cd

3ab
5. a
6
+ b
6
+ c

6


a
5
b + b
5
c + c
5
a (a, b, c

0)
6. Với a

b

1 thì
abba
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22

2. Phơng pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức:
2.1 Cơ sở toán học
- Xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết rồi vân dụng các tính chất của bất đẳng
thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
- Thờng là áp dụng những tính chất cơ bản cảu bất đẳng thức (đã nêu ở phần trên)
2.2 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
>
8
1
Giải:
Ta có: a + b > 1 > 0 (1). Bình phơng hai vế ta đợc:
(a + b)
2
> 1 a
2
+ 2ab + b
2
> 1 (2)
Mặt khác: (a - b)
2


0 a
2
- 2ab + b

2


0 (3)
Cộng từng vế của (2) và (3) ta đợc: 2(a
2
+ b
2
) > 1 a
2
+ b
2
> 1 (4)
Bình phơng hai vế của (4) ta đợc: a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
>
4
1
(5)
Mặt khác: (a
2
- b
2
)

2


0 a
4
- 2a
2
b
2
+ b
4


0 (6)
Cộng từng vế của (5) và (6) ta đợc: 2(a
4
+ b
4
) >
8
1
Ví dụ 2:
Cho a, b, c là dộ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
cbabacacbcba
111111
++
+
+
+

+
+
Giải:
Xét
acbcba
+
+
+
11
Với a + b - c > 0; b + c - a > 0
áp dụng bất đẳng thức:
yxyx
+
+
411
với x, y > 0 ta đợc:

bbacbcba
2
2
411
=
+
+
+
Tơng tự ta có:
cbacabc
211

+

+
+
acbabac
211

+
+
+
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta đợc:
cbabacacbcba
111111
++
+
+
+
+
+
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n

2
4
11
...
4
1
3
1
2

1
3333
<++++
n
Giải:
Phân tích, hớng dẫn:
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất
đẳng thức dới dạng làm trội.
Để chứng minh A < B ta làm trộn A thành C (A < C) rồi chứng minh rằng C

B (C đóng vai trò trung gian).
Ta có với mọi k

N
*
:
)1)(1(
1
)1(
111
233
+
=

=

<
kkkkkkkk
Do đó:
( )

)1(1
1
...
4.3.2
1
3.2.1
11
...
33
1
22
1
333
+
+++=

++

+

<
nnnnn
A
Đặt
( ) ( )
11
1
...
4.3.2
1

3.2.1
1
+
+++=
nnn
C
Ta lại thấy:
( ) ( ) ( ) ( )
11
2
1
1
1
1
+
=
+


nnnnnnn


Nên:
( ) ( )

+


+++=
1
1
1
1
...
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
C
( ) ( )
4
1
12
1
4
1
1
1

2
1
2
1
<
+
=






+
=
nnnn
Vậy :
4
11
...
4
1
3
1
2
1
3333
<++++
n
Ví dụ 4: Cho x

0, y

0, z

0. Chứng minh
(x + y)(y + z)(z + x)


8xyz (1)
Giải:
Vì hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1) ta sẽ chứng minh
(x + y)
2
(y + z)
2
(z + x)
2

64xyz
Ta có: (x + y)
2


4xy
(y + z)
2


4yz

(z + x)
2


4xz
Hai vế của 3 bất đẳng thức trên đều không âm nên nhân từng vế với nhau ta đợc:
(x + y)
2
(y + z)
2
(z + x)
2

64xyz
[(x + y)(y + z)(z + x)]
2


[8xyz]
2
(x + y)(y + z)(z + x)


8xyz (Vì xyz

0; (x + y)(y + z)(z + x)

0)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
2.3 Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh các sai lầm sau:

1.
dbca
dc
ba
>



>
>
2.
dbca
dc
ba
..
>



>
>
(Nhân vế với vế hai bất dẳng thức mà cha biết hai vế có không âm hay không)
3. Bình phơng hai vế của một bất đẳng thức mà cha biết hai vế không âm:
a > b a
2
> b
2
4. Khử mẫu mà cha biết dấu của chúng:
cbda
d

c
b
a
..
>>
5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế cùng dấu:
ba
ba
11
<>
6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi
làm trội trong từng nhóm.
Ta xét ví dụ sau:
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n

2 thì
n
<

++++
12
1
...
3
1
2
1
1
2
Giải:

Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là A, ta có:







++++






+++






+++






++=

12
1
...
2
1
...
15
1
...
2
1
7
1
...
2
1
3
1
2
1
1A
n1n32
ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bằng phân số lớn nhất trong
nhóm ta đợc:
n1...11.2
2
1
....8
2

1
.4
2
1
.2
2
1
1A
1n
1n32
=+++=+++++<


2.4 Bài tập tự giải:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/
0)b0;(a
ba
4
b
1
a
1
>>
+
+
2/
abcd4dcba
2222
+++

3/ Cho a + b = 1. Chứng minh rằng:
8
1
44
+
ba
4/
n
n
n
11
...
4
1
3
1
2
1
2222

<++++
3. Phơng pháp biến đổi tơng tơng:
3.1 Cơ sở toán học:
-
Để chứng minh bất đẳng thức A

B ta biến đổi tơng đơng (dựa vào các tính
chất của bất đẳng thức).
A

B .. C

D
Và cuối cùng đạt đợc bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C

D
Vì các phép biến đổi đều là tơng đơng nên A

B.
- Để dùng phép biến đổi tơng đơng ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau:
(A B)
2
= A
2
2AB + B
2
(A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2AC
3.2 Các ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1:
Chứng minh: x
2
- x + 1 > 0 x.

Giải:
Ta có: x
2
- x + 1 > 0

0
4
3
2
1
0
4
3
4
1
2
1
..2
2
2
>+







>+

+
x
xx
x (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng a, b, c, d, e R thì
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2


a(b + c + d + e)
Giải:
a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
+ e
2


a(b + c + d + e) (1)
4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2


4a(b + c + d + e) (nhân cả hai vế với 4)
(a
2
- 4ab + 4b
2
) + (a
2
- 4ac + 4c
2
) + (a

2
- 4ad + 4d
2
) + (a
2
- 4ae + 4e
2
)

0
(a - 2b)
2
+ (a - 2c)
2
+ (a - 2d)
2
+ (a - 2e)
2


0 (2)
Vì (a - 2b)
2


0 a, b R
(a - 2c)
2

0 a, c R
(a - 2d)
2


0 a, d R
(a - 2e)
2


0 a, e R
Bất đẳng thức (2) đúng a, b, c, d, e R.
Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với 4 số bất kì a, b, x, y ta có:
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)

(ax + by)
2
(1)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
y

b
x
a
=
.
Giải:
Ta có: (1) a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2


a
2
x
2
+ 2axby + b
2

y
2
a
2
y
2
- 2abxy + b
2
x
2


0
(ay - bx)
2


0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ay - bx = 0 hay
y
b
x
a
=
Ví dụ 4:
Cho các số dơng a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1.
Chứng minh rằng:
9
1

1
1
1







+






+
ba
.
Giải:
Ta có:
9
1
1
1
1

+






+
ba
(1)
9
1
.
1

++

b
b
a
a
ab + a + b +1

9ab (Vì a, b > 0).
a + b + 1

8ab
2

8ab (Vì a + b = 1).
1

4ab
(a + b)
2


4ab (Vì a + b = 1)
(a - b)
2


0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tơng đơng. Vậy bất đẳng
thức (1) đợc chứng minh.
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 5:
Chứng minh bất đẳng thức:
3
33
22

+

+
baba
với a > 0, b > 0.
Giải:
3
33
22






+

+
baba
(1)
4(a
3
+ b
3
)

(a + b)
3
(nhân hai vế với 8)

4(a + b)(a
2
- ab +b
2
)

(a + b)(a + b)
2
4a
2
- 4ab + 4b
2


a
2
+ 2ab + b
2
(Chia cả hai vế cho a + b > 0)
3a
2
- 6ab + 3b
2


0
3(a - b)
2

0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng và các phép biến đổi đều tơng đơng nên bất đẳng thức
(1) đúng.
3.3 Chú ý:
-
Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dấu tơng đơng " " bằng các
dấu kéo theo " ".
Thật vậy, nếu (1) (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì cha thể kết luận đợc bất
đẳng thức (1) đúng hay không.
- Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, học sinh thờng bỏ các biến đổi tơng đơng
có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lu ý các biến đổi tơng đơng có
điều kiện.
Chẳng hạn: a
2
> b
2
a > b với a, b > 0.
m > n a
m
> b
n
m, n Z
+
, a > 1.
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tơng đơng.
3.4 Bài tập tự giải:
Bài 1: So sánh hai số
333
=
A

và
122
=
B
(Không dùng máy tính).
Bài 2: Chứng minh rằng với hai số nguyên dơng x, y thoả mãn x.y

1 thì:
xy
yx
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức:
( ) ( )
22
2222
dcbadcba
++++++
Bài 4: Chứng minh rằng: với x > 1 ta có
2
1

x
x
Bài 5: Với a > 0, b > 0 chứng minh bất đẳng thức:
a
b
ba
b
a

Bài 6: Chứng minh rằng: a, b, c R. Ta có:
a) a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
b) a
2
+ b
2
+ c
2

ab + bc + ca.
4. Phơng pháp phản chứng:
4.1 Cơ sở toán học
Gọi mệnh đề cần chứng minh là luận đề: '' A B ''. Phép toán mệnh đề cho ta:
BABABABA
===

Nh vậy muốn phủ định một luận đề ta phải ghép tất cả các giả thiết của luận đề với
phủ định kết luận của nó.
Ta thờng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng nh sau:
a.1 dùng mệnh đề phản đảo.
AB

a.2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.
a.3 Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau.
a.4 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng.
a.5 Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của
.BBA

4.2 Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:
Cho a
2
+ b
2


2. Chứng minh rằng: a + b

2

Giải:
Giả sử a + b > 2 (a + b)
2
> 4 (Vì hai vế dơng nên bình phơng hai vế)
a
2
+ 2ab + b
2
> 4 (1)
Mặt khác ta có: 2ab

a
2
+b
2
a
2
+ b
2
+ 2ab

2(a
2
+ b
2
)
Mà: 2(a
2
+ b
2

)

4 (giả thiết). Do đó: a
2
+ b
2
+ 2ab

4 (2)
Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1). Vậy phải có a + b

2.
* Cách giải khác:
Ta có: a
2
+ b
2


2 (1)
Mặt khác: 2ab

a
2
+ b
2
. Nên 2ab

a
2

+ b
2


2 (2)
Cộng (1) với (2) ta đợc: a
2
+ 2ab + b
2


4
(a + b)
2


4 -2

a + b

2.
Ví dụ 2:
Cho a, b, x, y liên hệ bởi: a + b = 2xy
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: x
2


a; y
2

b.
Giải:
Giả sử x
2
< a; y
2
< b x
2
+ y
2
< a + b = 2xy.
x
2
+ y
2
- 2xy < 0.
(x - y)
2
< 0. Vô lý.
Vậy có ít nhất một trong hai bất đẳng thức: x
2


a; y
2


b là đúng.
Ví dụ 3:

Cho 3 số thực a, b, c thoả mãn 3 điều kiện sau:





>
>++
>++
0
0
0
abc
cabcab
cba
Chứng minh rằng: Cả ba số đều dơng.
Giải:
Vì abc > 0 nên trong ba số a, b, c có ít nhất một số dơng.
Giả sử ngợc lại cả ba số đều âm abc < 0 (Vô lý).
Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0.
Mà abc > 0 bc > 0.
- Nếu b < 0, c < 0 b + c < 0
Từ a + b + c > 0 b + c > -a
(b + c)
2
< -a(b + c)
b
2
+ 2bc + c
2

< -ab - ac
ab + ac < -b
2
- 2bc - c
2
ab + bc + ca < -b
2
- bc - c
2
< 0
ab + bc + ca < 0 (Vô lý, trái với giả thiết ab + bc + ca > 0)
Vậy b > 0, c > 0 Cả 3 số a, b, c đều dơng.
4.3 Chú ý.
- Với những bài toán chứng minh bất đẳng thức có dạng nh trên ta nên sử dụng ph-
ơng pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phơng pháp này cần nắm vững 5 cách
chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi lập luận.
4.4. Bài tập tự giải.
1) Cho a > b > 0 và
1
ba
ab1
<
+
+
. Chứng minh rằng không thể có: a < 1; b < 1.
2) Cho a, b, c thoả mãn: 0 < a, b, c < 1.
Chứng minh rằng: có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
( )
4
1

b1a
>
( )
4
1
c1b
>
( )
4
1
a1c
>
Hãy phát biểu tổng quát.
5. Phơng pháp quy nạp toán học
5.1. Cơ sở toán học:
Nội dung của phơng pháp này là tiền đề quy nạp toán học.
Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n. Nếu:
+ Mệnh đề dúng với n = 1
+ Từ giả thiết đúng với n = k (k N) suy ra đợc mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng.
Nh vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dơng bằng
phơng pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành 3 bớc.
+ Bớc 1: Chứng minh T(1) đúng (Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1).
+ Bớc 2: - Giả sử mệnh đề T(k) đúng.
- Ta chứng minh mệnh đề T(k + 1) cũng đúng.
+ Bớc 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng (n).
5.2. Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng: với x > -1 thì (1 + x)
n

1 + nx. Trong đó n là số
nguyên dơng bất kỳ.
Giải:
+ Với n = 1, ta có bất đẳng thức đúng 1 + x

1 + x.
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là (1 + x)
k


1 + kx.
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng minh:
(1 + x)
k + 1


1 + (k + 1)x.
Thật vậy, theo giả thiết 1 + x > 0
Ta có: (1 + x)
k
(1 + x)

(1 + kx)(1 + x)
(1 + x)
k + 1


1 + (k + 1)x + kx

2
Mà kx
2
> 0 nên 1 + (k + 1)x + kx
2


1 + (k + 1)x
Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng: a ta đều có
1...
222
++++
aaaa
(1)
Trong đó vế trái có n dấu căn.
Giải:
Kí hiệu:
222
... aaaP
n
++=
(Có n dấu căn)
+ Với n = 1 ta có:
1
2
1
+==

aaaP
Bất đẳng thức đúng.
+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là:
1
+
aP
k
Ta sẽ phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp rồi làm trội ta có:
( )
11121
2
222
1
+=+=+++++=
+
aaaaaaPaP
kk
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
Ví dụ 3:
Cho a, b là hai số dơng chứng minh rằng:
n
nn
baba

+

+
22
n

2.
Giải:
+ Với n = 2 ta dễ dàng chứng minh đợc:
2
22
22






+

+
baba
+ Giả sử bài toán đúng với n = k ta có:
k
kk
baba

+

+
22
(1).
Ta phải chứng minh bài toán cũng đúng với n = k + 1, tức là:
1
11
22
+
++






+

+
k
kk
baba
(2)
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với

+
2
ba
ta đ

ợc:







+






+

+






+
2222
babababa
k
kk
Hay

1
222
+






+

+






+
k
kk
bababa
Để có (2) ta phải chứng minh:

222
11 kkkk
bababa
+






+

+
++
(3)





a

k + 1

+ b

k + 1




ab

k

+ a

k

b

Thật vậy, ta có:

a

k + 1

+ b

k + 1

- ab

k

- a

k

b = a

k

(a - b) - b

k

(a - b) = (a - b)(a

k

- b

k

)

= (a - b)

2

(a

k - 1

+ a

k - 2

b + + ab

k - 2

+ b

k - 1

) (Vì a, b > 0)

Bất đẳng thức (3) đúng. Mà

:

1
222
+






+









+

+
k
kk
bababa




1
11
22
+
++






+

+
k
kk
baba


Vậy bất đẳng thức đ

ợc chứng minh.

5.3 Chú ý:

Khi chứng minh bất đẳng thức theo ph

ơng pháp này

thì phải hiểu kỹ các b

ớc chứng


minh, các phép biến đổi t

ơng đ

ơng, tính chất của bất đẳng

th

ức.

5.4 Bài tập tự giải:

1/

Chứng minh rằng:

n


3 ta có 2

n

> 2n + 1.

2/ Chứng minh rằng: 2

n

> n

3





số tự nhiên n


10.

6. Ph

ơng pháp đổi biến

6.1 Cơ sở toán học:

B1. Đặt biến mới dựa theo biến cũ.

B2. Biến đổi bất đẳng

th

ức theo biến mới, chứng minh bất đẳng

th

ức theo biến


mới.

B3. Kết luận và trả về biến cũ.

6.2 Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

Chứng minh bất đẳng

th

ức sau: abc




(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)

(1)

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Giải:

Đặt b + c - a = x; a + c - b = y;

a + b - c = z thì x, y, z > 0.





2
;
2
;
2
yx
c
zx

b
zy
a
+
=
+
=
+
=
Ta phải chứng minh:

xyz
yxzxzy

+++
2
.
2
.
2




(y + z)(x + z)(x + y)




8xyz (2)

(y + z)

2

(x + z)

2

(x + y)

2






64x

2

y

2

z

2

(Vì 2 vế không âm)

Ta có: (x + y)

2




4xy

(y + z)

2




4yz

(x + z)

2

4xz

Vì hai vế của các bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳng


th

ức ta đ

ợc:

(y + z)

2

(x + z)

2

(x + y)

2




64x

2

y

2

z

2





[(y + z)(x + z)(x + y)]

2




(8xyz)

2

Vậy bất đẳng

th

ức (1) đ

ợc chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z



a = b = c.

Ví dụ 2:

Cho a + b + c = 1

Chứng minh rằng:



a

2

+ b

2

+ c

2

3
1
Giải:

Đặt a =

x
+
3
1
; b =

y
+
3
1
; c =

z
+
3
1
Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0

Ta có: a

2

+ b

2

+ c

2

=

2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
1






++

++






+
zyx


=









+++

+++






++
222
3
2
9
1
3
2
9
1
3
2
9
1
zzyyxx


=

3
1
+

( )
+++
zyx
3
2
x

2

+ y

2

+ z

2



=

3
1
+ x

2

+ y

2

+ z

2






3
1
Xảy ra dấu đẳng thức



x = y = z





a = b = c =

3
1

6.3. Chú ý:

Khi dùng ph

ơng pháp biến đổi để chứng minh bất đẳng

th

ức cần chú ý:

+ Đặt biến mới theo hệ đ

i

ều kiện của biến cũ, kèm theo đ

i

ếu kiện của biến mới.

+ Nắm kỹ đ

ợc các phép biến đổi, các bất đẳng

th

ức cơ bản, quen thuộc

để áp dụng.

+ Đổi về biến cũ.

6.4. Bài tập tự giải:

1/ Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng:

3
+
+
+
+
+ cba
c
bca
b
acb
a
2/ Cho x, y


0 thoả mãn:

yyxxyyxx
+=+
22
Chứng minh rằng: x + y

1 +

xy
3/ Cho a, b, c


0

Chứng minh rằng:

2
222
22
4
22
4
22
4
cba
ba
c
ca
b
cb
a
++

+
+
+

+
+
7. Ph

ơng pháp dùng các bất đăbgr

th

ức đã biết

:

7.1. Cơ sở toán học:

Trong nhiều bài toán để việc chứng minh một bất đẳng thức đ

ợc gọn, ta có

th

ể sử


dụng các bất đẳng

th

ức đã đ

ợc chứng minh, nhất

là những bất đẳng thức "kinh điển


" nh

bất

đẳng thức: Cô si; Bunhia côp

s

ki

;



7.2.

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng:

a
b
b
a

+

2

;





với ab > 0

Giải:

Vì

b
a
;

a
b
đều d

ơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số d

ơng ta đ

ợc:

1.
2
2
=












+
a
b
b
a
a
b
b
a

1
2

+
a
b
b
a


hay

a
b
b
a
+

2

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

a
b
b
a
=

hay a = b

Ví dụ 2:

Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với a


R

+

; 1 < q




Q thì:

( 1



+



a

)

q

> 1 + qa

Giải:

Do q


Q

và q > 1 nên q =

n
m
trong đó m > n

; m, n


N

á

p dụng bất đẳng thức

Côsi

cho m số:

n số hạng





m - n số hạng

( ) ( )
( )
m
nm
n
qa
n
qaqa

+
++++++++
1.1
1...111...1

(Không xảy ra dấu ''='' vì (

1 +qa) > 1)

Hay

( ) ( ) ( )
n
m
qamnmqan
+++
1.1.1