DE THI CHON HSG TOAN 9

THI CHN HC SINH GII LP 9
MễN: TON
Thi gian lm bi: 120 phỳt
Câu 1. a) Phân tích thành nhân tử : x2 2y2 + xy + 3y 3x
b) Tỡm s nguyờn m ln nht sao cho: (x + 1)(x + 2)2(x + 3) m
luụn ỳng vi mi s thc x.
mx y = 3
3 x + my = 5

Câu 2. Cho hệ phơng trình:

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều
kiện:
x+ y

7(m 1)
=1
m2 + 3

Câu 3. Cho hai đờng thẳng y = 2x + m 1 và y = x + 2m.
a) Tìm giao điểm của hai đờng thẳng nói trên.
b) Tìm tập hợp các giao điểm đó.
Câu 4. Cho đờng tròn tâm O. A là một điểm ở ngoài đờng
tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN với đờng tròn, cát tuyến từ A
cắt đờng tròn tại B và C (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung
điểm của BC.
a) Chứng minh rằng 5 điểm A , M , I , O , N nằm trên một
đờng tròn.
b) Một đờng thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC
lần lợt tại E và F. Chứng minh tứ giác BENI là tứ giác nội tiếp và E

là trung điểm của EF.
Câu 5. Cho biu thc M = 3x2 2x + 3y2 2y + 6 x + 1
Tớnh giỏ tr ca M, bit x v y tha món xy = 1 v x + y t giỏ tr nh nht.


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút


Câu 1. Cho biểu thức: A = 1 −


x   x +3
x +2
x +2 
:

+
+
1 + x   x − 2 3 − x x − 5 x + 6 

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A < 0
c) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
Câu 2. Giải phương trình:

x + 1 + 2( x +1) = x − 1+

1 − x + 3 1 − x2

Câu 3. a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có:
n +

n +1 <

4n + 2

x2 + y 2
b) Cho x > y và xy = 1000. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x − y

Câu 4. Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kì cắt các cạnh BC
và CD (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F.
Chứng minh rằng:

1
1
1
+
=
2
2
AE
AF
AD 2

Câu 5. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB
với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C, vẽ CD ⊥ AB, CE ⊥ MA, CF
⊥ MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng

minh rằng:
a) Các tứ giác AECD và BFCD nội tiếp được.
b) CD2 = CE.CF.
c) Tứ giác ICKD nội tiếp được.
d) IK ⊥ CD


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. Giải phương trình : x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 5
Câu 2. Tính giá trị của biểu thức:
S = x 1 + y 2 + y 1 + x 2 với xy + (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = a
Câu 3. Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =

1
3
+
x 2 + y 2 4 xy

 x + y + xy = 5
Câu 4. Giải hệ phương trình:  2
2
 x + y + xy = 7
Câu 5. Cho tam giác nhọn ABC và đường kính BON . Gọi H là trực tâm của
tam giác ABC , Đường thẳng BH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M
.
a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình thang cân .
b) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh H , I , N thẳng hàng .

c) Chứng minh rằng BH = 2.OI và tam giác CHM cân


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. a) Cho đa thức P(x). Chứng minh rằng P(x) – P(2) chia hết cho x – 2.
 x + my = 3
.
mx + 4 y = 6

b) Cho hệ phương trình: 

Tìm m để phương trình có nghiệm x > 1 , y > 0.
Câu 2. Cho x , y là hai số dương thoả mãn x5 + y5 = x3 + y3 .
Chứng minh x2 + y2 ≤ 1 + xy
Câu 3. Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất thoả mãn:
x 2 + 2y 2 + 2xy - 8x - 6y = 0.
Câu 4. Tìm điều kiện của tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
x2 + (3m + 2 )x – 4 = 0 và x2 + (2m + 3 )x + 2 = 0 .
Câu 5. Cho hình thoi ABCD có góc A = 60 0 . M là một điểm trên cạnh BC ,
đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại N .
a) Chứng minh : AD2 = BM.DN .
b) Đường thẳng DM cắt BN tại E . Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp .
c) Khi hình thoi ABCD cố định . Chứng minh điểm E nằm trên một cung
tròn cố định khi m chạy trên BC .


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút
C©âu 1. Tìm m để phương trình (x2 + x + m) (x2 + mx + 1) = 0 có 4 nghiệm phân
biệt.
2 x + y = 3a − 5
x − y = 2

Câu 2. Cho hệ phương trình: 

Gọi nghiệm của hệ là ( x; y), tìm giá trị của a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
a 2 + b 2 + c 2 = 1
Câu 3. Cho a, b, c thỏa mãn:  3
a + b3 + c 3 = 1

Tính giá trị biểu thức: M = a3 + b2 + c
Câu 4. Cho tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp . Chứng minh
AB. AD + CB.CD AC
=
BA.BC + DC.DA BD

Câu 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi I là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD , còn M là trung điểm của cạnh CD . Nối MI kéo
dài cắt cạnh AB ở N . Từ B kẻ đường thẳng song song với MN , đường thẳng đó
cắt các đường thẳng AC ở E . Qua E kẻ đường thẳng song song với CD ,
đường thẳng này cắt đường thẳng BD ở F .
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp .
b) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BF và AI . IE = IB2 .
NA IA 2
=
c) Chứng minh
NB IB2