DAP AN TOAN thi vào thpt CHUYEN QUANG TRUNG BINH PHUOC 2015

Nguyễn Anh Tuấn trường PTDTNT THPT Bình Phước

Câu
1

ĐT: 0985.767.113

SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN BÌNH PHƯỚC 2015-2016
Nội dung
 1
  ( a + 1)2 
3 a+5
P =
+
− 1÷ Với a > 0, a ≠ 1.
÷.
 a − 1 a a − a − a + 1÷  4 a
÷



1
1) Rút gọn: ta có: P =
a
2) Đặt Q = (a − a + 1).P . Chứng minh Q > 1
a − a + 1 a − a + 1 ( a − 1)2
=
=
+ 1> 1,∀a > 0; a ≠ 1.
a
a

a
(Cách khác: có thể tách ra rồi sử dụng bđt côsi và xét thấy dấu bằng không xảy ra suy ra Q > 1)
Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x + m2 = 0 (1) Tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn

Ta có: Q = (a − a + 1).P =
2

(x1 − m)2 + x2 = m+ 2 (2)
1
2

Pt (1) có hai nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ m≥ − . Khi đó theo vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m+ 2; x1x2 = m2
Vì x1 là nghiệm của pt (1) nên x12 = 2(m+ 1)x1 − m2 thay vào (2) ta được 2x1 + x2 = m+ 2
 m= 0
1 (thỏa mãn)
Từ vi-ét và giả thiết, ta có − m(3m+ 2) = m ⇔ 
 m= −

2
 m= 0
1 thỏa mãn ycbt.
Vậy 
 m= −

2
2

3

1) Giải pt (x + 1) 2(x2 + 4) = x2 − x − 2 (1)

ĐK: x∈ R
 x = −1
 2(x2 + 4) − (x − 2) = 0 ⇔ 
⇔
(
x
+
1)
 x ≥ 2 ⇔ x = −1
Pt (1)



  x = −2
Vậy pt có cnghiệm x = −1
 1
x
−
= x2 + xy − 2y2
(1)

2) Giải hpt  x y

2
( x + 3 − y)(1+ x + 3x) = 3 (2)

( vế phải của pt (1) ta thường hay gặp trong các bài toán giải hệ pt ta cần chú ý)


x> 0

ĐK: ⇔  y > 0 (*)

y = x

1 
1
= 0⇔ 
÷
Từ pt (1) suy ra (y − x)  x + 2y +
=0
÷
 x + 2y +
y
x


y x

+) Với y = x thay vào (2) ta được
( x + 3 − x)(1+ x2 + 3x) = 3 ⇔ 1+ x2 + 3x = x + 3 + x ⇔ ( x + 3 − 1)( x − 1) = 0

( nhân hai vế pt với

x + 3 + x ) ( Ta cũng có thể đặt t = x + 3 − x rồi bình phương hai vế )
Trang 1/3


Nguyễn Anh Tuấn trường PTDTNT THPT Bình Phước

ĐT: 0985.767.113

 x + 3 = 1  x = −2 (L )
⇔
⇔
 x = 1⇒ y = 1
 x =1

+) Vì x > 0; y > 0 nên x + 2y +

1
y x

= 0 vô nghiệm

Vậy nghiệm của hpt là: ( x; y) = ( 1;1) .
4

Giải pt trên tập số nguyên x2015 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) + 1 (1)
ĐK: y(y + 1)(y + 2)(y + 3) ≥ 0
Pt (1) ⇔ x2015 − 1= (y2 + 3y + 1)2 − 1
Đặt: y2 + 3y + 1= a(a∈ Z)
Vì x nguyên nên x2015 − 1 nguyên, suy ra
a2 − 1= k2(k ∈ Z) ⇒ a2 − k2 = 1⇒ (a − k)(a + k) = 1⇒ k = 0
y = 0⇒ x = 1
 y = −3 ⇒ x = 1
 y2 + 3y + 1= 1
( thỏa mãn)
⇒
⇒ (y2 + 3y + 1)2 = 1 ⇔  2
 y + 3y + 1= −1  y = −1⇒ x = 1

 y = −2 ⇒ x = 1
Vậy pt có 4 nghiệm nguyên ( x; y) : ( 1;0) , ( 1; −1) , ( 1; −2) , ( 1; −3) .

6

( Ta thường hay gặp chứng minh biểu thức dưới dấu căn cộng 1 là số chính phương)
1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: (1+ a)(1+ b) ≥ 1+ ab
Ta chứng minh bằng phép biến đổi tương đương
2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b = ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

1
2

1

+

2

a + 2a b + 2b

+ (1+ a2)(1+ b2)

( Ta cần sử dụng hai bđt phụ sau (1+ x)(1+ y) ≥ 1+ xy và

1 1
4
+ ≥
nhưng phải chứng

x y x+ y

minh hai bđt này mới được điểm tối đa)
Cách 1: P ≥

4
a2 + 2a + b2 + 2b

+ 1+ ab =

4
(a + b)2 − 2ab + 2(a + b)

+ 1+ ab =

4
a2b2

+ ab + 1

 4
ab ab  7ab
1 1 7ab
7 7ab
=
+
+
+
+ 1≥ 3.3 4. . +
+ 1= +

2 2 16 16 ÷
16 16
8
4 8
a b
 8

Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab = a + b ≥ 2 ab ⇒ ab ≥ 4
7 7.4 21
21
=
. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
khi a = b = 2
4 8
4
4

Do đó P ≥ +

Bình luận: nếu không có bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-nhia-copxki cho biểu
thức dưới dấu căn. Còn tổng hai biểu thức nghịch đảo thì quá rõ, sau đó dùng ppháp dồn biến)
Cách 2:
P=

1
2

+

1

2

+ (1+ a2)(1+ b2) ≥

1
2

+

1
2

+ 1+ ab =

a + 2a b + 2b
a + 2a b + 2b
 1
a a+ 2  1
b b + 2  29
7
=
+ +
+ +
÷+ 
÷+ (a + b) +
8
 a(a + 2) 16 32   b(b + 2) 16 32  32

1
1

+
+ a + b+ 1
a(a + 2) b(b+ 2)

Trang 2/3


Nguyễn Anh Tuấn trường PTDTNT THPT Bình Phước
≥ 3.3 1.

ĐT: 0985.767.113

1 1
1 1 29
7 13 29
. + 3.3 1. . + (a + b) + = + (a + b)
16 32
16 32 32
8 8 32

(a + b)2
⇒ a+ b ≥ 4
4
13 29
13 29
21
Do đó P = + (a + b) ≥ + .4 =
8 32
8 32
4

21
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
tại a = b = 2
4

Mặt khác: từ giả thiết, ta có: a + b = ab ≤

Cách 3:
Ta có a + b = ab ⇒ (a − 1)(b − 1) = 1
Đặt a − 1= x ⇒ a = x + 1; b− 1= y ⇒ b = y + 1⇒ x.y = 1
Khi đó P ≥

1
2

+

1
2

+ 1+ ab =

1
1
+
+ a + b+ 1
a(a + 2) b(b + 2)

a + 2a b + 2b
1

1
=
+
+ x + y+ 3
(x + 1)(x + 3) (y + 1)(y + 3)

1
x + 1 x + 3 
1
y + 1 y + 3  29
43
=
+
+
+
+
÷+ 
÷+ (x + y) +
32   (y + 1)(y + 3) 16
32  32
16
 (x + 1)(x + 3) 16

1
1 29
43 21
≥ 3. + 3. + .2 xy +
=
8
8 32

16 4
21
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
tại x = y = 1
4

5

( Các bạn hãy suy nghĩ cách giải khác nữa nhé!)
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là
trực tâm của tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC.
.
1) Chứng minh rằng: AH = 2OM
2) Dựng hình bình hành AHIO . Gọi J là tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng
minh rằng: OI .OJ = R2
3) Gọi N là giao điểm của AH và đường tròn tâm O (N khác A). Gọi D là điểm bất kỳ trên
cung nhỏ NC của đường tròn tâm O (D kác N và C ). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K
là giao điểm của AC và HE. Chứng minh rằng: ·ACH = ·ADK.
Quá trình làm và đánh máy không tránh khỏi sai sót, độc giả tự chỉnh sửa!
Tiếp tục cập nhật!

Trang 3/3